八年级下册数学同步课程第02讲-直角三角形(培优)-教案

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1、学科教师辅导讲义学员编号: 年 级:八年级(下)课 时 数:3学员姓名:辅导科目:数 学学科教师:授课主题第02讲-直角三角形授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握直角三角形的性质与判定方法; 进一步掌握推理证明的方法,培养演绎推理能力;授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂体系搭建一、 知识梳理1、直角三角形的性质和判定方法定理:直角三角形的两个锐角互余。定理:有两个角互余的三角形是直角三角形。2、勾股定理勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。3、勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。4、逆命题、逆

2、定理互逆命题:在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题。互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,其中一个定理称为另一个定理的逆命题。5、斜边、直角边定理定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。考点一:直角三角形全等的判定例1、在如图中,AB=AC,BEAC于E,CFAB于F,BE、CF交于点D,则下列结论中不正确的是()AABEACF B点D在BAC的平分线上CBDFCDE D点D是BE的中点【解析】选D例2、如图,AB=1

3、2,CAAB于A,DBAB于B,且AC=4m,P点从B向A运动,每分钟走1m,Q点从B向D运动,每分钟走2m,P、Q两点同时出发,运动4分钟后CAP与PQB全等【解析】CAAB于A,DBAB于B,A=B=90,设运动x分钟后CAP与PQB全等;则BP=xm,BQ=2xm,则AP=(12x)m,分两种情况:若BP=AC,则x=4,AP=124=8,BQ=8,AP=BQ,CAPPBQ;若BP=AP,则12x=x,解得:x=6,BQ=12AC,此时CAP与PQB不全等;综上所述:运动4分钟后CAP与PQB全等;故答案为:4例3、如图,A=B=90,E是AB上的一点,且AE=BC,1=2(1)RtAD

4、E与RtBEC全等吗?并说明理由;(2)CDE是不是直角三角形?并说明理由【解析】(1)全等,理由是:1=2,DE=CE,A=B=90,AE=BC,RtADERtBEC;(2)是直角三角形,理由是:RtADERtBEC,3=4,3+5=90,4+5=90,DEC=90,CDE是直角三角形例4、CD经过BCA顶点C的一条直线,CA=CBE,F分别是直线CD上两点,且BEC=CFA=(1)若直线CD经过BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:如图1,若BCA=90,=90,则BE=CF;EF=|BEAF|(填“”,“”或“=”);如图2,若0BCA180,请添加一个关于与BCA关系

5、的条件+BCA=180,使中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立(2)如图3,若直线CD经过BCA的外部,=BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明)【解析】(1)BCA=90,=90,BCE+CBE=90,BCE+ACF=90,CBE=ACF,CA=CB,BEC=CFA;BCECAF,BE=CF;EF=|CFCE|=|BEAF|所填的条件是:+BCA=180证明:在BCE中,CBE+BCE=180BEC=180BCA=180,CBE+BCE=BCA又ACF+BCE=BCA,CBE=ACF,又BC=CA,BEC=CFA,BCECAF(AAS)BE=CF,CE=AF

6、,又EF=CFCE,EF=|BEAF|(2)猜想:EF=BE+AF证明过程:BEC=CFA=,=BCA,BCA+BCE+ACF=180,CFA+CAF+ACF=180,BCE=CAF,又BC=CA,BCECAF(AAS)BE=CF,EC=FA,EF=EC+CF=BE+AF考点二:直角三角形的性质例1、如图,AOB=40,OC平分AOB,直尺与OC垂直,则1等于()A60 B70 C50 D40【解析】如图所示:根据题意得:1=2=3,OC平分AOB,AOC=AOB=20,3=9020=70,1=70;故选:B例2、如图,已知AOD=30,点C是射线OD上的一个动点在点C的运动过程中,AOC恰好

7、是直角三角形,则此时A所有可能的度数为60或90【解析】在AOC中,AOC=30,AOC恰好是直角三角形时,分两种情况:如果A是直角,那么A=90;如果ACO是直角,那么A=90AOC=60故答案为60或90例3、如图,在ABC中,CE,BF是两条高,若A=70,BCE=30,求EBF与FBC的度数【解析】在RtABF中,A=70,CE,BF是两条高,EBF=20,ECA=20,又BCE=30,ACB=50,在RtBCF中FBC=40考点三:含30度角的直角三角形例1、如图,ABC中,C=90,A=30,AB=12,则BC=()A6 B6 C6 D12【解析】C=90,A=30,AB=12,B

8、C=AB=12=6,选A例2、如图所示,两块完全相同的含30角的直角三角板叠放在一起,且DAB=30有以下四个结论:AF丄BC;ADGACF;O为BC的中点;AG:DE=:4,其中正确结论的序号是【解析】两块完全相同的含30角的直角三角板叠放在一起,且DAB=30CAF=30,GAF=60,AFB=90,AF丄BC故正确;AD=AC,DAG=CAF,D=C=60,ADGACF故正确;ADGACF,AG=AF,AO=AO,AGO=AFO=90,AGOAFO(HL),OAF=30,OAC=60,AO=CO=AC,BO=CO=AO,O为BC的中点故正确;假设DG=x,DAG=30,AG=x,GE=3

9、x,DE=DG+GE=4xAG:DE=:4故正确;故答案为:例3、如图,在ABC中,ACB=90,B=30,BC=6,CD为AB边上的高,点P为射线CD上一动点,当点P运动到使ABP为等腰三角形时,BP的长度为4或6【解析】ACB=90,CDAB,ADAB,ACD=ABC=30,AC=BC=2,AD=AC=,当AP=AB=4时,PD=3,BD=BC=3,PB=6,当PB=AB=4,综上所述:PB=4或6故答案为:4或6考点四:直角三角形斜边上的中线例1、如图,在RtABC中,BAC=90,AB=6,D是斜边BC的中点,若AD=5,则AC等于()A8 B64 C5 D6【解析】在RtBAC中,B

10、AC=90,D为斜边BC的中点,AD=5,BC=2AD=10,由勾股定理得:AC=8,故选A例2、如图,CD是RtABC斜边AB上的高,将BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处,则A等于30度【解析】在RtABC中,CE是斜边AB的中线,AE=CE,A=ACE,CED是由CBD折叠而成,B=CED,CEB=A+ACE=2A,B=2A,A+B=90,A=30故答案为:30例3、如图,在RtABC中,BAC=90,AD是BC边上的中线,EDBC于D,交BA延长线于点E,若E=35,求BDA的度数【解析】EDBC,E=35,B=55 在RtABC中,BAC=90,AD是BC边上的中线,AD=B

11、D BAD=B=55BDA=70例4、如图,在ABC中,BA=BC,B=120,AB的垂直平分线MN交AC于D,求证:AD=DC【解析】如图,连接DBMN是AB的垂直平分线,AD=DB,A=ABD,BA=BC,B=120,A=C=(180120)=30,ABD=30,又ABC=120,DBC=12030=90,BD=DC,AD=DC例5、在ABC中,ACB=90,M是AB的中点,E、F分别是AC、BC延长线上的点,且CE=CF=AB,则EMF的度数为45【解析】连接CM,ACB=90,M是AB的中点,CM=AB,AM=BM=AB,CE=CF=AB,CE=MC,CF=MC,1=E,2=F,1+E

12、=4,2+F=3,1=4,2=3,1+2=(4+3)=90=45,即:EMF=45故答案为:45P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、下列条件中,能判定两个直角三角形全等的是()A一锐角对应相等 B两锐角对应相等 C一条边对应相等 D两条直角边对应相等【解析】选:D2、如图,若要用“HL”证明RtABCRtABD,则还需补充条件()ABAC=BAD BAC=AD或BC=BDCAC=AD且BC=BD D以上都不正确【解析】从图中可知AB为RtABC和RtABD的斜边,也是公共边跟据“HL”定理,证明RtABCRtABD,还需补充一对直角边相等,即AC=AD或BC=

13、BD,故选B3、如图,BD平分ABC,CDBD,D为垂足,C=55,则ABC的度数是()A35 B55 C60 D70【解析】CDBD,C=55,CBD=9055=35,BD平分ABC,ABC=2CBD=235=70故选D4、如图,ABC中,CDAB于D,且E是AC的中点若AD=6,DE=5,则CD的长等于()A5 B6 C7 D8【解析】ABC中,CDAB于D,ADC=90E是AC的中点,DE=5,AC=2DE=10AD=6,CD=8故选D5、如图,ACBC,ADDB,要使ABCBAD,还需添加条件AC=BD或BC=AD或DAB=CBA或CAB=DBA(只需写出符合条件一种情况)【解析】AC

14、BC,ADDB,C=D=90AB为公共边,要使ABCBAD添加AC=BD或BC=AD或DAB=CBA或CAB=DBA后可分别根据HL、HL、AAS、AAS判定ABCBAD6、如图,已知点P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动),AON=30,当A=60或90时,AOP为直角三角形【解析】若APO是直角,则A=90AON=9030=60,若APO是锐角,AON=30是锐角,A=90,综上所述,A=60或90故答案为:60或907、如图,在直角三角形ABC中,斜边上的中线CD=AC,则B等于30【解析】CD是斜边AB上的中线,CD=AD,又CD=AC,ADC是等边三角形,A=60,B=90A

15、=30故答案为:308、底角为30,腰长为a的等腰三角形的面积是a2【解析】如图,过点A作ADBC于D,ABC是等腰三角形,BC=2BD,底角B=30,AD=AB=a,由勾股定理得,BD=a,BC=2BD=a,三角形的面积=aa=a2故答案为a29、如图,在ACB中,ACB=90,CDAB于D(1)求证:ACD=B;(2)若AF平分CAB分别交CD、BC于E、F,求证:CEF=CFE【解析】证明:(1)ACB=90,CDAB于D,ACD+BCD=90,B+BCD=90,ACD=B;(2)在RtAFC中,CFA=90CAF,同理在RtAED中,AED=90DAE又AF平分CAB,CAF=DAE,

16、AED=CFE,又CEF=AED,CEF=CFE10、已知:如图,在ABC中,AB=AC=2,B=15过点C作CDBA,交BA的延长线于点D,求ACD的周长【解析】如图,在ABC中,AB=AC=2,B=15,B=ACB=15,DAC=2B=30又CDBA,CD=AC=1,根据勾股定理得到AD=,ACD的周长=AD+CD+AC=+1+2=+3答:ACD的周长是+3 课后反击1、要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有()有两条直角边对应相等; 有两个锐角对应相等; 有斜边和一条直角边对应相等; 有一条直角边和一个锐角相等; 有斜边和一个锐角对应相等; 有两条边相等A6个 B5个 C4个 D3个

17、【解析】故选B2、如图,O是BAC内一点,且点O到AB,AC的距离OE=OF,则AEOAFO的依据是()AHL BAAS CSSS DASA【解析】OEAB,OFAC,AEO=AFO=90,又OE=OF,AO为公共边,AEOAFO故选A3、直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为()A90 B135 C120 D45或135【解析】如图:AE、BD是直角三角形中两锐角平分线,OAB+OBA=902=45,两角平分线组成的角有两个:BOE与EOD这两个角互补,根据三角形外角和定理,BOE=OAB+OBA=45,EOD=18045=135,故选B4、如图,在RtABC中,ACB=90,A=6

18、0,过点C的直线与AB交于点D,且将ABC的面积分成相等的两部分,则CDA=()A30 B45 C60 D75【解析】如图,在RtABC中,ACB=90,A=60,AC=AB,又过点C的直线与AB交于点D,且将ABC的面积分成相等的两部分,AD=BDAC=AD,A=60,ADC是等边三角形,CDA=605、如图,ABC中,AB=AC=10,AD平分BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则DE的长为()A10 B6 C8 D5【解析】AB=AC=10,AD平分BAC,BD=DC,E为AC的中点,DE=AB=10=5,故选D6、如图,已知ABCD,垂足为B,BC=BE,若直接应用“HL”

19、判定ABCDBE,则需要添加的一个条件是AC=DE【解析】AC=DE,理由是:ABDC,ABC=DBE=90,在RtABC和RtDBE中,RtABCRtDBE(HL)故答案为:AC=DE7、如图,在RtABC中,ACB=90,将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB,若B=50,则ACB=10【解析】ACB=90,B=50,A=40,ACB=90,CD是斜边上的中线,CD=BD,CD=AD,BCD=B=50,DCA=A=40,由翻折变换的性质可知,BCD=BCD=50,ACB=BCDDCA=10,故答案为:108、如图,在ABC中,C=90,B=30,AB的垂直平分线ED交AB于点E,交BC于点D

20、,若CD=3,则BD的长为6【解析】DE是AB的垂直平分线,AD=BD,DAE=B=30,ADC=60,CAD=30,AD为BAC的角平分线,C=90,DEAB,DE=CD=3,B=30,BD=2DE=6,故答案为:69、如图所示,ABBC,DCAC,垂足分别为B,C,过D点作BC的垂线交BC于F,交AC于E,AB=EC,试判断AC和ED的长度有什么关系并说明理由【解析】AC=ED,理由如下:ABBC,DCAC,EDBC,B=EFC=DCE=90A+ACB=90,CEF+ACB=90A=CEF在ABC和ECD中,ABCECD(ASA)AC=ED(全等三角形的对应边相等)10、在直角ABC中,A

21、CB=90,B=30,CDAB于D,CE是ABC的角平分线(1)求DCE的度数(2)若CEF=135,求证:EFBC【解析】B=30,CDAB于D,DCB=90B=60CE平分ACB,ACB=90,ECB=ACB=45,DCE=DCBECB=6045=15;(2)CEF=135,ECB=ACB=45,CEF+ECB=180,EFBC11、已知:如图,在ABC,AB=AC,AD是BC边上的中线,E是AC的中点,BFCA延长线于点F求证:CBF=ADE【解析】证明:AB=AC,AD是BC边上的中线,ADC=90,又E是AC的中点,AE=DE,ADE=EAD=90C,BFCA延长线于点F,CBF=9

22、0C,CBF=ADE12、在等腰ABC中,AB=AC=8,BAC=100,AD是BAC的平分线,交BC于D,点E是AB的中点,连接DE(1)求BAD的度数;(2)求B的度数;(3)求线段DE的长【解析】(1)AD是BAC的平分线,BAD=CAD,BAC=100,BAD=50;(2)AB=AC,B=C,;(3)AB=AC,AD平分BAC,AD是等腰ABC底边BC上的高,即ADB=90在直角三角形ABD中,点E是AB的中点,DE为斜边AB边上的中线,DE=直击中考1、【2016丹东】如图,四边形ABCD中,ADBC,A=90,BD=BC,CEBD于点E求证:AD=BE【解析】证明:ADBC,ADB

23、=DBCCEBD,BEC=90A=90,A=BECBD=BC,ABDBCEAD=BE2、【2016秋靖江】如图,在四边形ABCD中,ABC=ADC=90,M、N分别是AC、BD的中点,试说明:(1)MD=MB;(2)MNBD【解析】证明:(1)ABC=ADC=90,M是AC的中点,BM=AC,DM=AC,DM=BM;(2)由(1)可知DM=BM,N是BD的中点,MNBDS(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、直角三角形的性质和判定方法定理:直角三角形的两个锐角互余。定理:有两个角互余的三角形是直角三角形。2、勾股定理勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。3、勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。名师点拨1、在运用勾股定理的逆定理判定直角三角形时,误认为a,b一定是直角边,c一定是斜边。2、在直角三角形中,不能确定第三边是直角边还是斜边时,需要分类讨论。3、忽略用HL定理证明三角形全等的前提条件。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是15

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