1、精锐教育辅导讲义学员姓名： 学科教师：徐泽文年 级：初三 辅导科目：数学授课日期时 间主 题第12讲-解直角三角形的应用学习目标1使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.2通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.教学内容回顾相似三角形知识。已知，如图，小明同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长2米，若此时测得一塔在同一地面的影长为60米，则塔高应为多少米？60m参考答案：45米教学说明：由前面的问题中，知道，将比例式中同一三角形的边放在一边有；引出下面
2、的问题。在直角三角形中，我们至少知道哪些元素就可以求出其余元素？参考答案：知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素备注：老师可以引导学生回顾直角三角形全等判定条件来寻找答案。解直角三角形无非以下两种情况：(1)已知两条边，求其它边和角.(2)已知一条边和一个锐角，求其它边角【知识梳理1】（仰俯角）1水平线：水平面上的直线以及和水平面平行的直线.2铅垂线：垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线.3在测量时，如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.说明 在仰角和俯角这两个概念中，必须强调是视线与水平线所夹的角，而不是视线与铅垂线
3、所成的角.【例题精讲】例1.如图，甲乙两栋楼之间的距离等于45米，现在要测乙楼的高，（）,所以观察点在甲楼一窗口处，.从处测得乙楼顶端的仰角为45，底部的俯角为30，求乙楼的高度（取，结果精确到1米）. 分析：过点A作AEBC于点E，在直角ACE中利用三角函数求得CE的长，然后在直角ABE中求得BE的长，即可求解。答案：例2.某条道路上通行车辆限速为，在离道路米的点处建一个监测点，道路段为检测区（如图）. 在中，已知，那么车辆通过段的时间在多少秒以内时，可认定为超速（精确到秒）？ （参考数据：，）分析：作PCAB于点C，根据三角函数即可求得AC与BC的长，则AB即可求得，用AB的长除以速度即可
4、求解答案：【试一试】1.汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去、两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的点，测得村的俯角为，村的俯角为（如图九）求、两个村庄间的距离（结果精确到米，参考数据）分析：首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形PAC、PBC，应利用其公共边PC构造等量关系，借助AB=AC-CB且PC=450；构造方程关系式，进而可求出答案答案：2.如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得BAD30，在C点测得BCD60，又测得AC50 m，则小岛B到公路l的距离为_m()A25 B25 C. D2525【解析】过点B作BEAD于E，设BEx，在RtA
5、BE中，AE，在RtCBE中，CE，ACAECE50，解得x25，即小岛B到公路l的距离为25 m.【答案】B【知识梳理2】（方向角）方向角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角如图，表示北偏东60方向的一个角注意：东北方向指北偏东45方向，东南方向指南偏东45方向，西北方向指北偏西45方向，西南方向指南偏西45方向我们一般画图的方位为上北下南，左西右东【例题精讲】例1.如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为_海里(结果保留根号)【点拨】本组题重点考查解直
6、角三角形的应用及有关概念准确掌握直角三角形的两锐角间的关系、三边之间的关系、边角关系是解题的关键【解答】(1)由勾股定理得，的邻边8.由三角函数的定义得tan，故选A.(2)坡比是坡面铅直高度BC和水平宽度AC的比值，BCAC1.而BC5米，ACBC5米，故选A.(3)在RtAPC中，AP40，A45，则ACPCPAsinA4040.在RtPBC中，PC40，B30，则BC40.所以海轮行驶的路程ABACBC4040(海里)例2.如图，港口位于港口正西方向120海里处，小岛位于港口北偏西60的方向上，一艘科学考察船从港口出发，沿北偏西30的方向以每小时20海里的速度驶离港口，同时一艘快艇从港口
7、出发沿北偏东30的方向以每小时60海里的速度驶向小岛，在小岛用1小时装补给物资后，立即按原来的速度给考察船送去（1）快艇从港口到小岛需要多少时间？ （2）快艇从小岛出发后最少需要多少时间才能和考察船相遇？【参考答案】解：（1）由题意得：， 1分海里，海里 1分快艇的速度为60海里/小时，快艇到达处的时间：（小时） 1分（2）作于点，海里，在中，（海里），（海里）（小时）而， 2分两船不可能在点处相遇 1分假如两船在点处（点在之间）相遇，设快艇从小岛出发后最少需小时与考察船相遇，相遇时考察船共用了小时， 1分， 1分在中，由勾股定理得， 2分整理得 ，解得 ，（不合题意舍去） 1分快艇从小岛出发
8、后最少需要1小时才能和考察船相遇 【巩固练习】1.（黄浦2014一模22）（本题满分10分） 如图，在一笔直的海岸线上有、两个观测站，在的正东方向，千米，在某一时刻，从观测站测得一艘集装箱货船位于北偏西62.6的处，同时观测站测得该集装箱船位于北偏西69.2方向问此时该集装箱船与海岸之间距离约为多少千米？（最后结果保留整数）（参考数据：， ，）【正确答案】解：设. 在中，. 1分 ，. 2分 在中，. 1分 . 2分 , . 2分 解得 2分 答：此时该集装箱船与海岸之间距离约为约为14千米.2.（浦东闵行杨浦青浦静安2014一模22）如图，已知某船向正东方向航行，在点处测得某岛在其北偏东60
9、方向上，前进8海里到达点处，测得岛在其北偏东30方向上已知岛周围6海里内有一暗礁，问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明你的理由【正确答案】解：无触礁危险 1分理由如下：由题意，得30，120 2分30，即 2分 1分作，垂足为点又60，90，30 1分， 2分而，无触礁危险 1分【知识梳理3】（坡角）1如图，坡面的铅垂高度()和水平宽度()的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作，即. 坡度通常写成的形式，如11.52坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作. 坡度与坡角之间的关系: . 【例题精讲】例1.当小杰沿坡度的坡面由到行走了米时，小杰实际上升高度 米（可以用根号表示）答案：例2.BADC
10、H如图：某水坝的横断面为梯形，坝顶宽为米，坝高为米，斜坡的坡度，斜坡的坡角为求：（1）斜坡的坡角；（2）坝底宽（精确到米）（参考数据：， ）分析：（1）根据坡度与特殊角的三角函数值即可解答（2）过点C作CGAD，垂足为点G分别求出AH，HGDG的长度，相加即可解答BH【巩固练习】1.某滑雪运动员沿着坡比为的斜坡滑行了200米，则他身体下降的高度为 米答案：100米2.水坝的横截面是梯形ABCD（如图1），上底米，坝高米，斜坡的坡比，斜坡的坡比（1）求坝底的长（结果保留根号）；（6分）（2）为了增强水坝的防洪能力，在原来的水坝上增加高度（如图2），使得水坝的上底米，求水坝增加的高度（精确到米，参
11、考数据）（6分） （图2）1.某大型超市有斜坡式的自动扶梯，人站在自动扶梯上，沿着斜坡向上方向前进13米时，在铅垂方向上升了5米，如果自动扶梯所在的斜坡的坡度，那么_.【参考答案】（或2.4）2.某飞机如果在1200米的上空测得地面控制点的俯角为，那么此时飞机离控制点之间的距离是 米【参考答案】2400 3.（奉贤2016年二模）14. 小明在高为18米的楼上看到停在地面上的一辆汽车的俯角为，那么这辆汽车到楼底的距离是 米（结果保留根号）【参考答案】4.如图，如果在大厦所在的平地上选择一点，测得大厦顶端的仰角为，然后向大厦方向前进40米，到达点处（、三点在同一直线上），此时测得大厦顶端的仰角为
12、，那么大厦的高度为 米（计算结果保留根号）【参考答案】5.已知一斜坡的坡比为，坡角为，那么_. 【参考答案】 6.如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从到所经过的路程为 米【参考答案】187.汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去、两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的点，测得村的俯角为，村的俯角为（如图九）求、两个村庄间的距离（结果精确到米，参考数据）分析：首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形PAC、PBC，应利用其公共边PC构造等量关系，借助AB=AC-CB且PC=450；构造方程关系式，进而可求出答案答案：8.如图所示
13、，小杰发现垂直地面的旗杆AB的影子落在地面和斜坡上，影长分别为和，经测量得米，米，斜坡的坡度为，且此时测得垂直于地面的1米长标杆在地面上影长为2米求旗杆AB的长度（答案保留整数，其中）分析：本题需通过构建直角三角形求解；过D分别作BC、AB的垂线，设垂足为E、F；那么AB的长可分作AF和DE两部分；在RtDCE中，已知CD的长，以及斜坡CD的坡度，可求得DE、CE的长；同理可在RtAFD中，根据DF的长以及坡面AD的坡度，求得AF的长，AB=AF+BF=AF+DE，由此得解答案：1(变式题)如图，小东用长为3.2 m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地
14、面的同一点此时，竹竿与这一点相距8 m、与旗杆相距22 m，则旗杆的高为()A12 mB10 mC8 mD7 m【解析】设旗杆高为x m，利用相似三角形的对应边成比例可得，x12(m)【答案】A2(2009中考变式题)如图，在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60角，则拉线AC的长为()A5tan60 m B. m C. m D. m【解析】因为sin60，AC (m)【答案】B3(变式题)如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得BAD30，在C点测得BCD60，又测得AC50 m，则小岛B到公路l的距离为_m()A25 B25 C. D2525【解析】过点B作B
15、EAD于E，设BEx，在RtABE中，AE，在RtCBE中，CE，ACAECE50，解得x25，即小岛B到公路l的距离为25 m.【答案】B4如图，从山顶A望地面C、D两点，测得它们的俯角分别为45和30，已知CD100 m，点C在BD上，则山高AB为()A100 m B50 m C50 m D50(1)m【解析】在RtABC中，易求BCAB；在RtABD中，BD.CD100，BDBC100，即AB100，解得AB50(1) m.【答案】D5(变式题)某人沿着坡度i11的山坡走了500米，这时他的垂直高度上升了()A500米 B500米 C250米 D250米【解析】500250(米)【答案】
16、D6(变式题)如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为23，顶宽为3米，路基高为4米，则路基的下底宽是()A15米 B12米 C9米 D7米【解析】过点A、B作AEDC，BFDC，则AEBF4米，DE6.同理CF6，EFAB3，DC62315(米)【答案】A7如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为60，则该高楼的高度大约为()A82米 B163米 C52米 D70米【解析】由题意可求得ACDC60米，在RtABC中，ABACsin60603052米【答案】C8(变式题)如图，在高为h的建筑物顶部看一个旗杆顶(旗杆高出建筑物顶)，仰角为30，看旗杆与
17、地面的接触点，俯角为60，则旗杆的高为()A.h B.h C.h D.h【解析】在RtAED中，AEh，在RtACE中，CEAEtan30hh，CDhhh.【答案】A9(变式题)如图，在高为2 m，倾斜角为30的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要()A2(1) m B4 mC2(1) m D2(3) m【解析】地毯的长度至少需要2222(1) m.【答案】C10(变式题)如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD8米，BC20米，CD与地面成30角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为()A9米 B28米 C(7)米 D(142)米【解析】作DEAB于E，
18、DFBC的延长线于F，在RtCDF中，DCF30，CD8米，DFCDsin304(米)，CFCDcos304(米)，DEBF(204)米，BEDF4(米)根据平行投影可知：.AEDE(102)米，ABADBE(142)米【答案】D11、在海滨城市附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的南偏东20方向200千米的海面处，并以20千米/时的速度向处的北偏西65的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/时速度不断扩张；（1）当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到千米， 当台风中心移动小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到千米；（2）
19、当台风中心移动到与城市距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？说明理由；【参考数据，】【参考答案】（1），；（2）这股台风不会侵袭这座海滨城市；12.如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比为，且米，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过53时，可确保山体不滑坡；（1）求改造前坡顶与地面的距离的长；（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成（如图所示），那么至少是多少米？（结果精确到1米）【参考数据：，】 【参考答案】（1）；（2）；如图，等边，点是射线上的一个动点。联结，作的垂直平分线交线段于点，交射线于点，分别联结。（1）当点在线段的延长线上时， 求的度数并求证 设，求关于的函数解析式，并写出它的定义域。（2）如果是等腰三角形，求的面积。 解：（1）是等边三角形，垂直平分， ，同理可得: ， 又， 又， ， ，（04）（2）点在线段的延长线上 由是等腰三角形，可得是等腰三角形， ，解得 过点作，垂足为，可得： 点在线段上是等腰三角形，且，是等边三角形， 由相似可得也是等边三角形点是线段的中点， 综上所述：的面积是或 18 / 18
