1、精锐教育1对3辅导讲义学员姓名： 学科教师：年 级： 辅导科目：授课日期梯形时 间主 题学习目标1掌握等腰梯形的性质定理、判定定理，并能应用这些定理进行计算和证明；2会添加适当的辅助线，将等腰梯形问题转化成三角形、平行四边形等熟知的几何图形来解决问题教学内容1、 上次课后巩固作业复习2、 互动探索观察下图，你能想到数学的哪一些知识呢？【知识梳理1】1在箭头上填上适当的条件一组对边平行，另一组对边不平行有一个角是直角两腰相等四边形梯形直角梯形等腰梯形2回顾等腰梯形的性质与判定，完成下表：边角对角线对称性等腰梯形两底平行两腰相等同底上的两底角相等对角线相等轴对称等腰梯形的判定方法边两腰相等的梯形角
2、同底上两底角相等的梯形对角线对角线相等的梯形3、梯形的定义和分类梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。（强调：梯形与平行四边形的区别和联系；上、下底的概念是由底的长短来定义的，而并不是就位置来说的。）1. 一些基本概念（如图）：底、腰、高。2. 等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。3. 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。4、梯形的性质梯形的上底和下底互相平行，两腰不平行。 等腰梯形的性质1. 等腰梯形同一底边上的两个角相等 2. 等腰梯形的两条对角线相等3. 等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴 等腰梯形的判定1. 有两腰相等的梯形是等腰梯形 2. 同
3、一底上两个角相等的梯形是等腰梯形 梯形的中位线 1. 定义：梯形两腰中点的连线 2. 定理：梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半 梯形的面积 梯形的面积=（上底+下底）高2=中位线高 梯形中常作的辅助线（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个三角形（图4）（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长，使其与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）。图1 图2 图3 图4 图5综上所述：解决梯形问题的基本思想和方
4、法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为平行四边形或三角形问题来解决。在学习时同学们应注意这些辅助线的作用，掌握这些辅助线的用法对学好梯形这一知识点很有帮助。添加辅助线口诀：梯形问题巧转换，变为和。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。通常情况下，通过作辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件来定。常见的几种辅助线的作法如下：作法图形平移腰，转化为三角形、平行四边形。平移对角线。转化为三角形、平行四边形。延长两腰，转化为三角形。作高，转化为直角三角形和矩形。中位线顶点
5、与一腰的中点连线。过一腰的中点作另一腰的平行线【例题精讲】例题1：已知：如图，AM是ABC的中线，D是线段AM的中点，AMAC，AEBC求证：四边形EBCA是等腰梯形证明：AEBC，AEDMCD，EADCMD ADMD，AEDMCD AECMBMCM，AEBM四边形AEBM是平行四边形 EBAM而AMAC，EBACAEBC，EB与AC不平行，四边形EBCA是梯形梯形EBCA是等腰梯形例题2：如图，在直角梯形COAB中，CBOA，以O为原点建立直角坐标系，A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，8），CB4，D为OA中点，动点P自A点出发沿ABCO的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为t秒
6、（1）求AB的长，并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值，并指出此时点P在哪条边上；（2）动点P在从A到B的移动过程中，设APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，并指出t的取值范围；（3）几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1:3的两部分？求出此时点P的坐标参考答案：（1）点B坐标为（4，8）， 由，得t11 ；此时点P在CB上 （2）证法一：作OFAB于F，BEOA于E，DHAB于H，则 BEOC8 , ，DH4 （0t10） （3）点P只能在AB或OC上，（）当点P在AB上时，设点P的坐标为（x，y）由； 得 ，得y由 ，得t7； 由 ，得.即在7秒时有点； （）当点P在OC上时
7、，设点P的坐标为（0，y）由； 得 ，得y此时t； 即在16秒时，有点. 故在7秒时有点、在16秒时，有点使PD将梯形COAB的面积分成1:3的两部分【试一试】例题2：（1）在梯形ABCD中，ADBC，其中AB4，CB8，AD2，则腰CD的取值范围是_参考答案：（平移一条腰，构造平行四边形和三角形）（2）如图，梯形ABCD中，ADBC，且BC90，E、F分别是两底的中点，联结EF，若AB8，CD6，则EF的长为 参考答案：EF5（平移两条腰，构造直角三角形）（3）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABCD，对角线ACBD交于点O，其中梯形高为cm，则梯形面积是_cm2参考答案：12（提示：
8、如果题中出现对角线互相垂直，那么一般都是通过平移对角线构造直角三角形）（4）如图，在梯形ABCD中，ADBC，E是CD的中点，且ABAE若AB5，AE6，则梯形上下底之和为 参考答案：13（构造X型全等）（5）如图，梯形ABCD中，ADBC，B45，C120，AB8，则CD的长是 参考答案：1已知：如图，RtABC中，ACB90，D、E分别是边AC、AB的中点，点F在BC延长线上，且BF3CF；求证：四边形DEBF是等腰梯形2如图，四边形ABCD是梯形，BDAC，且BDAC，若AB2，CD4，求梯形ABCD的面积。3在梯形ABCD中，ABCD，A90，AB2，BC3，CD1，E是AD中点求证：
9、CEBE 4如图，在梯形ABCD中，ADBC，B90，C45，AD1，BC4，E为AB中点，EFDC交BC于点F，求EF的长ADB5如图，在菱形ABCD中，ADC120，过点C作CEAC，交AB的延长线于点E （1）求证：四边形AECD是等腰梯形； （2）若AD4，求梯形AECD的面积 参考答案：1证明四边形ECFD为平行四边形，可得DFECBE即可； 2如图，过点B作BEAC交DC的延长线于点E，过点B作BFDC于点F，则ACBE，DEDC+CEDC+AB6。又BDAC且BDAC，BDE是等腰直角三角形。 BFDE3。梯形ABCD的面积为（AB+CD）BF9。3延长CE交BA的延长线于点GE
10、是AD中点，AEED，ABCD， CDEGAE，DCEAGE，CEDGEA，CEGE，AGDC，GBBC3， EBEC4过点D作DGBC于点G ADBC，B90，A90四边形ABGD为矩形 BGAD1，ABDG BC4，GC3 DGC90，C45，CDG45DGGC3AB3 又E为AB中点，EFDC，EFB45 在BEF中，B90EF5（1）证明：四边形ABCD是菱形 DCAB，即：DCAE，又AEABDC， 四边形AECD是梯形DAE180-ADC180-12060，四边形ABCD是菱形， CAEDAE30，又ACCE， E60， DAEE，四边形AECD是等腰梯形（2）解：过点D作DHAE
11、于H，在RtADH中，ADH30, 补充类试题：在直角梯形ABCD中，AB/DC，D90，ADCD4，B45，点E为直线DC上一点，联结AE，作EFAE交直线CB于点F。（1）如图，点E为线段DC上一点（与端点不重合），求证：DAECEF； 求证：AEEF；（2）联结AF，若AEF的面积为，求线段CE的长（直接写出结果，不需要过程）。 参考答案：（1）EFAE DEACEF90 D90 DEADAE90； DAECEF 在DA上截取DGDE，联结EG ， ADCD AGCED90 DGE45； AGE135ABDC，B45 ECF135； AGEECFDAECEF AGEECF AEEF （2
12、）求出CE3或5 1如图，在梯形ABCD中，ADBC，ADAB，过点A作AEDB交CB的延长线于点E，且C2E，求证：梯形ABCD是等腰梯形。2如图，在四边形ABCD中，ADCD，AC平分DAB，ACBC，B60求证：四边形ABCD是等腰梯形； 3如图，等腰梯形ABCD的面积为144，ADBC，ABDC，且AC BD求等腰梯形ABCD的高4如图，在等腰梯形中，已知，于，求梯形的周长5如图，直角梯形ABCD中，A90，AD/BC，ABBC1cm，其中ACDC，则梯形的周长是_cm6在梯形ABCD中，ADBC，B40，C100，AD7，BC12，则CD_7.如图，在梯形中，平分，交的延长线于点，求
13、证：；8.如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABAC，AB=AC，BD=BC，求DBC的大小ABCD参考答案： 1ADBC， ADBCBDABAD， ADBABDABDCBD，即ABC2CBDAEDB， ECBDC2E， ABCC在梯形ABCD中，ABDC梯形ABCD是等腰梯形；2ADCD，DACDCA AC平分DAB， DACCABDACCAB， DCAB 在RtACB中，ACB90，B60CBA30， DAC30， DAB60B， ADBC B+DAB120180AD与BC不平行， 四边形ABCD是梯形四边形ABCD是等腰梯形 312； 4； 5； 65 7.证明：DEAC， BCA=E CA平分BCD，BCD=2BCA，BCD=2E，又B=2E，B=BCD梯形ABCD是等腰梯形，即AB=DC8.分别过A、D两点向BC做垂线交BC于E、F，再根据等腰直角三角形的性质和30度的直角三角形的性质可得出结果。1三角形中位线定理： ；2梯形中位线定理： 。练习：1已知梯形的中位线长为9cm，上底长5cm，那么下底的长是 cm；2梯形的中位线长为20cm，高为4cm，则其面积为 cm；3若梯形的中位线被它的两条对角线三等分，则梯形的上底a与下底b(ab)的比是（）A、 B、 C、 D、4ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE4，AD3，AE2，则ABC的周长为_ 13 / 13
