1、2019-2020学年辽宁省丹东市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）直线xy0的倾斜角为（）A0B60C90D1202（5分）已知复数z满足（2+i）z1i，则z的共轭复数（）AiB+iCiD+i3（5分）空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（2，1，6），C（3，2，1），D（4，3，0），则直线AB与CD的位置关系是（）A平行B垂直C异面D相交但不垂直4（5分）已知F1，F2分别为双曲线C：1的左右焦点，M是C上的一点，若|MF1|7，则|MF2|（）A13B1或13C15D1或155（5分
2、）一个正四棱锥的侧面是正三角形，斜高为，那么这个四棱锥体积为（）ABCD6（5分）过点P（2，0）作圆x2+y2+4xy30的切线，切点为Q，则|PQ|（）A2BC3D67（5分）已知正四面体OABC，M，N分别是OA，BC的中点，则MN与OB所成角为（）A30B45C60D908（5分）已知点A（0，1），而且F1是椭圆+1的左焦点，点P是该椭圆上任意一点，则|PF1|+|PA|的最小值为（）A6B6C6+D6+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9（5分）圆x2+y24x10（）A
3、关于点（2，0）对称B关于直线y0对称C关于直线x+3y20对称D关于直线xy+20对称10（5分）正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AB，则（）AAC1与底面ABC的成角的正弦值为BAC1与底面ABC的成角的正弦值为CAC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为DAC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为11（5分）已知抛物线y22px（p0）上一点M到其准线及对称轴的距离分别为10和6，则p的值可取（）A1B2C9D1812（5分）如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A直线BM，EN是相交直线B直线EN与直线AB所成角等于90C
4、直线EC与直线AB所成角等于直线EC与直线AD所成角D直线BM与平面ABCD所成角小于直线EN平面ABCD所成角三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）若复数，则|z| 14（5分）若双曲线的一条渐近线方程为2xy0，则双曲线的离心率为 15（5分）已知曲线C的为1，若C是椭圆，则m的取值范围为 ，若C是双曲线，则m的取值范围为 16（5分）设A，B，C，D是半径为4的球O表面上的四点，ABC是面积为9的等边三角形，当三棱锥DABC体积最大时，球心O到平面ABC的距离为 ，此时三棱锥DABC的体积为 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17
5、（10分）已知直线l经过点P（4，1）（1）若l与直线x+2y70平行，求l的方程；（2）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程18（12分）已知圆C过点A（6，0）和B（1，5），且圆心在直线2x7y+80上（1）求AB的垂直平分线的方程；（2）求圆C的方程19（12分）如图，在直棱柱ABCA1B1C1中，ACBCCC1，ACBC，D，E分别是棱AB，AC上的点，且BC平面A1DE（1）证明：DEB1C1；（2）若D为AB中点，求直线A1D与直线AC1所成角的余弦值20（12分）设直线l：xy10与抛物线y24x交于A，B两点，O为坐标原点（1）求的值；（2）求OAB的面积21（12分）如图
6、，已知ABCD是直角梯形，DABABC90，SA垂直于平面ABCD，SAABBC2，AD1（1）求直线SC与平面SAD所成角的正弦值；（2）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的正切值22（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+1交于A，B两点，若线段AB的中点为M（1，m）（m0）（1）证明：k；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且+0证明：|，|，|成等差数列2019-2020学年辽宁省丹东市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）直线xy0的倾斜角为（）A0B60C90D1
7、20【分析】由题意利用直线的方程先求出斜率，再根据倾斜角和斜率的定义，求出直线的倾斜角【解答】解：直线xy0的斜率为，故它的倾斜角的正切值为，结合倾斜角的范围可得，它的倾斜角为60，故选：B【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，属于基础题2（5分）已知复数z满足（2+i）z1i，则z的共轭复数（）AiB+iCiD+i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由（2+i）z1i，得z，故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3（5分）空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（2，1，6），C（3，2，1），D（4，3，0），则直线AB与CD的
8、位置关系是（）A平行B垂直C异面D相交但不垂直【分析】利用向量的运算和共线定理即可得出【解答】解：（2，1，6）（1，2，3）（3，3，3），（4，3，0）（3，2，1）（1，1，1），点A不在直线AB上ABCD故选：A【点评】本题考查了向量的运算和共线定理，属于基础题4（5分）已知F1，F2分别为双曲线C：1的左右焦点，M是C上的一点，若|MF1|7，则|MF2|（）A13B1或13C15D1或15【分析】判断M的位置，利用双曲线的定义，转化求解即可【解答】解：F1，F2分别为双曲线C：1的左右焦点，可得a3，b4，c5，M是C上的一点，且|MF1|7a+c8，M在双曲线的左支上，则|MF2
9、|MF1|2a6，解得|MF2|13故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义，考查计算能力5（5分）一个正四棱锥的侧面是正三角形，斜高为，那么这个四棱锥体积为（）ABCD【分析】设ABa，则SE，解得a2，由此能求出这个四棱锥体积【解答】解：一个正四棱锥的侧面是正三角形，斜高为，正四棱锥SABCD中，侧面SBC的斜高SE，设ABa，则SE，解得a2，过SO平面ABCD，垂足为O，连结OE，则OE1，SO，这个四棱锥体积为：V故选：B【点评】本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题6（5分）过点P（2，0）作圆x
10、2+y2+4xy30的切线，切点为Q，则|PQ|（）A2BC3D6【分析】根据题意，分析圆的圆心的坐标以及半径，进而由切线长公式计算可得答案【解答】解：根据题意，设圆x2+y2+4xy30的圆心为M，则圆x2+y2+4xy30即（x+2）2+（y）2，其圆心M（2，），半径r，又由P（2，0），则|PM|，则|PQ|3；故选：C【点评】本题考查圆的切线方程，涉及切线长的计算，属于基础题7（5分）已知正四面体OABC，M，N分别是OA，BC的中点，则MN与OB所成角为（）A30B45C60D90【分析】设正四面体OABC棱长为2，取OC中点P，由NPOB，得MNP是MN与OB所成角（或所成角的补
11、角），由此利用余弦定理能求出MN与OB所成角【解答】解：设正四面体OABC棱长为2，取OC中点P，正四面体OABC，M，N分别是OA，BC的中点，MPAC，MP1，MPAC1，ANON，MN，NPOB，MNP是MN与OB所成角（或所成角的补角），cosMNPMNP45MN与OB所成角为45故选：B【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、线面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8（5分）已知点A（0，1），而且F1是椭圆+1的左焦点，点P是该椭圆上任意一点，则|PF1|+|PA|的最小值为（）A6B6C6+D6+【分析】|PF1|+|PF2|2a6，|PF1|6|
12、PF2|，所以，|PF1|+|PA|6|PF2|+|PA|6+（|PA|PF2|），由此结合图象能求出|PF1|+|PA|的最小值【解答】解：由椭圆+1，得a29，b25，则F1（2，0），又A（0，1），如图，设F2是椭圆的右焦点，|PF1|+|PF2|2a6，|PF1|6|PF2|，|PF1|+|PA|6|PF2|+|PA|6+（|PA|PF2|），|PA|PF2|的最小值为|AF2|，此时，|PF1|+|PA|也得到最小值，其值为6故选：A【点评】本题考查椭圆的性质和应用，解题时要注意数形结合法的合理运用，是中档题二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中
13、，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9（5分）圆x2+y24x10（）A关于点（2，0）对称B关于直线y0对称C关于直线x+3y20对称D关于直线xy+20对称【分析】把圆的一般方程华为标准方程，可得结论【解答】解：圆x2+y24x10，即圆（x2）2+y25，它的圆心为（2，0），半径等于，故圆关于点（2，0）对称，且关于经过（2，0）的直线对称，故选：ABC【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题10（5分）正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AB，则（）AAC1与底面ABC的成角的正弦值为BAC1与底面ABC的成角的正弦值为CAC1与侧面
14、AA1B1B的成角的正弦值为DAC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为【分析】分别取A1C1，AC的中点E，F，并连接EF，B1E，则可分别以EB1，EC1，EF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，然后求出各点的坐标，进而求出直线的方向向量以及平面的法向量，再代入公式即可判断结论【解答】解：如图，取A1C1中点E，AC中点F，并连接EF，则EB1，EC1，EF三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系；设AB2；则AA12；A1（0，1，0），C1（0，1，0），A（0，1，2），C（0，1，2）；B1（，0，0），（0，2，2）底面ABC的其中
15、一个法向量为：（0，0，2），AC1与底面ABC的成角的正弦值为|cos，|；A错B对A1B1的中点K的坐标为（，0）；侧面AA1B1B的其中一个法向量为：（，0）；AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为：|cos，|；故C对D错；故选：BC【点评】本题主要考查线面角的求法，以及用向量法求直线与平面所成角的方法，考查运算能力，属于中档题11（5分）已知抛物线y22px（p0）上一点M到其准线及对称轴的距离分别为10和6，则p的值可取（）A1B2C9D18【分析】由抛物线y22px（p0）可得准线l的方程为：x设点M（x1，y1）可得2px1由于点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，可得x1
16、+10，y16联立解得即可【解答】解：由抛物线y22px（p0）可得准线l的方程为：x设点M（x1，y1）2px1点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，x1+10，y16，2px1，解得x11，p18，或x19，p2，即p的值分别为18，2故选：BD【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，属于基础题12（5分）如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A直线BM，EN是相交直线B直线EN与直线AB所成角等于90C直线EC与直线AB所成角等于直线EC与直线AD所成角D直线BM与平面ABCD所成角小于直线EN平面ABCD所成角【分析
17、】由空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判断四个选项得答案【解答】解：点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，BM平面BDE，EN平面BDE，BM是BDE中DE边上的中线，EN是BDE中BD边上的中线，直线BM，EN是相交直线，故A正确；取CD中点G，连接NG，可知NGCD，则ENCD，又ABCD，ENAB，即直线EN与直线AB所成角等于90，故B正确；由题意，ECD60为直线EC与直线AB所成角，由AD平面ECD，可知直线EC与直线AD所成角为90，故C错误；过M作MHCD于H，连接BH，则MBH为直线BM与平面ABCD所成角，ENG为直线
18、EN平面ABCD所成角由图可知，直线BM与平面ABCD所成角小于直线EN平面ABCD所成角，故D正确故选：ABD【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）若复数，则|z|1【分析】先对所给的复数分子、分母同乘以1i，进行化简后再求出它的模【解答】解：i，|z|1，故答案为：1【点评】题考查两个复数代数形式的乘除法，以及复数的模求法，两个复数相除时，分子和分母同时除以分母的共轭复数进行化简14（5分）若双曲线的一条渐近线方程为2xy0，则双曲线的离心率为【分析】利用双曲线1（
19、a0，b0）的一条渐近线方程为2xy0，可得b2a，ca，即可求出双曲线的离心率【解答】解：双曲线1（a0，b0）的一条渐近线方程为2xy0，b2a，ca，双曲线的离心率是e故答案为：【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质解题的关键是熟练掌握双曲线方程中的a，b和c基本关系15（5分）已知曲线C的为1，若C是椭圆，则m的取值范围为（6，+），若C是双曲线，则m的取值范围为（2，6）【分析】利用椭圆的定义以及双曲线的定义，转化求解即可【解答】解：已知曲线C的为1，若C是椭圆，+1，可得：，解得m6；则m的取值范围为（6，+）；若C是双曲线，可得：或，可得m（2，6），则m的取值范围为（2，6）故
20、答案为：（6，+）；（2，6）【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题16（5分）设A，B，C，D是半径为4的球O表面上的四点，ABC是面积为9的等边三角形，当三棱锥DABC体积最大时，球心O到平面ABC的距离为2，此时三棱锥DABC的体积为18【分析】推导出AB6，设ABC所在小圆的圆心为O，半径2，当三棱锥DABC体积最大时，球心O在OD上，从而球心O到平面ABC的距离为OO2，能求出三棱锥DABC的体积【解答】解：设A，B，C，D是半径为4的球O表面上的四点，ABC是面积为9的等边三角形，AB6，设ABC所在小圆的圆心为O，半径2，当三棱锥DABC体积最大
21、时，球心O在OD上，球心O到平面ABC的距离为OO2DO4+26三棱锥DABC的体积为：18故答案为：2，18【点评】本题考查球心到平面的距离、三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）已知直线l经过点P（4，1）（1）若l与直线x+2y70平行，求l的方程；（2）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程【分析】（1）由题意利用两条直线平行的性质，设l的方程为x+2y+m0，根据它经过点P，用待定系数法求出m的值，可得直线l的方程（2）由题意利用两条直线垂直
22、的性质，设l的方程为x+yn，根据它经过点P，用待定系数法求出n的值，可得直线l的方程【解答】解：（1）直线l经过点P（4，1），设l与直线x+2y70平行时，l的方程为x+2y+m0，把点P代入可得4+2+m0，m6，l的方程为 x+2y60（2）l在两坐标轴上的截距相等，设它的方程为 x+yn，把点P（4，1）代入可得 4+1n，求得n5，故l的方程为 x+y5，即 x+y50【点评】本题主要考查两条直线平行、垂直的性质，用待定系数法求直线的方程，属于基础题18（12分）已知圆C过点A（6，0）和B（1，5），且圆心在直线2x7y+80上（1）求AB的垂直平分线的方程；（2）求圆C的方程【
23、分析】（1）先求出AB的中点坐标和斜率，从而求出它的中垂线方程（2）先求出圆心坐标，再求出半径，从而得到圆的标准方程【解答】解：（1）圆C过点A（6，0）和B（1，5），AB的中点为M（，），AB的斜率为1故AB的垂直平分线的斜率为1，故它的方程为 y1（x），即 xy10（2）圆C过点A（6，0）和B（1，5），圆心C在AB的中垂线上又已知圆心在直线 上，由求得，C（3，2），半径CA，故要求的圆C的方程为 （x3）2+（y2）213【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，求圆的标准方程的方法，属于中档题19（12分）如图，在直棱柱ABCA1B1C1中，ACBCCC1，
24、ACBC，D，E分别是棱AB，AC上的点，且BC平面A1DE（1）证明：DEB1C1；（2）若D为AB中点，求直线A1D与直线AC1所成角的余弦值【分析】（1）由BC平面A1DE根据线面平行的性质定理可得BCDE，即可证明结论（2）建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设ACBCCC12利用cos，即可得出【解答】（1）证明：BC平面A1DE平面ABC平面A1DEDEBCDE，又BCB1C1，DEB1C1（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设ACBCCC12则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，1，0），C1（0，0，2），A1（2，0，2），（1，1，2），（2
25、，0，2），2+0+42，|，|2，cos，直线A1D与直线AC1所成角的余弦值为【点评】本题考查了线面平行的性质定理、向量解集公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（12分）设直线l：xy10与抛物线y24x交于A，B两点，O为坐标原点（1）求的值；（2）求OAB的面积【分析】（1）联立方程求出A，B的坐标，即可求出结论；（2）根据A，B的坐标，计算|AB|，原点到直线AB的距离，可求OAB的面积；【解答】解：直线l：xy10与抛物线y24x交于A，B两点，O为坐标原点；解得A（3+2，2+2），B（32，22），（3+2，2+2），（32，22），3；（2）|AB|
26、8，因为原点到直线AB的距离为d，所以SAOBd|AB|2【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题21（12分）如图，已知ABCD是直角梯形，DABABC90，SA垂直于平面ABCD，SAABBC2，AD1（1）求直线SC与平面SAD所成角的正弦值；（2）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的正切值【分析】（1）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，过A作AS的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线SC与平面SAD所成角的正弦值（2）求出平面SAB的法向量和平面SCD的法向量，由此能求出平面SAB与平面SCD所成锐二面角的正切值【解答】解
27、：（1）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，过A作AS的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则S（0，0，2），C（2，2，0），A（0，0，0），D（1，0，0），（2，2，2），（0，0，2），（1，0，2），平面SAD的法向量（0，1，0），设直线SC与平面SAD所成角为，则sin直线SC与平面SAD所成角的正弦值为（2）平面SAB的法向量（0，0，1），设平面SCD的法向量（x，y，z），则，取z1，则（2，1，1），设平面SAB与平面SCD所成锐二面角的平面角为，则sin，cos，平面SAB与平面SCD所成锐二面角的正切值tan【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考
28、查满足线面角的点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+1交于A，B两点，若线段AB的中点为M（1，m）（m0）（1）证明：k；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且+0证明：|，|，|成等差数列【分析】（1）点差法即可求出结果；（2）利用已知条件先求出点P的横坐标，代入椭圆方程求出点P的坐标，从而求出点M的坐标，得到直线方程，与椭圆方程联立，表达出，再结合椭圆离心率的定义，即可求证：|，|，|成等差数列【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），两式相减得：，又x1+x22y1+y22m，k；（2）+，即，F为C的右焦点，F（1，0），（2x1x2，y1y2），由（1）可知：x1+x22，所以，即点P的横坐标为1，将点P的横坐标代入椭圆方程可得，P（1，）或P（1，），m0，即A，B在x轴上方，点P在x轴下方，即P（1，），m，故点M为（1，），联立方程，解得k1，b，直线方程为yx+，联立方程，消去y得：7x214x+0，即，设，由椭圆的离心率定义可得：e，：|，|，|成等差数列【点评】本题主要考查了点差法，直线与椭圆的位置关系，是中档题
