1、2019-2020学年辽宁省锦州市联合校高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题每小题5分，计60分）1（5分）设i为虚数单位，复数，则z的共轭复数是（）A32iB3+2iC32iD3+2i2（5分）若直线ax2y+a+20与3x+（a5）y+50平行，则a的值为（）A2B1或3C3D2或33（5分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M为A1C1的中点，若，则可表示为（）ABCD4（5分）十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A、B两市代表团）安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆
2、至少有一个代表团入住，若A、B两市代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为（）A6B12C16D185（5分）设抛物线C：y24x的焦点为F，过点（2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则（）A5B6C7D86（5分）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，AB4，BCCC12，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）ABCD7（5分）已知点A（3，0），B（0，3），若点P在圆x2+y22x0上运动，则PAB面积的最小值为（）A6B6C6+D68（5分）过椭圆的左焦点F1做x轴的垂线交椭圆于点P，F2为其右焦点，若F1F2P30，则椭圆的离心率为（）ABCD9（5分）直线
3、l：4x3y40与抛物线y24x和圆（x1）2+y21从左到右的交点依次是A，B，C，D，则的值为（）ABCD10（5分）已知双曲线C的焦点为F1（1，0），F2（1，0），过F1的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若|AF1|2|F1B|，|AB|BF2|，则C的方程为（）ABCD11（5分）若直线yx+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A，B，3C1，D，312（5分）已知F1，F2分别是椭圆（a0，b0）的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于D、E两点，|DF1|5|F1E|，且DF2x轴若点P是圆O：x2+y21上的一个动点，则|PF1|PF2|的取值范围是（）A3，5B2，5C2
4、，4D3，4三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.把答案填在答题纸中对应横线上.13（5分）已知（1，1，0），（1，0，2），且k+与2垂直，则k的值为 14（5分）设mR，m2+m2+（m21）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m 15（5分）由直线l：x+y+40上的任意一个点向圆C：（x+1）2+（y+1）21引切线，则切线长的最小值为 16（5分）已知双曲线1（a0）的一条渐近线方程为xy0，左焦点为F，点M在双曲线右支上、点N在圆x2+（y3）24上运动时，则|MN|+|MF|的最小值为 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应在答题纸对应区城内写出必要的文字说明、证明
5、过程或演算步骤.17（10分）求分别满足下列条件的直线l的方程（1）已知点P（2，1），l过点A（1，3），P到l距离为1（2）l过点P（2，1）且在x轴，y轴上截距的绝对值相等18（12分）已知圆C：（x2）2+（y3）24外的有一点P（4，1），过点P作直线l（1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；（2）当直线l的倾斜角为135时，求直线l被圆C所截得的弦长19（12分）已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABCD，DAB90，PA底面ABCD，且PAADDC，AB1，M是PB的中点（）证明：平面PAD平面PCD；（）求AC与PB所成的角余弦值；（）求平面AMC与平面BMC所成二面角
6、的余弦值20（12分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点（ I）求抛物线C的方程；（）若直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB过定点21（12分）已知椭圆的左、右焦点为别为F1、F2，且过点和（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，点A为椭圆上一位于x轴上方的动点，AF2的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C，求ABC面积的最大值，并写出取到最大值时直线BC的方程22（12分）已知动点M在椭圆上，过点M作y轴的垂线，垂足为N，点P满足（1）求点P的轨迹方程E；（2）已知点A（0，2），若直线与P点轨迹交于G，H两点，证
7、明：论k取何值时，直线AG和AH的斜率之积均是定值，并求出该定值2019-2020学年辽宁省锦州市联合校高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共12小题每小题5分，计60分）1（5分）设i为虚数单位，复数，则z的共轭复数是（）A32iB3+2iC32iD3+2i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案【解答】解：，故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2（5分）若直线ax2y+a+20与3x+（a5）y+50平行，则a的值为（）A2B1或3C3D2或3【分析】根据题意，由直线平行的判断方法可得a（a5）23，解得
8、a2或3，验证直线是否平行即可得答案【解答】解：根据题意，因为直线ax2y+a+20与3x+（a5）y+50平行，所以a（a5）23，解得a2或3，当a3时，这两条直线重合，当a2时，两条直线平行，故a2；故选：A【点评】本题考查直线平行的判断，涉及直线的一般式方程，属于基础题3（5分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M为A1C1的中点，若，则可表示为（）ABCD【分析】利用空间向量的线性运算法则与向量相等的定义，用、和表示出即可【解答】解：取AC的中点N，连接BN、MN，如图所示；M为A1C1的中点，（+）（+）+（+）+故选：A【点评】本题考查了空间向量的线性运算与向量相等的应用问题，
9、是基础题4（5分）十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A、B两市代表团）安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A、B两市代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为（）A6B12C16D18【分析】由排列组合及简单的计数问题得：不同的安排种数为+12，得解【解答】解：当a，b，c三家宾馆入住人数为3，1，1，则不同的安排种数为6，当a，b，c三家宾馆入住人数为2，2，1，则不同的安排种数为3，当a，b，c三家宾馆入住人数为2，1，2，则不同的安排种数为3，即不同的安
10、排种数为+12，故选：B【点评】本题考查了排列组合及简单的计数问题，属简单题5（5分）设抛物线C：y24x的焦点为F，过点（2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则（）A5B6C7D8【分析】求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出M、N的坐标，然后求解向量的数量积即可【解答】解：抛物线C：y24x的焦点为F（1，0），过点（2，0）且斜率为的直线为：3y2x+4，联立直线与抛物线C：y24x，消去x可得：y26y+80，解得y12，y24，不妨M（1，2），N（4，4），则（0，2）（3，4）8故选：D【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力6（5分）已知直三
11、棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，AB4，BCCC12，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）ABCD【分析】根据题意，可以点B为原点，直线BC，BA，BB1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，从而可得出B，C1，A，B1的坐标，进而得出向量的坐标，从而可得出的值，从而得出异面直线AB1与BC1所成角的余弦值【解答】解：如图，以点B为原点，直线BC，BA，BB1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），C1（2，0，2），A（0，4，0），B1（0，0，2），异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为故选：C【点评】本题考查了通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标
12、求异面直线所成角的问题的方法，向量数量积的坐标运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题7（5分）已知点A（3，0），B（0，3），若点P在圆x2+y22x0上运动，则PAB面积的最小值为（）A6B6C6+D6【分析】由已知条件推导出圆心G（1，0），且圆的半径r1，AB的方程为xy+30，点G（1，0）到AB的距离d2，|AB|3，由此能求出PAB面积的最小值【解答】解：由圆的方程x2+y22x0，得：（x1）2+y21，圆的圆心G（1，0），且圆的半径r1，由A（3，0）、B（0，3），得，AB的方程为：yx+3，即：xy+30，点G（1，0）到AB的距离d21，AB与给定的圆相
13、离，圆上到AB的距离的最小值tdr21，又|AB|3，（SABP）min6故选：D【点评】本题考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要注意直线方程、点到直线的距离公式的合理运用8（5分）过椭圆的左焦点F1做x轴的垂线交椭圆于点P，F2为其右焦点，若F1F2P30，则椭圆的离心率为（）ABCD【分析】PF1F2是直角三角形，根据正弦定理求出即可【解答】解：显然PF1F2是直角三角形，根据正弦定理，故选：D【点评】这里用了离心率和正弦定理，基础题9（5分）直线l：4x3y40与抛物线y24x和圆（x1）2+y21从左到右的交点依次是A，B，C，D，则的值为（）ABCD【分析】方法一：根据圆
14、及抛物线的方程可得直线l过抛物线的焦点，将直线方程代入抛物线方程，求得A和D点坐标，根据抛物线的焦点弦公式即可求得|AB|和|CD|，即可求得答案；方法二：由方法一，利用抛物线的焦点弦公式，直接求得|AB|和|CD|，求得答案【解答】解：方法一：圆（x1）2+y21的圆心为（1，0），抛物线y24x的焦点为F（1，0）直线l：4x3y40过圆心及抛物线的焦点（1，0），设A（x1，y1），D（x2，y2），且x2x1，因为，有4x217x+40，解得x1，x24，所以|AB|AF|1x1+11，|CD|DF|1x2+114，所以故，方法二：由方法一可知，直线l：4x3y40过圆心及抛物线的焦点
15、（1，0），直线l的倾斜角为，tan，由抛物线的焦半径公式可知|AF|，|DF|5，所以|AB|AF|1，CD|DF|14，所以故，故选：A【点评】本题考查抛物线焦点弦的性质，直线与抛物线的位置关系，牢记抛物线的几何性质对做一些选择及填空题可以起到事半功倍的效果，考查转化思想，属于中档题10（5分）已知双曲线C的焦点为F1（1，0），F2（1，0），过F1的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若|AF1|2|F1B|，|AB|BF2|，则C的方程为（）ABCD【分析】根据双曲线的定义以及余弦定理列方程可解得a，再由隐含条件求得b，则双曲线的方程可求【解答】解：如图：|AF1|2|F1B|，|A
16、B|BF2|，且|BF2|BF1|2a，|AF2|AF1|2a，设|BF1|n，则|AF1|2n，|BF2|3n，可得na，|BF1|a，|AF1|2a，|BF2|3a，|AF2|4a，解得a2，b2c2a2双曲线C的方程为：故选：B【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题11（5分）若直线yx+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A，B，3C1，D，3【分析】本题要借助图形来求参数b的取值范围，曲线方程可化简为（x2）2+（y3）24（1y3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，画出图形即可得出参数b的范围【解答】解：曲线方程可化简为（x2）
17、2+（y3）24（1y3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图依据数形结合，当直线yx+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线yx+b距离等于2，即解得或，因为是下半圆故可知（舍），故当直线过（0，3）时，解得b3，故，故选：D【点评】考查方程转化为标准形式的能力，及借助图形解决问题的能力本题是线与圆的位置关系中求参数的一类常见题型12（5分）已知F1，F2分别是椭圆（a0，b0）的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于D、E两点，|DF1|5|F1E|，且DF2x轴若点P是圆O：x2+y21上的一个动点，则|PF1|PF2|的取值范围是（）A3，5B2，5C2，4D3，4【分析】根据
18、题意及比例求得D和E点坐标，代入椭圆方程，求得a和b与c的值，求得焦点坐标，设圆的参数方程，利用两点之间的距离公式及三角函数的最值即可求得|PF1|PF2|的取值范围【解答】解：由题意可知D（c，），E（，），将D，E代入椭圆方程，解得a28，b24，所以椭圆方程，所以椭圆的焦点F1（2，0），F2（2，0），由P在圆x2+y21上，设P（cos，sin），所以|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|的取值范围3，5，故选：A【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，圆的参数方程，两点之间的距离公式，三角函数的最值，考查转化思想，属于中档题三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.把答案填
19、在答题纸中对应横线上.13（5分）已知（1，1，0），（1，0，2），且k+与2垂直，则k的值为【分析】根据所给的两个向量的坐标，写出k+与2的坐标，根据两个向量垂直，写出两个向量的数量积等于0，解出关于k的方程，得到结果【解答】解：（1，1，0），（1，0，2），k+k（1，1，0）+（1，0，2）（k1，k，2）22（1，1，0）（1，0，2）（3，2，2），k+与2垂直，3（k1）+2k40，k，故答案为：【点评】本题考查两个向量垂直的充要条件，考查利用方程思想解决向量问题，这种题目的运算量不大，若出现是一个送分题目14（5分）设mR，m2+m2+（m21）i是纯虚数，其中i是虚数单位，
20、则m2【分析】根据纯虚数的定义可得m210，m210，由此解得实数m的值【解答】解：复数z（m2+m2）+（m1）i为纯虚数，m2+m20，m210，解得m2，故答案为：2【点评】本题主要考查复数的基本概念，得到 m2+m20，m210，是解题的关键，属于基础题15（5分）由直线l：x+y+40上的任意一个点向圆C：（x+1）2+（y+1）21引切线，则切线长的最小值为1【分析】根据题意，设P为直线l的任意一点，过点P向圆C：（x+1）2+（y+1）21引切线，T为切点，由切线长公式可得|PT|，分析可得当PC的长度最小时，切线长|PT|最小，进而计算可得答案【解答】解：根据题意，设P为直线l
21、的任意一点，过点P向圆C：（x+1）2+（y+1）21引切线，T为切点，圆C：（x+1）2+（y+1）21，圆心C为（1，1），半径r1；则|PT|，当PC的长度最小时，切线长|PT|最小，而|PC|的最小值为圆心C到直线l的距离，则|PC|mind，则|PT|min1；故答案为：1【点评】本题考查圆的切线方程，涉及切线长的计算，属于基础题16（5分）已知双曲线1（a0）的一条渐近线方程为xy0，左焦点为F，点M在双曲线右支上、点N在圆x2+（y3）24上运动时，则|MN|+|MF|的最小值为7【分析】求得双曲线的a，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接CF
22、，交双曲线于M，圆于N，计算可得所求最小值【解答】解：由题意双曲线1（a0）的一条渐近线方程为xy0，可得b2，则a2，可得双曲线1焦点为F（4，0），F，（4，0），由双曲线的定义可得|MF|2a+|MF|4+|MF|，由圆x2+（y3）24可得圆心C（0，3），半径r2，|MN|+|MF|4+|MN|+|MF|，连接CF，交双曲线于M，圆于N，可得|MN|+|MF|取得最小值，且为|CF|5，则则|MN|+|MF|的最小值为4+527故答案为：7【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题四、解答题：本大题共6小
23、题，共70分.解答应在答题纸对应区城内写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）求分别满足下列条件的直线l的方程（1）已知点P（2，1），l过点A（1，3），P到l距离为1（2）l过点P（2，1）且在x轴，y轴上截距的绝对值相等【分析】（1）由题意，分类讨论，利用点到直线的距离公式，求出直线的方程（2）由题意，分类讨论，利用待定系数法，求出直线的方程【解答】解：（1）当l斜率不存在时，l的方程为 x1，满足条件当l斜率存在时，设l：y3k（x1），即kxy+3k0，由，得，即l：3x+4y150综上l：x1，或3x+4y150（2）当直线过原点时，直线的斜率为0，直线的方程为x2y
24、0当直线截距相等时，设为，代入（2，1），则a3，即：x+y30当直线截距互为相反数时，设为代入（2，1），则a1，即：xy10综上，要求的直线方程为 x2y0，或 x+y30，或x+y10【点评】本题主要考查点到直线的距离公式应用，用待定系数法求直线的方程，属于基础题18（12分）已知圆C：（x2）2+（y3）24外的有一点P（4，1），过点P作直线l（1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；（2）当直线l的倾斜角为135时，求直线l被圆C所截得的弦长【分析】（1）当斜率不存在时，直线l的方程为x4；当斜率存在时，设直线l的方程为kxyk10，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得k，则直
25、线方程可求；（2）由直线的倾斜角求得斜率，得到直线方程，利用点到直线的距离公式求出弦心距，再由垂径定理求得直线l被圆C所截得的弦长【解答】解：（1）当斜率不存在时，直线l的方程为x4；当斜率存在时，设直线l的方程为kxyk10，则，解得，l的方程为3x+4y80，综上，直线l的方程为x4或3x+4y80；（2）当直线l的倾斜角为135时，直线l的方程为x+y30，圆心到直线l的距离，所求弦长为【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题19（12分）已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABCD，DAB90，PA底面ABCD，且PAADDC，AB1，M是PB
26、的中点（）证明：平面PAD平面PCD；（）求AC与PB所成的角余弦值；（）求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值【分析】以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，）（）证明DC面PAD即可得面PAD面PCD（）由，得cos（）求出平面AMC、平面BMC的法向量分别为，求出cos即可得平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值【解答】因为PAPD，PAAB，ADAB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C
27、（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，）（）证明：因，故，APDC由题设知ADDC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC面PAD又DC在面PCD上，故面PAD面PCD（）解：因，cos（）设平面AMC、平面BMC的法向量分别为，由，取；，由，取cos平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值为【点评】本题考查了空间位置关系，及利用空间向量求空间角的基本方法，属于中档题20（12分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点（ I）求抛物线C的方程；（）若直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB过定
28、点【分析】（I）利用抛物线的焦点坐标，求出p，然后求抛物线C的方程；（）通过直线的斜率是否存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可【解答】解：（）因为抛物线y22px（p0）的焦点坐标为（1，0），所以1，所以p2所以抛物线C的方程为y24x（4分）（）证明：当直线AB的斜率不存在时，设 A（，t），B（，t），因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，化简得t232所以A（8，t），B（8，t），此时直线AB的方程为x8（7分）当直线AB的斜率存在时，设其方程为ykx+b，A（xA，yA），B（xB，yB），联立得化简得ky24y+4b0（8分）根据根与系
29、数的关系得yAyB，因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，即xAxB+2yAyB0即+2yAyB0，解得yAyB0（舍去）或yAyB32所以yAyB32，即b8k，所以ykx8k，即yk（x8）综上所述，直线AB过x轴上一定点（8，0）（12分）【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，设而不求方法的应用21（12分）已知椭圆的左、右焦点为别为F1、F2，且过点和（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，点A为椭圆上一位于x轴上方的动点，AF2的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C，求ABC面积的最大值，并写出取到最大值时直线BC的方程
30、【分析】（1）将两点代入椭圆方程，求出a，b，然后求解椭圆的标准方程（2）设AF2的方程为xty+1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离求解三角形的面积结合基本不等式求解最值，然后求解BC的方程即可【解答】解：（1）将两点代入椭圆方程，有解得，所以椭圆的标准方程为（2）因为A在x轴上方，可知AF2斜率不为0，故可以设AF2的方程为xty+1，得，所以，设原点到直线AF2的距离为d，则，所以SABC2SOAB，ABC面积的最大值为在t0时取到等号成立，此时AB的方程为：x1，可得，A（1，），B（1，），C（1，），此时BC的方程为：y，【点评】本题考查直线与椭圆的位置
31、关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题22（12分）已知动点M在椭圆上，过点M作y轴的垂线，垂足为N，点P满足（1）求点P的轨迹方程E；（2）已知点A（0，2），若直线与P点轨迹交于G，H两点，证明：论k取何值时，直线AG和AH的斜率之积均是定值，并求出该定值【分析】（1）设P点坐标（x，y），得到点M坐标为，将点坐标带入椭圆方程，即可推出点P的轨迹方程（2）证明：设G（x1，y1），H（x2，y2），x10，x20，求出直线的斜率，然后转化求解即可【解答】解：（1）设P点坐标（x，y）则有点M坐标为，因为M在椭圆上，所以将点坐标带入椭圆，可得所以点P的轨迹方程为x2+y24（2）证明：设G（x1，y1），H（x2，y2），x10，x20，于是，直线，代入圆的方程可得：（1+k2）x2+0，所以x1+x2，x1x2，y1y2（kx1+）（kx2+），kAGkAH，于是有代入kAGkAH中可得，kAGkAH【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题
