1、2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二（上）期中数学试卷（理科）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）i是虚数单位，复数（）A2+iB2iC2+iD2i2（5分）f（x0）0是函数f（x）在点x0处取极值的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3（5分）有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D非以上错误4（5分）已知曲线ycosx，其中x0，则该曲线与坐标轴围成的面积等于（）A1B2CD3
2、5（5分）如果z是3+4i的共轭复数，则z对应的向量的模是（）A1BCD56（5分）若函数ya（x3x）的递减区间为（，），则a的取值范围是（）A（0，+）B（1，0）C（1，+）D（0，1）7（5分）定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中A，B可能是下列（）的运算的结果AB*D，A*DBB*D，A*CCB*C，A*DDC*D，A*D8（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）内有极小值点（）A1个B2个C3个D4个9（5分）给出下列四个命题：（1）任一两个复数都不
3、能比较大小；（2）z为实数z为实数（3）虚轴上的点都表示纯虚数；（4）复数集与复平面内的向量所成的集合是一一对应的其中正确命题的个数是（）A1B2C3D410（5分）已知函数f（x）x42x3+3m，xR，若f（x）+90恒成立，则实数m的取值范围是（）AmBmCmDm11（5分）用数学归纳法证明：+1（nN*，n2），由nk到nk+1，不等式左端变化的是（）A增加一项B增加和两项C增加和两项，同时减少一项D增加一项，同时减少一项12（5分）已知函数f（x）x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）Ax0R，f（x0）0B函数yf（x）的图象是中心对称图形C若x0是f（x）的极小值点，则f
4、（x）在区间（，x0）单调递减D若x0是f（x）的极值点，则f（x0）0二、填空题（共4道题，每题5分共20分，把正确答案填在答题纸的横线上）13（5分）设复数z满足i（z+1）3+2i（i为虚数单位），则z等于 14（5分）已知函数f（x）x3+ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是 15（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）0，0（x0），则不等式x2f（x）0的解集是 16（5分）一同学在电脑中打出如下图形（表示空心圆，表示实心圆）若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006个圆中有实心圆的个数为 三、解答题（共6道题，第17题10分，其余每题12
5、分，共70分，解答题须写出演算步骤.）17（10分）已知复数z（m23m）+（m2m6）i，则当实数m为何值时，复数z是：实数； z4+6i； 对应的点在第三象限18（12分）已知函数f（x）ax3+bx2+cx（a0），当x1时f（x）取得极值5，且f（1）11求f（x）的单调区间和极小值19（12分）已知曲线yx3+x2在点P0处的切线l1平行直线4xy10，且点P0在第三象限，（1）求P0的坐标；（2）若直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程20（12分）已知x1是函数f（x）mx33（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，nR，m0（）求m与n的关系表达式；（）求f（x）的
6、单调区间；（）当x1，1时，函数yf（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围21（12分）求由抛物线yx2+4x3与它在点A（0，3）和点B（3，0）的切线所围成的区域面积22（12分）已知函数f（x）exln（x+m）（）设x0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（）当m2时，证明f（x）02019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）i是虚数单位，复数（）A2+iB2iC2+iD2i【分析】由题意，可对此代
7、数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项【解答】解：故选：B【点评】本题考查复合代数形式的乘除运算，属于复数中的基本题型，计算题，解题的关键熟练掌握分母实数化的化简规则2（5分）f（x0）0是函数f（x）在点x0处取极值的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】f（x0）0推不出函数f（x）在点x0处取极值，反之函数f（x）在点x0处取极值，必有f（x0）0【解答】解：f（x0）0推不出函数f（x）在点x0处取极值，反之函数f（x）在点x0处取极值，必有f（x0）0f（x0）0是函数f（x）在点x0处取极值的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查了利
8、用导数研究函数的极值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3（5分）有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D非以上错误【分析】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“有些”，不难得到结论【解答】解：大前提的形式：“有些有理数是真分数”，不是全称命题，不符合三段论推理形式，推理形式错误，故选：C【点评】演绎推理的主要形式就是由大前提、小
9、前提推出结论的三段论推理三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论4（5分）已知曲线ycosx，其中x0，则该曲线与坐标轴围成的面积等于（）A1B2CD3【分析】根据图形的对称
10、性，可得曲线ycosx，x0，与坐标轴围成的面积等于曲线ycosx，x0，与坐标轴围成的面积的3倍，故可得结论【解答】解：根据图形的对称性，可得曲线ycosx，x0，与坐标轴围成的面积S3cosxdx3sinx3故选：D【点评】本题考查定积分在求面积中的应用，解题的关键是利用余弦函数的对称性，属于基础题5（5分）如果z是3+4i的共轭复数，则z对应的向量的模是（）A1BCD5【分析】由题意求得z，进一步得到向量的坐标，代入向量模的公式计算【解答】解：由题意，z34i，z对应的向量的坐标为（3，4），其模为故选：D【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查向量模的求法，是基础题6（5分）
11、若函数ya（x3x）的递减区间为（，），则a的取值范围是（）A（0，+）B（1，0）C（1，+）D（0，1）【分析】对函数求导可得，由函数的递减区间为（，）可得0的范围为为（，），从而可求【解答】解：对函数求导可得，由函数的递减区间为（，）可得0的范围为为（，）所以a0故选：A【点评】本题主要考查了函数的单调性与函数的导数关系的应用，属于基础知识的简单运用，属于基础试题7（5分）定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中A，B可能是下列（）的运算的结果AB*D，A*DBB*D，A*CCB*C，A*DDC*D，A*D【分析】根据已知图象与运
12、算的关系，进行必要的分析归纳，找出规律，猜想未知的图象与运算的关系【解答】解：通过观察可知：A表示“”，B表示“”，C表示“|”，D表示“”，图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是B*D，A*C，故选：B【点评】本题考查的是归纳推理的应用，方法是根据已知图象与运算的关系，进行必要的分析归纳，找出规律，猜想未知的图象与运算的关系，属于中档题归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）8（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）内有极小值点（）A1
13、个B2个C3个D4个【分析】直接利用极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，再结合图象即可求得结论【解答】解；因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，由图得：导函数值先负后正的点只有一个故函数f（x）在区间（a，b）内极小值点的个数是1故选：A【点评】本题的易错点在于把原点包含在内，原点处虽然导函数值为0，但在原点两侧，导函数值同号，所以原点不是极值点9（5分）给出下列四个命题：（1）任一两个复数都不能比较大小；（2）z为实数z为实数（3）虚轴上的点都表示纯虚数；（4）复数集与复平面内的向量所成的集合是一一对应的其中正确命题的个数是（）A1B2C3D
14、4【分析】利用复数的定义，复数的运算法则，复数的几何意义判断命题的真假即可【解答】解：（1）任一两个复数都不能比较大小；因为两个复数都是实数时，可以比较大小所以（1）不正确；（2）z为实数z为实数，反例zi，i，z1，所以（2）不正确；（3）虚轴上的点都表示纯虚数；坐标原点是实数，所以（3）不正确；（4）复数集与复平面内的向量所成的集合是一一对应的正确所以正确命题的个数是：1个故选：A【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，复数的运算、几何意义等，是基本知识的考查10（5分）已知函数f（x）x42x3+3m，xR，若f（x）+90恒成立，则实数m的取值范围是（）AmBmCmDm【分析】要找m的
15、取值使f（x）+90恒成立，思路是求出f（x）并令其等于零找出函数的驻点，得到函数f（x）的最小值，使最小值大于等于9即可求出m的取值范围【解答】解：因为函数f（x）x42x3+3m，所以f（x）2x36x2令f（x）0得x0或x3，可知x3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f（3）3m不等式f（x）+90恒成立，即f（x）9恒成立，所以3m9，解得m故选：A【点评】考查学生找函数恒成立问题时的条件的能力11（5分）用数学归纳法证明：+1（nN*，n2），由nk到nk+1，不等式左端变化的是（）A增加一项B增加和两项C增加和两项，同时减少一项D增加一项，同时减少一项【分析】当nk时，写出
16、左端，并当nk+1时，写出左端，两者比较，关键是最后一项和增加的第一项的关系【解答】解：当nk时，左端+，那么当nk+1时 左端+，故第二步由k到k+1时不等式左端的变化是增加了增加和两项，同时减少一项，故选：C【点评】本题考查数学归纳法证明，其中关键一步就是从k到k+1，是学习中的难点，也是学习中重点，解答过程中关键是注意最后一项与增添的第一项，是中档题12（5分）已知函数f（x）x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）Ax0R，f（x0）0B函数yf（x）的图象是中心对称图形C若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（，x0）单调递减D若x0是f（x）的极值点，则f（x0）0【分
17、析】利用导数的运算法则得出f（x），分0与0讨论，列出表格，即可得出【解答】解：f（x）3x2+2ax+b（1）当4a212b0时，f（x）0有两解，不妨设为x1x2，列表如下 x（，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+）f（x）+00+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（，x2）不具有单调性，故C不正确+f（x）+x3+ax2+bx+c+2c，+f（x），点P为对称中心，故B正确由表格可知x1，x2分别为极值点，则，故D正确x时，f（x）；x+，f（x）+，函数f（x）必然穿过x轴，即xR，f（x）0，故A正确（2）当0
18、时，故f（x）在R上单调递增，此时不存在极值点，故D正确，C不正确；B同（1）中正确；x时，f（x）；x+，f（x）+，函数f（x）必然穿过x轴，即x0R，f（x0）0，故A正确综上可知：错误的结论是C由于该题选择错误的，故选：C【点评】熟练掌握导数的运算法则、中心得出的定义、单调性与极值的关系等基础知识与方法，考查了分类讨论的思想方法等基本方法二、填空题（共4道题，每题5分共20分，把正确答案填在答题纸的横线上）13（5分）设复数z满足i（z+1）3+2i（i为虚数单位），则z等于1+3i【分析】根据复数相等的条件，即可得到结论【解答】解：设za+bi，则由i（z+1）3+2i得i（a+bi
19、+1）3+2i（a+1）ib，即，解得a1，b3，故z1+3i，故答案为：1+3i【点评】本题主要考查复数的求解，根据复数相等的条件，建立条件关系是解决本题的关键14（5分）已知函数f（x）x3+ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是a0【分析】题目中条件：“在R上有两个极值点”，利用导数的意义即导函数有两个零点从而转化为二次函数f（x）0的根的问题，利用根的判别式大于零解决即可【解答】解：由题意，f（x）3x2+a，f（x）ax3+x恰有有两个极值点，方程f（x）0必有两个不等根，0，即012a0，a0故答案为：a0【点评】本题主要考查函数的导数、极值等基础知识，三次函数的单调性可借助
20、于导函数（二次函数）来分析15（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）0，0（x0），则不等式x2f（x）0的解集是（1，0）（1，+）【分析】先根据0判断函数的单调性，进而分别看x1和0x1时f（x）与0的关系，再根据函数的奇偶性判断1x0和x1时f（x）与0的关系，最后取x的并集即可得到答案【解答】解：0，即x0时是增函数，当x1时，f（1）0，f（x）00x1时，f（1）0，f（x）0，又f（x）是奇函数，所以1x0时，f（x）f（x）0，x1时f（x）f（x）0，则不等式x2f（x）0即f（x）0的解集是（1，0）（1，+），故答案为：（1，0）（1，+）【点评】本题主要
21、考查了函数单调性与奇偶性的应用在判断函数的单调性时，常可利用导函数来判断16（5分）一同学在电脑中打出如下图形（表示空心圆，表示实心圆）若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006个圆中有实心圆的个数为61【分析】由图形的排序规律可知每一段的圆的个数成等差数列，结合等差数列的前n项和公式，即可确定实心圆的个数【解答】解：将这些圆分段处理，第一段2个圆，第二段3个圆，第三段4个圆，可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题要求前2006个圆中实心圆的个数，因此找到第2006个圆所在的段数很重要，因为2+3+4+5+6219522006，而2+3+4+5+6320152006
22、，因此，共有61个实心圆，故答案为：61【点评】考察了归纳推理，是基础题归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）三、解答题（共6道题，第17题10分，其余每题12分，共70分，解答题须写出演算步骤.）17（10分）已知复数z（m23m）+（m2m6）i，则当实数m为何值时，复数z是：实数； z4+6i； 对应的点在第三象限【分析】复数是实数，就是复数的虚部为0求出a的值； z4+6i，求出m的值，即可得到复数z； 对应的点在第三象限就是实部和虚部都是小于0，求出m的范围即可【解答】解：z（m23m）+（m2m6）
23、i令m2m60m3或m2，即m3或m2时，z为 实数；所以z4+6i若z所对应点在第三象限则【点评】本题是基础题，考查复数的基本概念，复数的分类，常考题型，送分题18（12分）已知函数f（x）ax3+bx2+cx（a0），当x1时f（x）取得极值5，且f（1）11求f（x）的单调区间和极小值【分析】f（x）是实数集上的可导函数，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f（x）0的根建立起相关等式，运用待定系数法确定a、b，c的值，进而得到极小值；【解答】解：函数f（x）ax3+bx2+cx（a0）的导数f（x）3ax2+2bx+c，当x1时f（x）取得极值5，则有f（1）5且f（1）0，即有a+
24、bc5 且3a2b+c0 ，又因为f（1）11，所以可得：a+b+c11由解得a1，b3c9即f（x）x33x29x，f（x）3x26x9，f（x）0得，x3或x1；f（x）0得，1x3所以函数f（x）的单调增区间为（，1）和（3，+）；单调减区间为（1，3）故函数f（x）在x3处取得极小值，f（x）极小值f（3）27【点评】本题考查了利用导数求极值和以及单调区间，属于基础题目，只是计算量稍微大点19（12分）已知曲线yx3+x2在点P0处的切线l1平行直线4xy10，且点P0在第三象限，（1）求P0的坐标；（2）若直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程【分析】（1）根据曲线方程求出导函
25、数，因为已知直线4xy10的斜率为4，根据切线与已知直线平行得到斜率相等都为4，所以令导函数等于4得到关于x的方程，求出方程的解，即为切点P0的横坐标，代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，又因为切点在第3象限，进而写出满足题意的切点的坐标；（2）由直线l1的斜率为4，根据两直线垂直时斜率的乘积为1，得到直线l的斜率为，又根据（1）中求得的切点坐标，写出直线l的方程即可【解答】解：（1）由yx3+x2，得y3x2+1，由已知得3x2+14，解之得x1当x1时，y0；当x1时，y4又点P0在第三象限，切点P0的坐标为（1，4）；（2）直线 ll1，l1的斜率为4，直线l的斜率为，l过切点P0，点P0
26、的坐标为（1，4）直线l的方程为y+4（x+1）即x+4y+170【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的方程，是一道中档题20（12分）已知x1是函数f（x）mx33（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，nR，m0（）求m与n的关系表达式；（）求f（x）的单调区间；（）当x1，1时，函数yf（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围【分析】（）求出f（x），因为x1是函数的极值点，所以得到f（1）0求出m与n的关系式；（）令f（x）0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；（）函数
27、图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f（x）3m代入得到不等式即3m（x1）x（1+）3m，又因为m0，分x1和x1，当x1时g（t）t，求出g（t）的最小值要使（x1）恒成立即要g（t）的最小值，解出不等式的解集求出m的范围【解答】解：（）f（x）3mx26（m+1）x+n因为x1是f（x）的一个极值点，所以f（1）0，即3m6（m+1）+n0所以n3m+6（）由（）知f（x）3mx26（m+1）x+3m+63m（x1）x（1+）当m0时，有11+，当x变化时f（x）与f（x）的变化如下表：x（，1+）1+（1+，1）1（1，+）f（x）00000f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减
28、由上表知，当m0时，f（x）在（，1+）单调递减，在（1+，1）单调递增，在（1，+）单调递减（）由已知，得f（x）3m，即3m（x1）x（1+）3m，m0（x1）x1（1+）1（*）x1时（*）式化为01怛成立m0x1时x1，1，2x10（*）式化为（x1）令tx1，则t2，0），记g（t）t，则g（t）在区间2，0）是单调增函数g（t）ming（2）2由（*）式恒成立，必有m，又m0m0综上知m0【点评】考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，利用导数研究函数极值和单调性的能力，以及掌握不等式恒成立的条件21（12分）求由抛物线yx2+4x3与它在点A（0，3）和点B（3，0）的切线所围
29、成的区域面积【分析】求出函数的切线方程，利用积分的几何意义即可求出区域的面积【解答】解：yx2+4x3，y2x+4，x0时，y4，x3时，y2，在点A（0，3）和点B（3，0）的切线方程分别为y4x3和y2x+6，两条切线的交点是（1.5，3），如图所示，区域被直线x1.5分成了两部分，所求面积为S+2.25【点评】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义求出切线方程，以及利用积分求区域面积是解决本题的关键22（12分）已知函数f（x）exln（x+m）（）设x0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（）当m2时，证明f（x）0【分析】（）求出原函数的导函数，因为x0是函数f（x
30、）的极值点，由极值点处的导数等于0求出m的值，代入函数解析式后再由导函数大于0和小于0求出原函数的单调区间；（）证明当m2时，f（x）0，转化为证明当m2时f（x）0求出当m2时函数的导函数，可知导函数在（2，+）上为增函数，并进一步得到导函数在（1，0）上有唯一零点x0，则当xx0时函数取得最小值，借助于x0是导函数的零点证出f（x0）0，从而结论得证【解答】（）解：，x0是f（x）的极值点，解得m1所以函数f（x）exln（x+1），其定义域为（1，+）设g（x）ex（x+1）1，则g（x）ex（x+1）+ex0，所以g（x）在（1，+）上为增函数，又g（0）0，所以当x0时，g（x）0，
31、即f（x）0；当1x0时，g（x）0，f（x）0所以f（x）在（1，0）上为减函数；在（0，+）上为增函数；（）证明：当m2，x（m，+）时，ln（x+m）ln（x+2），故只需证明当m2时f（x）0当m2时，函数在（2，+）上为增函数，且f（1）0，f（0）0故f（x）0在（2，+）上有唯一实数根x0，且x0（1，0）当x（2，x0）时，f（x）0，当x（x0，+）时，f（x）0，从而当xx0时，f（x）取得最小值由f（x0）0，得，ln（x0+2）x0故f（x）0综上，当m2时，f（x）0【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了不等式的证明，考查了函数与方程思想，分类讨论的数学思想，综合考查了学生分析问题和解决问题的能力熟练函数与导数的基础知识是解决该题的关键，是难题
