1、2017-2018学年山东省烟台市高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若复数z满足（12i）z2+i，则z的共轭复数是（）AiBiCiDi2（5分）分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的（）A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分又不必要条件3（5分）对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如表：x24568y2040607080若它们的回归直线方程为10.5x+，据此模型来预测当x11时，y的估计值为（）A116.5B117C117.5D1184（5分）已知f（n+1）（nN*
2、），f（1）1，猜想f（n）的表达式（）Af（n）Bf（n）Cf（n）Df（n）5（5分）按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为（）Ak16Bk8Ck16Dk86（5分）已知f（x）x22017xf（0）1，则f（2018）（）A20162018B20172018C20172019D201820197（5分）已知函数f（x）x33xm有两个零点，且有一个零点恰好为f（x）的极大值点，则实数m的值为（）A0B2C2D2或28（5分）下列说法正确的有（）个在刻画回归模型的拟合效果时，R2越大，说明拟合的效果越好在回归分析中残差图的纵坐标为残差独立性检测中，等高条形图可以粗略地判断两
3、个分类变量是否相关在列联表中，与相差越大，两个分类变量之间的关系越强A1B2C3D49（5分）设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）0，且g（2）0，则不等式f（x）g（x）0的解集是（）A（2，0）（2，+）B（2，0）（0，2）C（，2）（0，2）D（，2）（2，+）10（5分）已知M+，N（a，b，c，d，p，q均为正数），则M，N的大小关系为（）AMNBMNCMND不确定11（5分）对于三次函数f（x）ax3+bx2+cx+d（a0），给出定义：设f（x）是函数f（x）的导数，f（x）是f（x）的导数，若方程f（x）0有实数解
4、x0，则称点（x0，f（x0）为函数f（x）的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也为该函数的对称中心，若f（x）x3x2+x+1，则f（0）+f（）+f（）+f（）+f（1）（）A1B2017C2018D201912（5分）已知f（x）为定义在（0，+）上的可导函数，且f（x）xf（x），则满足不等式f（x）x2f（）的x的取值范围是（）A（0，1B（0，1）C（，2D（，2）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）若复数z为纯虚数，则实数x的值为 14（5分）函数f（x）在原点处的切线方程为 15（5分）已知函数f（x）lnx+ax
5、22x存在单调递减区间，则实数a的取值范围为 16（5分）已知一元二次方程根与系数的关系：设x1，x2是方程ax2+bx+c0的两根，则x1+x2b，若x1，x2，x3是一元三次方程x3+bx2+cx+d0的根类比一元二次方程根和系数的关系得到x1+x2+x3 三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）在复平面内，O是坐标原点，向量对应的复数是m2+m12+（m28m+15）i（1）当实数m取什么值时，点M在虚轴上；（2）当实数m取什么值时，点M位于第四象限18（12分）已知0xy1，求证：（1）xy+1x+y；（2）19（12分）已知函数f（x）ex（x2+ax+1），aR（e为自然对
6、数的底数）（）若xe是f（x）的极值点，求实数a的值；（）求f（x）的单调递增区间20（12分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查，得到如下22列联表，平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖常喝不常喝合计肥胖2不肥胖18合计30已知在这30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为（1）请将上面的列联表补充完整（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由参考数据：P（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82
7、8参考公式：K2，其中na+b+c+d21（12分）某种农产品的年产量x（单位：吨）及对应销售价格y（单位：千元/吨）具有较强的线性相关关系，如表给出了几组数据：x99.51010.511y1110865（1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）若每吨该农产品的成本为1.6千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润Z最大？（线性回归方程系数公式，22（12分）已知函数f（x）x2（a+1）x+（2a2）lnx（aR）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数g（x）（3x）ex23ln2，当a时，求证：f（x）g（x）2017-2018学年山东
8、省烟台市高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若复数z满足（12i）z2+i，则z的共轭复数是（）AiBiCiDi【分析】先求出z的值，再求出其共轭复数即可【解答】解：（12i）z2+i，zi，z的共轭复数为：i，故选：D【点评】本题考查求复数的共轭复数，注意解题方法的积累，属于基础题2（5分）分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的（）A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分又不必要条件【分析】本题考查的分析法和综合法的定义，根据定义分析法是从从求证的结论出发，“由果
9、索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”我们易得答案【解答】解：分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条件；分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的充分条件故选：A【点评】分析法通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法，也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后
10、达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”3（5分）对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如表：x24568y2040607080若它们的回归直线方程为10.5x+，据此模型来预测当x11时，y的估计值为（）A116.5B117C117.5D118【分析】由题意求出，根据回归直线方程的性质求出，然后求解即可；【解答】解：由题意求出5，54回归直线方程必过（ ，）回归方程10.5x+，5410.55+，可得：1.5，当x11时，10.511+1.5117，故选：B【点评】本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题4（5分）已知f（n+1
11、）（nN*），f（1）1，猜想f（n）的表达式（）Af（n）Bf（n）Cf（n）Df（n）【分析】根据题意，f（1）1，依次求出f（2）、f（3）、f（4），进而可以发现规律，得到答案【解答】解：根据题意，f（1）1，f（2），f（3），f（4），可以归纳f（n）为分数，且其分子为2不变，分母为n+1；即f（n），故选：B【点评】本题考查归纳推理，关键在求出f（2）、f（3）、f（4）值后，分析其值的变化规律，得到答案也可以利用数列的递推关系式求解5（5分）按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为（）Ak16Bk8Ck16Dk8【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图
12、所示的顺序，可知：该程序的作用是累加k值到S并输出S【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：S k 是否继续循环循环前 0 1/第一圈 1 2 是第二圈 3 4 是第三圈 7 8 是第四圈 15 16 否故退出循环的条件应为k16故选：A【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误6（5分）已知f（x）x22017xf（0）1，则f（2018）（）A20162018B20172018C20
13、172019D20182019【分析】先求导，再求出f（0）0，再代值计算即可【解答】解：f（x）x22017xf（0）1，f（x）2x2017f（0），f（0）02017f（0），f（0）0，f（x）x21，f（2018）20172019，故选：C【点评】本题考查了导数的运算，属于基础题7（5分）已知函数f（x）x33xm有两个零点，且有一个零点恰好为f（x）的极大值点，则实数m的值为（）A0B2C2D2或2【分析】利用导数求出函数的极大值和极小值，要使函数f（x）x33xm只有2个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0根据有一个零点恰为f（x）的极大值点，解方程即可【解答】解：f（x）x3
14、3xm，f（x）3x23，由f（x）0，得x1或x1，此时函数单调递增，由f（x）0，得1x1，此时函数单调递减即当x1时，函数f（x）取得极大值，当x1时，函数f（x）取得极小值要使函数f（x）x33xm只有两个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0，有一个零点恰为f（x）的极大值点，必有f（1）1+3mm+20，解得m2；故选：B【点评】本题主要考查三次函数的图象和性质，利用导数求出函数的极值是解决本题的关键，属于中档题8（5分）下列说法正确的有（）个在刻画回归模型的拟合效果时，R2越大，说明拟合的效果越好在回归分析中残差图的纵坐标为残差独立性检测中，等高条形图可以粗略地判断两个分类变量是
15、否相关在列联表中，与相差越大，两个分类变量之间的关系越强A1B2C3D4【分析】根据概率与统计的有关知识，对题目中的命题分析、判断正误即可【解答】解：对于，在刻画回归模型的拟合效果时，R2越大，说明拟合的效果越好，正确；对于，在回归分析中残差图是以残差为纵坐标，以任何指定变量为横坐标的散点图，正确；对于，独立性检测中，由等高条形图可以粗略地判断两个分类变量是否相关，正确；对于，由k2，分类变量X和Y有关系时，ad与bc差距会比较大，由|，所以与相差越大，两个分类变量之间的关系越强，正确综上，正确的命题序号是共4个故选：D【点评】本题利用命题真假的判断问题，考查了有关统计知识的简单应用问题，是综
16、合题9（5分）设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）0，且g（2）0，则不等式f（x）g（x）0的解集是（）A（2，0）（2，+）B（2，0）（0，2）C（，2）（0，2）D（，2）（2，+）【分析】令F（x）f（x）g（x），由于f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，可得F（x）是R上的奇函数由于当x0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）0，可得F（x）0，函数F（x）在x0时单调递减，由于g（2）0，可得F（2）0，得到F（x）0的解集为x2利用奇函数的单调性，当x0时，F（x）0的解集为x2【解答】解：令F（x）
17、f（x）g（x），f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f（x）f（x），g（x）g（x）F（x）f（x）g（x）f（x）g（x）F（x），F（x）是R上的奇函数当x0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）0，F（x）f（x）g（x）+f（x）g（x）0，函数F（x）在x0时单调递减，g（2）0，F（2）0，F（x）0的解集为x2利用奇函数的单调性，当x0时，F（x）0的解集为x2综上可得：f（x）g（x）0的解集为（2，0）（2，+）故选：A【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题10（5分）已知M+，N（a，b，c，
18、d，p，q均为正数），则M，N的大小关系为（）AMNBMNCMND不确定【分析】将M、N分别平方并展开，然后利用基本不等式可得出M2和N2的大小关系，从而可得出M与N的大小关系【解答】解：，即M2N2，因此，MN，故选：B【点评】本题考察利用不等式的基本性质比大小，问题的关键在于基本不等式的灵活应用，属于中等题11（5分）对于三次函数f（x）ax3+bx2+cx+d（a0），给出定义：设f（x）是函数f（x）的导数，f（x）是f（x）的导数，若方程f（x）0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数f（x）的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也为该函数的对
19、称中心，若f（x）x3x2+x+1，则f（0）+f（）+f（）+f（）+f（1）（）A1B2017C2018D2019【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（，1）对称，即f（x）+f（1x）2，即可得到结论【解答】解：函数f（x）x3x2+x+1，函数的导数f（x）x2x+3，f（x）2x1，由f（x0）0得2x010，解得x0，而f（）1，故函数f（x）关于点（，1）对称，f（x）+f（1x）2，设f（0）+f（）+f（）+f（）+f（1）m，则f（1）+f（）+f（）+f（）+f（0）m，两式相加得220192m，则m2019故选：D【点评】本题主要考查导数的基本运算，利用条件
20、求出函数的对称中心是解决本题的关键求和的过程中使用了倒序相加法12（5分）已知f（x）为定义在（0，+）上的可导函数，且f（x）xf（x），则满足不等式f（x）x2f（）的x的取值范围是（）A（0，1B（0，1）C（，2D（，2）【分析】构造函数g（x），求函数的导数，利用函数的单调性即可求不等式【解答】解：设g（x），g（x），f（x）xf（x），g（x）0，在（0，+）恒成立，g（x）在（0，+）单调递减，f（x）x2f（），g（x）g（），x，解得0x1，故选：B【点评】本题考查了函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13（
21、5分）若复数z为纯虚数，则实数x的值为1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解【解答】解：z为纯虚数，即x1故答案为：1【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题14（5分）函数f（x）在原点处的切线方程为yx【分析】根据题意，求出函数的导数，计算可得f（0）的值，由导数的几何意义可得切线的斜率，结合直线的点斜式方程，计算可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x），则f（x），则f（0）1，又由切点为（0，0），则切线的方程为y0x0，即yx；故答案为：yx【点评】本题考查利用导数求出切线的方程，关键是掌握导数的几何意义15（5分）已知函
22、数f（x）lnx+ax22x存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（，1）【分析】利用导数进行理解，即f（x）0在（0，+）上有解可得ax2+2x10在正数范围内至少有一个解，结合根的判别式列式，不难得到a的取值范围【解答】解：对函数求导数，得f（x），（x0）依题意，得f（x）0在（0，+）上有解即ax22x+10在x0时有解显然a0时，不等式有解，a0时，只需a在x0有解，即只需a，令g（x），g（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减，g（x）最大值g（1）1，a1，综合得a1，故答案为：（，1）【点评】本题主要考查函数与导数，以及函数与方程思想，体现了导数值为一种研究函数的工具，能完成
23、单调性的判定和最值的求解方程，同时能结合常用数学思想，来考查同学们灵活运用知识解决问题的能力16（5分）已知一元二次方程根与系数的关系：设x1，x2是方程ax2+bx+c0的两根，则x1+x2b，若x1，x2，x3是一元三次方程x3+bx2+cx+d0的根类比一元二次方程根和系数的关系得到x1+x2+x3b【分析】利用二元一次方程ax2+bx+c0根与系数的关系，x1+x2b，则此时a1，x1x2，若x1，x2，x3是一元三次方程x3+bx2+cx+d0的根类比一元二次方程，则必有（xx1）（xx2）（xx3）0展开计算，合并同类项，与原一元三次方程对比系数，可以计算出x1+x2+x3b【解答
24、】解：x1，x2，x3是一元三次方程x3+bx2+cx+d0的根所以必有（xx1）（xx2）（xx3）0，展开计算合并同类项，得x3（x1+x2+x3）x2+（x1x2+x1x3+x2x3）x+x1x2x30，由x3+bx2+cx+dx3（x1+x2+x3）x2+（x1x2+x1x3+x2x3）x+x1x2x3，对比x2二次项的系数可得：（x1+x2+x3）b，故答案为：x1+x2+x3b【点评】考查类比推理及计算，转化思想的应用，考查数学分析思维能力，计算能力，属于基础题三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）在复平面内，O是坐标原点，向量对应的复数是m2+m12+（m28m+15）
25、i（1）当实数m取什么值时，点M在虚轴上；（2）当实数m取什么值时，点M位于第四象限【分析】（1）由点M在虚轴上，可得m2+m120，解得m（2）点M位于第四象限，可得：，解得m范围【解答】解：（1）点M在虚轴上，m2+m120，解得m4或3m4或3时，点M在虚轴上（2）点M位于第四象限，可得：，解得，解得3m53m5时，点M位于第四象限【点评】本题考查了复数的几何意义、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18（12分）已知0xy1，求证：（1）xy+1x+y；（2）【分析】（1）利用综合法，结合已知条件和不等式的性质，即可得证；（2）运用分析法，结合分子有理化和不等式的性
26、质，即可得证【解答】证明：（1）0xy1，可得1x0，1y0，（1x）（1y）0，即1xy+xy0，xy+1x+y；（2）要证，即证，即为，由0xy1，可得+，可得上式成立，则不等式成立【点评】本题考查不等式的证明，注意运用分析法和综合法，考查运算能力和推理能力，属于中档题19（12分）已知函数f（x）ex（x2+ax+1），aR（e为自然对数的底数）（）若xe是f（x）的极值点，求实数a的值；（）求f（x）的单调递增区间【分析】（）求出函数的导数，利用xe是f（x）的极值点，转化求解实数a的值即可；（）利用导函数为0，通过a与0的大小讨论，然后求f（x）的单调递增区间【解答】（本题15分）解
27、：（）函数f（x）ex（x2+ax+1），aR，f（x）exx2+（a+2）x+a+1ex（x+1）（x+a+1），由f（e）0，得ae1，此时xe是f（x）的极小值点（）由f（x）0，得x1或xa1当a0时，a11，f（x）的单调递增区间是（，+）；当a0时，a11，f（x）的单调递增区间是（，1），（a1，+）；当a0时，a11，f（x）的单调递增区间是（，a1），（1，+）【点评】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，考查计算能力20（12分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查，得到如下22列联表，平均每天喝500ml以上
28、为常喝，体重超过50kg为肥胖常喝不常喝合计肥胖2不肥胖18合计30已知在这30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为（1）请将上面的列联表补充完整（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由参考数据：P（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：K2，其中na+b+c+d【分析】（1）根据全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为，做出看营养说明的人数，这样用总人数减去看营养说明的人数，剩下的是不看的，根据所给的另外两个数字，填上所有数字（2）
29、根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，把观测值同临界值进行比较，得到有99.5%的把握说看营养说明与性别有关【解答】解：（1）设常喝碳酸饮料且肥胖的学生有x人，则，解得x6列联表如下：常喝不常喝合计肥胖628不肥胖41822合计102030（2）由已知数据可得K28.5237.879，【点评】本题考查画出列联表，考查独立性检验，在求观测值时，要注意数字的代入和运算不要出错21（12分）某种农产品的年产量x（单位：吨）及对应销售价格y（单位：千元/吨）具有较强的线性相关关系，如表给出了几组数据：x99.51010.511y1110865（1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性
30、回归方程；（2）若每吨该农产品的成本为1.6千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润Z最大？（线性回归方程系数公式，【分析】（1）根据表中数据计算、，求出回归系数，写出线性回归方程；（2）写出利润函数，利用二次函数的性质求出Z取最大值时x的值【解答】解：（1）根据表中数据，计算（9+9.5+10+10.5+11）10，（11+10+8+6+5）8，8（）10；y关于x的线性回归方程x+；（2）若每吨该农产品的成本为1.6千元，利润函数为Zx1.6xx（x+）1.6xx2+x，当x（）15.4时，Z取得最大值为72.97，即预测当年产量为15.4吨时，年利润Z最大【点评】本题
31、考查了线性回归方程与二次函数的性质应用问题，是基础题22（12分）已知函数f（x）x2（a+1）x+（2a2）lnx（aR）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数g（x）（3x）ex23ln2，当a时，求证：f（x）g（x）【分析】（1）先求导，需要分类讨论，分当a1时，当1a3时，当a3时，当a3时，根据导数和函数的单调性求出即可，（2）由（1）可得f（x）minf（2）2（ln21）a2ln2，再构造函数令h（a）2（ln21）a2ln2，求f（x）13ln2，对于g（x）再求导，根据导数和函数的最值的关系，求出最大值，问题得以证明【解答】解：（1）f（x）x2（a+1）x+（2a2
32、）lnx（aR），x0，f（x）x（a+1）+，当a10时，即a1时，令f（x）0，解得x2，当0x2时，f（x）0，函数f（x）单调递减，当x2时，f（x）0，函数f（x）单调递增，当0a12时，即1a3时，令f（x）0，解得x2，或xa1，当a1x2时，f（x）0，函数f（x）单调递减，当x2或0xa1时，f（x）0，函数f（x）单调递增，当a12时，即a3时，f（x）0恒成立，即函数f（x）单调递增，当a12时，即a3时，令f（x）0，解得x2，或xa1，当2xa1时，f（x）0，函数f（x）单调递减，当xa1或0x2时，f（x）0，函数f（x）单调递增，综上所述：当a1时，f（x）在（
33、0，2）上单调递减，在（2，+）单调递增，当1a3时，f（x）在（a1，2）上单调递减，在（0，a1），（2，+）单调递增，当a3时，函数f（x）在（0，+）单调递增，当a3时，f（x）在（2，a1）上单调递减，在（0，2），（a1，+）单调递增；证明：当a时，由（1）可得f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）单调递增，f（x）minf（2）22（a+1）+（2a2）ln2（2a2）ln22a2aln22ln22a2（ln21）a2ln2令h（a）2（ln21）a2ln2，易知函数h（a）在（，上为减函数，h（a）ln（）13ln2，h（x）13ln2，对于g（x）（3x）ex23ln2，g（x）（2x）ex2，当x2时，g（x）0，函数g（x）单调递增，当x2时，g（x）0，函数g（x）单调递减，g（x）g（2）13ln2，当a时，f（x）g（x）【点评】本题考查了导数和函数的单调性的关系，以及导数函数的最值的关系，以及不等式的证明，考查了运算能力和转化能力，
