1、2018-2019学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知实数a、b、c，且ab，则下列不等式正确的是（）Aa2b2BCa+1b1Dac2bc22（5分）抛物线x216y的准线方程为（）Ay4By8Cx4Dx83（5分）若命题p：a，bR，a2+b20，则p为（）Aa，bR，a2+b20Ba，bR，a2+b20Ca，bR，a2+b20Da，bR，a2+b204（5分）在ABC中，若sin2A+sin2Bsin2C，则ABC的形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定5（
2、5分）已知函数f（x）xex+x21，则f（0）为（）A1B0C2D16（5分）若实数x、y满足不等式组，则目标函数z3x2y的最小值为（）A2B1C8D137（5分）已知数列an的首项a11，且（n1），则a5的值为（）A1BC9D58（5分）若点M（x，y）满足，则点M的轨迹是（）A圆B椭圆C双曲线的一支D抛物线9（5分）已知实数x、y满足x0、y0，且，则x+2y的最小值为（）A2B4C6D810（5分）等比数列an中，公比q1，且a4+a84，则a6的取值范围为（）A（0，2B（0，2）C（2，0）（0，2）D2，211（5分）已知双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，若双曲线的一个
3、焦点坐标为，且圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程是（）ABCD12（5分）已知定义域为R的函数yf（x）关于x1对称，且（x1）f（x）0，若，bf（3），cf（4），则a、b、c的大小关系为（）AcbaBacbCabcDcab二、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上.13（5分）不等式的解集为 14（5分）设Sn是等差数列an前n项和，若a2+a1218，则S13 15（5分）已知F为抛物线y212x的焦点，O为原点，若点A在抛物线上，且|AF|6，则点A的坐标为 16（5分）函数f（x）2lnx+x25x的单调增区间是 三、解答题：解答应写出文字
4、说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知k1，命题p：1mk；表示焦点在y轴上的椭圆（1）若k3，且pq为真命题，求m的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求k的取值范围18（12分）已知锐角ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角C的大小；（2）若ABC的面积为，a5，求边c的大小19（12分）等差数列an的前n项和为Sn，a15，S60；数列bn中，b23，且满足bn+13bn0（nN*）（1）求an，bn的通项；（2）求数列an+bn+1的前n项和Tn20（12分）中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始
5、发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外利用其一侧原有墙体，建造一间12平方米的背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于地理位置的限制，屋子的左右两侧新建墙体长度x不得超过a米屋子的正面新建墙体造价每平方米为400元，侧面新建墙体造价每平方米为150元，屋顶和地面的造价共计5800元如果墙高为3米，且不计屋子背面的费用，那么当侧面的长度为多少时，总造价最低？21（12分）已知函数（xR），其中a0（1）若a1，求曲线yf（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（2）若，求函数f（x）的最小值22（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为2（1）求椭圆的方程；（2）若不过原点的直线l与椭圆交
6、于P，Q两点（P，Q不是椭圆顶点），且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列证明：直线l的斜率为定值2018-2019学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知实数a、b、c，且ab，则下列不等式正确的是（）Aa2b2BCa+1b1Dac2bc2【分析】令c0、a1、b1，可得A、B、D都不正确，只有C正确，从而得出结论【解答】解：若a1，b1，则A，B错误，若c0，则D错误，ab，a+1abb1，a+1b1，故C正确，故选：C【点评】本题主要考查不等式与不等关系，在限定
7、条件下，比较几个式子的大小，可用特殊值代入法，属于基础题2（5分）抛物线x216y的准线方程为（）Ay4By8Cx4Dx8【分析】根据题意，由抛物线的准线方程分析可得抛物线的开口方向以及p的值，由抛物线的准线方程分析可得答案【解答】解：由已知2p16，所以p8，所以准线方程为y4，故选：A【点评】本题考查抛物线的标准方程，涉及其准线方程的求法，注意分析抛物线的开口方向3（5分）若命题p：a，bR，a2+b20，则p为（）Aa，bR，a2+b20Ba，bR，a2+b20Ca，bR，a2+b20Da，bR，a2+b20【分析】根据存在性命题的否定形式，写出p即可【解答】解：命题p：a，bR，a2+
8、b20，则p为：a，bR，a2+b20故选：B【点评】本题考查了特称命题的否定是全称命题的应用问题，是基础题4（5分）在ABC中，若sin2A+sin2Bsin2C，则ABC的形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定【分析】由sin2A+sin2Bsin2C，结合正弦定理可得，a2+b2c2，由余弦定理可得CosC可判断C的取值范围【解答】解：sin2A+sin2Bsin2C，由正弦定理可得，a2+b2c2由余弦定理可得cosCABC是钝角三角形故选：C【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础试题5（5分）已知函数f（x）xex+x
9、21，则f（0）为（）A1B0C2D1【分析】根据题意，求出函数的导数，将x0代入计算可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）xex+x21，其导数f（x）ex+xex+2x，则f（0）e0+0e0+01+01；故选：A【点评】本题考查函数导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题6（5分）若实数x、y满足不等式组，则目标函数z3x2y的最小值为（）A2B1C8D13【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过数形结合即可的得到结论【解答】A 解：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示：由解得A（0，1），由z3x2y得，平移直线，经过A（0，1）时，最大，此时z最小
10、，z最小2故选：A【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键7（5分）已知数列an的首项a11，且（n1），则a5的值为（）A1BC9D5【分析】利用数列的递推关系式，推出数列的通项公式，然后求解即可【解答】解：将等式两端取倒数，即，是以1为首项、2为公差的等差数列，将n5代入可得故选：B【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力8（5分）若点M（x，y）满足，则点M的轨迹是（）A圆B椭圆C双曲线的一支D抛物线【分析】，表示点M（x，y）与定点（4，0），（4，0）的距离的差为4，利用双曲线的定义，即可得到结论【解答】解：由双曲
11、线定义可知解：，表示点M（x，y）与定点（3，0），（3，0）的距离的差为4，46，点M（x，y）的轨迹是以（3，0）为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，故选：C【点评】本题考查双曲线的轨迹方程，解题的关键是掌握双曲线的定义，属于基础题9（5分）已知实数x、y满足x0、y0，且，则x+2y的最小值为（）A2B4C6D8【分析】直接利用关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果【解答】解：x0，y0，且，当且仅当时等号成立故选：D【点评】本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型10（5分）等比数列an中，公比q1，且a4+a84，则a6
12、的取值范围为（）A（0，2B（0，2）C（2，0）（0，2）D2，2【分析】根据a4+a64即可得出a4，a6，a8都为正数，并且an为等比数列，从而得出，这样即可得出a6的取值范围【解答】解：由已知得a4，a6，a8同为正数；，当且仅当a4a82时取等号，（此时q1）；0a62；a6的取值范围为（0，2故选：A【点评】考查等比数列的定义，等比中项公式，以及基本不等式的应用11（5分）已知双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，若双曲线的一个焦点坐标为，且圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程是（）ABCD【分析】由题意可知焦点在y轴上，焦点到渐近线的距离为1，即b1，求出a，b的关系，结合焦
13、点为F（0，），求出a，b的值，即可得到双曲线的方程【解答】解：双曲线的一个焦点坐标为，则c由题意可知焦点在y轴上，焦点到渐近线的距离为1，即b1，2，则双曲线的方程是，故选：B【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出a，b的值，是解题的关键12（5分）已知定义域为R的函数yf（x）关于x1对称，且（x1）f（x）0，若，bf（3），cf（4），则a、b、c的大小关系为（）AcbaBacbCabcDcab【分析】根据题意，由（x1）f（x）0分析可得当x1时f（x）0，x1时f（x）0，结合函数的导数与函数单调性的关系可得f（x）在（，1）上单调递
14、增，在（1，+）上单调递减，结合函数的对称性可得f（）f（），据此分析可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）满足（x1）f（x）0，则当x1时f（x）0，x1时f（x）0，则f（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，又f（x）关于x1对称，则f（）f（），则有，即cba；故选：A【点评】本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及函数图象的对称性，属于综合题二、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上.13（5分）不等式的解集为（，1【分析】原式等价于（x1）（2+3x）0且，再解一元二次不等式，求得它的解集【解答】解：原式等价于（x1）（2+3x
15、）0且，求得，故答案为：（，1【点评】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题14（5分）设Sn是等差数列an前n项和，若a2+a1218，则S13117【分析】直接利用等差数列的性质和前n项和公式求出结果【解答】解：由等差数列an的性质可得a1+a13a2+a1218则故答案为：117【点评】本题考查的知识要点：等差数列的性质的应用，等差数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型15（5分）已知F为抛物线y212x的焦点，O为原点，若点A在抛物线上，且|AF|6，则点A的坐标为（3，6）或（3，6）【分析】利用抛物线的定义，转化求解A的坐标即可【
16、解答】解：|AF|6，由抛物线的定义得A到准线的距离为6，即A点的横坐标为3，又点A在抛物线上，y236，y6，点A的坐标为（3，6）或（3，6）故答案为：（3，6）或（3，6）【点评】本题考查抛物线的简单性质，抛物线的定义的应用，是基本知识的考查16（5分）函数f（x）2lnx+x25x的单调增区间是（0，）和（2，+）【分析】通过导函数的符号，确定不等式的解集即可得到结果【解答】解：由函数f（x）2lnx+x25x的单调增区间，可得，得：或x2，又x0，则函数的单调增区间为和（2，+）故答案为：和（2，+）【点评】本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力三、解答题：解答应写出文字
17、说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知k1，命题p：1mk；表示焦点在y轴上的椭圆（1）若k3，且pq为真命题，求m的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求k的取值范围【分析】（1）当q为真时，0m2，又pq为真命题，从而p真且q真由，求解即可得m的取值范围；（2）由p是q的充分不必要条件，可得集合m|1mk是集合m|0m2的真子集，从而可求出k的取值范围【解答】解：（1）当q为真时，0m2，又pq为真命题，从而p真且q真由，得1m2m的取值范围为（1，2）；（2）p是q的充分不必要条件集合m|1mk是集合m|0m2的真子集，1k2【点评】本题考查了椭圆的性质，考查了充分必要条件的判
18、定，是基础题18（12分）已知锐角ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角C的大小；（2）若ABC的面积为，a5，求边c的大小【分析】（1）直接利用正弦定理求出C的值（2）利用三角形的面积公式求出b的值，进一步利用余弦定理的应用求出结果【解答】解：（1），又角C为锐角，（2），b8，由余弦定理得c2a2+b22abcosC49c7【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型19（12分）等差数列an的前n项和为Sn，a15，S60；数列bn中，b23，且满足bn+13bn0（nN*）（1）求an，bn的通
19、项；（2）求数列an+bn+1的前n项和Tn【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由通项公式和求和公式，解方程即可得到所求通项公式；（2）由数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式，化简计算可得所求和【解答】解：（1）an成公差为d的等差数列，S66a1+15d30+15d0，d2，ana1+（n1）d5+2（n1）2n7，又bn+13bn0，即，bn为公比q3的等比数列，33n23n1；（2）等差数列an的前n项和，等比数列bn的前n项和为，数列an+bn+1的前n项和Tn【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查方
20、程思想和运算能力，属于中档题20（12分）中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外利用其一侧原有墙体，建造一间12平方米的背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于地理位置的限制，屋子的左右两侧新建墙体长度x不得超过a米屋子的正面新建墙体造价每平方米为400元，侧面新建墙体造价每平方米为150元，屋顶和地面的造价共计5800元如果墙高为3米，且不计屋子背面的费用，那么当侧面的长度为多少时，总造价最低？【分析】设总造价为y元，列出y900（x+）+5 800（0xa） 利用基本不等式通过a4，a4
21、，求解函数的最值即可【解答】解：设总造价为y元，则y3（2x150+400）+5 800900（x+）+5 800（0xa） （4分）900（x+）+5 8009002+5 80013 000当且仅当x，即x4时，等号成立 （6分）若a4，则当x4时，y有最小值，为13 000； （8分）若a4，因为函数y900（x+）+5 800在（0，a上是减函数，所以xa时，y有最小值，为900（a+）+5 800（10分）综上所述，若a4，当x4时，最低的总造价为13 000元；若a4，当xa时，最低的总造价为900（a+）+5 800元 （12分）【点评】本题考查函数的应用，实际问题的处理方法，基本
22、不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力21（12分）已知函数（xR），其中a0（1）若a1，求曲线yf（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（2）若，求函数f（x）的最小值【分析】（1）化简函数的解析式，求出函数的导数，求出切点坐标，切线的斜率，然后求解切线方程（2）利用导函数求出极值点，判断函数的单调性，通过a的范围转化求解函数的最值即可【解答】解：（1）a1时，（2分）又f（x）3x23x，kf（2）6（4分）切线方程为y36（x2），即为：6xy90（5分）（2）f（x）3ax23x3x（ax1），令f（x）3x（ax1）0，解得x10，x2；由已知，a0，得f（x）0，可得x，f（x
23、）0，可得0x，yf（x）在（0，）上单调递减，在，+）上单调递增，（7分）当0a2时，（9分）当a2时，（11分）综上，当0a2时，；当a2时，（12分）【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力22（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为2（1）求椭圆的方程；（2）若不过原点的直线l与椭圆交于P，Q两点（P，Q不是椭圆顶点），且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列证明：直线l的斜率为定值【分析】（1）根据离心率求出a与c的关系，再求出b，再根据a2b2+c2解得a即可；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）由题意可设直线l的方程为：
24、ykx+t（t0）与椭圆的方程联立可得（1+4k2）x2+8ktx+4t240由0，可得1+4k2t2得到根与系数的关系可得k2，直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，化为4k21，即可证明【解答】解：（1）由已知，又2b2，b1，代入到a2b2+c2，得a2椭圆C的方程为+y21证明：（2）：设P（x1，y1），Q（x2，y2）由题意可设直线l的方程为：ykx+t（t0）联立，化为（1+4k2）x2+8ktx+4t24064k2t24（4t24）（1+4k2）0，化为1+4k2t2x1+x2，x1x2，y1y2（kx1+t）（kx2+t）k2x1x2+kt（x1+x2）+t2，直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，k2，即k2x1x2+kt（x1+x2）+t2kx1x2，+t20，t0，4k21，k，直线l的斜率为定值【点评】本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
