1、2018-2019学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）如果1ab0，则有（）Ab2a2Ba2b2Cb2a2Da2b22（5分）已知命题p：“a0，有ea1成立”，则p为（）Aa0，有ea1成立Ba0，有ea1成立Ca0，有ea1成立Da0，有ea1成立3（5分）已知各项均为正数的等比数列an中，公比q2，a4a664，则a1（）A2B1CD4（5分）已知平面的法向量为（2，2，4），（1，1，2），则直线AB与平面的位置
2、关系为（）AABBABCAB与相交但不垂直DAB5（5分）在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）Ayx+Bysinx+（0）Cyex+2Dy6（5分）方程1表示双曲线的一个充分不必要条件是（）Am1Bm4Cm3或m2Dm4或m17（5分）已知x，y满足，则（x+3）2+y2的最小值为（）ABC8D108（5分）等差数列an、bn的前n项和分别为Sn和Tn，若，则（）ABCD9（5分）已知平面内的角MON60，线段OP是平面的斜线段且OP，POMPON60，那么点P到平面的距离是（）A2BCD110（5分）过抛物线C：y24x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，以
3、线段AB为直径的圆的圆心为O1，半径为r点O1到C的准线l的距离与r之积为25，则r（x1+x2）（）A40B30C25D2011（5分）知数列an的前n项和为Sn，a18，（3n5）an+1（3n2）an9n2+21n10，若n，mN*，nm，则SnSm的最大值为（）A10B15C18D2612（5分）已知双曲线C：1的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N若|PF1|2|PF2|，且MF2N60，则双曲线C的渐近线方程为（）AyByCy2xDy二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）关于
4、x的不等式axb0的解集是（1，+），则关于x的不等式（ax+b）（x3）0的解集是 14（5分）已知数列an的前n项和为Sn，a11，2Sn（n+1）an，则an 15（5分）如图，E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱C1D1上的一点，且BD1平面B1CE，则异面直线BD1与CE所成成角的余弦值为 16（5分）已知椭圆：l（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在一点P使得|PF1|e|PF2|，则该椭圆的离心率e的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）命题p：实数x满足x23ax+2a20，其中a0，命题q：实数x满
5、足（）若a2，且pq为真，求实数x的取值范围；（）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围18（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S28，a3+a82a5+2（1）求an；（2）设数列的前n项和为Tn，求证：19（12分）已知F为抛物线y2x的焦点，点A、B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2（其中O为坐标原点）（）求证：直线AB恒过定点；（）直线AB在绕着定点转动的过程中，求弦AB中点M的轨迹方程20（12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估该商品原来每件售价为25元，年销售8万件（1）
6、据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价21（12分）如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，B1BC为锐角，底面ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，ACBC1（1）证明：平面ABC平面BB1C1
7、C；（2）若直线BB1与底面ABC成角为60，AB1BC1，求二面角CAB1A1的余弦值22（12分）如图，已知椭圆E：1（ab0）的离心率为，过左焦点F（，0）且斜率为k的直线交椭圆E于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l：x+4ky0交椭圆E于C，D两点（1）求椭圆E的方程；（2）求证：点M在直线l上；（3）是否存在实数k，使得SBDM3SACM？若存在，求出k的值若不存在，说明理由2018-2019学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项
8、中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）如果1ab0，则有（）Ab2a2Ba2b2Cb2a2Da2b2【分析】取a，b，分别计算出，b2，a2，由此能够判断出，b2，a2的大小【解答】解：取a，b，分别计算出32，b2a2由此能够判断出，b2，a2的大小故选：A【点评】本题考查不等式的性质和应用，解题时要合理地选取特殊值，能够有效地简化运算2（5分）已知命题p：“a0，有ea1成立”，则p为（）Aa0，有ea1成立Ba0，有ea1成立Ca0，有ea1成立Da0，有ea1成立【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论【解答】解：全称命题的否定是特称命题，则p：a0，有ea1成立，故选：C【
9、点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础3（5分）已知各项均为正数的等比数列an中，公比q2，a4a664，则a1（）A2B1CD【分析】利用等比数列的通项公式列出方程能求出首项【解答】解：各项均为正数的等比数列an中，公比q2，a4a664，（）（）64，解得a1故选：C【点评】本题考查等比数列的公比的求法，考等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4（5分）已知平面的法向量为（2，2，4），（1，1，2），则直线AB与平面的位置关系为（）AABBABCAB与相交但不垂直DAB【分析】根据平面的法向量与空间向量的共线关系，即可判断直线AB与平面垂直【解答】解：平面的法向量
10、为（2，2，4），（1，1，2），即直线AB与平面垂直故选：A【点评】本题考查了平面的法向量与空间向量共线问题，是基础题5（5分）在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）Ayx+Bysinx+（0）Cyex+2Dy【分析】直接利用排除法和基本不等式的应用和函数的性质的应用求出结果【解答】解：对于选项A、当x0时，yx+，当x0时，yx+2，故错误对于选项B、由于：，函数的最小值取不到2，当x时，函数的最小值为2，故错误对于选项D函数的关系式转换为：y，故错误故选：C【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换和基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力属于基础题型6（5分）方程1
11、表示双曲线的一个充分不必要条件是（）Am1Bm4Cm3或m2Dm4或m1【分析】先计算方程表示双曲线的充要条件，再求出它的一个真子集即可【解答】解：若方程1表示双曲线，则（2+m）（m3）0m2或m3，要求“方程1表示双曲线”的一个充分不必要条件，则需要找出它的一个真子集即可，m4时，m2或m3，结论成立，反之不成立“方程1表示双曲线”的一个充分不必要条件是m4，故选：B【点评】本题考查的重点是充要条件，解题的关键是计算方程表示双曲线的充要条件，属于基础题7（5分）已知x，y满足，则（x+3）2+y2的最小值为（）ABC8D10【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z（x+3
12、）2+y2表示（3，0）到可行域的距离的平方，只需求出（3，0）到可行域的距离的最小值即可【解答】解：根据约束条件画出可行域z（x+3）2+y2表示（3，0）到可行域的距离的平方，当点B（0，1）时，距离最小，即最小距离为 则（x+2）2+y2的最小值是 10故选：D【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化8（5分）等差数列an、bn的前n项和分别为Sn和Tn，若，则（）ABCD【分析】根据等差
13、数列的性质，结合等差数列的前n项和公式进行转化即可【解答】解：在等差数列中，故选：B【点评】本题主要考查等差数列性质的应用，结合等差数列的前n项和公式以及性质是解决本题的关键9（5分）已知平面内的角MON60，线段OP是平面的斜线段且OP，POMPON60，那么点P到平面的距离是（）A2BCD1【分析】由题意知cosPOMcosPOHcosMOH，进而求得cosPOH，利用同脚三角函数基本关系求得sinPOH，进而在PHO中利用PHPOsinPOH求得答案【解答】解：平面内的角MON60，线段OP是平面的斜线段且OP，POMPON60，MOH30，cosPOMcosPOHcosMOH，cosP
14、OHcosPOHsinPOHPHPOsinPOH2故选：A【点评】本题主要考查了点到面的距离计算在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题10（5分）过抛物线C：y24x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，以线段AB为直径的圆的圆心为O1，半径为r点O1到C的准线l的距离与r之积为25，则r（x1+x2）（）A40B30C25D20【分析】可得点O1到C的准线l的距离为5，又点O1到C的准线l的距离为，可得x1+x28，故r（x1+x
15、2）40【解答】解：由抛物线的性质知，点O1到C的准线l的距离为，依题意得r225r5，又点O1到C的准线l的距离为，则有x1+x28，故r（x1+x2）40故选：A【点评】考查了抛物线的定义与简单几何性质，属于中档题11（5分）知数列an的前n项和为Sn，a18，（3n5）an+1（3n2）an9n2+21n10，若n，mN*，nm，则SnSm的最大值为（）A10B15C18D26【分析】由条件可得1，结合等差数列的定义和通项公式，以及数列的各项特点，求得最大值【解答】解：（3n5）an+1（3n2）an9n2+21n10，即为（3n5）an+1（3n2）an（3n5）（3n2），可得1，设
16、bn，即bn+1bn1，可得bn是4为首项、1为公差的等差数列，可得bn4（n1）5n，即an（3n5）（5n），可得an：8，3，8，7，0，13，32，57，88，（n5，各项递减，且为负的），由n，mN*，nm，则SnSm的最大值为（8+3+8+7+0）（8）18故选：C【点评】本题考查数列的通项公式，注意运用构造等差数列，考查数列的前n项和的最值，注意分析各项的特点，考查运算能力，属于中档题12（5分）已知双曲线C：1的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N若|PF1|2|PF2|，且MF2N60，则双曲
17、线C的渐近线方程为（）AyByCy2xDy【分析】由题意，根据双曲线的定义和余弦定理，可得a与c的关系，再求出a与b关系即可求出渐近线方程【解答】解：由题意，|PF1|2|PF2|，|PF1|PF2|2a，|PF1|4a，|PF2|2a，MF2N60，F1PF260，由余弦定理可得4c216a2+4a224a2acos60，ca，ba，双曲线C的渐近线方程为yx故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）关于x的不等式axb0的解集是（1，+），则关于x的不等式（ax+b）（x3）0的解集是
18、（1，3）【分析】根据不等式axb0的解集得出a0且ab，把不等式（ax+b）（x3）0化为（x+1）（x3）0，求出解集即可【解答】解：关于x的不等式axb0的解集是（1，+），a0，且ab；关于x的不等式（ax+b）（x3）0可化为（x+1）（x3）0，1x3，所求不等式的解集是（1，3）故答案为：（1，3）【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题14（5分）已知数列an的前n项和为Sn，a11，2Sn（n+1）an，则ann【分析】利用数列的递推关系式，推出数列是等比数列，然后求解通项公式【解答】解：数列an的前n项和为Sn，a11，2Sn（n+1）an，可知2Sn1n
19、an1，n2，两式作差可得：（n1）annan1，可得是等比数列，首项为1，公比为1的等比数列，所以1，即ann故答案为：n【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力15（5分）如图，E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱C1D1上的一点，且BD1平面B1CE，则异面直线BD1与CE所成成角的余弦值为【分析】连结BC1，交B1C于点O，连结OE，由BD1平面B1CE，得到E是棱C1D1的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能出异面直线BD1与CE所成成角的余弦值【解答】解：连结BC1，交B1C于点O，连结O
20、E，E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱C1D1上的一点，BCC1B1是正方形，O是BC1中点，BD1平面B1CE，BD1OE，E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱C1D1的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则B（2，2，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），E（0，1，2），（2，2，2），（0，1，2），设异面直线BD1与CE所成成角为，cos异面直线BD1与CE所成成角的余弦值为故答案为：【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论
21、证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题16（5分）已知椭圆：l（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在一点P使得|PF1|e|PF2|，则该椭圆的离心率e的取值范围是，1【分析】由椭圆的定义可得解得x，由题意可得aa，解不等式求得离心率e的取值范围【解答】解：设点P的横坐标为x，|PF1|e|PF2|，则由椭圆的定义可得 e（x+）ee（x），x，由题意可得aa，11，e1，则该椭圆的离心率e的取值范围是，1），故答案为：，1）【点评】本题考查椭圆的定义，以及简单性质的应用，由椭圆的定义可得 e（x+）ee（x）是解题的关键三
22、、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）命题p：实数x满足x23ax+2a20，其中a0，命题q：实数x满足（）若a2，且pq为真，求实数x的取值范围；（）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围【分析】（）由pq为真得p真q真，解一元二次不等式组求出p、q为真的范围，取交集即可；（）由已知得AB，得等价不等式组，解得实数a的取值范围【解答】解：（）x23ax+2a20，（xa）（x2a）0，又a0，ax2a，a2时，2x4，即命题p为真命题时，实数x的取值范围为：2x4，1x3，即命题q为真命题时，实数x的取值范围为：1x3，pq为真，实数x
23、的取值范围为（2，3；（）q是p的充分不必要条件p是q的充分不必要条件，设A（a，2a），B（1，3，AB，1a实数a的取值范围为：1，【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S28，a3+a82a5+2（1）求an；（2）设数列的前n项和为Tn，求证：【分析】（1）利用已知条件求出数列的通项公式（2）利用（1）的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，再利用放缩法求出结果【解答】解：（1）设数列an的公差为d，由题意知：，解得a13，d2所以an2n+1（2）由（1），an2n+1，则有则所以T
24、n，【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型19（12分）已知F为抛物线y2x的焦点，点A、B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2（其中O为坐标原点）（）求证：直线AB恒过定点；（）直线AB在绕着定点转动的过程中，求弦AB中点M的轨迹方程【分析】（）可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及由2，可得直线AB过定点（2，0）；（）设出A，B的坐标，代入抛物线方程，利用点差法把AB的斜率用AB中点的坐标表示，代入直线方程可得弦AB中点M的轨迹方程【解答】解：（）设直
25、线AB的方程为：xmy+n，点A（x1，y1），B（x2，y2），由2，可得x1x2+y1y22，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上可得x1y12，x2y22，由可得y1y22或1（舍去），由可得y2myn0根据韦达定理有y1y2n2，直线AB过定点（2，0）；（）设M（x，y），由，相减可得（y1y2）（y1+y2）x1x2，当x1x2时，（y1+y2）1，又直线AB恒过点（2，0），且y1+y22y，y2x1，当x1x2时，M（2，0）满足上式，故所求的轨迹方程为y2x1【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用点差法求与中点弦有关的问题，是
26、中档题20（12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估该商品原来每件售价为25元，年销售8万件（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收
27、入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价【分析】（1）设每件定价为x元，可得提高价格后的销售量，根据销售的总收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；（2）依题意，x25时，不等式ax258+50+（x2600）+x有解，等价于x25时，a+x+有解，利用基本不等式，我们可以求得结论【解答】解：（1）设每件定价为t元，依题意得（8）x258，整理得t265t+1 0000，解得25t40所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元（2）依题意知当x25时，不等式ax258+50+（x2600）+x有解，等价于x25时，a+x+有解由于+x2 10，当且仅当，即x30时等
28、号成立，所以a10.2当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元【点评】解决实际问题的关键是读懂题意，建立函数模型，同时应注意变量的取值应使实际问题有意义21（12分）如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，B1BC为锐角，底面ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，ACBC1（1）证明：平面ABC平面BB1C1C；（2）若直线BB1与底面ABC成角为60，AB1BC1，求二面角CAB1A1的余弦值【分析】（1）推导出AC平面BB1C1C从而平面ABC平面BB1C1C（2）在平面BB1C1C内作B1DBC，垂足为D，
29、则B1D平面ABC以D为坐标原点，为x轴正方向，建立空间直角坐标系Dxyz，利用向量法能求出二面角CAB1A1的余弦值【解答】证明：（1）因为ACBC，BC1，BCBC1B，所以AC平面BB1C1C因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BB1C1C（4分）解：（2）因为ABC平面BB1C1CBC，在平面BB1C1C内作B1DBC，垂足为D，所以B1D平面ABC因为BB1与底面ABC成角为60，所以B1BD60（6分）因为ACBC1，AB1BC1，所以BC1平面AB1C，所以BC1B1C，四边形BB1C1C是菱形因为B1BC为锐角，所以BD，于是D是BC中点（8分）设BC2，以D为坐标原点，为x
30、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz则A（1，2，0），B（1，0，0），C（1，0，0），B1（0，0，），（0，2，0），（1，2，），（1，0，）设（x，y，z）是平面CAB1的一个法向量，则，取z1，得（）设（x，y，z）是平面A1AB的一个法向量，则，取z1，得（，1）因为cos，二面角CAB1A1平面角是钝角，故二面角CAB1A1的余弦值是 （12分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题22（12分）如图，已知椭圆
31、E：1（ab0）的离心率为，过左焦点F（，0）且斜率为k的直线交椭圆E于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l：x+4ky0交椭圆E于C，D两点（1）求椭圆E的方程；（2）求证：点M在直线l上；（3）是否存在实数k，使得SBDM3SACM？若存在，求出k的值若不存在，说明理由【分析】（1）由焦点可得c，再由离心率公式和a，b，c的关系，求出a，b，即可得到椭圆方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用韦达定理和中点坐标公式，求得点M的坐标，即可得证；（3）联立直线方程和椭圆方程，消去x，解得C的纵坐标，再由面积关系，得到方程，解出即可【解答】（1）解：左焦点F（，0），则c，离心率为，则
32、，即有a2，b1，则椭圆方程+y21；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）设直线AB：yk（x+），消去y，得（1+4k2）x2+8k2x+12k240，所以x1+x2，x0，y0k（x0+），因为0，所以点M在直线l上；（3）解：由（2）知点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等，因BDM的面积是ACM面积的3倍，所以DM3CM，又|OD|OC|，于是M是OC的中点，设点C的坐标为（x3，y3） 则y0，因为，解得y3，于是，解得k2，所以k【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理，中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题
