1、2018-2019学年辽宁省本溪一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1（5分）设a，bR“a0”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2（5分）复数z的共轭复数（）A1+iB1+iC1iD1i3（5分）曲线yx32x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（）A30B45C60D1204（5分）双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A6B5C4D35（5分）函数在区间0，6上的最大值是（）ABC12D96（5分）若一条斜线段的长度是它在平面内的射
2、影长度的2倍，则该斜线与平面所成的角为（）A60B45C30D1207（5分）三次函数f（x）ax3+x在x（，+）内是增函数，则（）Aa0Ba0Ca1Da8（5分）过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，如果x1+x26，那么|AB|（）A6B8C9D109（5分）把正三角形ABC沿高AD折成二面角BADC后，BCAB，则二面角BADC为（）A30B45C60D9010（5分）如果函数yf（x）的图象如图，那么导函数yf（x）的图象可能是（）ABCD11（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：（1）ACBD（2）ACD是等
3、边三角形 （3）AB与平面BCD所成角度为60（4）AB与CD所成角度为60，其中真命题的编号是（）A（1）（2）B（1）（3）C（1）（2）（4）D（1）（3）（4）12（5分）设函数f（x）的导函数为f（x），对任意xR都有f（x）f（x）成立，则（）A3f（ln2）2f（ln3）B3f（ln2）2f（ln3）C3f（ln2）2f（ln3）D3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）命题p：xR，2xx2的否定是 14（5分）（x+x1）dx 15（5分）若点P到直线x1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹方程为
4、 16（5分）F1、F2为某椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，若PF1PQ，且|PF1|PQ|，则椭圆的离心率e 三.解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a2+c2b2ac（）求sin2+cos2B的值；（）若b2，求ABC面积的最大值18已知数列an的前n项和为Sn，且对任意正整数n，都有an+2成立（1）记bnlog2an，求数列bn的通项公式；（2）设cn，求数列cn的前n项和Tn19如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PA底面ABCD，PCD90，PAABAC（I）求证：A
5、CCD；（）点E在棱PC上，满足DAE60，求二面角BAED的余弦值20已知函数f（x）lnx，其中aR（1）当a2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程；（2）当a1，求函数f（x）的极值21已知F1，F2分别是双曲线l（a0，b0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若F1PF290，且F1PF2的三边长成等差数列又一椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，短轴的一个端点到其右焦点的距离为，双曲线与该椭圆离心率之积为（1）求椭圆的方程；（2）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值22已知函数f（x）xlnx，g（x）x2+ax3（1）求函数f（
6、x）在t，t+2（t0）上的最小值；（2）若存在x0，e（e是自然对数的底数，e2.71828），使不等式2f（x0）g（x0）成立，求实数a的取值范围2018-2019学年辽宁省本溪一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1（5分）设a，bR“a0”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】利用前后两者的因果关系，即可判断充要条件【解答】解：因为a，bR“aO”时“复数a+bi不一定是纯虚数”“复数a+bi是纯虚数”则“a0
7、”一定成立所以a，bR“aO”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件故选：B【点评】本题考查复数的基本概念，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识的掌握程度2（5分）复数z的共轭复数（）A1+iB1+iC1iD1i【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解，然后推出结果【解答】解：复数z1+i复数z的共轭复数1i故选：C【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查3（5分）曲线yx32x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（）A30B45C60D120【分析】欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知ky|x1，再结合正切函数的值求出角的值即可【解答
8、】解：y3x22，切线的斜率k31221故倾斜角为45故选：B【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题4（5分）双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A6B5C4D3【分析】根据双曲线方程即可求出右焦点坐标，渐近线方程，而根据点到直线的距离公式即可求得焦点到渐近线的距离【解答】解：双曲线的右焦点为（5，0），渐近线方程为y；（5，0）到y的距离为：故选：C【点评】考查双曲线的标准方程，双曲线的焦点，以及渐近线方程的概念及求法，点到直线的距离公式5（5分）函数在区间0，6上的最大值是（）ABC12D9【分析】求导数f（x），根据导数的符号变化可求函数的极
9、大值，易判断该极大值即为最大值【解答】解：f（x）4xx2x（x4），当0x4时，f（x）0，f（x）递增；当4x6时，f（x）0，f（x）递减；x4时f（x）取得极大值，也即最大值，f（x）maxf（4）216，故选：A【点评】考查利用导数求函数的最值，属中档题，当函数在一区间上有唯一的极值时，该极值即为相应的最值6（5分）若一条斜线段的长度是它在平面内的射影长度的2倍，则该斜线与平面所成的角为（）A60B45C30D120【分析】由题意，画出一个简图，利用直线与平面所成角的概念找出该斜线段AB与其射影线AC的夹角即为该斜线与平面所成的角【解答】解：由题意画如下的草图：因为斜线段AB的长度是
10、它在平面内的射影AC长度的2倍，连接BC，有斜线段与其射影，则ABC就构成以ACB90的直角三角形，因为线段AB是AC的2倍，所以BAC60故选：A【点评】此题重点考查了写线段与其射影所成的角即为线面角这一概念，还考查了直线与平面所成的角这一概念及解直角三角形的公式7（5分）三次函数f（x）ax3+x在x（，+）内是增函数，则（）Aa0Ba0Ca1Da【分析】求出函数的导数，再由单调性，得到f（x）0恒成立，运用判别式不大于0，解出即可【解答】解：三次函数f（x）ax3+x（a0）导数f（x）3ax2+1，由于f（x）在x（，+）内是增函数，则f（x）0恒成立，即有12a0，解得，a0故选：A
11、【点评】本题考查函数的单调性及运用，考查运用导数判断函数的单调性，考查运算能力，属于中档题8（5分）过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，如果x1+x26，那么|AB|（）A6B8C9D10【分析】抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|x1+x2+2，由此易得弦长值【解答】解：由题意，p2，故抛物线的准线方程是x1，抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点|AB|x1+x2+2，又x1+x26|AB|x1+x2+28故选：B【点评】本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理
12、解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度9（5分）把正三角形ABC沿高AD折成二面角BADC后，BCAB，则二面角BADC为（）A30B45C60D90【分析】根据ADBC于D，易得沿AD折成二面角BADC后，BDC即为二面角BADC的平面角，解BDC即可求出二面角BADC的大小【解答】解：ADBC，沿AD折成二面角BADC后，ADBD，ADCD故BDC即为二面角BADC的平面角又BDCDBCAB，BDC60故选：C【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角的求法，解答的关键是求出二面角的平面角，将问题转化为一个解三角形问题10（5分）
13、如果函数yf（x）的图象如图，那么导函数yf（x）的图象可能是（）ABCD【分析】由yf（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负【解答】解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正负正负，故选：A【点评】导数的正负决定函数的单调性11（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：（1）ACBD（2）ACD是等边三角形 （3）AB与平面BCD所成角度为60（4）AB与CD所成角度为60，其中真命题的编号是（）A（1）（2）B（1）（3）C（1）（2）（4）D（1）（3）（4）【分析】作出此直二面角的图象，由二面角的平面角的定义和线面垂直的判断和性质可判断
14、（1）；由等边三角形的判断可判断（2）；由线面角的定义可得ABE为所求角，可判断（3）；取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，可得EF，FH所成角或补角即为所求角，计算可判断（4）【解答】解作出如图的图象，其中ABDC90，E是BD的中点，由AEBD，CEBD，可得AEC90即为此直二面角的平面角对于命题（1），由于BD面AEC，故ACBD，此命题正确；对于命题（2），在等腰直角三角形AEC中，ACABADCD，故ACD是等边三角形，此命题正确；对于命题（3），AB与平面BCD所成的线面角的平面角是ABE45，故AB与平面BCD成60的角不正确；对于命题（4），可取AD中点F，AC
15、的中点H，连接EF，EH，FH，由于EF，FH是中位线，可得其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形AEH的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故EFH是等边三角形，由此即可证得AB与CD所成的角为60；综上知（1）（2）（4）是正确的故选：C【点评】本题考查与二面角有关立体几何中线线之间的角的求法，线面之间的角的求法，以及线线之间位置关系的证明方法综合性较强，对空间立体感要求较高12（5分）设函数f（x）的导函数为f（x），对任意xR都有f（x）f（x）成立，则（）A3f（ln2）2f（ln3）B3f（ln2）2f（ln3）C3f（ln2）2f（ln3）D3f（ln2）与2f（l
16、n3）的大小不确定【分析】构造函数g（x），利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（ln2）与g（ln3）的大小关系，整理即可得到答案【解答】解：令g（x），则，因为对任意xR都有f（x）f（x），所以g（x）0，即g（x）在R上单调递增，又ln2ln3，所以g（ln2）g（ln3），即，所以，即3f（ln2）2f（ln3），故选：C【点评】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）命题p：xR，2xx2的否定是xR，2xx2【分析】直
17、接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：xR，2xx2的否定是：xR，2xx2；故答案为：xR，2xx2【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题14（5分）（x+x1）dx+ln2【分析】利用定积分的计算公式求值即【解答】解：（x+x1）xdx+dxx2+lnx（41）+ln2ln1+ln2故答案为：+ln2【点评】本题考查了定积分的计算问题，是基础题15（5分）若点P到直线x1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹方程为y28x【分析】把直线x1向左平移一个单位变为x2，此时点P到直线x2的距离等于它
18、到点（2，0）的距离，即可得到点P的轨迹方程【解答】解：因为点P到直线x1的距离比它到点（2，0）的距离小1，所以点P到直线x2的距离等于它到点（2，0）的距离，因此点P的轨迹为抛物线，方程为y28x故答案为：y28x【点评】本题考查点P的轨迹方程，考查抛物线的定义，正确运用抛物线的定义是关键16（5分）F1、F2为某椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，若PF1PQ，且|PF1|PQ|，则椭圆的离心率e【分析】设|PF1|t，则|PQ|t，|F1Q|t，根据椭圆定义可知|PF1|+|PF2|QF1|+|QF2|2a，进而得|PF1|+|PQ|+|F1Q|4a，求得|PF2|关于t的
19、表达式，进而利用韦达定理可知（42）a2+（22）a2（2c）2求得a和c的关系【解答】解：设|PF1|t，则|PQ|t，|F1Q|t，由椭圆定义有：|PF1|+|PF2|QF1|+|QF2|2a|PF1|+|PQ|+|F1Q|4a，化简得（+2）t4a，t（42）a|PF2|2at（22）a在RtPF1F2中，|F1F2|2（2c）2（42）a2+（22）a2（2c）2（）296e故答案为【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了学生对椭圆定义的理解和运用三.解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a2+c2
20、b2ac（）求sin2+cos2B的值；（）若b2，求ABC面积的最大值【分析】（）利用余弦定理列出关系式，代入已知等式求出cosB的值，原式利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，把cosB的值代入计算即可求出值；（）把b的值代入已知等式，并利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinB的值，利用三角形面积公式求出面积的最大值即可【解答】解：（）在ABC中，由余弦定理可知，a2+c2b22accosB，由题意知a2+c2b2ac，cosB，又在ABC中，A+B+C，sincos，则原式cos2+cos2B+2cos2B12cos2B+cosB+；（）b2，sinB，由a2+c2b2ac得：a2
21、+c24ac，即a2+c2ac+42ac，整理得：ac，SABCacsinBsinB，则ABC面积的最大值为【点评】此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理是解本题的关键18已知数列an的前n项和为Sn，且对任意正整数n，都有an+2成立（1）记bnlog2an，求数列bn的通项公式；（2）设cn，求数列cn的前n项和Tn【分析】（1）根据数列的递推公式即可求出数列an为等比数列，根据对数的运算性质可得bn2n+1，（2）根据裂项求和即可得到答案【解答】解：（1）在中令n1得a18，因为对任意正整数n，都有成立，所以，两式相减得an+1anan+1，所以an+1
22、4an，又a10，所以数列an为等比数列，所以an84n122n+1，所以bnlog2an2n+1，（2）cn（）所以【点评】本题考查了根据数列的递推公式求通项公式和裂项求和，属于中档题19如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PA底面ABCD，PCD90，PAABAC（I）求证：ACCD；（）点E在棱PC上，满足DAE60，求二面角BAED的余弦值【分析】（）通过线面垂直的判定定理及性质定理即得结论；（）以点A为原点，以为x轴正方向、以|为单位长度，建立空间直角坐标系利用DAE60即cos，可得（0，），通过cos，即得二面角BAED的余弦值【解答】（）证明：因为PA底面ABCD
23、，所以PACD，因为PCD90，所以PCCD，所以CD平面PAC，所以CDAC；（）解：底面ABCD是平行四边形，CDAC，ABAC又PA底面ABCD，AB，AC，AP两两垂直如图所示，以点A为原点，以为x轴正方向、以|为单位长度，建立空间直角坐标系则B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（1，1，0）设（0，1，1），则+（0，1），又DAE60，则cos，即，解得则（0，），（1，），所以cos，因为0，所以又，故二面角BAED的余弦值为【点评】本题考查空间中线线垂直的判定，以及求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题20已知函数f（x）lnx，其中aR（1）
24、当a2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程；（2）当a1，求函数f（x）的极值【分析】（1）代入a的值，求出函数的导数，计算f（1），f（1）的值，求出切线方程即可；（2）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可【解答】解：（1）当a2时，由已知得，故，（2分）所以f（1）1+23，又因为，所以函数f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程为y+23（x1），即3xy50；（5分）（2）当a1时，f（x）lnx+（x0），f（x），令f（x）0，解得：x1，令f（x）0，解得：0x1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+）递
25、增，故f（x）极小值f（1）1，（12分）【点评】本题考查了切线方程，函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是一道常规题21已知F1，F2分别是双曲线l（a0，b0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若F1PF290，且F1PF2的三边长成等差数列又一椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，短轴的一个端点到其右焦点的距离为，双曲线与该椭圆离心率之积为（1）求椭圆的方程；（2）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值【分析】（1）设P为双曲线的右支上的点，运用双曲线的定义和等差数列的性质，以及勾股定理，得到a，c的关系，再由离心率公式得到双曲线的离心率为5，进而得
26、到椭圆的离心率，由条件可得a，再由离心率公式，即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）分当ABx轴时与AB与x轴不垂直时求出|AB|当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykx+m，由坐标原点O到直线l的距离为可得，化为m2（k2+1），同时将直线方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得出|AB|，再由基本不等式求得|AB|的最大值，运用三角形的面积公式，即可得到面积的最大值【解答】解：（1）设P为双曲线的右支上的点，|PF1|PF2|2a，又PF2，PF1，F1F2成等差数列，则有|PF2|+|F1F2|2|PF1|，即2|PF1|PF2|F1F2|2
27、c，由解得，|PF1|2（ca），|PF2|2（c2a），由于F1PF290，则|PF1|2+|PF2|2|F1F2|2，则4（ca）2+4（c2a）24c2，化简得，c26ac+5a20，解得，c5a，即有双曲线的离心率为5，则由双曲线与该椭圆离心率之积为，即有椭圆的离心率为，设椭圆的方程为1（mn0），由于椭圆短轴的一个端点到其右焦点的距离为，即有m，则，解得，n1，则有椭圆方程为+y21；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当ABx轴时，坐标原点O到直线l的距离为，可取A（，y1），代入椭圆得+y121，解得y1|AB|；当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykx+m，由坐标
28、原点O到直线l的距离为，可得，化为m2（k2+1）把ykx+m代入椭圆方程，消去y得到（3k2+1）x2+6kmx+3m230，x1+x2，x1x2|AB|2（1+k2）（x1+x2）24x1x2（1+k2）（）243+当k0时，|AB|23+3+4，当且仅当k2时取等号，此时|AB|2当k0时，|AB|综上可知：|AB|max2OAB的面积最大值为2【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，熟练掌握直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长问题、三角形的面积、点到直线的距离公式、分类讨论的思想方法的方法等是解题的关键22已知函数f（x）xlnx，g（x）x2+ax3（1）求函数
29、f（x）在t，t+2（t0）上的最小值；（2）若存在x0，e（e是自然对数的底数，e2.71828），使不等式2f（x0）g（x0）成立，求实数a的取值范围【分析】（1）由已知知函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）lnx+1，由此利用导数性质能求出函数f（x）在t，t+2（t0）上的最小值（2）由已知得a2lnx+x+，x，e，设h（x）2lnx+x+，x，e，则，x，e，由此利用导数性质能求出实数a的取值【解答】解：（1）由已知知函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）lnx+1，当x（0，），f（x）0，f（x）单调递减，当x（），f（x）0，f（x）单调递增，t0，t+2当0tt+2，即0t时，f（x）minf（）；当，即t时，f（x）在t，t+2上单调递增，f（x）minf（t）tlnt（2）不等式2f（x0）g（x0）成立，即2x0lnx0，a2lnx+x+，x，e，设h（x）2lnx+x+，x，e，则，x，e，x，1）时，h（x）0，h（x）单调递减，x（1，e时，h（x）0，h（x）单调递增，h（x）maxh（）2+，对一切x0，e使不等式2f（x0）g（x0）成立，ah（x）max2+3e【点评】本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题重点考查学生的代数推理论证能力解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用
