1、2017-2018学年山东省泰安市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一个项符合题目要求）1（5分）已知集合Ax|log2x0，Bx|x22x30，则AB（）A（，3）B（1，+）C（1，1）D（1，3）2（5分）设复数z满足z（1+i）3i（其中i为虚数单位），则z（）A12iB1+2iC2+iD2i3（5分）若f（x）2xf（1）+x2，则f（0）等于（）A2B0C2D44（5分）“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法干支是天干和地支的总称，把千支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“
2、干支表”，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸等十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉戌、亥等十二个符号叫地支如：公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年则公元2047年农历为（）A乙丑年B丙寅年C丁卯年D戊辰年5（5分）若a，bR，则复数（a26a+10）+（b2+4b5）i对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6（5分）执行如图所示的算法流程图，则输出的结果的值为（）A2B1C0D17（5分）已知命题p：x00，x0+a10，若p为假命题，则a的取值范围是（）A（，1）B（，1C（1，+）D1，+）8（5分）当0x
3、时，（）xlogax，则a的取值范围是（）A（0，）B（，1）C（1，4）D（，4）9（5分）设函数f（x）x3+（a1）x2+ax若f（x）为奇函数，则曲线yf（x）在点（0，0）处的切线方程为（）Ay2xByxCy2xDyx10（5分）已知函数f（x）x3+ax2+bx+a2在x1处取极值10，则a（）A4或3B4或11C4D311（5分）已知f（x），g（x）f（x）+x+m，若g（x）存在两个零点，则m的取值范围是（）A1，+）B1，0）C0，+）D1，+）12（5分）已知函数f（x）是定义在R上的单调增函数，且满足对任意的实数x都有ff（x）3x4，则f（x）+f（x） 的最小值等于
4、（）A2B4C8D12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知函数f（x）log2（x2+a），若f（2）1，则a 14（5分）设p：x22x0，q：（xm）（xm3）0，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 15（5分）某种活性细胞的存活率y（%）与存放温度x（）之间具有线性相关关系，样本数据如表所示：存放温度x（）10428存活率y（%）20445680经计算得回归直线的斜率为3.2若存放温度为6，则这种细胞存活率的预报值为 %16（5分）若函数f（x）x3+x2+2ax在，+）上存在单调递增区间，则a的取值范围是 三、解答题（共70分，解答应写出文字说
5、明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必答题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17（12分）已知复数Z满足（其中i为虚数单位）（1）求Z；（2）若为纯虚数，求实数a的值18（12分）如图，在三棱锥PABC中，ABPC，CACB，M是AB的中点点N在棱PC上，点D是BN的中点求证：（1）MD平面PAC；（2）平面ABN平面PMC19（12分）某县教育局为了检查本县甲、乙两所学校的学生对安全知识的学习情况，在这两所学校进行了安全知识测试，随机在这两所学校各抽取20名学生的考试成绩作为样本，成绩大于或等于80分的为优秀，否则为不优秀，统计结果如图：（1）从乙校成绩优
6、秀的学生中任选两名，求这两名学生的成绩恰有一个落在90，100内的概率；（2）由以上数据完成下面列联表，并回答能否在犯错的概率不超过0.1的前提下认为学生的成绩与两所学校的选择有关甲校乙校总计优秀 不优秀 总计 参考数据P（K2k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82820（12分）已知f（x）是定义域（0，+）上的单调递增函数（1）求证：命题“设a，bR*，若，则ab1”是真命题（2）解关于x的不等式f（ax1）+f（2x）f（a1x）+f（2x）（其中a0）21（12分）已知函数，其中a为常数（1）若a0
7、，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在（0，a）上单调递增，求实数a的取值范围选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|xa|+|x+2|，aR（1）当a1时，解不等式f（x）4；（2）若x0，1时，不等式f（x）|x+3|成立，求实数a的取值范围2017-2018学年山东省泰安市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题
8、解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一个项符合题目要求）1（5分）已知集合Ax|log2x0，Bx|x22x30，则AB（）A（，3）B（1，+）C（1，1）D（1，3）【分析】分别求出集合A和B，由此能求出AB【解答】解：集合Ax|log2x0x|x1，Bx|x22x30x|1x3，ABx|x1（1，+）故选：B【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2（5分）设复数z满足z（1+i）3i（其中i为虚数单位），则z（）A12iB1+2iC2+iD2i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的
9、乘除运算化简得答案【解答】解：z（1+i）3i，z，故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题3（5分）若f（x）2xf（1）+x2，则f（0）等于（）A2B0C2D4【分析】利用导数的运算法则求出f（x），令x1得到关于f（1）的方程，解方程求出f（1），求出f（x）；令x0求出f（0）【解答】解：f（x）2f（1）+2xf（1）2f（1）+2f（1）2f（x）4+2xf（0）4故选：D【点评】在求导函数值时，应该先利用导数的运算法则求出导函数，再求导函数值4（5分）“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法干支是天干和地支的总称，把千支顺序相配正好六十为一周
10、，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸等十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉戌、亥等十二个符号叫地支如：公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年则公元2047年农历为（）A乙丑年B丙寅年C丁卯年D戊辰年【分析】由题意可得数列天干是以10为等差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以1986年的天干和地支分别为首项，到公元2047年经过了61年，即可求出答案【解答】解：从1986开始算起，公元2047年为第61个数，天干表10个为一个周期，地支表12个数为一个周期，则公元2047年对应的
11、天干为卯，地支为卯，故应为丁卯年，故选：C【点评】本题考查了等差数列在实际生活中的应用，及推理与证明，属于中档题5（5分）若a，bR，则复数（a26a+10）+（b2+4b5）i对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用a26a+10（a3）2+10，b2+4b5（b2）210即可得出结论【解答】解：a26a+10（a3）2+10，b2+4b5（b2）210复数（a26a+10）+（b2+4b5）i对应的点（a26a+10，b2+4b5）在第四象限故选：D【点评】本题考查了二次函数的单调性、复数几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6（5分）执行如图所示的算法流
12、程图，则输出的结果的值为（）A2B1C0D1【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：由ycos的周期为4，且一个周期内函数值的和为0，而满足进行循环的n的最大值为2017，20174504+1故Scos+cos+cos+coscos0，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，分组求和法求和，余弦函数的周期性，难度中档7（5分）已知命题p：x00，x0+a10，若p为假命题，则a的取值范围是（）A（，1）B（，1C（1，+）D1，+）【分析】由p为假命题，得p为真命题，即：x0，x+a10，则x1a，由此可得a的
13、取值范围【解答】解：p为假命题，p为真命题，即：x0，x+a10，即x1a，1a0，则a1a的取值范围是1，+）故选：D【点评】本题考查存在量词与特称命题，考查数学转化思想方法，是基础题8（5分）当0x时，（）xlogax，则a的取值范围是（）A（0，）B（，1）C（1，4）D（，4）【分析】若当0x时，（）xlogax恒成立，则在0x时，ylogax的图象恒在y（）x的图象的上方，在同一坐标系中，分析画出指数和对数函数的图象，分析可得答案【解答】解：当0x时，函数y（）x的图象如图所示，若（）xlogax恒成立，则ylogax的图象恒在y（）x的图象的上方（如图中虚线所示）ylogax的图象
14、与y（）x的图象交于（，）点时，a，故虚线所示的ylogax的图象对应的底数a应满足a1，故选：B【点评】本题以指数函数与对数函数图象与性质为载体考查了函数恒成立问题，其中熟练掌握指数函数和对数函数的图象与性质是解答本题的关键9（5分）设函数f（x）x3+（a1）x2+ax若f（x）为奇函数，则曲线yf（x）在点（0，0）处的切线方程为（）Ay2xByxCy2xDyx【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程【解答】解：函数f（x）x3+（a1）x2+ax，若f（x）为奇函数，f（x）f（x），x3+（a1）x2ax（x3+（a1）x2+ax）x3（a1）x
15、2ax所以：（a1）x2（a1）x2可得a1，所以函数f（x）x3+x，可得f（x）3x2+1，曲线yf（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线yf（x）在点（0，0）处的切线方程为：yx故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力10（5分）已知函数f（x）x3+ax2+bx+a2在x1处取极值10，则a（）A4或3B4或11C4D3【分析】根据函数f（x）在x1处取极值10，得，由此求得a、b的值，再验证a、b是否符合题意即可【解答】解：函数f（x）x3+ax2+bx+a2在x1处取极值10，f（x）3x2+2ax+b，且，解得a4，b11或，a3，b
16、3；a3，b3时：f（x）3x26x+33（x1）20，根据极值的定义知道，此时函数f（x）无极值；a4，b11时，f（x）3x2+8x11，令f（x）0得x1或，符合条件；a4故选：C【点评】本题考查了极值的定义与应用问题，解题时求出a，b后须验证对应的函数是否有极值11（5分）已知f（x），g（x）f（x）+x+m，若g（x）存在两个零点，则m的取值范围是（）A1，+）B1，0）C0，+）D1，+）【分析】由题意可得g（x）0，即f（x）xm有两个不等实根，即有函数yf（x）和直线yxm有两个交点，作出yf（x）的图象和直线yxm，平移直线即可得到所求范围【解答】解：g（x）f（x）+x+
17、m，若g（x）存在两个零点，可得g（x）0，即f（x）xm有两个不等实根，即有函数yf（x）和直线yxm有两个交点，作出yf（x）的图象和直线yxm，当m1，即m1时，yf（x）和yxm有两个交点，故选：A【点评】本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用转化思想和数形结合思想，考查指数函数、对数函数的图象和运用，属于中档题12（5分）已知函数f（x）是定义在R上的单调增函数，且满足对任意的实数x都有ff（x）3x4，则f（x）+f（x） 的最小值等于（）A2B4C8D12【分析】先求出函数的表达式f（x）3x+c，得到3c+c4，求出c的值，由f（x）+f（x）3x+c+3x+c2+2c，将c
18、1代入即可求出答案【解答】解：任意的x属于R都有有 f （ f （x）3x ）4，而函数是单调的，所以对任何的x，f （x）3x为定值c，即f（x）3x+c，f（f（x）3x）f（c）4而f（c）3c+c，所以3c+c4，解得：c1，而f（x）+f（x）3x+c+3x+c2+2c2+24，故选：B【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查了转化思想，考查了函数的最值问题，是一道中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知函数f（x）log2（x2+a），若f（2）1，则a2【分析】推导出f（2）log2（4+a）1，由此能求出a的值【解答】解：函数f（x）log2（x
19、2+a），f（2）1，f（2）log2（4+a）1，解得a2故答案为：2【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题14（5分）设p：x22x0，q：（xm）（xm3）0，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是1，0【分析】根据不等式的解法分别求出p，q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可【解答】解：由x22x0得0x2，即p：0x2，由（xm）（xm3）0，得mxm+3，即q：mxm+3若p是q的充分不必要条件，即1m0，故答案为：1，0【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出不等式的等价
20、条件，结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键15（5分）某种活性细胞的存活率y（%）与存放温度x（）之间具有线性相关关系，样本数据如表所示：存放温度x（）10428存活率y（%）20445680经计算得回归直线的斜率为3.2若存放温度为6，则这种细胞存活率的预报值为34%【分析】由题意求出，代入公式求值a，从而得到回归直线方程；代入x6带入即可得答案【解答】解：由题意，设回归方程为3.2+a，由表中数据可得：1，50；带入回归方程可得a53.2当x6时，可得y3.26+53.234故答案为：34【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题16（5分）若函数f（x）x3+
21、x2+2ax在，+）上存在单调递增区间，则a的取值范围是【分析】求出函数的导数，利用导函数值大于0，转化为a的表达式，求出最值即可得到a的范围【解答】解：函数f（x）x3+x2+2ax，f（x）x2+x+2a（x）2+2a当x，+）时，f（x）的最大值为f（）2a+，令2a+0，解得a，所以a的取值范围是故答案为：【点评】本题考查函数的导数的应用，考查计算能力三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必答题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17（12分）已知复数Z满足（其中i为虚数单位）（1）求Z；（2）若为纯虚数，求实数a的
22、值【分析】（1）设Zx+yi（x，yR），代入，整理后利用复数相等的条件列式求得x，y值，则答案可求；（2）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解【解答】解：（1）设Zx+yi（x，yR），由于，得，解得：，Z3+4i；（2）由（1）知，又为纯虚数，解得：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念及复数相等的条件，是基础题18（12分）如图，在三棱锥PABC中，ABPC，CACB，M是AB的中点点N在棱PC上，点D是BN的中点求证：（1）MD平面PAC；（2）平面ABN平面PMC【分析】（1）根据中位线定理可得MDAN，故而MD平面PAC；（2）证明A
23、B平面PMC即可得出平面ABN平面PMC【解答】证明：（1）在ABN中，M是AB的中点，D是BN的中点，MDAN，又AN平面PAC，MD平面PAC，MD平面PAC（2）在ABC中，CACB，M是AB的中点，ABMC，又ABPC，PC平面PMC，MC平面PMC，PCMCC，AB平面PMC又AB平面ABN，平面ABN平面PMC【点评】本题考查了线面平行、面面垂直的判定，属于中档题19（12分）某县教育局为了检查本县甲、乙两所学校的学生对安全知识的学习情况，在这两所学校进行了安全知识测试，随机在这两所学校各抽取20名学生的考试成绩作为样本，成绩大于或等于80分的为优秀，否则为不优秀，统计结果如图：（
24、1）从乙校成绩优秀的学生中任选两名，求这两名学生的成绩恰有一个落在90，100内的概率；（2）由以上数据完成下面列联表，并回答能否在犯错的概率不超过0.1的前提下认为学生的成绩与两所学校的选择有关甲校乙校总计优秀11516不优秀91524总计202040参考数据P（K2k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）根据频率和为1，求得a的值，再计算乙校成绩优秀的学生数，列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；（2）由题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论【解答】解：（1）频率分布直方图中矩形面
25、积为10.05+20a+0.15+0.25+0.351a0.01成绩落在80，90）内的人数为0.01510203成绩落在90，100内的人数为0.0110202从乙校成绩优秀的学生中任选两名的基本事件的总数为：两名学生的成绩恰有一个落在90，100内的基本事件的个数为：则这两名学生的成绩恰有一个落在90，100内的概率为：；（2）由已知得列联表如下甲校乙校总计优秀11516不优秀91524总计2020403.752.706所以在犯错的概率不超过0.1的前提下认为学生的成绩与两所学校的选择有关【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了频率分布直方图与概率的计算问题，是中档题20（
26、12分）已知f（x）是定义域（0，+）上的单调递增函数（1）求证：命题“设a，bR*，若，则ab1”是真命题（2）解关于x的不等式f（ax1）+f（2x）f（a1x）+f（2x）（其中a0）【分析】（1）根据题意，利用互为逆否命题的两个命题的真假关系，证明原命题的逆否命题：“设a，bR*，若ab1，则”为真命题，即可得结论；（2）根据题意，由（1）的结论，原不等式可以转化为（2a）xa，分情况讨论a的值，求出不等式的解集，综合即可得答案【解答】解：（1）证明：根据题意，原命题的逆否命题为：“设a，bR*，若ab1，则”要证原命题为真命题，则需要证明其逆否命题是真命题：因为a，bR*，若ab1，
27、得：，又f（x）是定义域（0，+）上的单调递增函数所以同理有由+得：，则原命题的逆否命题是真命题，所以原命题是真命题；（2）易证a0，b0，当ab1时，故，由不等式f（ax1）+f（2x）f（a1x）+f（2x），所以ax12x1，即（2a）xa，当2a1时，即时，不等式的解集为（log2aa，+）当02a1时，即时，不等式的解集为（，log2aa）当2a1时，即时，不等式的解集为R，综合可得：时，不等式的解集为（，log2aa）时，不等式的解集为R，时，不等式的解集为（log2aa，+）【点评】本题考查函数单调性的性质与应用，（1）中证明注意四种命题之间的真假关系，属于基础题21（12分）已
28、知函数，其中a为常数（1）若a0，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在（0，a）上单调递增，求实数a的取值范围【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出函数的导数，问题转化为a2xlnxx在x（0，a）上恒成立，令g（x）2xlnxx，x（0，a），根据函数的单调性求出a的范围即可【解答】解：（1）当a0时：的定义域为（0，+），令f（x）0，得，当时，f（x）0，f（x）在上单调递增；当时，f（x）0，f（x）在上单调递减；当时，f（x）的极大值为，无极小值（2）f（x）（0，a）上单调递增，f（x）0在x（0，a）上恒
29、成立，x（0，a），（x+a）30，只需在x（0，a）上恒成立，a2xlnxx在x（0，a）上恒成立，令g（x）2xlnxx，x（0，a）则g（x）2lnx+1，令g（x）0，则：若，即时g（x）0，在x（0，a）上恒成立，g（x）在（0，a）上单调递减，a2（a）ln（a）（a），ln（a）0，a1a1这与矛盾，舍去若，即时当时，g（x）0，g（x）在上单调递减；当时，g（x）0，g（x）在上单调递增；当时，g（x）有极小值，也是最小值，综上【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题选修4-4：坐标系与参数方程22（1
30、0分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|【分析】（1）直接把曲线的参数方程转化为直角坐标方程，进一步把极坐标方程转化为直角坐标方程，在求出直线的倾斜角（2）利用定点把直线的直角坐标式转化为参数式，进一步建立一元二次方程根与系数的关系，最后求出结果【解答】解：（1）由消去参数，得即C的普通方程为由，得sincos将代入得yx+2所以直线l的斜率角为（2）由（1）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程
31、为（t为参数）即（t为参数），代入并化简得设A，B两点对应的参数分别为t1，t2则，所以t10，t20所以【点评】本题考查的知识要点：直角坐标方程与参数方程的互化，直线和曲线的位置关系的应用，一元二次方程根与系数的关系的应用选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|xa|+|x+2|，aR（1）当a1时，解不等式f（x）4；（2）若x0，1时，不等式f（x）|x+3|成立，求实数a的取值范围【分析】（1）代入a的值，求出f（x）的分段函数的形式，求出不等式的解集即可；（2）得到1+ax1+a在0，1上恒成立，得到关于a的不等式组，解出即可【解答】解：（1）当a1时，f（x）|x1|+|x+2|，即不等式f（x）4的解集为（2）由已知f（x）|x+3|在x0，1上恒成立，x+20，x+30，不等式等价于|xa|1在0，1上恒成立，由|xa|1，得1xa1，即：1+ax1+a在0，1上恒成立，0a1，a的取值范围为0，1【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查恒成立问题，是一道常规题
