1、2017-2018学年山东省聊城市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）复数z（i为虚数单位）的虚部为（）ABCDi2（4分）曲线y2x3在点（1，2）处的切线方程为（）A6xy40B3xy10C4xy20D2xy03（4分）设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（）ABCD4（4分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数如1，3，6，10，15，用如图所示的三角形点阵表示，他们将其称为三角形数将三角形数1，3，6，10，
2、15，从小到大排列，则第九个三角形数是（）A43B44C45D465（4分）下列式子中，与的值不相等的是（）ABCD6（4分）（x）9的展开式中x5的系数为（）A36B84C36D847（4分）今有一组实验数据如下：x1.993.04.05.16.12y1.54.047.51218.01分别用下列函数模型来拟合变量y与x的相关关系，其中拟合效果最好的是（）AyBylogxCylog2xDy2x28（4分）已知a、b是不相等的正数，x，y，则x、y的关系是（）AxyByxCxyD不能确定9（4分）工厂制造某种机器零件的尺寸XN（100，0.01），任取10000个零件时，尺寸在（99.8，99.
3、9）内的个数约为附：若XN（，2），则P（X+）0.6826，P（2X+2）0.9544，P（3X+3）0.9974）（）A2718B1359C430D21510（4分）甲、乙、丙、丁、戊5名学生报名参加数学、物理、生物三科竞赛，每人各自报一科，每科至少1人，至多2人，则不同的参赛方案个数为（）A180B120C90D6011（4分）定积分（x）dx（）ABCD12（4分）设f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）+xf（x）0且f（4）0，则不等式xf（x）0的解集为（）A（4，0）（4，+）B（4，0）（0，4）C（，4）（4，+）D（，4）（0，4）二、填空题：本大题共4个小题，
4、每小题4分，共16分.将答案填在答题纸上，13（4分）（1+2x）10的展开式的所有二项式系数中，最大的是 （用数字作答）14（4分）随机变量XB（n，p），且E（X）200，D（X）100，则p等于 15（4分）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，则在取到的2个数之和为偶数的条件下，取到的2个数均为奇数的概率为 16（4分）已知函数f（x）lnx+（xa）2（aR）在区间，2上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 三、解答题：本大题共5小题，共56分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）某学生对其36名亲属的饮食习惯进行了一次调查，根据性别及饮食习惯制作了如下列联
5、表：喜食蔬菜喜食肉食总计男8 女 4 总计 36已知在这36人中随机抽取1人，抽到男性喜食肉食的人的概率是（1）请将上面的列联表补充完整（直接写结果，不需要写求解过程）；（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为其亲属喜食肉食与性别有关系？附：K2，na+b+c+dP（K2k0）0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.82818（10分）已知f（x）1nx，g（x）f（x）+f（x），试比较g（x）与g（）的大小19（12分）已知数列an的第1项a1，且an+1（n1，2，3，），求a2、a3、a4的值，由此猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明
6、你的猜想20（12分）若函数f（x）ax3bx+4，当x2时，函数f（x）有极值，极值为（1）求函数f（x）的解析式；（2）试讨论方程f（x）k0（kR）解的个数21（12分）某银行柜台设有一个服务窗口，假设各顾客办理业务所需的时间相互独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需时间进行统计，结果如表：办理业务所需要的时间（分钟）1234频率0.10.40.30.2从第一个顾客开始办理业务时计时，以所作统计的各办理业务所需时间的频率作为其所需时间的概率（1）求第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望2017-2018学年
7、山东省聊城市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）复数z（i为虚数单位）的虚部为（）ABCDi【分析】化简已知复数，由复数的基本概念可得虚部【解答】解：化简可得zi，复数的虚部为：故选：C【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题2（4分）曲线y2x3在点（1，2）处的切线方程为（）A6xy40B3xy10C4xy20D2xy0【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可【解答】解：y2x3，
8、y6x2，y|x1（6x2）|x16，曲线yx3+3x2在点（1，2）处的切线方程为y26（x1），即6xy40，故选：A【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题3（4分）设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（）ABCD【分析】本题是一个古典概型，试验包含的总事件是袋中有80个红球20个白球，从袋中任取10个球共有C10010种不同取法，而满足条件的事件是其中恰有6个红球，共有C806C204种取法，根据古典概型公式得到结果【解答】解：本题是一个古典概型，袋中有80个红球20个白球，若从袋中任取10个球共有C10010种不同取
9、法，而满足条件的事件是其中恰有6个红球，共有C806C204种取法，由古典概型公式得到P，故选：D【点评】本题非常具有代表性，本题考查古典概型，这样的问题可以变形一系列题目，其中恰有6个红球的概率把6变为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10个红球，也可以变化球的颜色来构造题目4（4分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数如1，3，6，10，15，用如图所示的三角形点阵表示，他们将其称为三角形数将三角形数1，3，6，10，15，从小到大排列，则第九个三角形数是（）A43B44C45D46【分析】原来三角形数是从l开始的连续自然数的和l是第一个三角形数，3是第二
10、个三角形数，6是第三个三角形数，10是第四个三角形数，15是第五个三角形数那么，第九个三角形数就是：l+2+3+4+5+6+7+8+9【解答】解：原来三角形数是从l开始的连续自然数的和l是第一个三角形数，3是第二个三角形数，31+26是第三个三角形数，61+2+310是第四个三角形数，101+2+3+415是第五个三角形数，151+2+3+4+5那么，第个九三角形数就是：l+2+3+4+5+6+7+8+945故选：C【点评】本题考查归纳推理的应用，注意总结规律，考查简单的归纳推等基础知识，考查判断能力、推理能力、数据处理能力，考查函数与方程思想，是基础题5（4分）下列式子中，与的值不相等的是（
11、）ABCD【分析】直接利用组合数的性质及排列数与组合数的关系逐一分析得答案【解答】解：由组合数的性质可得，又，同理，与的值不相等的是故选：D【点评】本题考查组合及组合数公式，考查组合数的性质，是基础题6（4分）（x）9的展开式中x5的系数为（）A36B84C36D84【分析】写出二项展开式的通项，由x得指数等于5求得r值，则答案可求【解答】解：二项式（x）9的展开式中，通项公式Tr+1（1）rx92r，令92r5，解得r2，x3项的系数36故选：C【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（4分）今有一组实验数据如下：x1.993.04.05.16.12y1.5
12、4.047.51218.01分别用下列函数模型来拟合变量y与x的相关关系，其中拟合效果最好的是（）AyBylogxCylog2xDy2x2【分析】由已知中的数据分析变量y与x的变化规律，结合给定四个函数的图象和性质，可得答案【解答】解：由已知中的数据可得：变量y与x存在正相关关系，故排除B；而且随着x的增大，y的加速增长，故排除CD，故选：A【点评】本题考查的知识点是变量间的相关关系，函数的图象和性质，难度中档8（4分）已知a、b是不相等的正数，x，y，则x、y的关系是（）AxyByxCxyD不能确定【分析】先将x和y平方，再利用均值不等式比较x2和y2的大小，进而确定x与y的大小关系【解答】
13、解：x2（+）2（a+b+2），y2a+b（a+b+a+b）（a+b+2）x2，又x0，y0yx【点评】应用基本不等式时，要熟练掌握不等式成立的条件与重要不等式的变形，本题也可利用取特殊值的方法判断9（4分）工厂制造某种机器零件的尺寸XN（100，0.01），任取10000个零件时，尺寸在（99.8，99.9）内的个数约为附：若XN（，2），则P（X+）0.6826，P（2X+2）0.9544，P（3X+3）0.9974）（）A2718B1359C430D215【分析】由已知可得100，0.1，求出P（99.8X99.9），乘以10000得答案【解答】解：XN（100，0.01），100，0.
14、1，则P（99.8X99.9）P（2X）P（2X+2）P（X+）（0.95440.6826）0.1359任取10000个零件时，尺寸在（99.8，99.9）内的个数约为100000.13591359故选：B【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，关键是对题意的理解，是基础题10（4分）甲、乙、丙、丁、戊5名学生报名参加数学、物理、生物三科竞赛，每人各自报一科，每科至少1人，至多2人，则不同的参赛方案个数为（）A180B120C90D60【分析】根据题意，分2步分析：，将5人分成1、2、2的三组，将分好的3组全排列，对应报名参加数学、物理、生物三科竞赛，由分步计数原理计算可得答案【
15、解答】解：根据题意，分2步分析：，将5人分成1、2、2的三组，有15种分组方法；，将分好的3组全排列，对应报名参加数学、物理、生物三科竞赛，有A336种对应方法，则有15690种不同的报名方法；故选：C【点评】本题考查排列、组合的实际应用，注意要先分组，再进行排列11（4分）定积分（x）dx（）ABCD【分析】根据定积分的计算法则和定积分的几何意义即可求出【解答】解dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，则dx，xdxx2，则（x）dx，故选：D【点评】本题考查了定积分的计算和定积分的几何意义，属于基础题12（4分）设f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）+xf（x）0
16、且f（4）0，则不等式xf（x）0的解集为（）A（4，0）（4，+）B（4，0）（0，4）C（，4）（4，+）D（，4）（0，4）【分析】由题意构造函数g（x）xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，由函数f（x）的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性，由f（4）0得g（4）0、还有g（4）0，再通过奇偶性进行转化，利用单调性求出不等式得解集【解答】解：设g（x）xf（x），则g（x）xf（x）xf（x）+xf（x）xf（x）+f（x）0，函数g（x）在区间（，0）上是减函数，f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）xf（x）是R上的奇函数，函数g（x）在区间（0，+）上是减函数，f
17、（4）0，f（4）0；即g（4）0，g（4）0xf（x）0化为g（x）0，设x0，故不等式为g（x）g（4），即0x4设x0，故不等式为g（x）g（4），即x4故所求的解集为（，4）（0，4）故选：D【点评】本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，注意函数值为零的自变量的取值二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.将答案填在答题纸上，13（4分）（1+2x）10的展开式的所有二项式系数中，最大的是252（用数字作答）【分析】据展开式中中间项的二项式系数最大得出第6项的二项式系数最大，利用二项展开式的通项公式求出【解答
18、】解：展开式中共有11项据展开式中中间项的二项式系数最大故第6项的二项式系数252最大故答案为：252【点评】本题考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式属于中档题14（4分）随机变量XB（n，p），且E（X）200，D（X）100，则p等于【分析】根据n次独立重复实验的概率、数学期望与方差的计算公式，列方程求得p的值【解答】解：随机变量XB（n，p），则E（X）np200，D（X）np（1p）100，2，解得p故答案为：【点评】本题考查了n次独立重复实验的概率、数学期望与方差的计算公式应用问题，是基础题15（4分）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，则在取到的2个数之和为偶数的条件下，
19、取到的2个数均为奇数的概率为【分析】利用列举法求出在取到的2个数之和为偶数的条件下，基本事件有4个，取到的2个数均为奇数包含的基本事件有3个，由此能求出取到的2个数均为奇数的概率【解答】解：从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，则在取到的2个数之和为偶数的条件下，基本事件有4个，分别为：（1，3），（1，5），（2，4），（3，5），取到的2个数均为奇数包含的基本事件有3个，分别为：（1，3），（1，5），（3，5），取到的2个数均为奇数的概率为p故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题16（4分）已知函数f（x）l
20、nx+（xa）2（aR）在区间，2上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（，）【分析】利用导函数得到不等式恒成立，然后求解a的范围【解答】解：函数f（x）在区间，2上存在单调增区间，函数f（x）在区间，2上存在子区间使得不等式f（x）0成立f（x）+2（xa），设h（x）2x22ax+1，则h（2）0或h（）0，即84a+10或a+10，得a故答案为：（，）【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数恒成立，考查转化思想，不等式的解法，考查计算能力三、解答题：本大题共5小题，共56分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）某学生对其36名亲属的饮食习惯进行了一次调查，根据性
21、别及饮食习惯制作了如下列联表：喜食蔬菜喜食肉食总计男81422女10414总计181836已知在这36人中随机抽取1人，抽到男性喜食肉食的人的概率是（1）请将上面的列联表补充完整（直接写结果，不需要写求解过程）；（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为其亲属喜食肉食与性别有关系？附：K2，na+b+c+dP（K2k0）0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.828【分析】（1）计算男性喜食肉食的人数，由此填写列联表即可；（2）由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论【解答】解：（1）这36人中男性喜食肉食的人数为3614，根据题意填写列联表如下；喜
22、食蔬菜喜食肉食总计男81422女10414总计181836（2）由表中数据，计算K24.2083.841，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为其亲属喜食肉食与性别有关系【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题18（10分）已知f（x）1nx，g（x）f（x）+f（x），试比较g（x）与g（）的大小【分析】求出g（x），g（）的解析式，设h（x）g（x）g（），根据函数的单调性判断即可【解答】解：由f（x）lnx，得f（x），g（x）lnx+，g（）lnx+x，设h（x）g（x）g（）2lnxx+，则h（x），当x（0，1）（1，+）时，h（x）0，h（1）0，故h（x）在
23、（0，+）递减，又h（1）0，故0x1时，h（x）h（1）3，即g（x）g（），当x1时，g（x）g（），当x1时，h（x）h（1）0，即g（x）g（）【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题19（12分）已知数列an的第1项a1，且an+1（n1，2，3，），求a2、a3、a4的值，由此猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想【分析】由an+1与an的关系，我们从n1依次代入整数值，即可求出a2，a3，a4；由a1，a2，a3的值与n的关系，我们归纳推理出数列的通项公式，观察到它们是与自然数集相关的性质，故可采用数学归纳法来证明【解答】解：a
24、1，an+1a2，a3，a4可猜想an，证明：当n1时，由a1得结论成立；假设nk（kN*）时结论成立，即ak当nk+1时，ak+1当nk+1时结论成立由可知，an对任意正整数n都成立【点评】本题主要考查归纳推理，数学归纳法，数列的通项等相关基础知识考查运算化简能力、推理论证能力和化归思想20（12分）若函数f（x）ax3bx+4，当x2时，函数f（x）有极值，极值为（1）求函数f（x）的解析式；（2）试讨论方程f（x）k0（kR）解的个数【分析】（1）先求出函数的导数，再由当x2时，函数f（x）有极值，极值为，利用导数性质列出方程组，求出a，b4，由此能求出函数f（x）的解析式（2）求出f（
25、x）x24（x2）（x+2），令f（x）0，得x2或x2，列表讨论，能求出结果【解答】解：（1）函数f（x）ax3bx+4，f（x）3ax2b，当x2时，函数f（x）有极值，极值为，解得a，b4，经检验得a，b4，符合题意，函数f（x）的解析式为f（x）4x+4（2）由（1）得f（x）x24（x2）（x+2），令f（x）0，得x2或x2，当x变化时，f（x），f（x）的变化如下表： x （，2）2（2，2）2 （2，+） f（x）+ 0 0+ f（x） 当x2时，f（x）有极大值，当x2时，f（x）有极小值，函数f（x）4x+4的图象如右图所示，当k或k时，直线yk与函数f（x）的图象有1个交
26、点，方程f（x）k0有一个解，当k或k时，直线yk与函数f（x）的图象有2个交点，方程f（x）k0有两个解，当时，直线yk与函数f（x）的图象有3个交点，方程f（x）k0有三个解【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查方程的解的个数的求法，考查导数性质、构造法、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21（12分）某银行柜台设有一个服务窗口，假设各顾客办理业务所需的时间相互独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需时间进行统计，结果如表：办理业务所需要的时间（分钟）1234频率0.10.40.30.2从第一个顾客开始办理业务时计时，以所作统计的各办理业务所需时间
27、的频率作为其所需时间的概率（1）求第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望【分析】（1）设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，可得Y的分布列，A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟，由此可求概率；（2）确定X所有可能的取值，求出相应的概率，即可得到X的分布列及数学期望【解答】解：
28、设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布如下：Y12345P0.10.40.30.10.1（1）A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟所以 P（A）0.10.3+0.30.1+0.40.40.22；（2）X所有可能的取值为：0，1，2X0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P（X0）P（Y2）0.5；X1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P（X1）0.10.9+0.40.49；X2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X2）0.10.10.01；所以X的分布列为X012P0.50.490.01EX00.5+10.49+20.010.51【点评】本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是明确变量的取值与含义
