1、2017-2018学年山东省枣庄市薛城区高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）复数1i的虚部为（）AiB1CD2（5分）用数学归纳法证明1+a+a2+an+1（a1，nN*），在验证n1成立时，左边的项是（）A1B1+aC1+a+a2D1+a+a2+a43（5分）有一段“三段论”推理：对于可导函数f（x），若f（x）在区间（a，b）上是增函数，则f（x）0对x（a，b）恒成立，因为函数f（x）x3在R上是增函数，所以f（x）3x20对xR恒成立以上推理中（）A大前提错误B小前提错误C推理
2、形式错误D推理正确4（5分）某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间满足的关系式为yx3x240x（x0），为使耗电量最小，则速度为（）A30B40C50D605（5分）已知f（x）x2+2xf（1），则 f（0）等于（）A2B2C1D46（5分）以下式子正确的个数是（）（）（cosx）sinx（2x）2xln2 （lgx）A1个B2个C3个D4个7（5分）（x）dx等于（）ABCD8（5分）如图，在平面直角坐标系中，将直线y与直线x1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V（）2dx，以此类推：将曲线yx2（x0）与直线y2及y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转
3、体的体积V（）AB2C3D49（5分）已知函数f（x）ax33x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是（）A（2，+）B（，2）C（1，+）D（，1）10（5分）图中的线段按下列规则排列，试猜想第9个图形中的线段条数为（）A510B512C1021D102211（5分）函数yex（2x1）的大致图象是（）ABCD12（5分）已知函数f（x）x（lnxax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A（，0）B（0，）C（0，1）D（0，+）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13（5分）复数（i为虚数单位）的共轭复数是 14（5分）已知f（x）为偶函数，
4、当x0时，f（x）ln（x）+3x，则曲线yf（x）在点（1，3）处的切线方程是 15（5分）函数f（x）lnx有两个零点，则实数a的取值范围为 16（5分）二维空间中圆的一维测度（周长）l2r，二维测度（面积）Sr2；三维空间中球的二维测度（表面积）S4r2，三维测度（体积）Vr3；四维空间中“超球”的三维测度V8r3，则猜想其四维测度W 三、解答题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知复数z3+bi（bR），且（1+3i）z为纯虚数（1）求复数z及；（2）若，求复数的模|18（12分）已知函数f（x）x33x29x+2（1）求函数f（x）的单
5、调区间；（2）求函数f（x）在区间2，2上的最小值19（12分）设a，b，c，d均为正数，且a+bc+d，若abcd，证明：（1）；（2）|ab|cd|20（12分）设点P在曲线yx2上，从原点向A（2，2）移动，如果直线OP，曲线yx2及直线x2所围成的阴影部分面积分别记为S1、S2（）当S1S2时，求点P的坐标；（）当S1+S2有最小值时，求点P的坐标和最小值21（12分）已知函数fn（x），数列an满足an+1fn（an），a13（1）是否存在n，使得fn（x）在x1处取得极值，若存在，求n的值，若不存在，说明理由；（2）求a2，a3，a4的值，请猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证
6、明22（12分）已知函数f（x）alnx+（aR）在x2处的切线与直线4x+y0垂直（）求函数f（x）的单调区间；（）若存在x（1，+），使f（x）（mZ）成立，求m的最小值2017-2018学年山东省枣庄市薛城区高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）复数1i的虚部为（）AiB1CD【分析】直接由虚部定义得答案【解答】解：复数1i的虚部为故选：D【点评】本题考查复数的基本概念，是基础的定义题2（5分）用数学归纳法证明1+a+a2+an+1（a1，nN*），在验证n1成立
7、时，左边的项是（）A1B1+aC1+a+a2D1+a+a2+a4【分析】在验证n1时，左端计算所得的项把n1代入等式左边即可得到答案【解答】解：用数学归纳法证明1+a+a2+an+1（a1，nN*），在验证n1时，把当n1代入，左端1+a+a2故选：C【点评】此题主要考查数学归纳法证明等式的问题，属于概念性问题3（5分）有一段“三段论”推理：对于可导函数f（x），若f（x）在区间（a，b）上是增函数，则f（x）0对x（a，b）恒成立，因为函数f（x）x3在R上是增函数，所以f（x）3x20对xR恒成立以上推理中（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D推理正确【分析】在使用三段论推理证明中，
8、如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“f（x）在区间（a，b）上是增函数，则可导函数f（x），f（x）0对x（a，b）恒成立”，不难得到结论【解答】解：大前提是：“对于可导函数f（x），f（x）在区间（a，b）上是增函数，如果f（x0）0，那么xx0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），f（x）在区间（a，b）上是增函数，f（x）0对x（a，b）恒成立，应该是f（x）0对x（a，b）恒成立，大前提错误，故选：A【点评】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的
9、前提与结论之间有蕴涵关系因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论4（5分）某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间满足的关系式为yx3x240x（x0），为使耗电量最小，则速度为（）A30B40C50D60【分析】欲求使耗电量最小，则其速度应定为多少，即求出函数的最小值即可，对函数求导，利用导数求研究函数的单调性，判断出最小值位置，代入算出结果【解答】解：由题设知yx239x40，令y0，解得x40，或x1，故函数yx3x240x（x0）在40，+）上增，在（0，40上减，当x40，y取得最小值由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40；故选：
10、B【点评】考查用导数研究函数的单调性求最值，本题是导数一章中最基本的应用题型5（5分）已知f（x）x2+2xf（1），则 f（0）等于（）A2B2C1D4【分析】首先对f（x）求导，将f（1）看成常数，再将1代入，求出f（1）的值，化简f（x），最后将x0代入即可【解答】解：因为f（x）2x+2f（1），令x1，可得f（1）2+2f（1），f（1）2，f（x）2x+2f（1）2x4，当x0，f（0）4故选：D【点评】考查学生对于导数的运用，这里将f（1）看成常数是很关键的一步6（5分）以下式子正确的个数是（）（）（cosx）sinx（2x）2xln2 （lgx）A1个B2个C3个D4个【分析】
11、根据题意，依次对四个式子的函数求导，即可得判断其是否正确，即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析四个式子：对于、x1，则（）（x1），故错误；对于、（cosx）sinx 正确；对于、（2x）2xln2，正确；对于、（lgx），故错误；综合可得：正确；故选：B【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式7（5分）（x）dx等于（）ABCD【分析】原积分化为dxxdx，其中dx表示以原点为圆心以1为半径的圆的面积的四分之一，问题得以解决【解答】解：dx表示以原点为圆心以1为半径的圆的面积的四分之一，故dx，xdx，dxxdx，故选：D【点评】本题主要考查了定积分的几何意义和定积分的计算，
12、属于基础题8（5分）如图，在平面直角坐标系中，将直线y与直线x1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V（）2dx，以此类推：将曲线yx2（x0）与直线y2及y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V（）AB2C3D4【分析】根据类比推理，结合定积分的应用，即可求出旋转体的体积【解答】解：根据类比推理得体积V（）2dyydyy22，故选：B【点评】本题主要考查旋转体的体积的计算，根据类比推理是解决本题的关键9（5分）已知函数f（x）ax33x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是（）A（2，+）B（，2）C（1，+）D（，1）【分
13、析】（i）当a0时，f（x）3x2+1，令f（x）0，解得x，两个解，舍去（ii）当a0时，f（x）3ax26x3ax（x），令f（x）0，解得x0或对a分类讨论：当a0时，由题意可得关于a的不等式组；当a0时，推出极值点不满足题意，推出结果即可【解答】解：（i）当a0时，f（x）3x2+1，令f（x）0，解得x，函数f（x）有两个零点，舍去（ii）当a0时，f（x）3ax26x3ax（x），令f（x）0，解得x0或当a0时，0，当x或x0时，f（x）0，此时函数f（x）单调递减；当x0时，f（x）0，此时函数f（x）单调递增是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点函数f（x）ax
14、33x2+1存在唯一的零点x0，且x00，则：；即：，可得a2当a0时，0，当x或x0时，f（x）0，此时函数f（x）单调递增；当0x时，f（x）0，此时函数f（x）单调递减是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点不满足函数f（x）ax33x2+1存在唯一的零点x0，且x00，综上可得：实数a的取值范围是（，2）故选：B【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题10（5分）图中的线段按下列规则排列，试猜想第9个图形中的线段条数为（）A510B512C1021D1022【分析】观察图形可到这样一个规律，第二个图
15、形比第一个图形多22个，第三个图形比第二个图形多42个，第四个图形比第三个图形多82个第一个图形是1个，则第二个是5，第三个是13，不难发现得到第9个图形中线段条数【解答】解：通过观察，第一个图形有1个第二个图形有1+22个第三个图形有1+22+42个第四个图形有1+22+42+82个第五个图形有1+22+42+82+162个第六个图形有1+22+42+82+162+322个第9个图形有1+2（2+4+8+16+32+64+128+256）1021（个）故选：C【点评】此题主要考查了学生分析问题、观察总结规律的能力关键是通过观察分析得出规律，此题是得到一个首项是2，公比是2的等比数列2，4，8
16、，11（5分）函数yex（2x1）的大致图象是（）ABCD【分析】判断函数的单调性，计算函数与坐标轴的交点坐标即可得出答案【解答】解：yex（2x1）+2exex（2x+1），令y0得x，当x时，y0，当x时，y0，yex（2x1）在（，）上单调递减，在（，+）上单调递增，当x0时，ye0（01）1，函数图象与y轴交于点（0，1）；令yex（2x1）0得x，f（x）只有1个零点x，当x时，yex（2x1）0，当x时，yex（2x1）0，综上，函数图象为A故选：A【点评】本题考查了函数的图象判断，函数单调性、零点、极值的计算，属于中档题12（5分）已知函数f（x）x（lnxax）有两个极值点，则
17、实数a的取值范围是（）A（，0）B（0，）C（0，1）D（0，+）【分析】先求导函数，函数f（x）x（lnxax）有两个极值点，等价于f（x）lnx2ax+1有两个零点，等价于函数ylnx与y2ax1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象由图可求得实数a的取值范围【解答】解：函数f（x）x（lnxax），则f（x）lnxax+x（a）lnx2ax+1，令f（x）lnx2ax+10得lnx2ax1，函数f（x）x（lnxax）有两个极值点，等价于f（x）lnx2ax+1有两个零点，等价于函数ylnx与y2ax1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a时，直线y2ax
18、1与ylnx的图象相切，由图可知，当0a时，ylnx与y2ax1的图象有两个交点则实数a的取值范围是（0，）简解：函数f（x）x（lnxax），则f（x）lnxax+x（a）lnx2ax+1，令f（x）lnx2ax+10得lnx2ax1，可得2a有两个不同的解，设g（x），则g（x），当x1时，g（x）递减，0x1时，g（x）递增，可得g（1）取得极大值1，作出yg（x）的图象，可得02a1，即0a，故选：B【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，
19、且解法简捷二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13（5分）复数（i为虚数单位）的共轭复数是【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题14（5分）已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）ln（x）+3x，则曲线yf（x）在点（1，3）处的切线方程是2x+y+10【分析】由偶函数的定义，可得f（x）f（x），即有x0时，f（x）lnx3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（x）f（x），当x0时，f（x）ln（x
20、）+3x，即有x0时，f（x）lnx3x，f（x）3，可得f（1）ln133，f（1）132，则曲线yf（x）在点（1，3）处的切线方程为y（3）2（x1），即为2x+y+10故答案为：2x+y+10【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题15（5分）函数f（x）lnx有两个零点，则实数a的取值范围为（，0）【分析】根据题意，分析函数f（x）的定义域，求出其导数，分析可得当a0时，函数f（x）在（0，+）上为增函数，不会有2个零点，不符合题意；则讨论当a0时，f（x）在（0，+）上的单调性，即可函数的极值，又由函数有2个零点，分析可得
21、f（a）ln（a）+10，解可得a的范围，即可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）lnx，其定义域为（0，+），函数f（x）lnx，则f（x）+，当a0时，f（x）0，函数f（x）在（0，+）上为增函数，不会有2个零点，不符合题意；当a0时，令f（x）0，解可得xa，分析可得：当0xa，f（x）0，函数f（x）在（0，a）上为减函数，当xa，f（x）0，函数f（x）在（a，+）上为增函数，f（x）在（0，+）上有最小值f（a），且f（a）ln（a）+1，若函数f（x）lnx有两个零点，必有f（a）ln（a）+10，解可得：a，则a的取值范围为（，0）；故答案为：（，0）【点评】本题考查函数
22、零点的判定，涉及利用函数的导数分析函数的极值问题，属于综合题16（5分）二维空间中圆的一维测度（周长）l2r，二维测度（面积）Sr2；三维空间中球的二维测度（表面积）S4r2，三维测度（体积）Vr3；四维空间中“超球”的三维测度V8r3，则猜想其四维测度W2r4【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，从而得到WV，从而求出所求【解答】解：二维空间中圆的一维测度（周长）l2r，二维测度（面积）Sr2，观察发现Sl三维空间中球的二维测度（表面积）S4r2，三维测度（体积）Vr3，观察发现VS四维空间中“超球”的三维测度V8r3，猜想其四维测度W，则WV8r3；W2
23、r4；故答案为：2r4【点评】本题考查类比推理，解题的关键是理解类比的规律，解题的关键主要是通过所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是低一维的测度，属于基础题三、解答题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知复数z3+bi（bR），且（1+3i）z为纯虚数（1）求复数z及；（2）若，求复数的模|【分析】（1）把z3+bi（bR）代入（1+3i）z，利用复数代数形式的乘除运算化简结合已知条件即可求出复数z及；（2）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案【解答】解：（1）z3+bi（bR），（1+3i）z（1+3i）（3+
24、bi）（33b）+（9+b）i又（1+3i）z是纯虚数，33b0，且9+b0，b1，z3+i，；（2）i|【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念以及复数模的求法，是中档题18（12分）已知函数f（x）x33x29x+2（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间2，2上的最小值【分析】（1）求出导函数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可（2）利用函数的单调性求解函数的最小值即可【解答】解：（1）函数f（x）x33x29x+2，函数f（x）3x26x9（2分）3（x+1）（x3），令f（x）3x26x90，得x11；x23（3分）当x变化时，
25、f（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：x（，1）1（1，3）3（3，+）f（x）+00+f（x）极大极小（6分）所以f（x）的单调递增区间是（，1），（3，+）；单调递减区间是（1，3）（8分）（2）因为f（2）0，f（2）20，（10分）再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间2，2上的最小值为：20（12分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查转化思想以及计算能力，正确求导是关键19（12分）设a，b，c，d均为正数，且a+bc+d，若abcd，证明：（1）；（2）|ab|cd|【分析】（1）利用平方和公式以及已知条件，通过不等式的基本性质推出结果即可（
26、2）利用平方关系与绝对值的等价性，以及已知条件转化证明即可【解答】证明：（1）（+）2a+b+2，（+）2c+d+2，a+bc+d，abcd，（+）2（+）2（6分）（2）（ab）2（a+b）24ab（c+d）24cd（cd）2|ab|cd|（12分）【点评】本题考查不等式的证明，综合法的应用，考查逻辑推理能力20（12分）设点P在曲线yx2上，从原点向A（2，2）移动，如果直线OP，曲线yx2及直线x2所围成的阴影部分面积分别记为S1、S2（）当S1S2时，求点P的坐标；（）当S1+S2有最小值时，求点P的坐标和最小值【分析】（）可考虑用定积分求两曲线围成的封闭图形面积，直线OP的方程为yt
27、x，则S1为直线OP与曲线yx2当x（0，t）时所围面积，所以，S10t（txx2）dx，S2为直线OP与曲线yx2当x（t，2）时所围面积，所以S2t2（x2tx）dx，再根据S1S2就可求出t值（）由（）可求当S1+S2，化简后，为t的三次函数，再利用导数求最小值，以及相应的x值，就可求出P点坐标为多少时，S1+S2有最小值【解答】解：（）设点p的横坐标为t（0t2），则P点的坐标为（t，t2），直线OP的方程为ytx，s1（txx2）dxt3，S2（x2tx）dxt3t+，因为S1S2，所以t，点P的坐标为（，）（）SS1+S2t3+t3t+t3t+，St21，令S0，得t210，t，因
28、为9t时，S0；t2时，S0，所以，当t时，Smin，P点的坐标为（，1）【点评】本题考查了用定积分求两曲线所围图形面积，以及导数求最值，做题时应认真分析21（12分）已知函数fn（x），数列an满足an+1fn（an），a13（1）是否存在n，使得fn（x）在x1处取得极值，若存在，求n的值，若不存在，说明理由；（2）求a2，a3，a4的值，请猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明【分析】（1）求出函数的导数，根据，求出n的值，判断结论即可；（2）猜想ann+2，根据数学归纳法证明即可【解答】解：（1）（x）x2（n+1）x+1，（nN*），若fn（x）在x1处取得极值，则，得n1，此时
29、，所以fn（x）在R上单调递增，不存在极值所以不存在n，使得fn（x）在x1处取得极值（2）由（x）x2（n+1）x+1，（nN*），a13，又an+1（n+1）an+1，a22a1+14，a33a2+15，a44a3+16，猜想ann+2，用数学归纳法证明，n1时显然成立假设当nk（kN*）时，akk+2猜想成立，则nk（kN*）时，akk+2，则当nk+1（kN*）时，ak+1（k+1）ak+1（k+2）2（k+1）（k+2）+1k+3（k+1）+2，nk+1时，猜想成立，由可知对一切nN*，ann+2成立【点评】本题考查了函数的导数，极值问题，考查归纳猜想，考查数学归纳法的应用，是一道中
30、档题22（12分）已知函数f（x）alnx+（aR）在x2处的切线与直线4x+y0垂直（）求函数f（x）的单调区间；（）若存在x（1，+），使f（x）（mZ）成立，求m的最小值【分析】（）求出函数的导数，根据f（2）的值，求出a，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；（）问题转化为存在x（1，+），使成立，得到mg（x）min，设，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，求出m的范围即可【解答】解：（），由已知，解得：a1，当x（0，1时，f（x）0，f （x）是减函数，当x1，+）时，f（x）0，f （x）是增函数，函数f （x）的单调递减区间是（0，1，单调递增区间是1，+）（）解：x（1，+），等价于，即存在x（1，+），使成立，mg（x）min，设，则，设h（x）x2lnx（x1），则h （x）在（1，+）上单调递增，又h （3）0，h （4）0，h （x）在（1，+）上有唯一零点，设为x0，则x02lnx0，且x0（3，4），又mx0+1，m的最小值是5【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查函数存在性问题，是一道中档题
