1、2019-2020学年山东省济南市章丘四中高二（上）第二次段考数学试卷（12月份）一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）命题“xR，x3x2+10”的否定是（）A不存在xR，x3x2+10Bx0R，x03x02+10Cx0R，x03x02+10DxR，x3x2+102（4分）在等差数列an中，a12，a3+a510，则a7（）A5B8C10D143（4分）椭圆kx2+2y22的一个焦点是（1，0），那么k（）AB1C1D4（4分）已知2x+y4（x0，y0），则xy的最大值是（）A2B4C6D85（4分）数列an满
2、足a11，且an+1ann+1（nN+），则数列的前10项和为（）ABCD6（4分）双曲线1（a0，b0）的离心率为，则其渐近线方程为（）AyxByxCyxDyx7（4分）关于x的不等式x2ax+40在区间1，2上有解，则实数a的取值范围是（）A（，5）B（，5C（，4）D（，48（4分）设斜率为的直线过抛物线C：y22px（p0）的焦点，与C交于A，B两点，且|AB|，则p（）AB1C2D49（4分）在等比数列an中，an0，a1+a2+a89，a1a2a881，则+的值为（）A3B6C9D2710（4分）已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF2|PF1|，椭
3、圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，若|PF1|F1F2|，则的最小值为（）ABC8D6二、多项选择题：（本题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）11（4分）下列叙述中不正确的是（）A“a1”是“方程x2+x+a0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件B若a，b，cR，则“ab2cb2”的充要条件是“ac”C“a1”是“”的充分不必要条件D若a，b，cR，则“ax2+bx+c0”的充要条件是“b24ac012（4分）已知F1，F2分别是双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的
4、一点，且0，则下列结论正确的是（）A双曲线C的渐近线方程为yxB以F1F2为直径的圆的方程为x2+y21CF1到双曲线的一条渐近线的距离为1DPF1F2的面积为113（4分）设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a11，a6a71，0，则下列结论正确的是（）A0q1Ba6a81CSn的最大值为S7DTn的最大值为T6三、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）14（4分）函数f（x）（ax1）（x+b），若不等式f（x）0的解集为（1，2），那么a+b ；15（4分）已知数列an的通项公式为，则数列an前15项和为S15的值为 16（4分）设F1，F
5、2分别是椭圆 +1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则 ；17（4分）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a11，第2个五角形数记作a25，第3个五角形数记作a312，第4个五角形数记作a422，若按此规律继续下去，得数列an，则anan1 （n2）；对nN*，an 四、解答题：（本大题共6小题，共82分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18（10分）已知集合Ax|ylg（x2x+12），
6、Bx|x2+2x80，Cx|xa|6（1）求AB；（2）若“xC”是“xAB”的必要不充分条件，求实数a的取值范围19（14分）设椭圆的短轴长为4，离心率为（1）直线yx+m与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；（2）设点M（1，2）是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，求直线l的方程20（14分）设数列an的前n项和为Sn，且满足Sn2an2（nN*）（1）证明：数列an是等比数列，并求它的通项公式；（2）设bn，求数列bn的前n项和Tn21（14分）某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m0）满足x3（k为常数），如果不搞
7、促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）（1）将2010年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大22（15分）设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足4Snan+124n1，nN*，且a2，a5，a14构成等比数列（1）证明：a2；（2）求数列an的通项公式；（3）设bn，数列bn的前n项和为Tn，若Tn2a1恒成立，求实数a的取值范围23
8、（15分）已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率等于，它的一个长轴端点恰好是抛物线y216x的焦点（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知P（2，m）、Q（2，m）（m0）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为求四边形APBQ的面积的最大值；求证：APQBPQ2019-2020学年山东省济南市章丘四中高二（上）第二次段考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）命题“xR，x3x2+10”的否定是（）A不存在xR，x3x2+10Bx0R，x03x02+10
9、Cx0R，x03x02+10DxR，x3x2+10【分析】根据已知中原命题，结合全称命题否定的方法，可得答案【解答】解：命题“xR，x3x2+10”的否定是：x0R，+10，故选：C【点评】本题考查的知识点全称命题的命题，难度不大，属于基础题2（4分）在等差数列an中，a12，a3+a510，则a7（）A5B8C10D14【分析】由题意可得a45，进而可得公差d1，可得a7a1+6d，代值计算即可【解答】解：在等差数列an中a12，a3+a510，2a4a3+a510，解得a45，公差d1，a7a1+6d2+68故选：B【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题3（4分）椭圆kx2+2y22
10、的一个焦点是（1，0），那么k（）AB1C1D【分析】由题设条件知a2，b21，求出c，列出方程求出k【解答】解：由题设条件椭圆kx2+2y22知a2，b21，c1，k1，故选：C【点评】本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用，是中档题4（4分）已知2x+y4（x0，y0），则xy的最大值是（）A2B4C6D8【分析】利用基本不等式先求出xy的范围，从而得到其最大值【解答】解：x0，y0，2x+y42x+y42解得xy2xy的最大值2故选：A【点评】本题主要考查了利用基本不等式求最值，此为和定积最大值，属于基础题5（4分）数列an满足a11，且an+1ann+1（nN+
11、），则数列的前10项和为（）ABCD【分析】利用“累加求和”可得an，再利用“裂项求和”即可得出【解答】解：a11，且an+1ann+1（nN+），an（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1n+（n1）+2+1，2数列的前10项和+2故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6（4分）双曲线1（a0，b0）的离心率为，则其渐近线方程为（）AyxByxCyxDyx【分析】根据双曲线离心率的定义求出a，c的关系，结合双曲线a，b，c的关系进行求解即可【解答】解：双曲线的离心率为e，则，即双曲线的渐近线
12、方程为yxx，故选：A【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键7（4分）关于x的不等式x2ax+40在区间1，2上有解，则实数a的取值范围是（）A（，5）B（，5C（，4）D（，4【分析】设f（x）x2ax+4，由题意，f（1）0，解出即可【解答】解：设f（x）x2ax+4，为开口向上，恒过（0，4）的二次函数，要使不等式x2ax+40在区间1，2上有解，则只需f（1）0即可，即1a+40，所以a5，故选：B【点评】本题考查一元二次不等式在给定区间有解的问题，转化为二次函数研究即可，属于基础题8（4分）设斜率为的直线过抛物线C：y22px（
13、p0）的焦点，与C交于A，B两点，且|AB|，则p（）AB1C2D4【分析】设直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可得xA+xB再利用弦长公式|AB|xA+xB+p，得到p，即可求此抛物线的方程【解答】解：抛物线y22px的焦点F（，0），直线AB的方程为y（x），代入y22px可得3x25px+p20xA+xB，由抛物线的定义可知，|AB|AF+BFxA+xB+pp2， 故选：C【点评】本题考查了抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式，属于中档题9（4分）在等比数列an中，an0，a1+a2+a89，a1a2a881，则+
14、的值为（）A3B6C9D27【分析】利用等比数列的性质得出，数列也为等比数列，代入即可【解答】解：由题意，q1，a1+a2+a89，得，由a1a2a881，得，数列也为等比数列，+故选：A【点评】考查等比数列的性质和前n项和公式的应用，中档题10（4分）已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF2|PF1|，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，若|PF1|F1F2|，则的最小值为（）ABC8D6【分析】由题意可知：|PF1|F1F2|2c，设椭圆的方程为+1（a1b10），双曲线的方程为1（a20，b20），利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得的表达式，通过
15、基本不等式即得结论【解答】解：由题意可知：|PF1|F1F2|2c，设椭圆的方程为+1（a1b10），双曲线的方程为1（a20，b20），又|F1P|+|F2P|2a1，|PF2|F1P|2a2，|F2P|+2c2a1，|F2P|2c2a2，两式相减，可得：a1a22c，则+（+18）（2+18）8当且仅当，即有e23时等号成立，则的最小值为8，故选：C【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义和简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题二、多项选择题：（本题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
16、11（4分）下列叙述中不正确的是（）A“a1”是“方程x2+x+a0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件B若a，b，cR，则“ab2cb2”的充要条件是“ac”C“a1”是“”的充分不必要条件D若a，b，cR，则“ax2+bx+c0”的充要条件是“b24ac0【分析】利用充要条件判断四个选项的正误即可【解答】解：若方程x2+x+a0有一个正根和一个负根，则14a0，x1x2a0a0，所以“a1”是“方程x2+x+a0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件；故A不正确若a，b，cR，“ac”且b0时，推不出“ab2cb2“，故B不正确；“a1”“1”但是“1”推不出“a1”，“a1”是“”的充
17、分不必要条件；故C正确当a0，b0，c0时，满足b24ac0，但此时ax2+bx+c0不成立，故a，b，cR，则“ax2+bx+c0”的充分条件是“b24ac0”所以D错误；故选：ABD【点评】本题考查命题的真假，充要条件的判断，是基本知识的考查，是中档题12（4分）已知F1，F2分别是双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且0，则下列结论正确的是（）A双曲线C的渐近线方程为yxB以F1F2为直径的圆的方程为x2+y21CF1到双曲线的一条渐近线的距离为1DPF1F2的面积为1【分析】给出双曲线方程，可以得出abc的值，左右焦点的坐标，渐近线方程，由0，得P的横
18、纵坐标的关系，再由P在双曲线上，可求出P的坐标进而得命题的真假【解答】解：A中双曲线x2y21，可得焦点在x轴上，a2b2，a0，b0，a是实半轴长，b虚半轴长，所以渐近线方程为yx即yx，所以A 正确；B中，x2y21，可得左焦点F1（，0），右焦点F2（，0），所以以F1F2为直径的圆的圆心是（0，0），半径为，所以圆的方程为x2+y22，所以B不正确；C中，F1（，0）到一条渐近线为xy0的距离d1，所以C正确；D中，0，设P坐标（x，y），（x，y），（x，y），（x）（）+（y）20x2+y22，又P在双曲线上，所以x2y21（y0），由得，|y|，SPFF2|F1F2|y|1，D正
19、确；故选：ACD【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题和易错题13（4分）设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a11，a6a71，0，则下列结论正确的是（）A0q1Ba6a81CSn的最大值为S7DTn的最大值为T6【分析】利用等比数列an，则lgan为等差数列，用等差数列的性质得出q和Tn的大小关系【解答】解：等比数列an，公比为q，q0，则lgan为等差数列，公差dlgq，由a11，a6a71，q0且q1，得lga10，lga6+lga70，0，得a61，a71，若不然，a7a6，则q1，又a11，数列ana1qn11，则a61，a
20、71，0不成立，故q1，又a6a71，所以q0，故0q1成立，由a61，a71，得lga60，lga70，又lga10，所以数列lgan是递减数列，从第7项开始小于零，故前6项和lgTn最大，即Tn的最大值为T6，lga6+lga82lga70，故B不成立，因为0q1，a11，所以数列各项均为正的，Sn没有最大值，C不成立，故选：AD【点评】考查了等差数列与等比数列的性质和前n项和公式，中档题三、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）14（4分）函数f（x）（ax1）（x+b），若不等式f（x）0的解集为（1，2），那么a+b3；【分析】由已知可得，（ax1）（x+b）0的解为x1
21、，或x2，且a0，然后结合二次方程的根与系数关系可求a，b即可求解【解答】解：f（x）（ax1）（x+b）0的解集为（1，2），（ax1）（x+b）0的解为x1，或x2，且a0，ax2+（ab1）xb0，整理可得，2a2+a10，解可得，a1或a（舍），b2a2，那么a+b3故答案为：3【点评】本题考查不等式的解法，主要考查二次不等式与二次方程的关系的相互转化，考查运算能力，属于基础题15（4分）已知数列an的通项公式为，则数列an前15项和为S15的值为【分析】由（），运用数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，结合等差数列的求和公式，化简可得所求和【解答】解：数列an的通项公式为，由（），
22、可得S15（1+）+（2+4+6+14）77+71649故答案为：【点评】本题考查数列的求和方法：分组求和，考查等差数列的求和公式和裂项相消求和方法，考查运算能力，属于中档题16（4分）设F1，F2分别是椭圆 +1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则；【分析】求得椭圆的a，b，c，运用椭圆的定义和三角形的中位线定理，可得PF2x轴，即可得|PF2|，|PF1|，即可所求值【解答】解：椭圆的a4，b3，c，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|2a8，由中位线定理可得PF2x轴，令x，可得y，即有|PF2|，|PF1|8，则故答案为：【点评】本题考查椭圆的定义，三角形的中位线
23、定理的运用，考查运算能力，属于基础题17（4分）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a11，第2个五角形数记作a25，第3个五角形数记作a312，第4个五角形数记作a422，若按此规律继续下去，得数列an，则anan13n2（n2）；对nN*，an【分析】根据题目所给出的五角形数的前几项，发现该数列的特点是，从第二项起，每一个数与前一个数的差构成了一个等差数列，由此可得结论【解答】解：a2a1514，a3a2125
24、7，a4a3221210，由此可知数列an+1an构成以4为首项，以3为公差的等差数列所以anan13（n1）+13n2（n2）迭加得：ana14+7+10+3n2，故an1+4+7+10+3n2，故答案为：3n2，【点评】本题考查了等差数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是能够由数列的前几项分析出数列的特点，属于中档题四、解答题：（本大题共6小题，共82分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18（10分）已知集合Ax|ylg（x2x+12），Bx|x2+2x80，Cx|xa|6（1）求AB；（2）若“xC”是“xAB”的必要不充分条件，求实数a的取值范围【分析】（1）求
25、出集合的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可（2）根据必要不充分条件的定义转化为集合的包含关系，然后建立不等式关系进行求解即可【解答】解：（1）由x2x+120得x2+x120，得4x3，即A（4，3），Bx|x2+2x80x|4x2，则ABx|4x2（2）Cx|xa|6x|a6xa+6，若“xC”是“xAB”的必要不充分条件，则ABC，即，得，即4a2，即实数a的取值范围是（4，2【点评】本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，结合交集的定义以及充分不必要条件的定义进行转化是解决本题的关键19（14分）设椭圆的短轴长为4，离心率为（1）直线yx+m与椭圆有公共点时，求实数
26、m的取值范围；（2）设点M（1，2）是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，求直线l的方程【分析】（1）根据椭圆的离心率公式及性质，即可求得椭圆方程，将直线方程代入椭圆方程，根据0，即可求得m的取值范围；（2）方法一：分类讨论，当斜率存在时，将直线方程代入椭圆方程，根据韦达定理及斜率公式即可求得直线方程；方法二：分类讨论，当斜率存在时，利用点差法，即可求得直线的斜率，求得直线方程【解答】解：（1）由题意b2，e，c2a2，所以a216，b24，即椭圆方程为；（3分）联立，整理得5x2+8mx+4m2160（5分）由0，即m220，解得2m2，所以实数m的取值范围2，2（7分）（2）设A（x1，y
27、1），B（x2，y2）法一：当斜率不存在时，x1，弦的中点（1，0）不符合题意，舍去（8分）当斜率存在时，设直线方程为y1k（x2）（9分），整理得（4k2+1）x2+8k（12k）x+16k216k120（11分）0恒成立x1+x2，x1x2，所以2，k，所以直线l的方程为x+2y40（14分）法二：当斜率不存在时，x1，弦的中点（1，0）不符合题意，舍去（8分）当斜率存在时，设A（x1，y1），B（x2，y2），两式相减得（x1+x2）（x1x2）+4（y1+y2）（y1y2）0，所以k，所以直线l的方程为x+2y40（14分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达
28、定理及点差法的应用，考查计算能力，属于中档题20（14分）设数列an的前n项和为Sn，且满足Sn2an2（nN*）（1）证明：数列an是等比数列，并求它的通项公式；（2）设bn，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）运用数列的递推式：当n1时，a1S1，当n2时，anSnSn1，将n换为n1作差，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）求得，再由数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，化简计算可得所求和【解答】解：（1）证明：当n2时，anSnSn1，当n1时，a1S12a12，可得a12，所以数列an是以2为首项，以2为公比的等比数列，则；（2），两式作差得：，所以【点评】本
29、题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题21（14分）某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m0）满足x3（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）（1）将2010年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2010年的促销费用投入
30、多少万元时，厂家的利润最大【分析】（1）由题意可知当m0时，x1由满足x3，即可得出k值，从而得出每件产品的销售价格，从而得出2010年的利润的表达式即可；（2）对于（1）中求得的解析式，根据其中两项之积为定值结合利用基本不等式此函数的最大值及相应的x值，从而解决该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大【解答】解：（1）由题意可知当m0时，x1（万件），13kk2（2分）x3每件产品的销售价格为1.5（元），（4分）2010年的利润yx（8+16x+m）（6分）4+8xm4+8m+29（m0）（8分）（2）m0时，+（m+1）28，（12分）y8+2921，当且仅当m+1m3（
31、万元）时，ymax21（万元）（15分）所以当该厂家2010年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大（15分）【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、基本不等式的应用等基础知识，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题22（15分）设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足4Snan+124n1，nN*，且a2，a5，a14构成等比数列（1）证明：a2；（2）求数列an的通项公式；（3）设bn，数列bn的前n项和为Tn，若Tn2a1恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）由4Snan+124n1，可令n1，整理即可得证；（2）将n换为n1，两式相减，结合等差数列的定义和等比数列的中
32、项性质，即可得到所求通项公式；（3）求得，运用数列的裂项相消求和可得Tn，由不等式的性质和恒成立思想，解不等式可得所求范围【解答】解：（1）证明：由4Snan+124n1，nN*，当n1时，；（2）当n2时，由an0，可得an+1an+2an+1an2，数列an从第二项起成等差数列，且d2，因为a2，a5，a14构成等比数列，所以，可得a23，由，所以a11，a2a12，所以数列an成等差数列即an2n1；（3），前n项和为Tn1+11，Tn2a1恒成立，可得2a11a1【点评】本题考查数列的递推式的运用，等差数列的定义和通项公式，等比数列的中项性质，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，
33、属于中档题23（15分）已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率等于，它的一个长轴端点恰好是抛物线y216x的焦点（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知P（2，m）、Q（2，m）（m0）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为求四边形APBQ的面积的最大值；求证：APQBPQ【分析】（1）由离心率及抛物线的焦点是椭圆长轴的端点即a，b，c的关系可得椭圆的标准方程；（2）设直线ABd的方程，联立椭圆的两根之和及两根之积，四边形的面积用坐标表示，即求出面积的最大值；证明角相等，一般证明两条直线的斜率互为相反数即可【解答】解：（1）由题意设椭圆C的方程为 1 （ab0），因为抛物线 y216x的焦点坐标为（4，0），则 a4，由 e，a2b2+c2，b212，椭圆C的方程为1；（2）当 x2时，解得 m3，|PQ|6，设 A（x，y），B（x，y），直线AB的方程为yx+t，联立与椭圆的方程：，x2+tx+t2120，由0，解得4t4，由韦达定理得x+xt，xxt212|xx|，由此可得：四边形APBQ的面积S|CD|xx|6|xx|3，当t0 时，Smax12；）kAP，kBPkAP+kBP+，而y，yx+t，可得分子t212+（t4）（t）4t+120，kAP+kBP0，即kAPkBP，APQBPQ【点评】考查直线与圆锥曲线的综合，属于中难题
