1、2019-2020学年山东省泰安市宁阳一中高二（上）段考数学试卷（一）（10月份）一、单项选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）不等式x2+5x60的解集是（）Ax|x2或x3Bx|2x3Cx|x6或x1Dx|6x12（4分）在等差数列an中，若a1+2a2+3a318，则2a1+a5（）A9B8C6D33（4分）设a，b是非零实数，若ab，则下列不等式成立的是（）Aa2b2Bab2a2bCD4（4分）不等式的解集为（）Ax|1x2Bx|1x2Cx|x1或x2Dx|x1或x25（4分）如果1，a，b，c，9成等比数列，那么
2、（）Ab3，ac9Bb3，ac9Cb3，ac9Db3，ac96（4分）已知+1（x0，y0），则xy的最小值（）A15B6C60D17（4分）已知等差数列an前n项和为Sn，若S1010，S2060，则S40（）A110B150C210D2808（4分）设a0，b0，若3是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A8BC4D9（4分）设aR，若关于x的不等式x2ax+10在区间1，2上有解，则（）Aa2Ba2CaDa10（4分）三国时期著名的数学家刘徽对推导特殊数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了许多算法，展现了聪明才智他在九章算术“盈不足”章的第19题的注文中给出了一个特殊数列的求和公式这个题
3、的大意是：一匹良马和一匹驽马由长安出发至齐地，长安与齐地相距3000里（1里500米），良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里驽马第一天走97里，以后每天比前一天少走半里良马先到齐地后，马上返回长安迎驽马，问两匹马在第几天相遇（）A14天B15天C16天D17天二、多项选择题：本题共3个小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错的得0分.11（4分）设Sn是数列an的前n项和，且a11，an+1SnSn+1，则（）ABC数列为等差数列D12（4分）已知数列an的前n项和为Sn，Sn2an2，若存在两项am
4、，an，使得aman64，则下列结论正确的是（）A数列an为等比数列B数列an为等差数列Cm+n为定值D设数列bn的前n项和为Tn，bnlog2an，则数列为等差数列13（4分）给出下列语句，其中结论正确的是（）A若a，b为正实数，则B若a，m为正实数，ab，则C设f（x）x2+ax+4，若不等式f（x）0在1，2上恒成立，只需f（1）0且f（2）0成立D三、填空题：本题共4个小题，每小题4分，共16分.14（4分）设一元二次不等式ax2+bx+10的解集为，则ab的值是 15（4分）已知a，bR+，且a+b+3ab，则ab的取值范围 16（4分）已知数列an满足a2+a518，a3a432，
5、若an为单调递增的等差数列，其前n项和为Sn，则S10 ，若an为单调递减的等比数列，其前n项和为Tn63，则n 17（4分）已知Sn是数列an的前n项和，若，则S2019的值为 四、解答题：本题共6个小题共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（12分）已知函数f（x）x22x8（1）解不等式f（x）0；（2）若对一切x0，不等式f（x）mx9恒成立，求实数m的取值范围19（14分）已知数列an是等比数列，数列bn是等差数列，且满足：a1b11，b2+b34a2，a33b25（1）求数列an和bn的通项公式；（2）设cnan+bn，求数列cn的前n项和Sn20（14分）解关于x
6、的不等式021（14分）已知数列an满足a11，且2，nN*）（1）求证数列是等差数列，并求数列an的通项公式；（2）设，数列bn的前n项和Bn，求证Bn122（14分）设数列an的前n项和为Sn，且Snn2n+1，在正项等比数列bn中，b2a2，b4a5（）求an和bn的通项公式；（）设cnanbn，求数列cn的前n项和23（14分）（1）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘使天平平衡；再将5克砝码放在天平的右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客你认为顾客购买得的
7、黄金是小于10克，等于10克，还是大于10克？为什么？（2）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定哪种购物方式比较经济？能把所得结论作一些推广吗？2019-2020学年山东省泰安市宁阳一中高二（上）段考数学试卷（一）（10月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）不等式x2+5x60的解集是（）Ax|x2或x3Bx|2x3Cx|x6或x1Dx|6x1【分析】把不等式化为（x+
8、6）（x1）0，求出解集即可【解答】解：不等式x2+5x60化为（x+6）（x1）0，解得x6或x1，不等式的解集是x|x6或x1故选：C【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题2（4分）在等差数列an中，若a1+2a2+3a318，则2a1+a5（）A9B8C6D3【分析】由a1+2a2+3a318，得6a1+8d18，从而2a1+a53a1+4d9【解答】解：设an的公差为d，由a1+2a2+3a318，得6a1+8d183a1+4d9，则2a1+a53a1+4d9故选：A【点评】本题考查等差数列的两项和的求法，考查等差数列性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程
9、思想，是基础题3（4分）设a，b是非零实数，若ab，则下列不等式成立的是（）Aa2b2Bab2a2bCD【分析】由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项【解答】解：A选项不正确，因为a2，b1时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a1，b2时，不等式就不成立；C选项正确，因为ab，故当ab时一定有；D选项不正确，因为a1，b2时，不等式就不成立；故选：C【点评】本题考查不等关系与不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，且能根据这些性质灵活选用方法进行判断，如本题采用特值法排除三个选项，用单调性判断正确选项4（4分）不等式的解集为（）A
10、x|1x2Bx|1x2Cx|x1或x2Dx|x1或x2【分析】先将分式不等式转化为一元二次不等式，再求出相应的解集即可【解答】解：原不等式等价于：（x+1）（2x）0且2x0x1，或x2原不等式的解集为x|x1或x2故选：D【点评】本题考查的重点是分式不等式，解题的关键是转化为一元二次不等式，一定要注意分母不等于05（4分）如果1，a，b，c，9成等比数列，那么（）Ab3，ac9Bb3，ac9Cb3，ac9Db3，ac9【分析】由等比数列的等比中项来求解【解答】解：由等比数列的性质可得ac（1）（9）9，bb9且b与奇数项的符号相同，b3，故选：B【点评】本题主要考查等比数列的等比中项的应用6
11、（4分）已知+1（x0，y0），则xy的最小值（）A15B6C60D1【分析】利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：x0，y0，1+，化为xy60，当且仅当y6，x10时取等号xy的最小值为60故选：C【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题7（4分）已知等差数列an前n项和为Sn，若S1010，S2060，则S40（）A110B150C210D280【分析】由题意利用等差数列的性质可得，S10，S20S10，S30S20，S40S30，仍然是等差数列，由此求得S40的值【解答】解：等差数列an前n项和为Sn，若S1010，S2060，S20S1050，由等差数列的性质可得，10，50
12、，S30S20，S40S30，仍然是等差数列，公差为40，S30S2090，S40S30130，则S30150，S40280，故选：D【点评】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题8（4分）设a0，b0，若3是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A8BC4D【分析】由条件可得 3a3b32，故a+b2，（a+b）（），展开后利用基本不等式求出它的最小值【解答】解：a0，b0，3是3a与3b的等比中项，3a3b32，故a+b2（a+b）（）（+）+2+2 ，当且仅当时，等号成立，则的最小值为，故选：D【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形
13、是解题的关键，属于中档题9（4分）设aR，若关于x的不等式x2ax+10在区间1，2上有解，则（）Aa2Ba2CaDa【分析】关于x的不等式x2ax+10在区间1，2上有解，x1，2利用函数的单调性即可得出【解答】解：关于x的不等式x2ax+10在区间1，2上有解，在x1，2上有解，x1，2函数f（x），在1，2上单调递增，a故选：D【点评】本题考查了函数的单调性、分离参数法，考查了转化思想和计算能力，属基础题10（4分）三国时期著名的数学家刘徽对推导特殊数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了许多算法，展现了聪明才智他在九章算术“盈不足”章的第19题的注文中给出了一个特殊数列的求和公式这个题的大
14、意是：一匹良马和一匹驽马由长安出发至齐地，长安与齐地相距3000里（1里500米），良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里驽马第一天走97里，以后每天比前一天少走半里良马先到齐地后，马上返回长安迎驽马，问两匹马在第几天相遇（）A14天B15天C16天D17天【分析】设两匹马在第n天相遇，由题意可知，良马每一天行程构成以193为首项，以13为公差的等差数列，驽马每天行程构成以97为首项，以0.5为公差的等差数列，从而有193n+97n+30002，可求【解答】解：设两匹马在第n天相遇，由题意可知，良马每一天行程构成以193为首项，以13为公差的等差数列，驽马每天行程构成以97为首项，以
15、0.5为公差的等差数列193n+97n+30002，化简可得，5n2+557n48000当n15时，5n2+557n48000，n16时，5n2+557n48000故n16时，满足题意故选：C【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用二、多项选择题：本题共3个小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错的得0分.11（4分）设Sn是数列an的前n项和，且a11，an+1SnSn+1，则（）ABC数列为等差数列D【分析】首先利用数列的递推关系式求出数列为等差数列，进一
16、步利用通项公式的应用求出数列的通项公式，进一步求出数列的和【解答】解：Sn是数列an的前n项和，且a11，an+1SnSn+1，则Sn+1SnSnSn+1，整理得（常数），所以数列是以为首项，1为公差的等差数列故C正确所以，故：所以当n2时，（首项不符合通项），故故B正确所以，故D正确故选：BCD【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型12（4分）已知数列an的前n项和为Sn，Sn2an2，若存在两项am，an，使得aman64，则下列结论正确的是（）A数列an为等比数列B数列an为等差数列Cm+n为定值
17、D设数列bn的前n项和为Tn，bnlog2an，则数列为等差数列【分析】直接利用数列的递推关系式的应用求出数列为等比数列，进一步求出数列的通项公式和前n项和公式【解答】解：数列an的前n项和为Sn，Sn2an2，当n1时，解得a12，当n2时，Sn12an12，所以anSnSn12an2an1，整理得an2an1，即（常数），所以数列an是以2为首项，2为公比的等比数列所以（首项符合通项）所以，故选项A正确由于，故存在两项am，an，使得aman64，2m+n26，即m+n6故选项C正确所以bnlog2ann，所以，所以符合一次函数的形式，故该数列为等差数列故选项D正确故选：ACD【点评】本题
18、考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的定义的应用，等差数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型13（4分）给出下列语句，其中结论正确的是（）A若a，b为正实数，则B若a，m为正实数，ab，则C设f（x）x2+ax+4，若不等式f（x）0在1，2上恒成立，只需f（1）0且f（2）0成立D【分析】根据四个平均数的关系，平方平均数调和平均数，可知选项A正确；利用作差法可以判断选项B不正确；根据连续函数在闭区间上的最值，可知C正确；利用基本不等式可以判断D正确【解答】解：根据四个平均数的关系，平方平均数调和平均数，可知选项A正确；因为，所以，故
19、选项B不正确；根据定义在闭区间上的开口向下的二次函数的最小值只能在区间端点取得，所以fminminf（1），f（2），即只需只需f（1）0且f（2）0成立即可，所以C正确；因为，三式相加，两边同除以2，即得，所以D正确故选：ACD【点评】本题主要考查不等式的证明方法应用，以及二次函数恒成立问题的解法，属于中档题三、填空题：本题共4个小题，每小题4分，共16分.14（4分）设一元二次不等式ax2+bx+10的解集为，则ab的值是6【分析】对原不等式进行等价变形，利用根与系数的关系求出a、b的值，即可得出ab的值【解答】解：不等式ax2+bx+10的解集为x|1x，a0，原不等式等价于ax2bx1
20、0，由根与系数的关系，得1+，13，a3，b2，ab6故答案为：6【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是基础题目15（4分）已知a，bR+，且a+b+3ab，则ab的取值范围9，+）【分析】因为a，bR+，且a+b+3ab，结合基本不等式，将原方程转化为关于ab的不等式，解不等式即可【解答】解：依题意，a，bR+，且a+b+3ab，所以aba+b+3+3，令t，（t0），则t22t30，解得t1或t3，又因为t0，故t3，即3，所以ab9，当且仅当ab3时，等号成立，故答案为：9，+）【点评】本题考查了基本不等式，利用基本不等式将方程转化为关于ab的不
21、等式时解题关键，本题属于基础题16（4分）已知数列an满足a2+a518，a3a432，若an为单调递增的等差数列，其前n项和为Sn，则S10370，若an为单调递减的等比数列，其前n项和为Tn63，则n6【分析】an为单调递增的等差数列，则公差d0由数列an满足a2+a518，a3a432，可得a2+a518a3+a4，a3a432，可得a3，a4为一元二次方程x218x+320的两个实数根，且a3a4，解得再利用通项公式与求和公式即可得出设等比数列an的公比为q，数列an满足a2+a518，a3a432a2a5，可得a2，a5是一元二次方程x218x+320的两个实数根，又an为单调递减的
22、等比数列，可得a216，a52再利用通项公式与求和公式即可得出【解答】解：an为单调递增的等差数列，则公差d0数列an满足a2+a518，a3a432，a2+a518a3+a4，a3a432，则a3，a4为一元二次方程x218x+320的两个实数根，且a3a4，解得a32，a416，可得d14，a1+2142，解得a126S102610+14370设等比数列an的公比为q，数列an满足a2+a518，a3a432a2a5，a2，a5是一元二次方程x218x+320的两个实数根，又an为单调递减的等比数列，a216，a52q3，解得qa116，解得a132Tn63，解得n6故答案为：370，6【
23、点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17（4分）已知Sn是数列an的前n项和，若，则S2019的值为0【分析】直接利用数列的通项公式和数列的周期求出结果【解答】解：由于数列的通项公式为：，当n1时，当n2时，当n3时，当n4时，当n5时，所以：数列的周期为4，故：a1+a2+a3+a41+01+00，所以：S20195040+a2017+a2018+a20191+010故答案为：0【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的周期的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型四、解答题：本题共6个小题共8
24、2分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（12分）已知函数f（x）x22x8（1）解不等式f（x）0；（2）若对一切x0，不等式f（x）mx9恒成立，求实数m的取值范围【分析】（1）原不等式可化为（x+2）（x4）0，结合二次函数的图象及性质可求；（2）法一：原不等式可化为x22x+1mx，结合不等式的恒成立与最值的相互转化，结合基本不等式可求；法二：原不等式可化为x2（2+m）x+10，令g（x）x2（2+m）x+1，结合二次函数的性质可求【解答】解：（1）f（x）x22x80可化为（x+2）（x4）0，所求不等式解集为：（，24，+）；（2）法一：f（x）mx9可化为x22x8m
25、x9，即x22x+1mx，又x0对任意的x0恒成立，又当且仅当即x1时取等号，m0，m的取值范围是（，0；法二：f（x）mx9可化为x2（2+m）x+10，令g（x）x2（2+m）x+1，（x0），对称轴，当时，即m2，g（x）在（0，+）单调递增，g（x）g（0）10恒成立，当时，即m2，对任意的x0，使g（x）0恒成立，只需满足，解得2m0，综上所述：m0，m的取值范围是（，0【点评】本题主要考查了二次不等式的求解及二次函数与二次不等式性质的相互转化恒成立与最值求解的相互转化，属于中档试题19（14分）已知数列an是等比数列，数列bn是等差数列，且满足：a1b11，b2+b34a2，a33
26、b25（1）求数列an和bn的通项公式；（2）设cnan+bn，求数列cn的前n项和Sn【分析】（1）设an的公比为q，bn的公差为d，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求通项公式；（2）求得cnan+bn2n1+2n1，运用数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和【解答】解：（1）设an的公比为q，bn的公差为d，由a1b11，b2+b34a2，a33b25，有，化为q24q+40，解得q2，则d2，所以an的通项公式为an2n1，nN*，bn的通项公式为bn2n1，nN*；（2）cnan+bn2n1+2n1，则Sn（1+2+4+2n1
27、+（1+3+5+2n1）+n（1+2n1）2n+n21【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题20（14分）解关于x的不等式0【分析】原不等式等价于（ax1）（x2）0，结合二次不等式的求解，分类讨论进行求解【解答】解：原不等式等价于（ax1）（x2）0，（1）当a0时，解集为（，2）；（2）当a0时，原不等式可化为（ax+1）（x2）0，因为，所以解集为（）；（3）当时，时，2，解集为（，2）；（4）当a时，原不等式等价于（x1）（x2）0，即（x2）20，解集为（，2）（2，+）；（5）当时，2，解集为（）（2，+
28、），综上所述，当a0时，解集为（，2）；当a0时，解集为（，2）；当时，解集为（，2）；当时时，解集为（）（2，+）说明：每种情况（2分），最后综上（2分）【点评】本题主要考查了分式不等式与二次不等式的相互转化，体现了分类讨论思想的应用21（14分）已知数列an满足a11，且2，nN*）（1）求证数列是等差数列，并求数列an的通项公式；（2）设，数列bn的前n项和Bn，求证Bn1【分析】（1）将已知递推式两边同除以2n，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）求得，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和Bn，再由不等式的性质即可得证【解答】解：（1）由a11，且2，nN*），可得+1，
29、即1，数列是首项为，公差为1的等差数列；可得+n1n，则an（2n1）2n1；（2）证明：，前n项和Bn1+1，由0，可得11则Bn1【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式的应用，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题22（14分）设数列an的前n项和为Sn，且Snn2n+1，在正项等比数列bn中，b2a2，b4a5（）求an和bn的通项公式；（）设cnanbn，求数列cn的前n项和【分析】（1）由Snn2n+1，n2时，anSnSn1，n1时，a1S11即可得出an设正项等比数列bn的公比为q，由b2a22，b4a58可得q，利用通项公式可得bn（2）由（1）得：cnanbn设数
30、列cn的前n项和为Tn利用错位相减法即可得出【解答】解：（1）由Snn2n+1，n2时，anSnSn1n2n+1（n1）2（n1）+12n2，n1时，a1S11an设正项等比数列bn的公比为q，b2a22，b4a582bn22n22n1（2）由（1）得：cnanbn设数列cn的前n项和为Tnn1时，T11；n2时，Tn1+22+223+324+（n1）2n，2Tn2+23+224+（n2）2n+（n1）2n+1，Tn3+23+24+2n（n1）2n+1（n1）2n+14，Tn（n2）2n+1+5n1时也成立Tn（n2）2n+1+5【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错
31、位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23（14分）（1）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘使天平平衡；再将5克砝码放在天平的右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客你认为顾客购买得的黄金是小于10克，等于10克，还是大于10克？为什么？（2）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定哪种购物方式比较经济？能把所得结论作一些推广吗？【分析】（
32、1）设天平的左臂长为a，右臂长b，则ab售货员现将5g的砝码放在左盘，将黄金xg放在右盘使之平衡；然后又将5g的砝码放入右盘，将另一黄金yg放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为x+y（g）利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出；（2）设此种商品的价格分别为p1，p2（都大于0），第一种方案每次购买这种物品数量为x0；第二种方案每次购买这种物品的钱数为y0可得：第一种方案的平均价格为：；第二种方案的平均价格为，利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：（1）顾客购买得的黄金是大于10克原因如下：由于天平两臂不等长，设左臂为a，右臂为b，则ab，先称得黄金质量x，后称的黄金质量为y，则bx5a，ay5b，故x+y+210，所以，顾客购买得的黄金是大于10克（2）设此种商品的价格分别为p1，p2（都大于0），第一种方案每次购买这种物品数量为x0；第二种方案每次购买这种物品的钱数为y0可得：第一种方案的平均价格为：；第二种方案的平均价格为，当且仅当p1p2时取等号第二种购物方式比较经济一般地，如果n次购买同一物品，用第二种策略比较经济【点评】本题考查了基本不等式的性质解决实际问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
