1、2019-2020学年山东省菏泽市高二（上）期中数学试卷（A卷）一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）若ab0，cR，则（）ABa+cb+cCa2b2Dacbc2（4分）已知等差数列an中，a1+a714，则a4（）A7B8C14D163（4分）已知椭圈的两个焦点是，椭圆上任意一点M与两焦点距离的和等于4，则椭圆C的离心率为（）ABCD24（4分）命题“x2，+），x24”的否定式是（）Ax2，+），x24Bx（，2），x24Cx02，+），x024Dx02，+），x0245（4分）恩格尔系数（记为n）是指居民的食物
2、支出占家庭消费总支出的比重国际上常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况联合国对消费水平的规定标准如表：家庭类型贫穷温饱小康富裕最富裕nn0.60.5n0.60.4n0.50.3n0.4n0.3实施精准扶贫以来，根据对某山区贫困家庭消费支出情况（单位：万元）的抽样调查，2018年每个家庭平均消费支出总额为2万元，其中食物消费支出为1.2万元预测2018年到2020年每个家庭平均消费支出总额每年的增长率约是30%，而食物消费支出平均每年增加0.2万元，预测该山区的家庭2020年将处于（）A贫困水平B温饱水平C小康水平D富裕水平6（4分）已知f（x）ax+（x0）在x4处取得最小值，则
3、a（）A4B2C1D7（4分）已知方程表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆，则t的取值范围（）A（4，7）B（4，7）（7，10）C（7，10）D（4，10）8（4分）南北朝时期的数学古籍张邱建算经有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差（即等差）降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给问：每等人比下等人多得几斤？”（）ABCD9（4分）若关于x的不等式对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是（）Ak|3k0Bk|k3或k0Ck|k3或k0Dk|3k010（4分）已知数列an满足，则a2019（）A4BCD二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4
4、分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分.11（4分）设a，bR，则下列不等式一定成立的是（）Aa2+b22abBCb2+12bD12（4分）已知等比数列an中，满足a11，q2，则（）A数列是等差等列B数列是递减数列C数列log2an是等差数列D数列log2an是递减数列13（4分）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分
5、别为2a、2b、2c，则（）Aacm+RBa+cn+RC2am+nD三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在对应题号后的横线上）14（4分）若关于x的一元二次方程x22x+0有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是 15（4分）能够说明“设a，b，c是任意实数，若b2ac，则a，b，c依次成等比数列”是假命题的一组数a，b，c的值依次为 16（4分）已知椭圆上的点P与两焦点的连线互相垂直，则点P的坐标是 17（4分）一定温度下，某种不饱和溶液的质量为a克其中溶质为b克，若再添加该溶质m克，且全部溶解，则该溶液的浓度 （用“变大”、“变小”或“不变”填写）；该溶液浓度变化的大
6、小关系可用不等式 表示四、解答题（本大题共6小题，共82分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18（12分）已如椭圆的右焦点，且点A（2，0）在椭圆上（l）求椭圆C的标准方程：（2）过点F且斜率为1的直线与椭圆C相交于M、N两点，求线段MN的长度19（14分）（1）已知一元二次方程x2bx+20的两根分别为2和m，求关于x的不等式的解集（2）求关于x的不等式ax2（a2+4）x+4a0（a0）的解集20（14分）设an是公差大于0的等差数列，其前n项和为Sn，a12，且S32a3（1）求数列an的通项公式：（2）若，求数列bn的前n项和Tn21（14分）某小电子产品2018年的价格为9元
7、/件，年销量为a件，经销商计划在2019年将该电子产品的价格降为x元/件（其中6.5x8.5），经调查，顾客的期望价格为5元/件，经测算，该电子产品的价格下降后年销量新增加了件（其中常数k0）已知该电子产品的成本价格为4元/件（1）写出该电子产品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式：（年收益年销售收入成本）（2）设k2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2019年的收益比2018年至少增长20%？22（14分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足Snan1，其中0且1（1）证明：数列an是等比数列：（2）当，令cn（n+1）an，数列an的前n项和为Tn，若需恒成立
8、，求正整数n的最小值：23（14分）已知圆，圆心为点C，点是圆C内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径CP相交于点M，P在圆上运动（l）求动点M的轨迹N的方程：（2）若B为曲线N上任意一点，|BC|BA|的最大值：（3）经过点G（1，0）且斜率为k的直线交曲线N于E，F两点在x轴上是否存在定点D，使得GDEGDF恒成立？若存在，求出点P坐标：若不存在，说明理由2019-2020学年山东省菏泽市高二（上）期中数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）若ab0，cR，则（
9、）ABa+cb+cCa2b2Dacbc【分析】根据条件取a2，b1，c0，可排除A，C，D，然后由不等式的基本性质直接判断B正确【解答】解：ab0，cR，取a2，b1，c0，可排除A，C，D由不等式的基本性质知，a+cb+c，故B正确故选：B【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题2（4分）已知等差数列an中，a1+a714，则a4（）A7B8C14D16【分析】由等差数列通项公式得a1+a72a414，由此能求出a4的值【解答】解：等差数列an中，a1+a714，a1+a72a414，解得a47故选：A【点评】本题考查等差数列的第4项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力
10、，是基础题3（4分）已知椭圈的两个焦点是，椭圆上任意一点M与两焦点距离的和等于4，则椭圆C的离心率为（）ABCD2【分析】利用椭圆的定义以及椭圆的焦距求出a，c，然后求解椭圆的离心率即可【解答】解：椭圈的两个焦点是，所以c，椭圆上任意一点M与两焦点距离的和等于4，所以a2，所以e故选：B【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题4（4分）命题“x2，+），x24”的否定式是（）Ax2，+），x24Bx（，2），x24Cx02，+），x024Dx02，+），x024【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论【解答】解：命题为全称命题，则命题“x2，+），x24”的否定是：
11、x02，+），x024，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础5（4分）恩格尔系数（记为n）是指居民的食物支出占家庭消费总支出的比重国际上常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况联合国对消费水平的规定标准如表：家庭类型贫穷温饱小康富裕最富裕nn0.60.5n0.60.4n0.50.3n0.4n0.3实施精准扶贫以来，根据对某山区贫困家庭消费支出情况（单位：万元）的抽样调查，2018年每个家庭平均消费支出总额为2万元，其中食物消费支出为1.2万元预测2018年到2020年每个家庭平均消费支出总额每年的增长率约是30%，而食物消费支出平均每年增加0.2万元，预测该山
12、区的家庭2020年将处于（）A贫困水平B温饱水平C小康水平D富裕水平【分析】用食品消费支出额除以消费支出总额，求出食品消费支出额是消费总额的百分之几（即n），然后找出所处的范围，从而判断其生活水平【解答】解：2018年每个家庭平均消费支出总额为2万元，其中食物消费支出为1.2万元，预测2018年到2020年每个家庭平均消费支出总额每年的增长率约是30%，而食物消费支出平均每年增加0.2万元，2020年，消费总额为：21.32万元，食物消费支出为：1.6万元；可得n0.47，0.4n0.5，预测该山区的家庭2020年将处于小康水平故选：C【点评】本题考查实际问题的处理方法，恩格尔系数（记为n）是
13、指居民的食物支出占家庭消费总支出的比重的理解与应用6（4分）已知f（x）ax+（x0）在x4处取得最小值，则a（）A4B2C1D【分析】容易看出a0不符合题意，从而看出a0，从而得出在x取得最小值，从而得出，解出a即可【解答】解：a0时，f（x）在（0，+）上是减函数，无最小值，不符合题意，a0，在x取得最小值，又f（x）在x4处取得最小值，解得故选：D【点评】本题考查了一次函数、反比例函数和的单调性，根据函数单调性求最值的方法，考查了计算和推理能力，属于基础题7（4分）已知方程表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆，则t的取值范围（）A（4，7）B（4，7）（7，10）C（7，10）D（4，10）【
14、分析】利用椭圆的焦点坐标所在的直线，列出不等式组求解即可【解答】解：方程表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆，可得：，解得t（4，7）故选：A【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题8（4分）南北朝时期的数学古籍张邱建算经有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差（即等差）降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给问：每等人比下等人多得几斤？”（）ABCD【分析】根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为d，根据题意和等差数列的前n项和公式列出方程组，求出公差d即可得到答案【解答】解：设第十等人得金a1斤，第九等人得
15、金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列an构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，由题意得，即，解得d，每一等人比下一等人多得斤金故选：B【点评】本题考查等差数列的定义，前n项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想，是基础题9（4分）若关于x的不等式对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是（）Ak|3k0Bk|k3或k0Ck|k3或k0Dk|3k0【分析】当k0时，不等显然成立，当k0时，根据条件可得，然后解不等式即可【解答】解：当k0时，对任意实数x都成立，k0；当k0时，不等式对任意实数x都成立，3k0，综上，k的取值范围为3，0故选：D【点评】本题考查了含参一
16、元二次不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想，属基础题10（4分）已知数列an满足，则a2019（）A4BCD【分析】直接利用数列的递推关系式整理出数列的周期，进一步求出结果【解答】解：数列an满足，则当n2时，当n3时，当n4时，当n5时，所以数列的周期为4，故20195044+3，则故选：D【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的周期的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分.11（4分）设a，bR，则下
17、列不等式一定成立的是（）Aa2+b22abBCb2+12bD【分析】利用重要不等式和基本不等式判断各选项即可【解答】解：Aa，bR，a2+b22ab（ab）20，a2+b22ab，故A正确；Ba，bR，取ab1，可知B错误；CbR，b2+12b（b1）20，b2+12b，故C正确；Da，bR，当ab0时，不成立，故D错误故选：AC【点评】本题考查了重要不等式和基本不等式，考查了转化思想，属基础题12（4分）已知等比数列an中，满足a11，q2，则（）A数列是等差等列B数列是递减数列C数列log2an是等差数列D数列log2an是递减数列【分析】由已知求得数列an的通项公式，然后判定数列是递减等
18、比数列，数列log2an是递增的等差数列，则答案可求【解答】解：在等比数列an中，由a11，q2，得，则，由，可得数列是递减等比数列，故A错误，B正确；又log2an，log2an+1log2ann（n1）1，数列log2an是递增的等差数列，故C正确，D错误故选：BC【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的判定，是基础题13（4分）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别
19、为2a、2b、2c，则（）Aacm+RBa+cn+RC2am+nD【分析】根据题意可知：acRm，a+cRn，从而求出a，c的值，进而求出的b值，推出结果【解答】解：设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则由题意可知：acRm，a+cRn，可得acm+R，所以A正确；a+cR+n，所以B正确；可得a+R，c则b2a2c2（+R）2（）2（m+R）（n+R）则所以D正确；故选：ABD【点评】本题的关键是正确理解题意，从而寻找几何量之间的关系，是基础题三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在对应题号后的横线上）14（4分）若关于x的一元二次方程x22x+0有两个不相等的正实
20、数根，则实数的取值范围是01【分析】利用0和韦达定理得出结论【解答】解：关于x的一元二次方程x22x+0有两个不相等的正实数根，则440，1，又两个根的乘积0，所以01故答案为：01【点评】考查一元二次方程根的情况，用来判别式法，基础题15（4分）能够说明“设a，b，c是任意实数，若b2ac，则a，b，c依次成等比数列”是假命题的一组数a，b，c的值依次为k，0，0【分析】由题意利用等比数列的性质得出结论【解答】解：能够说明“设a，b，c是任意实数，若b2ac，则a，b，c依次成等比数列”是假命题，则这一组数a，b，c的值依次为：k，0，0，故答案为：k，0，0【点评】本题主要考查等比数列的性
21、质，属于基础题16（4分）已知椭圆上的点P与两焦点的连线互相垂直，则点P的坐标是【分析】以椭圆的中心为圆心，以半焦距为半径的圆，椭圆与圆的交点即为所求【解答】解：椭圆，a216，b26，c2a2b28，以O为圆心，半径2的圆方程x2+y28 （1）椭圆（2）由（1）（2）得：x20，y28，则点P的坐标是椭圆上一点P与椭圆两个焦点连线互相垂直，即椭圆与圆的交点故答案为：【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题17（4分）一定温度下，某种不饱和溶液的质量为a克其中溶质为b克，若再添加该溶质m克，且全部溶解，则该溶液的浓度变大（用“变大”、“变小”或“不变”填写）；该
22、溶液浓度变化的大小关系可用不等式表示【分析】比较原来溶液的浓度和添加溶质m克后溶液的浓度，可得结论【解答】解：原来溶液的浓度为，再添加溶质m克后，溶液的浓度变为，此时浓度变大；该溶液浓度变化的大小关系可用不等式表示故答案为：变大；【点评】本题考查不等式的基本性质，属基础题四、解答题（本大题共6小题，共82分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18（12分）已如椭圆的右焦点，且点A（2，0）在椭圆上（l）求椭圆C的标准方程：（2）过点F且斜率为1的直线与椭圆C相交于M、N两点，求线段MN的长度【分析】（1）由焦点且过点A（2，0），可求出a，c，b，进而可以写出椭圆的标准方程（2）写出直线
23、MN方程，联立椭圆方程，由韦达定理得x1+x2，x1 x2，再求线段MN长度即可【解答】解：（1）由题意知，焦点且过点A（2，0），b2a2c2431，椭圆方程为（2）由题意得，直线MN的方程为，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与椭圆方程，得，192160320，则，又，【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及直线和椭圆相交时弦长的计算，属于中档题19（14分）（1）已知一元二次方程x2bx+20的两根分别为2和m，求关于x的不等式的解集（2）求关于x的不等式ax2（a2+4）x+4a0（a0）的解集【分析】（1）根据韦达定理即可得出，从而解出，代入不等式得出分式不等式，解这个分式不
24、等式即可；（2）可将原不等式变成（ax4）（xa）0（a0），a0时，容易解出该不等式，而a0时，再讨论与a的关系，从而解出原不等式【解答】解：（1）一元二次方程x2bx+20的两根分别为2和m，由韦达定理知，解得，不等式为，移项整理得，解得3x5，不等式的解集为x|3x5；（2）由题意得，原不等式可化为（ax4）（xa）0（a0），1）当a0时，原不等式的解集为x|x0；2）当a0时，方程（ax4）（xa）0的两根为，当时，即a2时，原不等式的解集为；当时，即a2时，原不等式的解集为R；当时，即0a2时，原不等式的解集为，综上所述，当a0时，原不等式的解集为x|x0；当0a2时，原不等式的解
25、集为；当a2时，原不等式的解集为R；当a2时，原不等式的解集为【点评】本题考查韦达定理，分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题20（14分）设an是公差大于0的等差数列，其前n项和为Sn，a12，且S32a3（1）求数列an的通项公式：（2）若，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）设数列an的公差为d（d0），运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差，进而得到所求通项公式；（2）运用等差数列的求和公式，求得Sn，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和【解答】解：（1）设数列an的公差为d（d0），a12，S32a3，即3a1+3d2（a1+
26、2d），d2，；（2），Snn（n+1），Tnb1+b2+b3+bn【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题21（14分）某小电子产品2018年的价格为9元/件，年销量为a件，经销商计划在2019年将该电子产品的价格降为x元/件（其中6.5x8.5），经调查，顾客的期望价格为5元/件，经测算，该电子产品的价格下降后年销量新增加了件（其中常数k0）已知该电子产品的成本价格为4元/件（1）写出该电子产品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式：（年收益年销售收入成本）（2）设k2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商201
27、9年的收益比2018年至少增长20%？【分析】（1）求出销量和每件商品的利润，即可得出y关于x的函数；（2）列出不等式解出x的范围即可得出结论【解答】解：（1）因为该电子产品价格下降后的价格为x元/件，销售量为件，每件电子产品利润为x4元年收益y关于x的函数为：（2）当k2a时，依题意有，整理得：x213x+420，解得：x6或x7，又6.5x8.5，所以7x8.5，因此当实际价格最低定为7元/件时，仍然可以保证经销商2019年的收益比2018年至少增长20%【点评】本题考查了函数解析式的求解，不等式的解法，属于基础题22（14分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足Snan1，其中0且1（1
28、）证明：数列an是等比数列：（2）当，令cn（n+1）an，数列an的前n项和为Tn，若需恒成立，求正整数n的最小值：【分析】（1）由数列的递推式，结合等比数列的定义即可得证；（2）运用等比数列的通项公式，可得cn（n+1）2n，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得Tn，再由数列的单调性和不等式恒成立思想，可得所求最小值【解答】解：（1）证明：Snan1，Sn1an11，n2由得，ananan1，又0且1，an是首项为，公比的等比数列；（2）当，则q2，且a12，Tnc1+c2+c3+cn221+322+423+（n+1）2n，2Tn222+323+424+（n+1）2n+1，
29、由得，n2n+1，y2x+1在1，+）为增函数，且21010242019，21120482019，n+111，又nN*n10，n的最小值为10【点评】本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及不等式恒成立思想的运用，考查化简运算能力，属于中档题23（14分）已知圆，圆心为点C，点是圆C内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径CP相交于点M，P在圆上运动（l）求动点M的轨迹N的方程：（2）若B为曲线N上任意一点，|BC|BA|的最大值：（3）经过点G（1，0）且斜率为k的直线交曲线N于E，F两点在x轴上是否存在定点D，使得GDEGDF恒成立
30、？若存在，求出点P坐标：若不存在，说明理由【分析】（1）连接MA，利用垂直平分线性质及圆的相关性质可判断出M的轨迹是椭圆；（2）根据题意可知，再利用基本不等式可得|BC|BA|的最大值：（3）联立椭圆与直线方程，利用角相等恒成立得斜率相等恒成立，即可求出点P坐标【解答】解：（1）连接MA，l是线段AP的垂直平分线，点M到两定点距离之和为定值，点M的轨迹是以C，A两点为焦点，长轴长为的椭圆，动点M的轨迹N的方程为；（2）B为曲线N上任意一点，当且仅当时，等号成立；（3）假设存在点D（m，0），设E（x1，y1），F（x2，y2），直线方程为yk（x1），代入椭圆方程，得（1+3k2）x26k2x+3k230，b24ac36k44（1+3k2）（3k23）0且，由GDEGDF，所以kDE+kDF0，（x1m）k（x21）+（x2m）k（x11）0，k（x1m）（x21）+（x2m）（x11）0，由于对任意k恒成立，因此（x1m）（x21）+（x2m）（x11）02x1x2（m+1）（x1+x2）+2m0恒成立，即恒成立，恒成立，因此m3综上所述，存在点D（3，0）满足题意【点评】本题考查点的轨迹方程、线段乘积最值以及角相等恒成立问题，综合性较强，属于中档题
