1、2018-2019学年山东省淄博市部分学校高二（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）在复平面内，复数zi（1+3i）（i为虚数单位）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）不等式21的解集为（）A（0，+）B（，0）C（，0）（1，+）D（0，1）3（5分）命题“x0R，”的否定是（）AxR，x2x10BxR，x2x10Cx0R，Dx0R，4（5分）抛物线y4x2的准线方程为（）Ay1BCx1D5（5分）设随机变量N（，2），且，则P（01）的值为（）AB1pC12pD6（5分
2、）已知x1，y1且lgx+lgy4，则lgxlgy的最大值是（）A4B2C1D7（5分）二项式（2x1）5的展开式的各项中，二项式系数最大的项为（）A20xB20x和40x2C40x2和80x3D80x38（5分）若数列an是等比数列，则“首项a10，且公比q1”是“数列an单调递增”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D非充分非必要条件9（5分）在等差数列an中，若S918，Sn240，an430，则n的值为（）A14B15C16D1710（5分）函数的图象大致是（）ABCD11（5分）已知双曲线：1，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|+|的最
3、小值为（）AB11C12D1612（5分）已知线段AB所在的直线与平面相交于点B，且与平面所成的角为30，|AB|2，C，D为平面内的两个动点，且|BC|1，BAD30，则C，D两点间的最小距离为（）A21B1CD1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，13（5分）由0，1，2，9十个数字组成的无重复数字的三位数共 个14（5分）已知x，y之间的一组数据如表表示：x0124ya3.9714.1y关于x的回归方程是3.2x+0.8，则a等于 15（5分）已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取i（i1，2）个球放在甲盒中，放入i个球后，甲盒中含有红球
4、的个数i（i1，2），则E（1）+E（2）的值为 16（5分）若实数a，b，c，d满足1，则（ac）2+（bd）2的最小值为 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）前段时间，某机构调查人们对屯商平台“618”活动的认可度（分为：强烈和一般两类），随机抽取了100人统计得到22列联表的部分数据如表：一般强烈合计男45女10合计75100（1）在答题卡上补全22列联表中的数据；（2）判断能否有95%的把握认为人们的认可度是否为“强烈”与性别有关？参考公式及数据：K2P（K2k0）0.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6
5、357.87918（12分）已知数列an满足Sn2nan（nN*）（1）计算a1，a2，a3，并写出an+1与an的关系；（2）证明数列an2是等比数列，并求出数列an的通项公式19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是边长为2的正方形，平面PBC平面ABCD，直线PA与平面PBC所成的角为45，PC2（1）若E，F分别为BC，CD的中点，求证：直线AC平面PEF；（2）求二面角DPAB的正弦值20（12分）为降低养殖户养鸭风险，某保险公司推出了鸭意外死亡保险，该保单合同规定每只幼鸭投保2元，若生长期内鸭意外死亡，则公司每只鸭赔付12元假设鸭在生长期内的意外死亡率为0.15，且每只鸭
6、是否死亡相互独立若某养殖户养鸭3000只，都投保该险种（1）求该保单保险公司赔付金额等于保费时，鸭死亡的只数；（2）求该保单保险公司平均获利多少元21（12分）在直角坐标系中，已知椭圆E经过点M（2，），且其左右焦点的坐标分别是（3，0），（3，0）（1）求椭圆E的离心率及标准方程；（2）设P（3，t）为动点，其中t（，），直线l经过点P且与椭圆E相交于A，B两点，若P为AB的中点，是否存在定点N，使|NA|NB|恒成立？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由22（12分）已知函数f（x）lnxsin（x1），f（x）为f（x）的导函数证明：（1）f（x）在区间（0，2）存在唯一极小值点；（
7、2）f（x）有且仅有2个零点2018-2019学年山东省淄博市部分学校高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）在复平面内，复数zi（1+3i）（i为虚数单位）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：zi（1+3i）3+i，复数z对应的点的坐标为（3，1），位于第二象限故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2（5分）不等式21的解集为（）A（0，+）B（，0）
8、C（，0）（1，+）D（0，1）【分析】直接利用指数函数的单调性，转化求解即可【解答】解：不等式21，可得式220，x2x0，解得0x1故选：D【点评】本题考查指数、对数不等式的解法，是基本知识的考查3（5分）命题“x0R，”的否定是（）AxR，x2x10BxR，x2x10Cx0R，Dx0R，【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“x0R，”的否定为：xR，x2x10故选：A【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，考查基本知识的应用4（5分）抛物线y4x2的准线方程为（）Ay1BCx1D【分析】由抛物线的准线方程的
9、定义可求得【解答】解：因为抛物线y4x2，可化为：x2，则抛物线的准线方程为y故选：D【点评】本题主要考查抛物线的定义和性质，比较基础5（5分）设随机变量N（，2），且，则P（01）的值为（）AB1pC12pD【分析】根据服从正态分布N（1，2），得到曲线的对称轴是直线x1，再结合所给概率，可求结论【解答】解：由题意，服从正态分布N（1，2）曲线的对称轴是直线x1，P（01）故选：D【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是一个基础题6（5分）已知x1，y1且lgx+lgy4，则lgxlgy的最大值是（）A4B2C1D【分析】利用对数函数的单调性、基本不
10、等式的性质即可得出【解答】解：x1，y1，lgx0，lgy0lgx+lgy4，则lgxlgy4，当且仅当lgxlgy2时取等号lgxlgy的最大值是4故选：A【点评】本题考查了对数函数的单调性、基本不等式的性质，属于基础题7（5分）二项式（2x1）5的展开式的各项中，二项式系数最大的项为（）A20xB20x和40x2C40x2和80x3D80x3【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求出二项式系数最大的项【解答】解：要使二项式系数最大，r2或r3，故二项式系数最大的项为T3（2x）3（1）280x3，或者是T4（2x）2（1）340x2，故选：C【点评】本题主要考查二项式定
11、理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题8（5分）若数列an是等比数列，则“首项a10，且公比q1”是“数列an单调递增”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D非充分非必要条件【分析】在等比数列an中，由首项a10，且公比q1，得数列an单调递增，可得充分性；举例说明不必要【解答】解：数列an是等比数列，由首项a10，且公比q1，得数列an单调递增；反之，由得数列an单调递增，不一定有首项a10，且公比q1，如a11，q“首项a10，且公比q1”是“数列an单调递增”的充分不必要条件故选：B【点评】本题考查等比数列的性质，考查充分必要条件的判断，是基础题9（5分
12、）在等差数列an中，若S918，Sn240，an430，则n的值为（）A14B15C16D17【分析】由等差数列前n项和公式，等差数列的性质，得出a 52，a1+ana 5+an432整体代入前n项和公式求出n即可【解答】解：根据等差数列前n项和公式，S918，又根据等差数列的性质，a1+a92a5，S99a 5，a 52，a 5+an432Sn16n240，n15故选：B【点评】本题考查等差数列前n项和公式的灵活应用，等差数列的性质利用等差数列的性质，进行整体代换，使问题巧妙获解10（5分）函数的图象大致是（）ABCD【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性可以排除A、B，在分析函数在（0，1）
13、上的符号，排除C，即可得答案【解答】解：根据题意，函数定义域为x|x0，又由f（x）f（x），则f（x）为奇函数，排除A、B，又由在（0，1）上，lnx20而x0，则0，排除C；故选：D【点评】本题考查函数的图象，注意分析函数的定义域、奇偶性11（5分）已知双曲线：1，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|+|的最小值为（）AB11C12D16【分析】根据双曲线的标准方程可得：a2，再由双曲线的定义可得：|AF2|AF1|2a4，|BF2|BF1|2a4，所以得到|AF2|+|BF2|（|AF1|+|BF1|）8，再根据A、B两点的位置特征得到答案【解答】解：根
14、据双曲线的标准方程1可得：a2，由双曲线的定义可得：|AF2|AF1|2a4，|BF2|BF1|2a4，所以+可得：|AF2|+|BF2|（|AF1|+|BF1|）8，因为过双曲线的左焦点F1的直线交双曲线的左支于A，B两点，所以|AF1|+|BF1|AB|，当|AB|是双曲线的通径时|AB|最小所以|AF2|+|BF2|（|AF1|+|BF1|）|AF2|+|BF2|AB|8|BF2|+|AF2|AB|+811故选：B【点评】本题主要考查双曲线的定义与双曲线的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力12（5分）已知线段AB所在的直线与平面相交于点B，且与平面所成的角为30，|AB|2，C，
15、D为平面内的两个动点，且|BC|1，BAD30，则C，D两点间的最小距离为（）A21B1CD1【分析】过A作AO面，垂足为O，连结BO，当C，D都在线段BO上时，C，D两点间的距离最小，由此能求出C，D两点间的最小距离【解答】解：如图，过A作AO面，垂足为O，连结BO，当C，D都在线段BO上时，C，D两点间的距离最小，此时ABDBADDAO30，ADC60，设ADBDt，则cos120，解得t2，DCBDBC211C，D两点间的最小距离为1故选：B【点评】本题考查两点间的最小距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题二、填空题：本大题共4小题，每小
16、题5分，共20分，13（5分）由0，1，2，9十个数字组成的无重复数字的三位数共648个【分析】根据题意，分2步进行分析：，0不能在百位，易得百位有9种情况，在剩下的9个数字中任选2个，安排在个位与十位，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分2步进行分析：，0不能在百位，则百位有9种情况，在剩下的9个数字中任选2个，安排在个位与十位，有A9272种情况，则共有972648种情况，即有648个无重复数字的三位数；故答案为：648【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分布计数原理的应用，属于基础题14（5分）已知x，y之间的一组数据如表表示：x0124ya3.9714.1y关于x的回归
17、方程是3.2x+0.8，则a等于0.6【分析】由表中数据计算、，代入回归方程3.2x+0.8中求a的值【解答】解：由表中数据，计算（0+1+2+4），（a+3.9+7+14.1），代入回归方程3.2x+0.8中，得3.2+0.8，解得a0.6故答案为：0.6【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题15（5分）已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取i（i1，2）个球放在甲盒中，放入i个球后，甲盒中含有红球的个数i（i1，2），则E（1）+E（2）的值为【分析】分别求出E（1）与E（2）的值，作和得答案【解答】解：甲盒中含有红球的个数1的取
18、值为1，2，则P（11），P（12）则E（1）；甲盒中含有红球的个数2的取值为1，2，3，则P（21），P（22），P（23）则E（2）E（1）+E（2）故答案为：【点评】本题考查离散型随机变量的期望及其求法，是中档题16（5分）若实数a，b，c，d满足1，则（ac）2+（bd）2的最小值为【分析】由题意可得blna+2a2，d3c2分别令yf（x）lnx+2x2，yg（x）3x2，转化为两个函数f（x）与g（x）的点之间的距离的最小值设与直线y3x2平行且与曲线f（x）相切的切点为P（x0，y0），求出切点P到直线y3x2的距离d，则（ac）2+（bd）2的最小值为d2【解答】解：实数a，b
19、，c，d满足1可得blna+2a2，d3c2，分别令yf（x）lnx+2x2，yg（x）3x2，转化为两个函数f（x）与g（x）的点之间的距离的最小值，f（x）+4x，设与直线y3x2平行且与曲线f（x）相切的切点为P（x0，y0），则+4x03，x00，解得x01，可得切点P（1，2），切点P（1，2）到直线y3x2的距离d（ac）2+（bd）2的最小值为d2故答案为：【点评】本题考查了利用导数研究曲线的切线、平行线之间的斜率关系、点到直线的距离公式、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）前段
20、时间，某机构调查人们对屯商平台“618”活动的认可度（分为：强烈和一般两类），随机抽取了100人统计得到22列联表的部分数据如表：一般强烈合计男45女10合计75100（1）在答题卡上补全22列联表中的数据；（2）判断能否有95%的把握认为人们的认可度是否为“强烈”与性别有关？参考公式及数据：K2P（K2k0）0.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.879【分析】（1）根据题意填写列联表即可；（2）根据表中数据计算观测值，对照临界值得出结论【解答】解：（1）根据题意填写列联表如下；一般强烈合计男301545女451055合计7525100（2）根据表中数据，
21、计算K23.0303.841，所以没有95%的把握认为人们的认可度是否为“强烈”与性别有关【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题18（12分）已知数列an满足Sn2nan（nN*）（1）计算a1，a2，a3，并写出an+1与an的关系；（2）证明数列an2是等比数列，并求出数列an的通项公式【分析】（1）由已知关系式，依次求出a1，a2，a3，由Sn2nan（nN*），得Sn+12（n+1）an+1，两式相减，得an+12an+1+an，即2an+1an+2；（2）由（1）得2（an+12）an2，且a121，所以，可以得出数列an2是等比数列，继而写出通项公式【解答】解：（
22、1）由已知可得，S12a1，即a11，S24a2a1+a2，即，S36a3a1+a2+a3，即由Sn2nan（nN*），得Sn+12（n+1）an+1，两式相减，得an+12an+1+an，即2an+1an+2（2）证明：由（1）得2（an+12）an2，且a121，数列an2是等比数列，公比为，首项为1，【点评】本题考查数列的递推关系式，等比数列的知识，属于中档题19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是边长为2的正方形，平面PBC平面ABCD，直线PA与平面PBC所成的角为45，PC2（1）若E，F分别为BC，CD的中点，求证：直线AC平面PEF；（2）求二面角DPAB的正弦值【
23、分析】（1）由已知结合面面垂直的性质可得ABPB，再由已知可得PBAB，则PE底面ABCD，证明ACPE，再由ACEF，可得直线AC平面PEF；（2）以D为坐标原点，分别以DA，DC所在直线为x，y轴，D作EP的平行线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，分别求出平面PAD与平面PAB的法向量，再由两法向量所成角的余弦值求解二面角DPAB的正弦值【解答】（1）证明：平面PBC平面ABCD，且平面PBC平面ABCDBC，ABBC，AB平面PBC，则APB为直线PA与平面PBC所成的角为45，PBAB2，又PC2，E为BC的中点，PEBC，则PE平面ABCD，PEAC，又E，F分别为BC，DC的中点，
24、则ACEF，又PEEFE，直线AC平面PEF；（2）解：以D为坐标原点，分别以DA，DC所在直线为x，y轴，过D作EP的平行线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），P（1，2，），设平面PAD与平面PAB的法向量分别为，则，取z12，得；，取z21，得cos二面角DPAB的正弦值为【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题20（12分）为降低养殖户养鸭风险，某保险公司推出了鸭意外死亡保险，该保单合同规定每只幼鸭投保2元，若生长期内鸭意外死亡，则公司每只鸭赔付12元假设鸭在生长期内的
25、意外死亡率为0.15，且每只鸭是否死亡相互独立若某养殖户养鸭3000只，都投保该险种（1）求该保单保险公司赔付金额等于保费时，鸭死亡的只数；（2）求该保单保险公司平均获利多少元【分析】（1）根据赔付金额等于保费列式计算即可；（2）根据意外死亡率计算赔付金额，从而得出平均利润【解答】解：（1）500，答：该保险公司赔付金额等于保费时，鸭死亡只数为500只（2）3000230000.151260005400600答：该保单保险公司平均获利600元【点评】本题考查了数学基本运算能力，属于基础题21（12分）在直角坐标系中，已知椭圆E经过点M（2，），且其左右焦点的坐标分别是（3，0），（3，0）（1
26、）求椭圆E的离心率及标准方程；（2）设P（3，t）为动点，其中t（，），直线l经过点P且与椭圆E相交于A，B两点，若P为AB的中点，是否存在定点N，使|NA|NB|恒成立？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）设椭圆E方程：可得2a4，即可求得椭圆方程， （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x26，y1+y22t，利用点差法，则线段AB的垂直平分线方程：yt（x+3），过即可定点，即可判定存在定点N，使|NA|NB|恒成立【解答】解：（1）设椭圆E方程：c椭圆E经过点M（2，），2a4，a2，可得b椭圆E的离心率为，椭圆标准方程：（2）设A（x1，y1），B（x
27、2，y2），则x1+x26，y1+y22tA、B在曲线C上，将以上两式相减得：（x1x2）（x1+x2）+4（y1y2）（y2+y2）0，线段AB的垂直平分线方程：yt（x+3），令y0，可得x，故线段AB的垂直平分线过定点（，0）所以存在定点N（，0），使|NA|NB|恒成立【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，利用点差法是一种较为简便的方法，考查计算能力，是中档题22（12分）已知函数f（x）lnxsin（x1），f（x）为f（x）的导函数证明：（1）f（x）在区间（0，2）存在唯一极小值点；（2）f（x）有且仅有2个零点【分析】（1）令g（x）f（x），当x（0，1）时，
28、g（x）0恒成立，当x（1，2）时，0结合单调性即可证明（2）由（1）可得x（0，a）时，g（x）单调递减，x（a，2）时，g（x）单调递增当x（2，3）时，g（x）0，g（x）单调递增，可得g（x）在x（0，3）上的图象，即可求函数f（x）的单调性及图象即可【解答】解：（1）令g（x）f（x），当x（0，1）时，g（x）0恒成立，当x（1，2）时，0g（x）在（1，2）递增，故存在a（1，2）使得，x（1，a）时g（x）0，x（a，2）时，g（x）0综上，f（x）在区间（0，2）存在唯一极小值点xa（2）由（1）可得x（0，a）时，g（x）0，g（x）单调递减，x（a，2）时，g（x）0，g
29、（x）单调递增且g（1）0，g（2）故g（x）的大致图象如下：当x（2，3）时，sin（x1）（sin1，sin2），sin（x1）sin30此时g（x）0，g（x）单调递增，而g（3）cos20故存在（2，3），使得g（m）0故在x（0，3）上，g（x）的图象如下：综上，x（0，1）时，g（x）0，x（1，m）时，g（x）0，x（m，3）时，g（x）0f（x）在（0，1）递增，在（1，m）递减，在（m，3）递增，而f（1）0，f（3）ln3sin20，又当x3时，lnx1，f（x）0恒成立故在（0，+）上f（x）的图象如下：f（x）有且仅有2个零点【点评】本题考查了函数的极值点、零点，考查了分类讨论思想，属于难题
