1、2018-2019学年山东省临沂市沂水县高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若复数z满足（1+i）z2i2019（i是虚数单位），则z的共轭复数（）A1+iB1iC1+iD1i2（5分）若ab0，则下列不等式成立的是（）ABac2bc2CD3（5分）抛物线y的准线方程为（）ABCD4（5分）已知lnx，2，lny成等差数列，则x+y有（）A最小值2eB最小值2e2C最大值2eD最大值2e25（5分）若命题“任意xR，x22mx+m0“是真命题，则实数m的取值范围是（）A（1，1）B（0，1）C1，1
2、D0，16（5分）已知在各项不为零的等差数列an中3a42a62+3a80，数列bn是等比数列，b6a6，则log3（b3b9）的值为（）A6B4C2DI7（5分）过椭圆内一点P（1，1）引一条恰好被P点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是（）A2x+3y50B3x+2y50C2x3y+10D3x2y108（5分）周碑算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气，其日影长依次成等差数列，小寒、惊蛰、小满日影长之和为24.5尺，前十个节气日影长之和为90尺，则清明日影长为（）A4.5尺B5.5尺C6.5尺D7.5尺9（5分）已知
3、抛物线C：y216x的焦点为F，M为抛物线上一点，O为坐标原点，OMF的外接圆与抛物线C的准线相切，则此外接圆的周长是（）A6B12C24D3610（5分）设数列an的前n项和为Sn，若a11，an+12Sn+4，则S10（）A3102B3101CD2（391）11（5分）已知在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA1，M，N分别为A1B1和BC的中点，则直线AM与直线C1N所成的角为（）ABCD12（5分）已知双曲线C1：的左右焦点分别为F1和F2，抛物线C2：y22px（p0）的准线过双曲线C1的左焦点F1，若双曲线C1与抛物线C2的交点M满足MF2F1F2，双曲线C1的一个焦点到其渐
4、近线距离的平方是22，则抛物线C2的方程是（）Ay24xBy28xCD二、填空题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分13（5分）命题“任意x2，lnx1”的否定是 14（5分）已知F1，F2是双曲线C：的两个焦点，若双曲线C上存在点P满足PF1PF2且|PF1|3|PF2|，则双曲线C的离心率为 15（5分）如图所示，P，Q分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，M是PQ靠近P的三等分点，且，则x+y+z 16（5分）设数列an满足a1+3a2+（2n1）ann，若不等式a1a2+a2a3+anan+1nlog27对任意nN*恒成立，则实数的最小值是 三、解答题：本大题共6小题，满分70
5、分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知复数zm2mi（mR），若|z|，且z在复平面内对应的点位于第四象限（1）求复数z；（2）若z2+az+b1+i，求实数a，b的值18（12分）已知命题p：关于x的函数有两个不同的零点；命题q：关于1的不等式（t+2m）（tm）0，m0，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围19（12分）已知Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，S515，且a4，a6，a9成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设，求数列bn的前n项和Tn20（12分）保护环境，防治环境污染越来越得到人们的重视，某企业在现有设备下每日生产总成本y（单位：
6、万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式为y2x2+（103k）x+12k+8现为了减少大气污染，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为k万元，除尘后，当日产量x2时，每日生产总成本y52（1）求k的值；（2）若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少万元？21（12分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，PA平面ABCD，ABAD，ABCD，ABADAPDC1，点E为棱PC的中点（1）证明：BECD；（2）若点F为棱PC上一点，且AF与平面ABCD所成角的正弦值是，求二面角FABP的余弦值22（12分）在平面直角坐标系xOy中
7、，圆（x+1）2+y28的圆心为M已知点N（1，0），且T为圆M上的动点，线段TN的中垂线交TM于点P（1）求点P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为曲线C1，若四边形ABCD的四个顶点都在曲线C1上，对角线AC，BD互相垂直并且它们的交点恰为点N，求四边形ABCD面积的取值范围2018-2019学年山东省临沂市沂水县高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若复数z满足（1+i）z2i2019（i是虚数单位），则z的共轭复数（）A1+iB1iC1+iD1i【分析】利用虚数单位i的运算性质化
8、简，变形后再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案【解答】解：由（1+i）z2i20192i5044+32i，得z，故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2（5分）若ab0，则下列不等式成立的是（）ABac2bc2CD【分析】利用排除法直接求解即可【解答】解：取a2，b1，则，故A错；当c0时，选项B不成立，故B错；取a2，b1，则，故D错故选：C【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题3（5分）抛物线y的准线方程为（）ABCD【分析】先将抛物线方程化为标准方程，其为开口向上，焦准距为1的抛物线，写出其准线方程y即可【解答】解：抛物
9、线的标准方程为x22y，焦准距p1，抛物线的准线方程为y故选：A【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程及其几何意义，特别注意方程是否标准形式，属基础题4（5分）已知lnx，2，lny成等差数列，则x+y有（）A最小值2eB最小值2e2C最大值2eD最大值2e2【分析】由已知结合等差数列的性质可求xy，然后结合基本不等式即可求解【解答】解：lnx，2，lny成等差数列，则lnx+lny4，即xye4，由基本不等式可得，x+y2e2，当且仅当xy时取等号，此时取得最小值故选：B【点评】本题主要考查了等差数列的性质及基本不等式的简单应用，属于基础试题5（5分）若命题“任意xR，x22mx+m0“是真
10、命题，则实数m的取值范围是（）A（1，1）B（0，1）C1，1D0，1【分析】利用不等式恒成立，通过判别式小于等于0，列出不等式求解即可【解答】解：依题意，4m24m0，解得0m1故选：D【点评】本题考查不等式的恒成立问题，属于基础题6（5分）已知在各项不为零的等差数列an中3a42a62+3a80，数列bn是等比数列，b6a6，则log3（b3b9）的值为（）A6B4C2DI【分析】运用等差数列的中项性质可得a63，再由等比数列的中项性质和对数的运算性质可得所求值【解答】解：各项不为零的等差数列an，3a42a62+3a80，可得3（a4+a8）2a620，即6a62a620，可得a63，数
11、列bn是等比数列，b6a63，log3（b3b9）log3（b62）log392故选：C【点评】本题考查等差数列和等比数列的中项性质，对数的运算性质，考查运算能力，是一道基础题7（5分）过椭圆内一点P（1，1）引一条恰好被P点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是（）A2x+3y50B3x+2y50C2x3y+10D3x2y10【分析】分别设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差求得弦所在直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案【解答】解：设弦的两端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）则，两式作差可得：2（x1x2）（x1+x2）3（y1y2）（y1+y2），直线过点P（1，1），这条弦所在直
12、线的方程是y1（x1），即2x+3y50故选：A【点评】本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，训练了利用“点差法”求中点弦所在直线方程，是中档题8（5分）周碑算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气，其日影长依次成等差数列，小寒、惊蛰、小满日影长之和为24.5尺，前十个节气日影长之和为90尺，则清明日影长为（）A4.5尺B5.5尺C6.5尺D7.5尺【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出【解答】解：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影
13、长依次成等差数列an，小寒、惊蛰、小满日影长之和为24.5尺，前十个节气日影长之和为90尺，a2+a6+a1124.5，S1090，3a1+16d24.5，10a1+d90，解得a113.5，d1，则清明日影长a813.5176.5故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9（5分）已知抛物线C：y216x的焦点为F，M为抛物线上一点，O为坐标原点，OMF的外接圆与抛物线C的准线相切，则此外接圆的周长是（）A6B12C24D36【分析】由抛物线的性质可得到焦点的距离为到准线的距离，求出M的坐标，进而求出外接圆的半径，再求出外接圆的周长
14、【解答】解：由题意得：抛物线的准线为x4，设M（a，b）则（a+4）2a2+b2，且b216a，所以a2，b4，r6，所以外接圆周长为：2612，故选：B【点评】考查抛物线的性质，属于中档题10（5分）设数列an的前n项和为Sn，若a11，an+12Sn+4，则S10（）A3102B3101CD2（391）【分析】运用数列的递推式，以及等比数列的通项公式和求和公式，可得所求和【解答】解：a11，an+12Sn+4，可得n2，an2Sn1+4，又an+12Sn+4，相减可得an+1an2Sn+42Sn142an，即an+13an，而a22S1+42+46，可得an，则S101+6+18+6381
15、+3102，故选：A【点评】本题考查数列的递推式的运用，等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题11（5分）已知在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA1，M，N分别为A1B1和BC的中点，则直线AM与直线C1N所成的角为（）ABCD【分析】根据向量加法、数乘的几何意义即可得出，然后根据条件进行数量积的运算即可求出，并容易得出，从而可得出的值，根据向量夹角的范围即可求出的值，从而得出直线AM与直线C1N所成的角【解答】解：，又，且，且，直线AM与直线C1N所成的角为故选：C【点评】本题考查了通过向量求异面直线所成角的方法，向量加法、减法和数乘的几何意义，向量垂直的
16、充要条件，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，异面直线所成角的定义，考查了计算能力，属于基础题12（5分）已知双曲线C1：的左右焦点分别为F1和F2，抛物线C2：y22px（p0）的准线过双曲线C1的左焦点F1，若双曲线C1与抛物线C2的交点M满足MF2F1F2，双曲线C1的一个焦点到其渐近线距离的平方是22，则抛物线C2的方程是（）Ay24xBy28xCD【分析】设出抛物线的准线方程和双曲线的焦点，可得p2c，由题意可设M（c，t），t0，代入双曲线方程可得t，运用点到直线的距离可得b，结合a，b，c的关系式和M在抛物线上，解方程可得a2，求得c，p，可得抛物线的方程【解答】解：
17、抛物线C2：y22px（p0）的准线x过双曲线C1的左焦点F1（c，0），可得p2c，双曲线C1与抛物线C2的交点M满足MF2F1F2，可设M（c，t），t0，由xc代入双曲线方程可得yb，即M（c，），代入抛物线方程可得4c2，又c2a2+b2，双曲线C1的一个焦点（c，0）到其渐近线bxay0的距离的平方是22，可得db，则（22）24a2（a2+22），解得a232，可得p2c22，可得抛物线的方程为y24x故选：A【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查点到直线的距离公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分13（5分）命题“任意
18、x2，lnx1”的否定是存在x02，lnx01【分析】否定：否定量词，否定结论【解答】解：否定：否定量词，否定结论故命题“任意x2，lnx1”的否定是存在x02，lnx01故答案为：存在x02，lnx01【点评】本条考查否定，属于基础题14（5分）已知F1，F2是双曲线C：的两个焦点，若双曲线C上存在点P满足PF1PF2且|PF1|3|PF2|，则双曲线C的离心率为【分析】由题意可得P为右支上的点，设|PF1|m，|PF2|n，运用双曲线的定义和勾股定理、离心率公式可得所求值【解答】解：双曲线C上存在点P满足PF1PF2且|PF1|3|PF2|，可得P为右支上的点，设|PF1|m，|PF2|n
19、，则mn2a，m3n，且m2+n24c2，可得（3a）2+a24c2，即ca，即有e故答案为：【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，是一道基础题15（5分）如图所示，P，Q分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，M是PQ靠近P的三等分点，且，则x+y+z【分析】用向量，表示，就能找到x，y，z的值，进而算出答案【解答】解：因为P，Q分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，M是PQ靠近P的三等分点，所以+（），+（+），+（+（），+，所以x，y，z，x+y+z+，故答案为：【点评】本题考查空间向量的表示，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形
20、结合思想，是基础题16（5分）设数列an满足a1+3a2+（2n1）ann，若不等式a1a2+a2a3+anan+1nlog27对任意nN*恒成立，则实数的最小值是3【分析】由数列的递推式可得an，anan+1（），运用数列的裂项相消求和和不等式恒成立问题解法，可得所求最小值【解答】解：数列an满足a1+3a2+（2n1）ann，可得a11，n2时，a1+3a2+（2n3）an1n1，可得（2n1）an1，即有an，对n1也成立，则anan+1（），a1a2+a2a3+anan+1nlog27即为（1+）（1）nlog27，可得log27对任意nN*恒成立，显然f（n）为递减数列，f（1）取得
21、最大值，可得log27，解得3，实数的最小值为3故答案为：3【点评】本题考查数列的递推式的运用，数列的裂项相消求和，以及数列不等式恒成立的解法，注意运用转化思想，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，满分70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知复数zm2mi（mR），若|z|，且z在复平面内对应的点位于第四象限（1）求复数z；（2）若z2+az+b1+i，求实数a，b的值【分析】（1）由已知求得m1，结合z在复平面内对应的点位于第四象限可得m1，则复数z可求；（2）把z代入z2+az+b1+i，整理后由两个复数相等对应实部虚部分别相等即可求解【
22、解答】解：（1）zm2mi，|z|，m4+m22，得m21又z在复平面内对应的点位于第四象限，m1，即z1i；（2）由（1）得z1i，z2+az+b1+i（1i）2+a（1i）+b1i；（a+b）（2+a）i1+i；解得a3，b4【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题18（12分）已知命题p：关于x的函数有两个不同的零点；命题q：关于1的不等式（t+2m）（tm）0，m0，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可【解答】解：命题p：关于x的函数有两个不同的零点；可得（t）24（t2t1）t2
23、+t+20，解得1t2，若p是q的充分不必要条件，所以当m0时，命题q：关于1的不等式（t+2m）（tm）0，m0，2mtm，则有，解得m2，经检验m2符合题意；当m0时，命题q：关于1的不等式（t+2m）（tm）0，m0，mt2m，则有，解得m1，经检验m1不符合题意；综上可得实数m的取值范围是（，1）2，+）故答案为：实数m的取值范围是（，1）2，+）【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键19（12分）已知Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，S515，且a4，a6，a9成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设，求数列bn的前n
24、项和Tn【分析】（1）公差d不为0的等差数列an，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）求得bn（an+1）（2）an（1+n）（2）n，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和【解答】解：（1）公差d不为0的等差数列an，S515，可得5a1+10d15，即a1+2d3，a4，a6，a9成等比数列，可得a62a4a9，即有（a1+5d）2（a1+3d）（a1+8d），化为a1d，解得a1d1，则ann；（2）bn（an+1）（2）an（1+n）（2）n，前n项和Tn2（2）+34+4（8）+（1+n）（2）n，2Tn24+3
25、（8）+416+（1+n）（2）n+1，两式相减可得3Tn4+48+（2）n（1+n）（2）n+14+（1+n）（2）n+1，化简可得Tn【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题20（12分）保护环境，防治环境污染越来越得到人们的重视，某企业在现有设备下每日生产总成本y（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式为y2x2+（103k）x+12k+8现为了减少大气污染，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为k万元，除尘后，当日产量x2时，每日生产总成本y52（1）求k的值；（2）若每吨产品出厂价为48万元，试求除
26、尘后日产量为多少吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少万元？【分析】（1）求出除尘后的函数解析式，利用当日产量x2时，总成本y52，代入计算得k2；（2）求出每吨产品的利润，利用基本不等式求解即可【解答】解：（1）由题意，除尘后y2x2+（103k）x+12k+8+kx2x2+（102k）x+12k+8，将x2，y52代入计算可得k2；（2）由（1）值y2x2+6x+32，总利润L48x（2x2+6x+32）42x2x232（x0），则每吨产品的利润422（x+）42426，当且仅当x，即x4时取等号，所以除尘后日产量为4吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为26万元【点评】本题考查将实际问题
27、的最值问题转化为函数的最值问题，考查学生的计算能力，属于中档题21（12分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，PA平面ABCD，ABAD，ABCD，ABADAPDC1，点E为棱PC的中点（1）证明：BECD；（2）若点F为棱PC上一点，且AF与平面ABCD所成角的正弦值是，求二面角FABP的余弦值【分析】（1）推导出AP，AB，AD两两垂直，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BECD（2）求出（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，由AF与平面ABCD所成角的正弦值是，求出（），求出平面FAB的法向量和平面ABPr法向量，利用向
28、量法能求出二面角FABP的余弦值【解答】解：（1）证明：PA平面ABCD，AB平面ABCD，AD平面ABCD，APAB，APAD，ABAD，AP，AB，AD两两垂直，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），E（1，），（0，），（2，0，0），0，BECD（2）解：由已知，设，（01），设F（x，y，z），由（1）知，（x2，y1，z），（2，1，1），（1，0，0），（x2，y1，z）（2，），解得x22，y1，z，F（22，1，），（22，1，），PA平面ABCD，（0，0
29、，1）是平面ABCD的一个法向量，设AF与平面ABCD所成角为，则sin，解得或2（舍），（），设平面FAB的法向量（x，y，z），则，取z1，得（0，2，1），AD平面ABP，平面ABPr法向量（0，1，0），设二面角FABP的平面角为，则二面角FABP的余弦值为：cos【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆（x+1）2+y28的圆心为M已知点N（1，0），且T为圆M上的动点，线段TN的中垂线交TM于点P（1）求点P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为曲线C1
30、，若四边形ABCD的四个顶点都在曲线C1上，对角线AC，BD互相垂直并且它们的交点恰为点N，求四边形ABCD面积的取值范围【分析】（1）根据条件可以判断出|MN|22，则点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为2的椭圆，（2）联立直线与椭圆方程，利用根与系数关系表示出|AC|，|BD|，再表示出S即可【解答】解：（1）因为P为线段TM中垂线上一点，所以|PM|+|PN|PM|+|PT|TM|2，因为M（1，0），N（1，0），所以|MN|22，则点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为2的椭圆，轨迹方程为；（2）因为对角线AC，BD互相垂直，所以AC，BD中至少有一条斜率存在，不妨设AC的斜率为k，当k0时，AC，BD，此时S22，当k0时，AC过点N（1，0），故AC的方程为yk（x1），将此式代入得（1+2k2）x24k2x+2k220，设A（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2，x1x2，从而|AC|，当k0时，BD的斜率为，同上可得|BD|，故四边形ABCD的S|AC|BD|，令tk2+2，当且仅当k1时，t2，此时S2，显然S是以t为自变量的增函数，所以，综上所述，四边形ABCD面积的取值范围是，2【点评】本题考查动点轨迹方程，涉及直线与椭圆形成的四边形面积取值问题，属于中档题
