1、2018-2019学年山东省聊城市高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）已知命题p：x0，ln（x+1）x，则命题p的否定为（）Ax0，ln（x+1）xBx00，ln（x0+1）x0Cx00，ln（x0+1）x0Dx0，ln（x+1）x2（4分）函数ycos（2x）的导函数是（）Aysin（2x）By2sin（2x）Cysin（2x）Dy2sin（2x）3（4分）关于x的不等式x2+ax+b0的解集为x|x3，或x1，则ab（）A12B12C6D64（4分）曲线yx22ln（x+1）在点（0，0
2、）处的切线方程为（）Ay2xBy2xCyxDyx5（4分）抛物线y2x上一点P到直线x的距离是3，则点P到抛物线的焦点的距离为（）AB2CD6（4分）在等比数列an中，a18，a3a5+7a480，则数列an的公比为（）A1或B1或C1D7（4分）若不等式mx2mx+20对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A（0，8）B0，8C0，8）D（0，88（4分）已知平行六面体ABCDABCD中，AB4，AD3，AA5，BADBAADAA60，则AC的长为（）A5BC10D9（4分）若“xa”是“x2x60”的充分不必要条件，则实数a的最大值为（）A3B2C2D310（4分）过椭圆+1的焦点，
3、且倾斜角为135的直线与椭圆交于A，B两点，则线段AB的长为（）ABCD11（4分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1上的点，且BE3AE，CFC1F，则异面直线EF与A1C1所成角的余弦值为（）ABCD12（4分）已知点F1，F2分别为双曲线1的左、右焦点，点P在双曲线上，F1F2P为等腰三角形，且顶角为120，则该双曲线的离心率为（）ABC2D二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）13（4分）已知函数f（x），x（0，+），其中a为实数，f（x）为f（x）的导函数若f（1）3，则a的值为 14（4分）如图，画一个边长为2cm的正方形，再将这个正方形
4、的各相邻边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样共画了8个正方形，则这8个正方形的面积和为 cm215（4分）已知a0，b0，且a+b2，则的最小值为 16（4分）已知数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，且an2+4an8Sn0，则an 三、解答题（本大题共5小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算骤）17（10分）等差数列an的前n项和为Sn，且a48，S642（1）求数列an的通项公式an；（2）求数列的前n项和18（10分）已知曲线C：1（m1），它的两焦点间的距离为8，讨论曲线C是什么图形，并求出其方程当曲线C为双曲线时，求出其渐近线方程19（12分）为响应市政府提
5、出的以新旧动能转换为主题的发展战略，某公司花费100万元成本购买了1套新设备用于扩大生产，预计该设备每年收入100万元，第一年该设备的各种消耗成本为8万元，且从第二年开始每年比上一年消耗成本增加8万元（1）求该设备使用x年的总利润y（万元）与使用年数x（xN*）的函数关系式（总利润总收入总成本）；（2）这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？并求出年平均利润的最大值20（12分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABAD，ABBC，侧面SAB底面ABCD，且SASBABBC2，AD1（1）设E为棱SB的中点，求证：AE平面SBC；（2）求平面SCD与平面SAB所成锐二面角的大
6、小21（12分）如图，过椭圆E：（ab0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆E于P，Q两点，点A，B是椭圆E的顶点，且ABOP，F2为右焦点，PF2Q的周长为8（1）求椭圆E的方程；（2）过点F1作直线l与椭圆E交于C，D两点，若OCD的面积为，求直线l的方程2018-2019学年山东省聊城市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）已知命题p：x0，ln（x+1）x，则命题p的否定为（）Ax0，ln（x+1）xBx00，ln（x0+1）x0Cx00，ln（x0+1）x0Dx0，ln（
7、x+1）x【分析】否定：否定两次，否定结论【解答】解：否定：否定两次，否定结论故命题p：x0，ln（x+1）x，则命题p的否定x00，ln（x0+1）x0故选：B【点评】本题考查命题的否定，属于基础题2（4分）函数ycos（2x）的导函数是（）Aysin（2x）By2sin（2x）Cysin（2x）Dy2sin（2x）【分析】利用复合函数求导即可求解【解答】解：由于函数ycos（2x），则；故选：B【点评】本题考查了导数的运算，考查学生的分析能力，计算能力；属于中档题3（4分）关于x的不等式x2+ax+b0的解集为x|x3，或x1，则ab（）A12B12C6D6【分析】利用韦达定理求出a，b的
8、值即可求解；【解答】解：不等式x2+ax+b0的解集为x|x3或x1，；a2，b3；ab6故选：D【点评】本题考查了一元二次不等式的应用，考查了学生的计算能力，分析能力；属于基础题4（4分）曲线yx22ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为（）Ay2xBy2xCyxDyx【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x0处的导数，再由直线方程的斜截式得答案【解答】解：由yx22ln（x+1），得，y|x02，则曲线yx22ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y2x故选：A【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础的计算题5（4分）抛物线y2x上一点P到直线x的距离是3，则点
9、P到抛物线的焦点的距离为（）AB2CD【分析】抛物线y2x上一点P到直线x的距离是3，求出点P到抛物线的准线x的距离，即可得出P到该抛物线焦点的距离【解答】解：抛物线y2x上一点P到直线x的距离是3，点P到抛物线的准线x的距离为312，由抛物线的定义可得：点P到该抛物线焦点的距离是2故选：B【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6（4分）在等比数列an中，a18，a3a5+7a480，则数列an的公比为（）A1或B1或C1D【分析】根据题意，由等比数列的性质可得a42+7a480，解可得a4的值，结合等比数列的通项公式计算可得答案【解答】解：根据题
10、意，等比数列an中，a3a5+7a480，即a42+7a480，解可得：a41或8，若a41，其公比q3，解可得q，若a48，其公比q31，解可得q1，综合可得：q1或；故选：A【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意等比数列通项公式的形式，属于基础题7（4分）若不等式mx2mx+20对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A（0，8）B0，8C0，8）D（0，8【分析】当m0时，易知不等式恒成立，当m0时，可得，从而解得【解答】解：当m0时，mx2mx+20可化为20，成立；当m0时，解得0m8，综上所述，实数m的取值范围是0，8），故选：C【点评】本题考查了分类讨论的思想应用及恒成立问
11、题的应用8（4分）已知平行六面体ABCDABCD中，AB4，AD3，AA5，BADBAADAA60，则AC的长为（）A5BC10D【分析】如图所示，可得+2+2+2，利用数量积运算即可得出【解答】解：如图所示，+2+2+242+32+52+243cos60+245cos60+235cos6097故选：D【点评】本题考查了向量的平行六面体法则、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题9（4分）若“xa”是“x2x60”的充分不必要条件，则实数a的最大值为（）A3B2C2D3【分析】先解出不等式，根据题中给的充要性，判断集合的包含关系，解出参数【解答】解：x2x60对应的集合为B（，2
12、）（3，+），xa对应的集合为A（，a），“xa”是“x2x60”的充分不必要条件，AB，a2，所以a的最大值为2，故选：C【点评】本题考查充要性，以及集合的包含关系，属于基础题10（4分）过椭圆+1的焦点，且倾斜角为135的直线与椭圆交于A，B两点，则线段AB的长为（）ABCD【分析】求出直线AB方程，并与椭圆方程联立，求出AB坐标、利用两点间距离公式计算即得结论【解答】解：过椭圆+1的焦点（2，0），倾斜角为135的直线与椭圆交于A，B两点，不妨设直线AB过右焦点，则l：y（x2）x+2，联立，消去y整理得：3x28x0，xA0，xB，yA2，yB，|AB|故选：A【点评】本题考查椭圆的简
13、单性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，注意解题方法的积累，属于中档题11（4分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1上的点，且BE3AE，CFC1F，则异面直线EF与A1C1所成角的余弦值为（）ABCD【分析】可分别以直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为4，从而根据题意可得出E，F，A1，C1的坐标，进而求出的坐标，从而可求出的值，从而得出异面直线EF与A1C1所成角的余弦值【解答】解：如图，分别以直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为4，则：E（4，1，0），F（0，4，2），A1（4，0
14、，4），C1（0，4，4），异面直线EF与A1C1所成角的余弦值为故选：C【点评】本题考查了通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标解决异面直线所成角的问题的方法，向量夹角的余弦公式，异面直线所成角的定义，考查了计算能力，属于基础题12（4分）已知点F1，F2分别为双曲线1的左、右焦点，点P在双曲线上，F1F2P为等腰三角形，且顶角为120，则该双曲线的离心率为（）ABC2D【分析】由题意可设点P在双曲线的右支上，且F1F2P的F1F2P120，|PF2|F1F2|2c，求得|PF1|，运用双曲线的定义和离心率公式，可得所求值【解答】解：可设点P在双曲线的右支上，且F1F2P的F1F2P120，|
15、PF2|F1F2|2c，可得|PF1|2c，由双曲线的定义可得2a|PF1|PF2|2c2c，可得e故选：D【点评】本题考查双曲线的定义和方程，性质，考查等腰三角形的性质，以及余弦定理，考查运算能力，属于基础题二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）13（4分）已知函数f（x），x（0，+），其中a为实数，f（x）为f（x）的导函数若f（1）3，则a的值为3【分析】利用导数的除法法则求导即可求解【解答】解：由于函数f（x），x（0，+），则；f（1）a3；故答案为：3【点评】本题考查了导数的运算，考查了学生的计算能力，分析能力；属于基础题14（4分）如图，画一个边长为2cm的正方形
16、，再将这个正方形的各相邻边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样共画了8个正方形，则这8个正方形的面积和为cm2【分析】根据题意，分析可得这些正方形的面积组成以4为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的前n项公式分析可得答案【解答】解：根据题意，第一个正方形的边长为2cm，其面积为4cm2，再将这个正方形的各相邻边的中点相连得到第二个正方形，依此类推每一个小正方形的面积都是前边正方形的面积的，这些正方形的面积组成以4为首项，为公比的等比数列，则这8个正方形的面积和S8，故答案为：【点评】本题考查等比数列的前n项和公式，根据正方形的面积公式得到面积关系是解决本题的关键15（4分）已知a0，b
17、0，且a+b2，则的最小值为+【分析】由题意整体代入可得（）（a+b）（3+），由基本不等式可得【解答】解：a0，b0，且a+b2，（）（a+b）（3+）（3+2）+，当且仅当即ba时取等号，结合a+b2可解得a22且b42，故答案为：+【点评】本题考查基本不等式求最值，整体代入并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题16（4分）已知数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，且an2+4an8Sn0，则an4n【分析】对于an2+4an8Sn0，当n1，得a14，当n2得anan14，所以数列an是等差数列，进而写出通项公式【解答】解：an2+4an8Sn0，当n1时，a12+4
18、a18S10，即a12+4a18a10，所以a124a10，解得a10或a14又因为数列an的各项均为正数，所以a14，当n2时，an12+4an18Sn10得，（an+an1）（anan14）0，又因为数列an的各项均为正数，所以anan140，即anan14，所以数列an是等差数列，ana1+（n1）d4+（n1）44n故答案为：4n【点评】本题考查数列的递推关系，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算骤）17（10分）等差数列an的前n项和为Sn，且a48，S642（1）求数列an的通项公式an；（2）求数列的前n项和【分析】（1）等差数列an
19、的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）运用等差数列的求和公式，可得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和【解答】解：（1）等差数列an的公差设为d，前n项和为Sn，且a48，S642，可得a1+3d8，6a1+15d42，解得a1d2，则an2+2（n1）2n；（2）Snn（2+2n）n（n+1），数列的前n项和为1+1【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题18（10分）已知曲线C：1（m1），它的两焦点间的距离为8，讨论曲线C是什么图形，并求出其方程当曲线C为双曲线时，求出
20、其渐近线方程【分析】讨论m0，m1，1m0，结合焦距为8，以及椭圆和双曲线的基本量的关系，可得所求方程【解答】解：曲线C：1（m1），当m0时，曲线表示焦点在x轴上的双曲线，且4+4m16，可得m3，即有双曲线的方程为1，渐近线方程为yx；当1m0时，由+1，可得4+4m16，m3，不成立，则曲线不存在；当m1时，由+1，可得4m416，m5，则曲线表示焦点在y轴上的椭圆+1【点评】本题考查双曲线和椭圆的方程和性质，注意运用分类讨论思想，考查化简运算能力，属于基础题19（12分）为响应市政府提出的以新旧动能转换为主题的发展战略，某公司花费100万元成本购买了1套新设备用于扩大生产，预计该设备每
21、年收入100万元，第一年该设备的各种消耗成本为8万元，且从第二年开始每年比上一年消耗成本增加8万元（1）求该设备使用x年的总利润y（万元）与使用年数x（xN*）的函数关系式（总利润总收入总成本）；（2）这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？并求出年平均利润的最大值【分析】（1）求出x年的总收入及消耗等总费用，可得总利润y与使用年数x（xN*）的函数关系；（2）年平均利润为，然后利用基本不等式求最值【解答】解：（1）由题意知，x年总收入为100x万元，x年消耗成本总费用为8（1+2+3+x）4x（1+x）万元，总利润y100x4x（x+1）100，xN*，即y4x2+96x100，xN*；（2
22、）年平均利润为，x0，4（x+）+9656，当且仅当x，即x5时取“”号当设备使用5年时，年平均利润最大答：这套设备使用5年，可使年平均利润最大，最大利润为56万元【点评】本题考查函数模型的选择及其应用，考查简单的数学建模思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题20（12分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABAD，ABBC，侧面SAB底面ABCD，且SASBABBC2，AD1（1）设E为棱SB的中点，求证：AE平面SBC；（2）求平面SCD与平面SAB所成锐二面角的大小【分析】（1）利用面面垂直的性质可证BCAE，利用三线合一的性质可得AESB，进而得证；（2）建立
23、空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量公式即可求解【解答】解：（1）证明：侧面SAB底面ABCD，侧面SAB底面ABCDAB，ABBC，BC在平面ABCD内，BC平面SAB，又AE在平面SAB内，BCAE，又SAAB，在SAB中，AESB，又BCSBB，且都在平面SBC内，AE平面SBC；（2）依题意，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则，则，设平面SCD的一个法向量为，则，令，则，易知平面SAB的一个法向量为，平面SCD与平面SAB所成锐二面角的大小为【点评】本题考查线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题21（12分）如图，过椭圆E
24、：（ab0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆E于P，Q两点，点A，B是椭圆E的顶点，且ABOP，F2为右焦点，PF2Q的周长为8（1）求椭圆E的方程；（2）过点F1作直线l与椭圆E交于C，D两点，若OCD的面积为，求直线l的方程【分析】（1）由题意，三角形的周长求出a的值，再由ABOP，直线的斜率相等及a，c，b之间的关系求出椭圆的方程；（2）设直线l的方程与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，进而求出两根之差的绝对值，求出面积，再由椭圆求出直线方程【解答】解：（1）由题意得：4a8，a2，且，a2b2+c2，b22，所以椭圆的方程：；（2）显然直线l的斜率不为零，设l的方程为：xmy，C（x，y），D（x，y），联立与椭圆的方程得：（2+m2）y22my10，y+y，yy，SOCD|OF1|yCyD|2，由题意得：，整理得：5m434m270，解得m27，所以m，所以直线l的方程为：xy【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题
