1、2017-2018学年山东省烟台市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数1（i是虚数单位）的模等于（）ABCD2（5分）极坐标方程2sin表示的圆的半径是（）ABC2D13（5分）已知f1（x）sinxcosx，fn+1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x）f1（x），f3（x）f2（x），fn+1（x）fn（x），nN*，则f2018（x）（）AsinxcosxBcosxsinxCsinx+cosxDsinxcosx4（5分）曲线ysinx+ex在（0，1）处的切线方程为（）Ax2y+20B2
2、xy+10Cx+2y40Dxy+105（5分）函数f（x）的定义域为R，导函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点6（5分）已知anlogn+1（n+2）（nN*），观察下列算式：a1a2log23log342，a1a2a3a4a5a6log23log34log783，若a1a2a3am2018（mN*），则m的值为（）A220182B22018C220162D220167（5分）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三
3、人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A甲B乙C丙D丁8（5分）在R上可导的函数f（x）的图形如图所示，则关于x的不等式xf（x）0的解集为（）A（，1）（0，1）B（1，0）（1，+）C（2，1）（1，2）D（，2）（2，+）9（5分）已知函数f（x）（xR）的图象上任一点（x0，y0）处的切线方程为yy0（x02）（x021）（xx0），那么函数f（x）的单调递减区间是（）A1，+）B（，2C（，1）和（1，2）D2，+）10
4、（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4sin（+），直线l与圆C的两个交点为A，B，当|AB|最小时，的值为（）ABCD11（5分）如图，过原点斜率为k的直线与曲线ylnx交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），给出以下结论：k的取值范围是（0，）x11x2当x（x1，x2）时，f（x）kxlnx先减后增且恒为负其中所有正确的结论的序号是（）ABCD12（5分）已知函数f（x）的导函数f（x），满足xf（x）+2f（x），且f（1）1，则函数f（x）的最大值为（）A0BCD2e二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20
5、分）13（5分）由直线所围成的封闭图形的面积为 14（5分）若函数f（x）x+asinx在R上递增，则实数a的取值范围为 15（5分）观察下面一组等式：S11，S22+3+49，S33+4+5+6+725，S44+5+6+7+8+9+1049，根据上面等式猜测S2n1（4n3）（an+b），则a2+b2 16（5分）如果函数yf（x）在其定义域上有且只有两个数x0，使得f（x0），那么我们就称函数yf（x）为“双T函数”，则下列四个函数中：yx2+1，yex，yln|x|，ysinx+1为“双T函数”的是 三、解答题（共6小题，满分70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）已
6、知z1（10a2）i，z2+（a2）i（其中i为虚数单位），若z1+z2是实数（1）求实数a的值；（2）求的值18（12分）（1）求证：（2）已知实数a、b、c满足0a，b，c2，求证：（2a）b，（2b）c，（2c）a不同时大于119（12分）已知函数f（x）（1a）x22xlnx（1）当a1时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在（0，+）单调递增，求实数a的取值范围20（12分）数列an满足：a1，前n项和Snan，（1）写出a2，a3，a4；（2）猜出an的表达式，并用数学归纳法证明21（12分）已知函数f（x）e2xax（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x0时，f（x）ax
7、2+1，求a的取值范围22（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（为参数），以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：（cos+sin）2（1）试写出曲线C的极坐标方程与直线l的普通方程；（2）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值2017-2018学年山东省烟台市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数1（i是虚数单位）的模等于（）ABCD【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计
8、算公式求解【解答】解：111+，|1|故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题2（5分）极坐标方程2sin表示的圆的半径是（）ABC2D1【分析】极坐标方程2sin转化为普通方程，由此能求出极坐标方程2sin表示的圆的半径【解答】解：极坐标方程2sin，即22sin，转化为普通方程，得：x2+y22y0，极坐标方程2sin表示的圆的半径是：r1故选：D【点评】本题考查圆的半径的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3（5分）已知f1（x）sinxcosx，fn+1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x
9、）f1（x），f3（x）f2（x），fn+1（x）fn（x），nN*，则f2018（x）（）AsinxcosxBcosxsinxCsinx+cosxDsinxcosx【分析】求函数的导数，寻找函数的规律性，即可得到结论【解答】解：f1（x）sinxcosx，f2（x）f1（x）cosx+sinx，f3（x）f2（x）sinx+cosx，f4（x）f3（x）cosxsinx，f5（x）f4（x）sinxcosx，fn+4（x）fn（x），即函数fn（x）是周期为4的周期函数，则f2018（x）f5044+2（x）f2（x）cosx+sinx，故选：C【点评】本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常
10、见函数的导数公式，确定函数fn（x）是周期为4的周期函数是解决本题的关键4（5分）曲线ysinx+ex在（0，1）处的切线方程为（）Ax2y+20B2xy+10Cx+2y40Dxy+10【分析】先求出函数的导函数，然后得到在x0处的导数即为切线的斜率，最后根据点斜式可求得直线的切线方程【解答】解：ysinx+ex，yex+cosx，在x0处的切线斜率kf（0）1+12，ysinx+ex在（0，1）处的切线方程为：y12x，2xy+10，故选：B【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，解此题的关键是要对函数能够正确求导，此题是一道基础题5（5分）函数f（x）的定义域为R，导函数f（x
11、）的图象如图所示，则函数f（x）（）A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点【分析】利用导函数的图象，判断函数的极值点，即可【解答】解：因为导函数的图象如图：可知导函数图象中由4个函数值为0，即f（a）0，f（b）0，f（c）0，f（d）0xa，函数是增函数，x（a，b）函数是减函数，x（b，c），函数在增函数，x（c，d）函数在减函数，xd，函数是增函数，可知极大值点为：a，c；极小值点为：b，d故选：C【点评】本题考查函数的导数的应用，极值点的判断，考查数形结合以及函数思想的应用6（5分）已知anlogn+1（n+
12、2）（nN*），观察下列算式：a1a2log23log342，a1a2a3a4a5a6log23log34log783，若a1a2a3am2018（mN*），则m的值为（）A220182B22018C220162D22016【分析】根据题意，由对数的运算性质可得a1a2a3amlog23log34log（m+1）（m+2）2018，变形可得m+222018，解可得m的值，即可得答案【解答】解：根据题意，anlogn+1（n+2），a1a2log23log342，若a1a2a3am2018（mN*），则有a1a2a3amlog23log34log（m+1）（m+2）2018，则m+222018，
13、即m220182；故选：A【点评】本题考查归纳推理的应用，涉及对数的运算性质，属于基础题7（5分）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A甲B乙C丙D丁【分析】这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，这是解决本题的突破口；然后进行分析、推理即可得出结论【解答】解：在甲、乙、丙、丁四人的供词不达意中，可以看出乙、丁两人的观点是
14、一致的，因此乙、丁两人的供词应该是同真或同假（即都是真话或者都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论；显然这两个结论是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯，乙、丙、丁中有一人是罪犯，由丁说假说，丙说真话，推出乙是罪犯故选：B【点评】此题解答时应结合题意，进行分析，进而找出解决本题的突破口，然后进行推理，得出结论8（5分）在R上可导的函数f（x）的图形如图所示，则关于x的不等式xf（x）0的解集为（）A（，1）（0，
15、1）B（1，0）（1，+）C（2，1）（1，2）D（，2）（2，+）【分析】讨论x的符号，根据函数单调性和导数之间的关系即可得到结论【解答】解：若x0时，不等式xf（x）0不成立若x0，则不等式xf（x）0等价为f（x）0，此时函数单调递减，由图象可知，此时0x1若x0，则不等式xf（x）0等价为f（x）0，此时函数单调递增，由图象可知，此时x1，故不等式xf（x）0的解集为（，1）（0，1）故选：A【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数单调性和导数之间的关系即可得到结论9（5分）已知函数f（x）（xR）的图象上任一点（x0，y0）处的切线方程为yy0（x02）（x021）（xx0），那么
16、函数f（x）的单调递减区间是（）A1，+）B（，2C（，1）和（1，2）D2，+）【分析】由切线方程yy0（x02）（x021）（xx0），可知任一点的导数为f（x）（x2）（x21），然后由f（x）0，可求单调递减区间【解答】解：因为函数f（x），（xR）上任一点（x0y0）的切线方程为yy0（x02）（x021）（xx0），即函数在任一点（x0y0）的切线斜率为k（x02）（x021），即知任一点的导数为f（x）（x2）（x21）由f（x）（x2）（x21）0，得x1或1x2，即函数f（x）的单调递减区间是（，1）和（1，2）故选：C【点评】本题的考点是利用导数研究函数的单调性，先由切线方
17、程得到切线斜率，进而得到函数的导数，然后解导数不等式，是解决本题的关键10（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4sin（+），直线l与圆C的两个交点为A，B，当|AB|最小时，的值为（）ABCD【分析】直线l过点M（1，），倾斜角为，圆C的极坐标方程化为，从而圆C的直角坐标方程为（x）2+（y1）24，点M（1，）圆内，圆心C（，1）与M（1，）连线的斜率kCM，当|AB|最小时，直线CMAB，由此能求出【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），直线l过点M（1，），倾斜角为，圆C的极坐标方程为4sin（+），即，圆C的
18、直角坐标方程为x2+y22y20，即（x）2+（y1）24，（1）2+（1）24，点M（1，）圆内，直线l与圆C的两个交点为A，B，圆心C（，1）与M（1，）连线的斜率kCM，当|AB|最小时，直线CMAB，tankAB故选：D【点评】本题考查解的求法，考查线段长的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题11（5分）如图，过原点斜率为k的直线与曲线ylnx交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），给出以下结论：k的取值范围是（0，）x11x2当x（x1，x2）时，f（x）kxlnx先减后增且恒为负其中所有正确的结论的序号是（
19、）ABCD【分析】构造函数f（x）kxlnx，求导数f（x），由f（x）有两个不同的零点，求得k的取值范围，判断正确；由x1x2得kx11kx2，判断错误；由图形知x（x1，x2）时f（x）的单调性判断正确【解答】解：令f（x）kxlnx，则f（x）k，由已知f（x）有两个不同的零点，则k0，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，f（）1ln0，则0k，正确；且有x1x2，kx11kx2，错误；当x（x1，x2）时，f（x）kxlnx先减后增且恒为负，正确；所有正确结论的序号是故选：C【点评】本题考查了命题的真假判断与应用问题，也考查了利用导数研究函数的单调性以及数形结合的解题方
20、法，是中档题12（5分）已知函数f（x）的导函数f（x），满足xf（x）+2f（x），且f（1）1，则函数f（x）的最大值为（）A0BCD2e【分析】由题意构造函数g（x）x2f（x），可解得g（x）1+lnx，f（x），利用导数判断函数f（x）的单调性，求得最大值即可【解答】解：xf（x）+2f（x），x2f（x）+2xf（x），令g（x）x2f（x），则g（x）x2f（x）+2xf（x），f（1）1，g（1）1，g（x）1+lnx，f（x），f（x），x时，f（x）0，x时，f（x）0，当x时，f（x）maxf（）故选：C【点评】本题主要考查利用导数研究函数的性质，解题的关键是构造函数g（
21、x）x2f（x），逻辑性较强，属于中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）由直线所围成的封闭图形的面积为1【分析】根据积分的几何意义求几何图形的面积【解答】解：函数的图象如图：当时，f（x）sinx0，根据积分的几何意义可知，所求区域面积为S（cosx）cos（cos）coscos故答案为：1【点评】本题主要考查定积分的应用，在利用定积分求面积时必须要求被积函数f（x）0，要求熟练掌握常见函数的积分公式14（5分）若函数f（x）x+asinx在R上递增，则实数a的取值范围为1，1【分析】先对函数f（x）x+asin x进行求导，根据原函数是R上的增函数一定有其导函数在R
22、上大于等于0恒成立得到1+acosx0，再结合cosx的范围可求出a的范围【解答】解：f（x）1+acosx，要使函数f（x）x+asinx在R上递增，则1+acosx0对任意实数x都成立1acosx1，当a0时aacosxa，a1，0a1；当a0时适合；当a0时，aacosxa，a1，1a0综上，1a1故答案为：1，1【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减15（5分）观察下面一组等式：S11，S22+3+49，S33+4+5+6+725，S44+5+6+7+8+9+1049，根据上面等式猜测S2n1（4n3
23、）（an+b），则a2+b225【分析】利用所给等式，对猜测S2n1（4n3）（an+b），进行赋值，即可得到结论【解答】解：当n1时，S1（413）（a+b）a+b1，当n2时，S3（423）（2a+b）5（2a+b）25，由解得a4，b3，a2+b216+925，故答案为：25【点评】本题考查了归纳推理，根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理16（5分）如果函数yf（x）在其定义域上有且只有两个数x0，使得f（x0），那么我们就称函数yf（x）为“双T函数”，则下列四个函数中：yx2+1，yex，yln|x|，ysinx+1为“双T函数”的是【分析】
24、根据题意，逐一验证题目中的函数是否满足题意，即可判断是否为“双T函数”【解答】解：对于，yf（x）x2+1，x+，f（x）2x，令x+2x，即x，解得x1，满足题意，yf（x）为“双T函数”；对于，yf（x）ex，f（x）ex，令ex，解得x1，不满足题意，yf（x）不是“双T函数”；对于，yf（x）ln|x|，x0，f（x），令，即lnx1，解得xe，x0，f（x），令，即ln（x）1，解得xe，满足题意，yf（x）为“双T函数”；对于，yf（x）sinx+1，+，f（x）cosx，令+cosx，即sinxxcosx+10，由g（x）sinxxcosx+1，则g（x）xsinx，令g（x）0
25、，解得xk，kZ；由三角函数的周期性知，方程sinxxcosx+10的解有无数个，不满足题意，yf（x）不是“双T函数”；综上，正确的命题序号是故答案为：【点评】本题考查了新定义的函数应用问题，也考查了函数的性质应用问题，是难题三、解答题（共6小题，满分70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）已知z1（10a2）i，z2+（a2）i（其中i为虚数单位），若z1+z2是实数（1）求实数a的值；（2）求的值【分析】（1）根据虚部为零即可求出，（2）根据复数的运算法则即可求出【解答】解：（1）z1+z2（10a2）i+（a2）i，z1+z2是实数，10+a2+a20，解得a3或a
26、4（舍去），a3；（2）由（1）可得z1i，z21+i，+i，（+i）（1+i）1+ii+i【点评】本题考查了复数的运算和共轭复数的定义，考查了运算能力，属于基础题18（12分）（1）求证：（2）已知实数a、b、c满足0a，b，c2，求证：（2a）b，（2b）c，（2c）a不同时大于1【分析】（1）根据分析法即可证明，（2）利用反证法即可证明【解答】证明：（1）要证：，只要证+，只要证（+）2（+）2，即证11+211+2，即证，即证2430，显然成立，故（2）假设（2a）b1，（2b）c1，（2c）a1，由题意知2a0，2b0，2c0，那么1，同理1，1三式相加，得33矛盾，所以假设不成立所
27、以（2a）b，（2b）c，（2c）a不能同时大于1【点评】本题考查了分析法和反证法，考查了推理论证能力，属于中档题19（12分）已知函数f（x）（1a）x22xlnx（1）当a1时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在（0，+）单调递增，求实数a的取值范围【分析】（1）求出导数，由题意可得f（x）0，判断函数的单调性，根据单调性即可函数的极值，（2）由题意可得，f（x）2（1a）x2（1+lnx）0，在（0，+）上恒成立，运用参数分离和函数的单调性，求得右边函数的范围，即可得到a的范围【解答】解：（1）当a1时，f（x）2xlnx，x0，f（x）2（1+lnx），令f（x）0，解得x，
28、当0x时，f（x）0，函数单调递增，当x时，f（x）0，函数单调递减，当x时，函数取的极大值，极大值为f（）2ln，无极小值，（2）函数f（x）在（0，+）单调递增，f（x）2（1a）x2（1+lnx）0，在（0，+）上恒成立，1a，设g（x），x0，g（x），令g（x）0，解得x1，当0x1 时，g（x）0，函数g（x）单调递增，当x1 时，g（x）0，函数g（x）单调递减，g（x）g（1）1，1a1，a0，故a的取值范围为（，0【点评】本题考查导数的运用：判断单调性和求极值，同时考查参数分离和函数的单调性的运用，以及不等式恒成立思想的运用，属于中档题和易错题20（12分）数列an满足：a1
29、，前n项和Snan，（1）写出a2，a3，a4；（2）猜出an的表达式，并用数学归纳法证明【分析】（1）根据Snan，利用递推公式，分别令n2，3，4求出a1，a2，a3，a4；（2）根据（1）求出的数列的前四项，从而总结出规律猜出an，然后利用数学归纳法进行证明即得【解答】解：（1）a1，前n项和Snan，令n2，即a1+a23a2a2a1令n3，即a1+a2+a36a3，a3令n4，得a1+a2+a3+a410a4，a4（2）猜想an，下面用数学归纳法给出证明当n1时，结论成立假设当nk时，结论成立，即ak，则当nk+1时，Skak，Sk+1ak+1，即Sk+ak+1ak+1，+ak+1a
30、k+1，ak+1，当nk+1时结论成立由可知，对一切nN+都有an成立【点评】本题主要考查数列递推式、数学归纳法数学归纳法一般三个步骤：（1）验证n1成立；（2）假设nk成立；（3）利用已知条件证明nk+1也成立，从而求证21（12分）已知函数f（x）e2xax（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x0时，f（x）ax2+1，求a的取值范围【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题变形为e2xax2ax10，令g（x）e2xax2ax1，根据函数的单调性确定a的范围即可【解答】解：（1）f（x）2e2xa，a0时，f（x）0，f（x）在R上递增，a0时，由
31、f（x）0得xln，x（，ln），f（x）0，f（x）在（，ln）上递减；x（ln，+），f（x）0，f（x）在（ln，+）上递增（2）f（x）e2xaxax2+1变形为e2xax2ax10，令g（x）e2xax2ax1，g（x）2e2x2axa，令g（x）0，可得a，令h（x），h（x），x0时，h（x）0，h（x）在（0，+）上单调递增，h（x）的值域是（2，+），当a2时，g（x）0没有实根，g（x）0，g（x）在（0，+）上单调递增，g（x）g（0）0，符合题意，当a2时，g（x）0有唯一实根x0，x（0，x0）时，g（x）0，g（x）在（0，x0）上递减，g（x）g（0）0，不符题意
32、，综上，a的取值范围是a2【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题22（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（为参数），以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：（cos+sin）2（1）试写出曲线C的极坐标方程与直线l的普通方程；（2）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值【分析】（1）曲线C的参数消去参数，能求出曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程；由直线l的极坐标方程能求出直线l的普通方程（2）设P（，sin），则P到直线l的距离d，由此能求出点P坐标及点P到直线l的距离的最小值【解答】解：（1）曲线C：（为参数），曲线C的普通方程为1，曲线C的极坐标方程为1，即2+22sin23直线l：（cos+sin）2直线l的普通方程为x+y20（2）设P（，sin），则P到直线l的距离d，当2sin（）2时，点P到直线l的距离最小，此时，P（，），此最小值为dmin2【点评】本题考查曲线的极坐标方程、直线的普通方程的求法，考查点到直线的距离的最小值的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题
