1、2017-2018学年青海省西宁四中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）复数z3+4i对应的点Z关于原点的对称点为Z1，则对应的向量为（）A34iB4+3iC43iD3+4i2（5分）下列值等于1的积分是（）AxdxB（x+1）dxC1dxDdx3（5分）已知f（x）x2+3xf（1），则f（2）（）A1B2C4D84（5分）函数f（x）（x3）ex的单调递增区间是（）A（，2）B（0，3）C（1，4）D（2，+）5（5分）若a+bi（a，bR），i是虚数单位，则乘积ab的值是（）A15B3C3D56（5分）f（x）2x36x2+
2、a在2，2上有最大值3，那么在2，2上f（x）的最小值是（）A5B11C29D377（5分）“a0”是“复数za+bi（a，bR）是纯虚数”的（）条件A充分但不必要条件B必要但不充分条件C既不充分又不必要条件D充要条件8（5分）一质点做直线运动，由始点起经过t s后的距离为st44t3+16t2，则速度为零的时刻是（）A4s末B8s末C0s与8s末D0s，4s，8s末9（5分）如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹簧限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为（）A0.28JB0.12JC0.26JD0.18J10（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所
3、示，则函数f（x）在（a，b）内有极小值点（）A1个B2个C3个D4个11（5分）曲线ye在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围成三角形的面积是（）AB4e2C2e2De212（5分）设点P是曲线：yx3x+b（b为实常数）上任意一点，P点处切线的倾斜角为，则的取值范围是（）A，）B（，C0，）D0，）二、填空题.（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）（3x2+k）dx10，则k 14（5分）设曲线yeax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+10垂直，则a 15（5分）若|zi|1，则|z|最大值为 16（5分）用数学归纳法证明时，由nk的假设到证明nk+1时，等式左边应添加的
4、式子是 三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17（10分）已知复数z（m28m+15）+（m29m+18）i在复平面内表示的点为A，实数m取什么值时，（1）z为纯虚数（2）A位于第三象限18（12分）已知函数f（x）x3+bx2+cx+d的图象经过点P（0，2），且在点M（1，f（1）处的切线方程为6xy+70（）求函数yf（x）的解析式；（）求函数yf（x）的单调区间19（12分）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最
5、大容积是多少？20（12分）设函数f（x）（x1）2+blnx（1）若函数f（x）在x2时取得极小值，求b的值（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求b的取值范围21（12分）求由曲线yx2+2与y3x，x0，x2所围成的平面图形的面积22（12分）在数列an中，已知a11，an+1（nN+）（1）求a2，a3，a4，并由此猜想数列an的通项公式an的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想2017-2018学年青海省西宁四中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）复数z3+4i对应的点Z关于原点的对称点为Z1，则
6、对应的向量为（）A34iB4+3iC43iD3+4i【分析】根据复数的代数形式，写出复数对应的点的坐标，写出这个点关于原点对应的点的坐标，把点的坐标形式写成复数的代数形式，得到结果【解答】解：复数z3+4i对应的点Z（3，4）Z关于原点的对称点为Z1（3，4）对应的向量34i故选：A【点评】本题考查复数的代数形式和对应的点的坐标之间的关系，本题是一个基础题，这种题目若出现一定是一个必得分题目2（5分）下列值等于1的积分是（）AxdxB（x+1）dxC1dxDdx【分析】分别求出被积函数的原函数，然后根据定积分的定义分别计算看其值是否为1即可【解答】解：选项A，xdxx2，不满足题意；选项B，（
7、x+1）dx（x2+x）+1，不满足题意；选项C，1dxx101，满足题意；选项D，dxx0，不满足题意；故选：C【点评】本题主要考查了定积分的简单应用，解题的关键是求被积函数的原函数，属于基础题3（5分）已知f（x）x2+3xf（1），则f（2）（）A1B2C4D8【分析】先求出f（x）2x+3f（1），令x1，求出f（1 ）后，导函数即可确定，再求f（2）【解答】解：f（x）2x+3f（1），令x1，得f（1）2+3f（1），f（1）1，f（x）2x3f（2）1故选：A【点评】本题考查函数与导数，求导公式的应用及函数值求解本题求出f（1 ） 是关键步骤4（5分）函数f（x）（x3）ex的单
8、调递增区间是（）A（，2）B（0，3）C（1，4）D（2，+）【分析】求出导函数，利用导函数的符号，求解函数的单调增区间即可【解答】解：函数f（x）（x3）ex，可得f（x）ex+（x3）ex（x2）ex，令f（x）0，得x2，函数f（x）（x3）ex的单调递增区间是（2，+）故选：D【点评】本题考查函数的单调性的应用，单调区间的求法，考查计算能力5（5分）若a+bi（a，bR），i是虚数单位，则乘积ab的值是（）A15B3C3D5【分析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，把等式的左边化简到最简形式，再根据两个复数相等的充要条件，求出a、b 的值【解答】解：a+bi（a，
9、bR），i是虚数单位，a+bi，a+bi，1+3ia+bi，a1，b3，ab3，故选：C【点评】本题考查两个复数相等的充要条件，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数6（5分）f（x）2x36x2+a在2，2上有最大值3，那么在2，2上f（x）的最小值是（）A5B11C29D37【分析】本题需要先根据条件：f（x）有最大值3来求出参数a的值，再进一步求出f（x）的最小值来【解答】解：由已知f（x）6x212x，令 f（x）0得x0或x2，又因为x2，2因此f（x）在2，0上是增函数，在0，2上是减函数，所以f（x）在区间2，2的最大值
10、为f（x）maxf（0）a3由以上分析可知函数的最小值在x2或x2处取到，又因为f（2）37，f（2）5，因此函数的最小值为37故选：D【点评】本题考查了函数的导数的应用，以三次的多项式类型函数为模型进行考查，以同时考查函数的单调性为辅，紧扣大纲要求，模型典型而又考查全面，虽是基础题，却是一个非常好的题目7（5分）“a0”是“复数za+bi（a，bR）是纯虚数”的（）条件A充分但不必要条件B必要但不充分条件C既不充分又不必要条件D充要条件【分析】根据纯虚数的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：复数za+bi（a，bR）是纯虚数，则a0且b0“a0”是“复数za+bi（a，bR
11、）是纯虚数”的必要但不充分条件故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用纯虚数的定义是解决本题的关键，比较基础8（5分）一质点做直线运动，由始点起经过t s后的距离为st44t3+16t2，则速度为零的时刻是（）A4s末B8s末C0s与8s末D0s，4s，8s末【分析】本题考查的是变化的快慢与变化率以及导数的综合应用类问题在解答时，首先对函数求导，然后结合导数的几何意义，求导函数在t0时的函数值即可获得问题的解答【解答】解：由题意可知：St312t2+32t由导函数的几何意义知：在t0时刻的速度的大小即距离关于时间函数的导函数在t0时的值又由t312t2+32t0解得：t0或4
12、或8故选：D【点评】本题考查的是变化的快慢与变化率以及导数的综合应用类问题在解答的过程当中充分体现了导数的几何意义、求导的能力以及计算能力值得同学们体会和反思9（5分）如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹簧限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为（）A0.28JB0.12JC0.26JD0.18J【分析】根据胡克定律Fkx，得：k，即WFdx100xdx，解得答案【解答】解：根据胡克定律Fkx，得：k100N/m，WFdx100xdx0.18J，故选：D【点评】本题考查的知识点是定积分的简单应用，其中得到功的表达式是解答的关键10（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f（x）在（
13、a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）内有极小值点（）A1个B2个C3个D4个【分析】直接利用极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，再结合图象即可求得结论【解答】解；因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，由图得：导函数值先负后正的点只有一个故函数f（x）在区间（a，b）内极小值点的个数是1故选：A【点评】本题的易错点在于把原点包含在内，原点处虽然导函数值为0，但在原点两侧，导函数值同号，所以原点不是极值点11（5分）曲线ye在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围成三角形的面积是（）AB4e2C2e2De2【分析】利用导数求曲线上点切线
14、方程，求直线与x轴，与y轴的交点，然后求切线与坐标轴所围三角形的面积【解答】解：曲线y，y，切线过点（4，e2）f（x）|x4e2，切线方程为：ye2e2（x4），令y0，得x2，与x轴的交点为：（2，0），令x0，ye2，与y轴的交点为：（0，e2），曲线y在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s2|e2|e2，故选：D【点评】此题主要考查利用导数求曲线上点切线方程，解此题的关键是对曲线y能够正确求导，此题是一道基础题12（5分）设点P是曲线：yx3x+b（b为实常数）上任意一点，P点处切线的倾斜角为，则的取值范围是（）A，）B（，C0，）D0，）【分析】先对函数进行求导，然后表示
15、出切线的斜率，再由切线的斜率与倾斜角之间的关系可得到的范围确定答案【解答】解：设点P是曲线：yx3x+b上的任意一点，yx3x+b，y3x2，点P处的切线的斜率k3x2，k，即tan，切线的倾斜角的范围为：0，）故选：D【点评】本题主要考查导数的几何意义和斜率与倾斜角的关系考查运算能力二、填空题.（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）（3x2+k）dx10，则k1【分析】欲求k的值，只须求出函数3x2+k的定积分值即可，故先利用导数求出3x2+k的原函数，再结合积分定理即可求出用k表示的定积分最后列出等式即可求得k值【解答】解：02（3x2+k）dx（x3+kx）|0223+2
16、k由题意得：23+2k10，k1故答案为：1【点评】本小题主要考查直定积分的简单应用、定积分、利用导数研究原函数等基础知识，考查运算求解能力属于基础题14（5分）设曲线yeax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+10垂直，则a2【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x0处的导数，从而求出切线的斜率，再根据两直线垂直建立等式关系，解之即可【解答】解：yeaxyaeax曲线yeax在点（0，1）处的切线方程是y1a（x0），即axy+10直线axy+10与直线x+2y+10垂直a1，即a2故答案为：2【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于
17、基础题15（5分）若|zi|1，则|z|最大值为2【分析】直接利用复数模的几何意义，结合图象求出|z|最大值【解答】解：|zi|1，表示复数复平面内的点到（0，1）的距离为1的轨迹所以|z|最大值为2；故答案为：2【点评】本题是基础题，考查复数的模的最值的求法，考查计算能力常考题型16（5分）用数学归纳法证明时，由nk的假设到证明nk+1时，等式左边应添加的式子是（k+1）2+k2【分析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出nk与nk+1时的结论，即可得到答案【解答】解：根据等式左边的特点，各数是先递增再递减由于nk，左边12+22+（k1）2+k2+（k1）2+22+12nk+1
18、时，左边12+22+（k1）2+k2+（k+1）2+k2+（k1）2+22+12比较两式，从而等式左边应添加的式子是（k+1）2+k2故答案为（k+1）2+k2【点评】本题的考点是数学归纳法，主要考查由nk的假设到证明nk+1时，等式左边应添加的式子，关键是理清等式左边的特点三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17（10分）已知复数z（m28m+15）+（m29m+18）i在复平面内表示的点为A，实数m取什么值时，（1）z为纯虚数（2）A位于第三象限【分析】（1）由实部为0且虚部不为0求解m的值；（2）由实部与虚部均小于0联立不等式组求解【解答】解：
19、（1）当m28m+150且m29m+180，即m5时，z为纯虚数（2）当，即3m5时，对应点在第三象限【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查一元二次不等式（组）的解法，是基础题18（12分）已知函数f（x）x3+bx2+cx+d的图象经过点P（0，2），且在点M（1，f（1）处的切线方程为6xy+70（）求函数yf（x）的解析式；（）求函数yf（x）的单调区间【分析】（）求出d的值，求出函数的导数，根据f（1）1，f（1）6，得到关于b，c的方程组，解出即可；（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可【解答】解：（）由yf（x）的图象经过点P（0，2），知d2
20、，f（x）x3+bx2+cx+2，f（x）3x2+2bxc由在点M（1，f（1）处的切线方程为6xy+70，知6f（1）+70，即f（1）1，又f（1）6解得bc3故所求的解析式是f（x）x33x23x+2（）f（x）3x26x3令f（x）0，得或；令f（x）0，得故f（x）x33x23x+2的单调递增区间为和，单调递减区间为【点评】本题考查了切线方程问题，考查导数的应用以及函数的单调性问题，是一道中档题19（12分）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是
21、多少？【分析】首先分析题目求长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器当容器的高为多少时，容器的容积最大故可设容器的高为x，体积为V，求出v关于x的方程，然后求出导函数，分析单调性即可求得最值【解答】解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V，则有V（902x）（482x）x4x3276x2+4320x，（0x24）求导可得到：V12x2552x+4320由V12x2552x+43200得x110，x236所以当x10时，V0，当10x36时，V0，当x36时，V0，所以，当x10，V有极大值V（10）19600，又V（0）0，V（24）0，所以当x10，V有最大值V（10）19
22、600故答案为当高为10，最大容积为19600【点评】此题主要考查函数求最值在实际问题中的应用，其中涉及到由导函数分类讨论单调性的思想，在高考中属于重点考点，同学们需要理解并记忆20（12分）设函数f（x）（x1）2+blnx（1）若函数f（x）在x2时取得极小值，求b的值（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求b的取值范围【分析】（1）对f（x）求导，根据函数f（x）在x2时取得极小值，可得f（2）0，解出b即可；（2）求导函数，利用函数f（x）在定义域是单调函数，可得f（x）0，或f（x）0在（0，+）上恒成立，再利用分离参数法，即可求得b的取值范围；【解答】解：（1）f（x）（x1）
23、2+blnx，函数f（x）在x2时取得极小值，f（2），b4；（2），函数f（x）在定义域上是单调函数，f（x）0或f（x）0，对任意x（0，+）恒成立，若f（x）0恒成立，则2x22x+b0，对任意x（0，+）恒成立，即b，b；若f（x）0恒成立，则2x22x+b0，对任意x（0，+）恒成立，即b2x2+2x，函数y2x2+2x在（0，+）上无最小值，不存在实数b使f（x）0恒成立，综上，b的取值范围为【点评】本题考查导数知识的运用，函数的单调性和恒成立问题，考查了转化思想，属中档题21（12分）求由曲线yx2+2与y3x，x0，x2所围成的平面图形的面积【分析】因为所求区域均为曲边梯形，所
24、以使用定积分方可求解【解答】解：由题意知阴影部分的面积是S（x2+23x）dx+（3xx22）dx（）+（）+2+64（2）1【点评】本题主要考查了定积分的实际应用，作出对应的区域，求出积分上限和下限是解决本题的关键，属于基础题22（12分）在数列an中，已知a11，an+1（nN+）（1）求a2，a3，a4，并由此猜想数列an的通项公式an的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想【分析】（1）由an+1与an的关系，从n1依次代入整数值，即可求出a1，a2，a3；归纳推理出数列的通项公式（2）采用数学归纳法来证明【解答】解：（1）a11，an+1（nN+）（1分）a3（2分）（3分）由此猜想数列an的通项公式.（4分）（2）下面用数学归纳法证明当n1时，猜想成立.（5分）假设当nk（nN+，k1）时，猜想成立，即（6分）那么，an+1（nN+）（7分）（10分）即当nk+1时猜想也成立.（11分）根据和，可知猜想对任何nN+都成立.（12分）【点评】本题（2）中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成
