1、2017-2018学年山东省烟台市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）“若ab，则a2b2”的逆否命题是（）A若ab，则a2b2B若a2b2，则abC若a2b2，则abD若a2b2，则ab2（5分）若命题“p”为假，“pq”为假，则（）Ap真q真Bp假q假Cp真q假Dp假q真3（5分）下列说法正确的是（）A命题“11”是假命题B命题p：“xR，x2+10”，则p“xR，x2+10”C命题“若log2alog2b，则ab”的否命题是“若log2alog2b，则ab”D“若x1，则x2+x
2、20”的逆命题为真4（5分）设x，yR，则“|x|2且|y|1”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要5（5分）已知双曲线以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的渐近线方程是（）AyxBCy2xDy4x6（5分）以平面直角坐标系xOy的坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆2cos（R）的圆心的平面直角坐标是（）A（1，0）B（1，0）C（0，1）D（0，1）7（5分）已知双曲线（a0，b0）的一个焦点与抛物线y216x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）ABCD8（5分）若P为椭圆上任一点，则点P到直线3x+8y12
3、0的距离的最小值为（）ABCD9（5分）设抛物线y24x的焦点为F，不过焦点的直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与y轴交于点C（异于坐标原点O），则ACF与BCF的面积之比为（）ABCD10（5分）已知F1，F2是双曲线的两个焦点，点P是双曲线上任意一点，若点M是F1F2P的重心，则点M的轨迹方程为（）ABCD11（5分）公元前300年左右，欧几里得在他的著作几何原本中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义：已知平面内一定直线l和线外一定点F，从平面内的动点M向直线l引垂线，垂足为H，若|MF|：|MH|为定值，则动点M的轨迹为圆锥曲线已知F（1，0），直线l：
4、x4，若|MF|：|MH|1：2，则点M的轨迹为（）A圆B椭圆C双曲线的一支D抛物线12（5分）设F1，F2分别为椭圆与双曲线C2公共的左、右焦点，两曲线在第一象限内交于点M，MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|2，若椭圆C1的离心率，则双曲线C2的离心率e2的取值范围是（）A（1，5B2，4C2，5D4，5二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）若命题“x（0，+），不等式恒成立”为真，则实数a的取值范围是 14（5分）双曲线1的焦点到其渐近线的距离为 15（5分）已知椭圆的右焦点F在圆x2+y2b2外，过F作圆的切线FM交y轴于点P，切点为M，
5、若，则椭圆的离心率为 16（5分）关于曲线sinx2+cosy21（R），给出以下结论：当时，曲线为椭圆；当为第二、第四象限角时，曲线为双曲线；当时，曲线为焦点在x轴上的双曲线；当时，曲线为两条直线写出所有你认为正确的结论的序号 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知命题p：xR，ax22x10；命题q：函数在区间（0，+）上为减函数（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数a的取值范围18（12分）已知p：实数m使得椭圆的离心率（1）求实数m的取值范围；（2）若q：tmt+9，
6、p是q的充分不必要条件，求实数t的取值范围19（12分）（1）求焦点在x轴，焦距为4，并且经过点的椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方程20（12分）已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，过焦点F且斜率为的直线l与抛物线交于A，B两点，且满足（1）求抛物线的方程；（2）已知C为抛物线上一点，若点A位于x轴下方且，求的值21（12分）已知中心在坐标原点O，一个焦点为的椭圆被直线yx1截得的弦的中点的横坐标为（1）求此椭圆的方程；（2）设直线l：ykx+m（k0，m0）与椭圆交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一个顶点为M（1，0）
7、，求OPQ面积的最大值及此时直线l的方程22（12分）以直角坐标系xOy的坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线（t为参数），曲线C的极坐标方程是26sin+10，l与C相交于两点A，B（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）已知点M（1，0），求的值2017-2018学年山东省烟台市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）“若ab，则a2b2”的逆否命题是（）A若ab，则a2b2B若a2b2，则abC若a2b2，则abD若a2b2，则ab【分析】
8、根据逆否命题的定义进行判断即可【解答】解：命题的逆否命题为：若a2b2，则ab，故选：D【点评】本题主要考查四种命题之间的关系，结合逆否命题的定义是解决本题的关键2（5分）若命题“p”为假，“pq”为假，则（）Ap真q真Bp假q假Cp真q假Dp假q真【分析】根据复合命题真假关系进行判断即可【解答】解：若命题“p”为假，则p为真命题，若“pq”为假，则q是假命题，则p真q假，故选：C【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断，比较基础3（5分）下列说法正确的是（）A命题“11”是假命题B命题p：“xR，x2+10”，则p“xR，x2+10”C命题“若log2alog2b，则ab”的否命题是“若l
9、og2alog2b，则ab”D“若x1，则x2+x20”的逆命题为真【分析】由p或q的真值表，可判断A；运用全称命题的否定为特称命题，可判断B；由命题的否命题可判断C；写出命题的逆命题，可判断D【解答】解：命题“11”是真命题，故A错误；命题p：“xR，x2+10”，则p“xR，x2+10”，故B错误；命题“若log2alog2b，则ab”的否命题是“若log2alog2b，则ab”，故C错误；“若x1，则x2+x20”的逆命题为“若x2+x20，则x1”为真命题，故D正确故选：D【点评】本题考查四种命题的真假判断、以及命题的否定和复合命题的真假，考查判断能力和分析能力，属于基础题4（5分）设
10、x，yR，则“|x|2且|y|1”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：当x2且y1时，满足“|x|2且|y|1”，但“”不成立，即充分性不成立，若“”，则“|x|2且|y|1”成立，即必要性成立，即“|x|2且|y|1”是“”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键5（5分）已知双曲线以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的渐近线方程是（）AyxBCy2xDy4x【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点和顶点坐标，
11、得出双曲线的顶点和焦点，从而求出双曲线的渐近线方程【解答】解：椭圆的焦点为F（2，0），顶点为（2，0）；则双曲线的顶点为（2，0），焦点为（2，0），a2，c2，b2，双曲线的渐近线方程为yx，即为yx故选：A【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程与简单几何性质应用问题，是基础题6（5分）以平面直角坐标系xOy的坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆2cos（R）的圆心的平面直角坐标是（）A（1，0）B（1，0）C（0，1）D（0，1）【分析】先将圆的极坐标方程2cos化成直角坐标方程，然后化成标准方程可得圆心的直角坐标【解答】解：依题意由2cos得22cos，x2+y22x，
12、化成标准形式为：（x1）2+y21，其圆心为（1，0），故选：B【点评】本题考查了圆的极坐标方程，圆的标准方程，属基础题7（5分）已知双曲线（a0，b0）的一个焦点与抛物线y216x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）ABCD【分析】求出抛物线的焦点坐标，得双曲线中c4，结合离心率求出a，b即可得到结论【解答】解：抛物线线y216x 的焦点坐标为（4，0），双曲线 的一个焦点与抛物线y216x 的焦点重合，c4，双曲线的离心率等于2，则a，b2c2a216214，所求的双曲线方程为：故选：D【点评】本题主要考查双曲线方程渐近线的求解，根据条件求出a，b是解决本题的关键8（5
13、分）若P为椭圆上任一点，则点P到直线3x+8y120的距离的最小值为（）ABCD【分析】运用椭圆的参数方程，设出点P，再由点到直线的距离公式及两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域，即可得到最小值【解答】解：设点P（2cos，sin）（02），则点P到直线3x+8y120的距离为d，其中tan，当sin（+）1时，d取得最小值，且为故选：B【点评】本题考查椭圆的方程和运用，考查椭圆的参数方程的运用：求最值，考查点到直线的距离公式，考查三角函数的值域，属于中档题9（5分）设抛物线y24x的焦点为F，不过焦点的直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与y轴交于点C（异于坐标原点O），
14、则ACF与BCF的面积之比为（）ABCD【分析】由题意画出图形，把三角形面积比转化为线段长度比，则答案可求【解答】解：如图，分别过A作AMy轴，过B作BNy轴，则AMx1，BNx2，而AMCBNC，故选：A【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题10（5分）已知F1，F2是双曲线的两个焦点，点P是双曲线上任意一点，若点M是F1F2P的重心，则点M的轨迹方程为（）ABCD【分析】求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标，设P（m，n），运用三角形的重心坐标，由P在双曲线方程上，即可得到所求轨迹方程【解答】解：双曲线的a2，b，c，可得F1（，0），F2
15、（，0），设P（m，n），点M（x，y）是F1F2P的重心，可得3xm+，3yn，即有m3x，n3y，代入双曲线方程可得3y21（y0），故选：C【点评】本题考查双曲线的方程和运用，考查三角形的重心的轨迹方程，考查运算能力，是基础题11（5分）公元前300年左右，欧几里得在他的著作几何原本中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义：已知平面内一定直线l和线外一定点F，从平面内的动点M向直线l引垂线，垂足为H，若|MF|：|MH|为定值，则动点M的轨迹为圆锥曲线已知F（1，0），直线l：x4，若|MF|：|MH|1：2，则点M的轨迹为（）A圆B椭圆C双曲线的一支D抛物线【分析】由离心率e
16、，得到点M的轨迹为椭圆【解答】解：设M（x，y），平面内一定直线l：x4和线外一定点F（1，0），从平面内的动点M向直线l引垂线，垂足为H，|MF|：|MH|1：2，离心率e，点M的轨迹为椭圆故选：B【点评】本题考查点的轨迹的判断，考查圆锥曲线的统一定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题12（5分）设F1，F2分别为椭圆与双曲线C2公共的左、右焦点，两曲线在第一象限内交于点M，MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|2，若椭圆C1的离心率，则双曲线C2的离心率e2的取值范围是（）A（1，5B2，4C2，5D4，5【分析】由已知条件推导出|MF2|F1F2
17、|2c，由此能求出双曲线C2的离心率的取值范围【解答】解：F1，F2为椭圆C1：+1（ab0）与双曲线C2的左右焦点，MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|2，|MF2|F1F2|2c，椭圆C1的离心率e1，当e1时，解得c，双曲线C2的离心率e22，当e1时，解得c，双曲线C2的离心率e25，双曲线C2的离心率取值范围是2，5故选：C【点评】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，注意双曲线、椭圆定义和性质的灵活运用，是中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）若命题“x（0，+），不等式恒成立”为真，则实数a的取值范围是（，4）【分析】x（0
18、，+），不等式恒成立，令f（x）x+利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：x（0，+），不等式恒成立，令f（x）x+x（0，+），af（x）minx（0，+），f（x）24，当且仅当x2时取等号f（x）min4实数a的取值范围是（，4）故答案为：（，4）【点评】本题考查了恒成立问题、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14（5分）双曲线1的焦点到其渐近线的距离为【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论【解答】解：由题得：其焦点坐标为（，0），（，0）渐近线方程为yx，即x2y0，所以焦点到其渐近线的距离d故答案为：【点评】本题以双曲
19、线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题15（5分）已知椭圆的右焦点F在圆x2+y2b2外，过F作圆的切线FM交y轴于点P，切点为M，若，则椭圆的离心率为【分析】设切线方程为：yk（xc），不妨设k0设以OF，OP为邻边的矩形为OFQP根据，可得矩形OFQP为正方形因此c|OF|b，进而得出椭圆的离心率【解答】解：设切线方程为：yk（xc），不妨设k0设以OF，OP为邻边的矩形为OFQP，矩形OFQP为正方形c|OF|b，c22b22（a2c2），化为：2a23c2，解得e故答案为：【点评】本题考查了题意的标准方程及其性质、向量平行四边形法则、矩形与正方形的性质、圆
20、的切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题16（5分）关于曲线sinx2+cosy21（R），给出以下结论：当时，曲线为椭圆；当为第二、第四象限角时，曲线为双曲线；当时，曲线为焦点在x轴上的双曲线；当时，曲线为两条直线写出所有你认为正确的结论的序号【分析】由的范围逐一分析四个命题得答案【解答】解：对于曲线sinx2+cosy21，当时，若，则曲线表示圆，故错误；当为第二、第四象限角时，sin与cos异号，曲线为双曲线，故正确；当时，sin0，cos0，曲线为焦点在x轴上的双曲线，故正确；当时，曲线为两条直线错误，如，此时不表示任何图形，故错误正确的结论的序号为故答案为：【点评】本题考查曲
21、线方程，考查圆锥曲线的标准方程，是基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知命题p：xR，ax22x10；命题q：函数在区间（0，+）上为减函数（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数a的取值范围【分析】（1）若命题p为假命题，得p是真命题，根据不等式恒成立进行求解即可求实数a的取值范围；（2）根据复合命题真假关系判断p，q的真假，然后进行转化求解即可【解答】解：（1）p为假，p为真，即：xR，ax22x10当a0时，x，结论不成立；当a0时，要使不等式恒成立，则，解得a1所
22、以实数a的取值范围是a1（2）当q为真，实数a的取值范围是：a+20，即a2命题“pq”为真命题，“pq”为假命题，命题p，q一真一假当p真q假时，则，得a2；当p假q真时，则，得a1实数a的取值范围是a2或a1【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合复合命题真假关系判断命题p，q的真假是解决本题的关键18（12分）已知p：实数m使得椭圆的离心率（1）求实数m的取值范围；（2）若q：tmt+9，p是q的充分不必要条件，求实数t的取值范围【分析】（1）判断椭圆的焦点坐标所在的轴，利用离心率，转化求解即可（2）利用p是q的充分不必要条件，顶点集合的包含关系，列出不等式，求解即可【解答】解：
23、（1）当0m2时，又，当m2时，又，解得4m8综上所述实数m的取值范围：或4m8（2）q：tmt+9，p是q的充分不必要条件，t，t+9，解得【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，充要条件的应用，考查计算能力19（12分）（1）求焦点在x轴，焦距为4，并且经过点的椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方程【分析】（1）由题意设出椭圆方程，结合椭圆焦距及椭圆的定义，列式求得a2，b2的值，则椭圆方程可求；（2）由题意设出双曲线方程，由椭圆的焦点可求出双曲线的半焦距，结合已知条件求得a2，b2的值，则双曲线方程可求【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为（a
24、b0），两个焦点的坐标分别为（2，0），（2，0），由椭圆的定义知，又由已知得2c4，c2，b2a2c21046椭圆的标准方程为；（2）由题意可设双曲线的方程为，椭圆的焦点为（，0），（，0），双曲线的半焦距，由题意可知，a24b2，又c2a2+b2，即5b25，b21，a24双曲线的方程为【点评】本题考查椭圆方程的求法以及双曲线的方程的求法，是中档题20（12分）已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，过焦点F且斜率为的直线l与抛物线交于A，B两点，且满足（1）求抛物线的方程；（2）已知C为抛物线上一点，若点A位于x轴下方且，求的值【分析】（1）设抛物线方程为y22px（p0）
25、，焦点坐标为（，0），直线AB的方程为y（x），与抛物线方程联立，消去x整理成关于y的一元二次方程，设出A（x1，y1）、B（x2，y2）两点坐标，x1x2+y1y2，由韦达定理可以求得答案（2）p4代入y2pyp20可得，y26y160，求出点A，B的坐标，再根据且，求出C的坐标，代入抛物线方程即可求出【解答】解：设抛物线方程为y22px（p0），焦点坐标为（，0），直线l的方程为y（x），由直线与抛物线方程联立，得y2pyp20，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2p，y1y2p2， x1x2（y1+）（y2+）y1y2+（y1+y2）+p2，（y1+）（y2+）y1y2+（
26、y1+y2）+p2（p2）+p+p212，p4，抛物线C的方程为y28x（2）将p4代入y2pyp20可得，y26y160，解得y12，y28，则x1，x28，从而A（，2），B（8，8），则（8，8）+（，2）（8+，82），故C（8+，82），又因为点C在抛物线上，所以有（82）28（8+），解得0或9【点评】本题的考点是直线与圆锥曲线的关系，主要考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题21（12分）已知中心在坐标原点O，一个焦点为的椭圆被直线yx1截得的弦的中点的横坐标为（1）求此椭圆的方程；（2）设直线l：ykx+m（k0，m0）与椭圆交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形
27、的一个顶点为M（1，0），求OPQ面积的最大值及此时直线l的方程【分析】（1）由题意可知：椭圆方程为（ab0），由题意知c2a2b23，设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），则x1+x22x0，y1+y22y0，由点差法可得，即a24b2由可得a24，b21，即可 （2）将直线方程代入椭圆方程，由0，求得4k2+1m20 ，根据韦达定理及中点坐标公式，则MNPQ，得3km4k2+1，即可求得k，则三角形OPQ面积SOPQd|PQ|，由二次函数的性质即可求得OPQ面积的最大值及此时直线l的方程【解答】解：（1）设所求椭圆方程为（ab0），由题意知c2a2b23，设
28、A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），则x1+x22x0，y1+y22y0又，可得，又0，y0，即a24b2 由可得a24，b21， 所以所求椭圆的方程为（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点N（x0，y0），联立，可得：可得（1+4k2）x2+8kmx+4m240，此时16（4k2+1m2 ）0，即 4k2+1m20 又，PQ为对角线的菱形的一顶点为M（1，0），由题意可知MNPQ，即整理可得：整理得3km4k2+1 由可得k2，设O到直线l的距离为d，则则SOPQd|PQ|当时，OPQ 的面积取最大值1，此时k，m直线方程为yx+【点评】题
29、考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理点到直线的距离公式，中点坐标及三角形面积公式与二次函数的性质的综合应用，考查计算能力，属于中档题22（12分）以直角坐标系xOy的坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线（t为参数），曲线C的极坐标方程是26sin+10，l与C相交于两点A，B（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）已知点M（1，0），求的值【分析】（1）直线（t为参数），消去参数t，得普通方程曲线C的极坐标方程是26sin+10，由2x2+y2，ysin，代入可得直角坐标方程，（2）把直线l的方程参数方程代入：x2+y26y+10整理得：t24t+20，利用根与系数的关系及其t的几何意义即可得出2【解答】解：（1）直线（t为参数），消去参数t，得：xy+10曲线C的极坐标方程是26sin+10，由2x2+y2，ysin，得：x2+y26y+10（2）把直线l的方程参数方程代入：x2+y26y+10整理得：t24t+20，设方程的两个根为t1，t2，则t1+t24，t1t22，由t的几何意义知：+2【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、根与系数的关系、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题
