2017-2018学年青海省西宁四中高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

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1、2017-2018学年青海省西宁四中高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的)1(5分)抛物线y28x的准线方程是()Ax2By2Cx2Dy22(5分)若过点A(2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y10垂直,则m的值为()A2B0C10D83(5分)焦点在 x轴上,虚轴长为12,离心率为 的双曲线标准方程是()ABCD4(5分)“x0”是“x0”的()A充分而不必要B充分必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件5(5分)若两条平行线L1:xy+10,与L2:3x+ayc0 (c0)之间的距离

2、为,则等于()A2B6C.2D06(5分)一个几何体的底面是正三角形,侧棱垂直于底面,它的三视图及其尺寸如下(单位cm),则该几何体的表面积为()A4(9+2) cm2Bcm2Ccm2Dcm27(5分)命题:“若a2+b20(a,bR),则ab0”的逆否命题是()A若ab0(a,bR),则a2+b20B若ab0(a,bR),则a2+b20C若a0且b0(a,bR),则a2+b20D若a0或b0(a,bR),则a2+b208(5分)已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是()A(p)qBpqC(p)(q)D(p)(q)9(5分)设椭圆C:1(ab0)的

3、左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点,PF2F1F2,PF1F230,则C的离心率为()ABCD10(5分)已知m,n,是直线,是平面,给出下列命题:若,m,nm,则n或n若,m,n,则mn若m,n,m,n,则若m,nm且n,n,则n且n其中正确的命题是()ABCD11(5分)由直线yx+1上的一点向圆(x3)2+y21引切线,则切线长的最小值为()A1B2CD312(5分)已知圆C:(x+3)2+y2100和点B(3,0),P是圆上一点,线段BP的垂直平分线交CP于M点,则M点的轨迹方程是()Ay26xBCDx2+y225二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13(5分)已

4、知命题p:xR,x2+2x3,则p是 14(5分)已知椭圆C的中心在坐标原点,长轴长在y轴上,离心率为,且C上一点到C的两个焦点的距离之和是12,则椭圆的方程是 15(5分)如图ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体,则A1B与平面D1B1BD所成角 16(5分)已知抛物线C:y28x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上,且,O是坐标原点,则|OA| 三、解答题:(本大题共6小题,共70分)17(10分)若双曲线的焦点在y轴,实轴长为6,渐近线方程为yx,求双曲线的标准方程18(12分)已知圆C:(x1)2+y29内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A、B两点(1)当l

5、经过圆心C时,求直线l的方程; (写一般式)(2)当直线l的倾斜角为45时,求弦AB的长19(12分)如图五面体中,四边形CBB1C1为矩形,B1C1平面ABB1N,四边形ABB1N为梯形,且ABBB1,BCABAN4(1)求证:BN平面C1B1N; (2)求此五面体的体积20(12分)已知关于x,y的方程C:x2+y22x4y+m0(1)若方程C表示圆,求实数m的取值范围;(2)若圆C与直线l:x+2y40相交于M,N两点,且|MN|,求m的值21(12分)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点(1)证明:PB平面AEC(2)已知AP1,AD,AB,求

6、二面角DAEC的余弦值22(12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,左右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|2,点(1,)在椭圆C上()求椭圆C的方程;()过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且AF2B的面积为,求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程2017-2018学年青海省西宁四中高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的)1(5分)抛物线y28x的准线方程是()Ax2By2Cx2Dy2【分析】利用抛物线的准线方程求解即可【解答】解:抛物线y28x的准线方程是x2,故选:C【

7、点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,基本知识的考查2(5分)若过点A(2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y10垂直,则m的值为()A2B0C10D8【分析】求出AB所在直线的斜率,然后利用过点A(2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y10垂直求得m的值【解答】解:A(2,m),B(m,4),直线2x+y10的斜率为2,由过点A(2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y10垂直,得,解得:m2故选:A【点评】本题考查了两直线垂直与斜率之间的关系,是基础的计算题3(5分)焦点在 x轴上,虚轴长为12,离心率为 的双曲线标准方程是()ABCD【分析】由虚轴长是12求出半虚轴b,根据双曲

8、线的性质c2a2+b2以及离心率然,求出a2,写出双曲线的标准方程【解答】解:根据题意可知2b12,解得b6 又因为离心率e根据双曲线的性质可得a2c2b2 由得,a264双所以满足题意的双曲线的标准方程为:故选:D【点评】此题考查学生掌握双曲线的性质,会利用待定系数法求双曲线的标准方程,是一道中档题4(5分)“x0”是“x0”的()A充分而不必要B充分必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解:当x1时,满足x0,但x0不成立,即充分性不成立,若x0,则x0一定成立,即必要性成立,故“x0”是“x0”的必要不充分

9、条件,故选:C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合不等式的关系是解决本题的关键5(5分)若两条平行线L1:xy+10,与L2:3x+ayc0 (c0)之间的距离为,则等于()A2B6C.2D0【分析】由题意可得 ,且 ,求出a,c的值,即可得到 的值【解答】解:由 两条平行线L1:xy+10,与L2:3x+ayc0 (c0)之间的距离为,可得 ,a3,c3,直线L1的方程即:3x3y+30,由 ,解得c3,或 c9 (舍去),2,故选:A【点评】本题考查本题考查两直线平行的性质,两直线平行,一次项系数之比相等,但不等于常数项之比,两平行线间的距离公式的应用,求出a,c的值,是解题

10、的关键6(5分)一个几何体的底面是正三角形,侧棱垂直于底面,它的三视图及其尺寸如下(单位cm),则该几何体的表面积为()A4(9+2) cm2Bcm2Ccm2Dcm2【分析】由三视图知几何体是一个三棱柱,三棱柱的高是2,底面是高为2的正三角形,做出底面的边长,利用三角形和矩形的面积公式得到结果【解答】解:由三视图知几何体是一个三棱柱,三棱柱的高是2,底面是高为2的正三角形,所以底面的边长是24,两个底面的面积是2428侧面积是24324,几何体的表面积是24+8(cm2),故选:B【点评】本题考查由三视图还原几何体,求几何体的体积,解题的关键是测试图中所给的数据容易当做底面的边长,是一个易错题

11、7(5分)命题:“若a2+b20(a,bR),则ab0”的逆否命题是()A若ab0(a,bR),则a2+b20B若ab0(a,bR),则a2+b20C若a0且b0(a,bR),则a2+b20D若a0或b0(a,bR),则a2+b20【分析】根据逆否命题的定义,直接作答即可,注意常见逻辑连接词的否定形式【解答】解:“且”的否定为“或”,因此其逆否命题为“若a0或b0,则a2+b20”;故选:D【点评】此类题型考查四种命题的定义与相互关系,一般较简单,但要注意常见逻辑连接词的运用与其各自的否定方法、形式8(5分)已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是(

12、)A(p)qBpqC(p)(q)D(p)(q)【分析】先判断命题p和命题q的真假,命题p为真命题,命题q为假命题,再由真值表对照答案逐一检验【解答】解:不难判断命题p为真命题,命题q为假命题,从而p为假命题,q为真命题,所以A、B、C均为假命题,故选:D【点评】本题考查复合命题的真值判断,属基本题9(5分)设椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点,PF2F1F2,PF1F230,则C的离心率为()ABCD【分析】设|PF2|x,在直角三角形PF1F2中,依题意可求得|PF1|与|F1F2|,利用椭圆离心率的性质即可求得答案【解答】解:设|PF2|x,PF2F1F2,PF

13、1F230,|PF1|2x,|F1F2|x,又|PF1|+|PF2|2a,|F1F2|2c2a3x,2cx,C的离心率为:e故选:A【点评】本题考查椭圆的简单性质,利用三角形边角关系求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键,考查理解与应用能力10(5分)已知m,n,是直线,是平面,给出下列命题:若,m,nm,则n或n若,m,n,则mn若m,n,m,n,则若m,nm且n,n,则n且n其中正确的命题是()ABCD【分析】n和和两个平面之间有相交,在面上故不正确,根据两个平面平行的性质定理,得到正确缺少两条直线相交的条件,故不正确,正确【解答】解:若,m,nm,则n和和两个平面之间有相交,在面

14、上故不正确,若,m,n,则mn这是两个平面平行的性质定理,故正确若m,n,m,n,则,缺少两条直线相交的条件,故不正确,若m,nm且n,n,则n且n,正确,故选:B【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系,本题解题的关键是正确写出几个元素之间的关系,不要理解不全面,这里题目中出错的地方也是我们经常出错的地方11(5分)由直线yx+1上的一点向圆(x3)2+y21引切线,则切线长的最小值为()A1B2CD3【分析】先求圆心到直线的距离,此时切线长最小,由勾股定理不难求解切线长的最小值【解答】解:切线长的最小值是当直线yx+1上的点与圆心距离最小时取得,圆心(3,0)到直线的距离为d,圆的半

15、径为1,故切线长的最小值为,故选:C【点评】本题考查圆的切线方程,点到直线的距离,是基础题12(5分)已知圆C:(x+3)2+y2100和点B(3,0),P是圆上一点,线段BP的垂直平分线交CP于M点,则M点的轨迹方程是()Ay26xBCDx2+y225【分析】根据线段中垂线的性质可得,|MB|MP|,又|MP|+|MC|半径10,故有|MC|+|MB|10|BC|,根据椭圆的定义判断轨迹椭圆,求出a、b值,即得椭圆的标准方程【解答】解:由圆的方程可知,圆心C(3,0),半径等于10,设点M的坐标为(x,y ),BP的垂直平分线交CQ于点M,|MB|MP| 又|MP|+|MC|半径10,|MC

16、|+|MB|10|BC|依据椭圆的定义可得,点M的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆,且 2a10,c3,b4,故椭圆方程为,故选:B【点评】本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程,得出|MC|+|MB|10|BC|,是解题的关键和难点二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13(5分)已知命题p:xR,x2+2x3,则p是xR,x2+2x3【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论【解答】解:命题p:xR,x2+2x3是特称命题,根据特称命题的否定是全称命题,得p:xR,x2+2x3故答案为:xR,x2+2x3【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,要求熟练掌握含有量词命题的否定

17、的形式,比较基础14(5分)已知椭圆C的中心在坐标原点,长轴长在y轴上,离心率为,且C上一点到C的两个焦点的距离之和是12,则椭圆的方程是【分析】椭圆C的标准方程为,由离心率公式和a,bc的关系和椭圆的定义,得到方程组,解得a,b,即可得到椭圆方程;【解答】解:设椭圆C的标准方程为,由题意离心率为,可得:,且C上一点到C的两个焦点的距离之和是12,可得2a12,解得a6,c3,则b3所以椭圆C的标准方程故答案为:【点评】本题主要考查椭圆方程的求法,和直线与圆锥曲线的综合问题,属于中档题目15(5分)如图ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体,则A1B与平面D1B1BD所成角【分析】连接A1

18、C1,交B1D1于O,根据正方体的几何特征及线面夹角的定义,我们呆得A1BO即为A1B与平面D1B1BD所成角,解三角形A1BO,即可求出A1B与平面D1B1BD所成角【解答】解:连接A1C1,交B1D1于O,由正方体的几何特征易得,A1O平面D1B1BD连接BO,则A1BO即为A1B与平面D1B1BD所成角又ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体,A1Ba,BO,A10则cosA1BOA1BO故答案为:【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角,其中根据已知条件求出AB1与平面D1B1BD所成角的平面角为A1BO是解答本题的关键16(5分)已知抛物线C:y28x的焦点为F,准线与x轴的

19、交点为K,点A在抛物线上,且,O是坐标原点,则|OA|【分析】设A到准线的距离等于AM,由抛物线的定义可得|AF|AM|,由可得AMK为等腰直角三角形,设点A (,s ),由 +2|s|,求出 s 值,可得点A的坐标,从而求得|OA|的值【解答】解:设A到准线的距离等于AM,由抛物线的定义可得|AF|AM|,由可得AMK为等腰直角三角形 设点A (,s ),准线方程为 x2,|AM|MK|,+2|s|,s4,A (2,4 ),|AO|2,故答案为:2【点评】本题考查椭圆的定义、标准方程,以及简单性质的应用,由|AM|MK|得到 +2|s|,是解题的关键三、解答题:(本大题共6小题,共70分)1

20、7(10分)若双曲线的焦点在y轴,实轴长为6,渐近线方程为yx,求双曲线的标准方程【分析】先确定a的值,利用渐近线方程,求出b的值,即可得到双曲线的标准方程【解答】解:由题意双曲线的焦点在y轴,实轴长为6,渐近线方程为yx,2a6,a3,可得b2;双曲线的标准方程为:【点评】本题考查双曲线的简单性质,双曲线的标准方程的求法,属于基础题18(12分)已知圆C:(x1)2+y29内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A、B两点(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程; (写一般式)(2)当直线l的倾斜角为45时,求弦AB的长【分析】(1)先求出圆的圆心坐标,从而可求得直线l的斜率,再由点斜式方

21、程可得到直线l的方程,最后化简为一般式即可(2)先根据点斜式方程求出方程,再由点到线的距离公式求出圆心到直线l的距离,进而根据勾股定理可求出弦长【解答】解:(1)圆C:(x1)2+y29的圆心为C(1,0),因直线过点P、C,所以直线l的斜率为2,直线l的方程为y2(x1),即2xy20(2)当直线l的倾斜角为45时,斜率为1,直线l的方程为y2x2,即xy0圆心C到直线l的距离为,圆的半径为3,弦AB的长为【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系,高考中对直线与圆的方程的考查以基础题为主,故平时就要注意基础知识的积累和应用,在考试中才不会手忙脚乱19(12分)如图五面体中,四边形CBB1C1为

22、矩形,B1C1平面ABB1N,四边形ABB1N为梯形,且ABBB1,BCABAN4(1)求证:BN平面C1B1N; (2)求此五面体的体积【分析】(1)利用直线与平面垂直的性质定理证明B1C1BN,然后利用勾股定理证明BNB1N,通过B1NB1C1B1,利用直线与平面垂直的判定定理证明:BN平面C1B1N; (2)连接CN,说明NM平面B1C1CB,然后五面体的体积分别求解即可【解答】解:(1)证明:连NC,过N作NMBB1,垂足为M,B1C1平面ABB1N,BN平面ABB1N,B1C1BN,(2分)又,BC4,AB4,BMAN4,BAAN,BNB1N,(4分)B1C1平面B1C1N,B1N平

23、面B1C1N,B1NB1C1B1BN平面C1B1N(6分)(2)连接CN,(8分)又B1C1平面ABB1N,所以平面CBB1C1平面ABB1N,且平面CBB1C1ABB1NBB1,NMBB1,NM平面B1C1CB,NM平面B1C1CB,(9分)(11分)此几何体的体积(12分)【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用,几何体的体积的求法,考查转化思想以及空间想象能力20(12分)已知关于x,y的方程C:x2+y22x4y+m0(1)若方程C表示圆,求实数m的取值范围;(2)若圆C与直线l:x+2y40相交于M,N两点,且|MN|,求m的值【分析】(1)根据圆的一般方程的条件列

24、不等式求出m的范围;(2)利用垂径定理得出圆的半径,从而得出m的值【解答】解:(1)若方程C:x2+y22x4y+m0表示圆,则4+164m0,解得m5(2)圆心(1,2)到直线x+2y40的距离d,圆的半径r1,1,解得m4【点评】本题考查了圆的一般方程,属于基础题21(12分)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点(1)证明:PB平面AEC(2)已知AP1,AD,AB,求二面角DAEC的余弦值【分析】(1)连结AC、BD,交于点O,连结OE,推导出OEPB,由此能证明PB平面AEC(2)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AC为z轴,建立空间直角坐标

25、系,利用向量法能出二面角DAEC的余弦值【解答】证明:(1)连结AC、BD,交于点O,连结OE,底面ABCD为矩形,O是BD中点,E为PD的中点,OEPB,PB平面ACE,OE平面ACE,PB平面AEC解:(2)四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点,以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AC为z轴,建立空间直角坐标系,AP1,AD,AB,A(0,0,0),C(,0),D(0,0),P(0,0,1),E(0,),(0,),(,0),平面ADE的法向量(1,0,0),设平面ACE的法向量(x,y,z),则,取y,得(,),设二面角DAEC的平面角为,则cos,二面

26、角DAEC的余弦值为【点评】本题考查线面平行的证明,考查二面角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想,是中档题22(12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,左右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|2,点(1,)在椭圆C上()求椭圆C的方程;()过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且AF2B的面积为,求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程【分析】()先设出椭圆的方程,根据题设中的焦距求得c和焦点坐标,根据点(1,)到两焦点的距离求得a,进而根据b求得b,得到椭圆的方程()先

27、看当直线lx轴,求得A,B点的坐标进而求得AF2B的面积与题意不符故排除,进而可设直线l的方程为:yk(x+1)与椭圆方程联立消y,设A(x1,y1),B(x2,y2),根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2,进而根据表示出|AB|的距离和圆的半径,求得k,最后求得圆的半径,得到圆的方程【解答】解:()设椭圆的方程为,由题意可得:椭圆C两焦点坐标分别为F1(1,0),F2(1,0)a2,又c1,b2413,故椭圆的方程为()当直线lx轴,计算得到:,不符合题意当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为:yk(x+1),由,消去y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2120显然0成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),则,又即,又圆F2的半径,所以,化简,得17k4+k2180,即(k21)(17k2+18)0,解得k1所以,故圆F2的方程为:(x1)2+y22【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线,椭圆与圆的关系考查了学生综合运用所学知识,创造性地解决问题的能力

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