1、2019-2020学年山东省济宁市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：1（3分）命题“x0R，x03x02+10”的否定是（）Ax0R，x03x02+10BxR，x3x2+10Cx0R，x03x02+10DxR，x3x2+102（3分）抛物线x24y的焦点坐标是（）A（1，0）B（0，1）C（2，0）D（0，2）3（3分）“x是1与9的等比中项”是“x3”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要4（3分）不等式的解集是（）A（，1）3，+）B（，1（3，+）C1，3）D1，35（3分）斜率为1的直线经过抛物线y24x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则|AB|（）
2、A8B6C12D76（3分）如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若，则（）ABCD7（3分）朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五间中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”在该问题中前5天共分发多少升大米？（）A1200B1440C1512D17728（3分）已知点A，B为曲线上两个不同的点，A，B的横坐标x1、x2是函数的两
3、个极值点，则直线AB与椭圆的位置关系是（）A相离B相切C相交D位置关系不确定二、多项选择题：9（3分）下列命题正确的是（）A若ab，cd，则a+cb+dB若ab，cd，则acbdC若acbc，则abD若ab0，c0，则10（3分）若Sn为数列an的前n项和，且Sn2an+1，（nN*），则下列说法正确的是（）Aa516BS563C数列an是等比数列D数列Sn+1是等比数列11（3分）已知函数f（x）的定义域为R且导函数为f（x），如图是函数yxf（x）的图象，则下列说法正确的是（）A函数f（x）的增区间是（2，0），（2，+）B函数f（x）的增区间是（，2），（2，+）Cx2是函数的极小值点D
4、x2是函数的极小值点12（3分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的是（）AACAFBAC平面BEFCAB与平面BEF所成角是45DAEF面积与BEF的面积相等三、填空题：13（3分）设复数z满足，其中i是虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于第 象限14（3分）已知向量（1，1，0），（1，0，2），若+与相互垂直，则k的值是 15（3分）已知直线yx+b是曲线yax2+1的切线，也是曲线ylnx的切线，则a ，b 16（3分）已知一组双曲线，设直线xm（m2）与En在第一象限的交点为An，点An在En的两条渐近线上的射
5、影分别为点Bn，n记AnBnn的面积为an，则数列an前2020项和为 四、解答题：17已知公差不为0的等差数列an的前4项的和为20，且a1，a2，a4成等比数列（）求数列an的通项公式（）设bnn，求数列bn的前n项的和Sn18已知函数f（x）x3ax+1的图象在点（0，1）处的切线方程为y3x+1（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）在区间0，2上的最大值与最小值19如图，在多面体ABCDEF中，四边形CDEF为直角梯形，DECF，EDC90，四边形ABCD为矩形，平面CDEF平面ABCD，ADDE2，CDCF4，点P为CF的中点，点Q为BE的中点（1）求证：DQBP；（2）求二面角Q
6、ADB的余弦值20A，B两地相距36km，现计划在两地间以A，B为端点的线段上，选择一点C处建造畜牧养殖场，其对两地的影响度与所选地点到两地的距离有关，对A地和B地的总影响度为对地和地的影响度之和，记点C到A地的距离为xkm，建在C处的畜牧养殖场对A地和B地的总影响度为y统计调查表明：畜牧养殖场对A地的影响度与所选地点到A地的距离成反比，比例系数为1；对B地的影响度与所选地点到B地的距离成反比，比例系数为k，当畜牧养殖场建在线段AB中点处时，对A地和B地的总影响度为（1）将y表示为x的函数，写出函数的定义域；（2）当点C到地A的距离为多少时，建在此处的畜牧养殖场对A地和B地的总影响度最小？并求
7、出总影响度的最小值21在离心率，椭圆C过点，PF1F2面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题设椭圆的左、右焦点分别为F1、F，过F1且斜率为k的直线l交椭圆于P、Q两点，已知椭圆C的短轴长为， （1）求椭圆C的方程；（2）若线段PQ的中垂线与x轴交于点N，求证：为定值22已知函数f（x）lnx+（a+1）x（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设函数f（x）图象上不重合的两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2）证明：（kAB是直线AB的斜率）2019-2020学年山东省济宁市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：1（3分）
8、命题“x0R，x03x02+10”的否定是（）Ax0R，x03x02+10BxR，x3x2+10Cx0R，x03x02+10DxR，x3x2+10【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“x0R，x03x02+10”的否定是：xR，x3x2+10故选：B【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查2（3分）抛物线x24y的焦点坐标是（）A（1，0）B（0，1）C（2，0）D（0，2）【分析】把抛物线方程化成标准方程，根据抛物线的焦点坐标公式得出焦点坐标【解答】解：把抛物线方程化为标准方程为：x24y，抛物线
9、的焦点在y轴的正半轴，p2，抛物线的焦点坐标为（0，1）故选：B【点评】本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题3（3分）“x是1与9的等比中项”是“x3”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要【分析】由“x是1与9的等比中项”，可得x，即可判断出关系【解答】解：“x是1与9的等比中项”x3“x是1与9的等比中项”是“x3”的（必要不充分条件故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4（3分）不等式的解集是（）A（，1）3，+）B（，1（3，+）C1，3）D1，3【分析】由题意，解分式不等式即可【解答】解：不
10、等式，等价于，解得1x3，所以不等式的解集是1，3）故选：C【点评】本题考查了可化为一元二次不等式的分式不等式解法问题，是基础题5（3分）斜率为1的直线经过抛物线y24x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则|AB|（）A8B6C12D7【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x1+x2的值，进而根据抛物线的定义可知|AB|x1+x2+，求得答案【解答】解：抛物线焦点为（1，0），且斜率为1，则直线方程为yx1，代入抛物线方程y24x得x26x+10，设A（x1，y1），B（x2，y2）x1+x26根据抛物线的定义可知
11、|AB|x1+x2+x1+x2+p6+28，故选：A【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质对学生基础知识的综合考查关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得|AB|值，从而解决问题6（3分）如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若，则（）ABCD【分析】利用向量加法的三角形法则以及平行六面体的性质即可求解【解答】解：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点；（+）+）+（+）+；故选：D【点评】本题着重考查了平行四边形与平行六面体的性
12、质、向量的定义与加减法则等知识，属于基础题7（3分）朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五间中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”在该问题中前5天共分发多少升大米？（）A1200B1440C1512D1772【分析】由题意可得而每天发出的大米数也构成一个等差数列bn，其中，b1643192（升），公差d8324（升），再利用等差数列的前n项和公式，求得结论【解答】解：
13、由题意可得每一天派出的人数构成一个等差数列an，其中，a164，公差d8，而每天发出的大米数也构成一个等差数列bn，其中，b1643192（升），公差d8324（升），在该问题中，前5天共分发大米的升数为 5192+241200（升），故选：A【点评】本题主要考查等差数列的应用题，考查了等差数列的前n项和公式，属于中档题8（3分）已知点A，B为曲线上两个不同的点，A，B的横坐标x1、x2是函数的两个极值点，则直线AB与椭圆的位置关系是（）A相离B相切C相交D位置关系不确定【分析】求出原函数的导函数，由函数有两个极值点，可得x1、x2，把过A，B的直线方程整理为曲线，可知直线ya（x1）过定点（
14、1，0），由此可知直线AB与椭圆的位置关系【解答】解：由函数，得f（x）axa，又函数有两个极值点，方程ax2ax10有两个不等的正实数根，则a2+4a0，且x1+x21，x1x2，解得a0，a，则过AB的直线方程为ya（xx1），整理得：yax+，即ya（x1），则直线ya（x1）过定点（1，0），直线AB与椭圆的位置关系为相交故选：C【点评】本题考查利用导数求函数的极值，考查了椭圆的简单性质，考查数学转化思想方法，是中档题二、多项选择题：9（3分）下列命题正确的是（）A若ab，cd，则a+cb+dB若ab，cd，则acbdC若acbc，则abD若ab0，c0，则【分析】由不等式的基本性质可
15、判断ACD的真假，取特殊值可判断B的真假【解答】解：Aab，cd，a+cb+d，故A正确；B由ab，cd，取a0，b1，c1，d0，则acbd不成立，故B不正确；C若c0，则由acbc，得ab，故C不正确；Dab0，当c0时，故D正确故选：AD【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题10（3分）若Sn为数列an的前n项和，且Sn2an+1，（nN*），则下列说法正确的是（）Aa516BS563C数列an是等比数列D数列Sn+1是等比数列【分析】先利用已知条件得到数列an是首项为1，公比为2的等比数列，即可判断各个选项的正误【解答】解：Sn2an+1，（nN*），当n1时，a1S12a1+1
16、，a11，当n2时，anSnSn12an+12an11，2an1an，数列an是首项为1，公比为2的等比数列，故选项C正确，故选项A正确，选项B错误，又，数列Sn+1不是等比数列，故选项D错误，故选：AC【点评】本题主要考查了等比数列，是中档题11（3分）已知函数f（x）的定义域为R且导函数为f（x），如图是函数yxf（x）的图象，则下列说法正确的是（）A函数f（x）的增区间是（2，0），（2，+）B函数f（x）的增区间是（，2），（2，+）Cx2是函数的极小值点Dx2是函数的极小值点【分析】根据题意，由函数yxf（x）的图象分析导函数的符号，进而可得f（x）的单调区间以及单调性，据此分析可得
17、答案【解答】解：根据题意，由函数yxf（x）的图象可知：当x2时，xf（x）0，f（x）0，此时f（x）为增函数，当2x0时，xf（x）0，f（x）0，此时f（x）为减函数，当0x2时，xf（x）0，f（x）0，此时f（x）为减函数，当x2时，xf（x）0，f（x）0，此时f（x）为增函数；据此分析选项：函数f（x）的增区间是（，2），（2，+），则B正确，A错误；x2是函数的极大值点，x2是函数的极小值点，则D正确，C错误；故选：BD【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，涉及函数的图象分析，属于基础题12（3分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，
18、F，且，则下列结论中正确的是（）AACAFBAC平面BEFCAB与平面BEF所成角是45DAEF面积与BEF的面积相等【分析】连结BD，则AC平面BB1D1D，BDB1D1，且点A、B到直线B1D1的距离不相等，由此判断选项B、C正确，A、D错误【解答】解：连结BD，则AC平面BB1D1D，BDB1D1，对于A，AC与AF不垂直，假设ACAF，又ACEF，且AFEFF，则AC平面AEF；又AC平面BB1D1D，所以平面AEF平面BB1D1D，这显然不成立；即假设不成立，A错误；对于B，由AC平面BB1D1D，判断AC平面BEF，B正确；对于C，由AC平面BB1D1D，则垂足O为AC与BD的交点
19、，所以ABD是直线AB与平面BEF所成的角，且ABD45，所以C正确；对于D，点A、B到直线B1D1的距离不相等，所以AEF的面积与BEF的面积不相等，D错误故选：BC【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了空间想象能力与逻辑思维能力的问题，是中档题三、填空题：13（3分）设复数z满足，其中i是虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，得到其坐标得答案【解答】解：由z1+i；1i，对应的点为（1，1）在第四象限故答案为：四【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题14（3分）已知向量（
20、1，1，0），（1，0，2），若+与相互垂直，则k的值是5【分析】利用向量垂直，数量积为0，得到关于k的方程解之【解答】解：由已知与相互垂直，所以（）0，所以（k1）+k0+220，解得k5故答案为：5【点评】本题考查了空间向量垂直的性质，运用了方程思想15（3分）已知直线yx+b是曲线yax2+1的切线，也是曲线ylnx的切线，则a，b0【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，从而求出切点横坐标，再根据切点既在曲线的图象上又在直线yx+b上，即可求出a，b的值【解答】解：设曲线ylnx的切线的切点坐标为（m，n），ylnx，y，直线yx+b是曲线ylnx的切线，y|xm
21、1，解得m1，切点（1，n）在曲线ylnx的图象上，n0，而切点（1，0）又在直线yx+b上，b1，设曲线yax2+1的切线的切点为（c，d），yax2+1，y2ax，直线yx+b是曲线yax2+1的切线，y|xc2ac1，解得c，切点（，d）在曲线yax2+1上，da+1，切点（）在直线yx+b上，b1，1解得a故答案为：，0【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题16（3分）已知一组双曲线，设直线xm（m2）与En在第一象限的交点为An，点An在En的两条渐近线上的射影分别为点Bn，n记AnBnn的面积为an，则数列an
22、前2020项和为【分析】由题意可知双曲线的渐近线为x+y0，xy0，互相垂直，设点An（x0，y0），则|AnBn|，|Ann|，表示出AnBnn的面积，再利用裂项相消法即可求出数列an前2020项和【解答】解：如图所示：，双曲线双曲线的渐近线为x+y0，xy0，互相垂直，设点An（x0，y0），则|AnBn|，|Ann|，易知AnBnn为直角三角形，数列an前2020项和为：1，故答案为：【点评】本题主要考查了双曲线的性质，是中档题四、解答题：17已知公差不为0的等差数列an的前4项的和为20，且a1，a2，a4成等比数列（）求数列an的通项公式（）设bnn，求数列bn的前n项的和Sn【分析
23、】（1）根据等差数列的前n项和公式求得2a1+3d10，由等比数列的性质，即可求得a1d，联立即可求得d2，a12，利用等差数列通项公式即可求得数列an的通项公式；（2）由bnnn4n，利用“错位相减法”即可求得数列bn的前n项的和Sn【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，由，即2a1+3d10，由a1，a2，a4成等比数列，则a22a1a4，则（a1+d）2a1（a1+3d），整理得：a1d，由解得d2，a12ana1+（n1）d2n，数列an的通项公式an2n；（6分）（2）由（1）可知：bnnn4n，（10分）所以3Sn4+42+43+4nn4n+1，n4n+1，从而，数列bn的前
24、n项的和Sn，（14分）【点评】本题考查等比数列性质，等差数列通项公式，“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题18已知函数f（x）x3ax+1的图象在点（0，1）处的切线方程为y3x+1（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）在区间0，2上的最大值与最小值【分析】（1）结合导数的几何意义及已知切线方程可求a，（2）结合导数与单调性的关系可求函数的单调区间，进而可求最值【解答】解：f（x）3x2a，由题意可得，f（0）a3，所以a3，（2）由（1）可得f（x）3x233（x1）（x+1），易得，x+10，故当0x1时，f（x）0，此时函数单调递减，当1x2时，f（x）0，此时函
25、数单调递增，故当x1时，函数取得最小值f（1）1，又f（0）1，f（2）3，故当x2时，函数取得最大值3【点评】本题考查了函数的导数的应用，同时考查了函数在闭区间上最值，属于基础试题19如图，在多面体ABCDEF中，四边形CDEF为直角梯形，DECF，EDC90，四边形ABCD为矩形，平面CDEF平面ABCD，ADDE2，CDCF4，点P为CF的中点，点Q为BE的中点（1）求证：DQBP；（2）求二面角QADB的余弦值【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系利用向量法证明即可；（2）求出平面ADQ的一个法向量和平面ABCD的一个法向量，利用夹角公式求出即可【解答】解：（1）证明：因为平面CD
26、EF平面ABCD，平面CDEF平面ABCDCD，EDC90，所以DE平面ABCD，又ADCD，如图，以D为坐标原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 由已知得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，4，0），Q（1，2，1），P（0，4，2），所以，所以DQBP；（2）设平面ADQ的一个法向量，则，即，得，又DE平面ABCD，故取平面ABCD的一个法向量，cos由图可知二面角为锐角，所以二面角QADB的余弦值为【点评】考查线面垂直性质的应用，向量法证明线线垂直，求二面角的余弦值，中档题20A，B两地相距36km，现计划在两地间以A，B为端点的线段上，选择
27、一点C处建造畜牧养殖场，其对两地的影响度与所选地点到两地的距离有关，对A地和B地的总影响度为对地和地的影响度之和，记点C到A地的距离为xkm，建在C处的畜牧养殖场对A地和B地的总影响度为y统计调查表明：畜牧养殖场对A地的影响度与所选地点到A地的距离成反比，比例系数为1；对B地的影响度与所选地点到B地的距离成反比，比例系数为k，当畜牧养殖场建在线段AB中点处时，对A地和B地的总影响度为（1）将y表示为x的函数，写出函数的定义域；（2）当点C到地A的距离为多少时，建在此处的畜牧养殖场对A地和B地的总影响度最小？并求出总影响度的最小值【分析】（1）由题意可知：y，0x36，代入特殊值即可求出k的值，
28、从而求出函数解析式；（2）利用导数即可求出y的最小值【解答】解：（1）由题意可知：y，0x36，当x18时，y，k4，（0x36）；（2）y，0x36，当x（0，12）时，y0，函数单调递减；当x（12，36）时，y0，函数单调递增，当x12时，y取最小值，最小值为【点评】本题主要考查了函数的实际运用，以及利用导数研究函数的最值，是基础题21在离心率，椭圆C过点，PF1F2面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题设椭圆的左、右焦点分别为F1、F，过F1且斜率为k的直线l交椭圆于P、Q两点，已知椭圆C的短轴长为，离心率（1）求椭圆C的方程；（2）若线段P
29、Q的中垂线与x轴交于点N，求证：为定值【分析】（1）可选，由题意可得b，运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，c，即可得到椭圆方程；（2）设直线l的方程为yk（x+1），联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|PQ|；由中点坐标公式可得PQ的中点H，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1，可得N的坐标，求得|NF1|，即可得到定值【解答】解：（1）选择离心率，可得e，2b2，即b，解得a2，c1，即有椭圆的方程为+1；（2）证明：设直线l的方程为yk（x+1），联立椭圆方程可得（3+4k2）x2+8k2x+4k2120，设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2，x1
30、x2，可得|PQ|，设PQ的中点为H（t，s），可得t，s，由题意可得kHN，解得xN，可得|NF1|1+|，可得4，即为定值【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查线段的垂直平分线的定义，以及直线的斜率公式、中点坐标公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题22已知函数f（x）lnx+（a+1）x（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设函数f（x）图象上不重合的两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2）证明：（kAB是直线AB的斜率）【分析】（1）求得f（x）+ax+a+1（x0），对a分a0、a0两类讨论，即可判断函数的单调性；（2）
31、利用斜率公式及导数的几何意义及利用分析法，要证，即证+a（x2+x1）+a+1+a+1+a，通过构造函数，利用导数即可证明结论成立【解答】（1）解：f（x）+ax+a+1（x0），若a0，当0x时，f（x）0，f（x）单调递增；当x时，f（x）0，f（x）单调递减；若a0，f（x）在（0，+）单调递增；（2）证明：kAB+a（x2+x1）+a+1，+a+1+a，要证，即证+a（x2+x1）+a+1+a+1+a，即证：不妨令x2x10，则上式等价于：lnx2lnx1lnln设t，则t1，即证：lnt（t+1）lnt2t+20（t1），构造函数h（t）（t+1）lnt2t+20（t1），则h（t）lnt+2lnt+1，h（t）（t1），显然，当t1时，h（t）0，h（t）lnt+1在区间（1，+）上单调递增，故h（t）h（1）0，所以，h（t）（t+1）lnt2t+2在区间（1，+）上单调递增，所以h（t）h（1）（1+1）ln121+20，即所证的结论成立【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查学生分析问题，解决问题的能力，着重考查构造法的应用，逻辑性强，属于难题
