1、2019-2020学年山东省淄博市部分学校高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）命题“xR，x2+ax+10”的否定是（）AxR，x2+ax+10BxR，x2+ax+10CxR，x2+ax+10DxR，x2+ax+102（5分）下列命题为真命题的是（）A若ab0，则ac2bc2B若ab0，则a2abC若ab0，则D若ab0，则3（5分）在三棱锥ABCD中，E是棱CD的中点，且，则（）ABCD4（5分）设等比数列an的前n项和为Sn，若，则（）ABCD5（5分）若双曲线C：（a0，b0）的一条渐近
2、线方程为y2x，则C的离心率为（）ABCD6（5分）方程为mx2+ny0和mx2+ny21（mn0）的两条曲线在同一坐标系中可以是（）ABCD7（5分）为落实“精准扶贫”任务，某扶贫干部帮助帮扶贫困村筹集资金16万元，购进了一条配件加工生产线已知该生产线每年收入20万元，第一年生产成本为4万元，从第二年起，每年生产成本比前一年增加2万元若该生产线n（nN*）年后年平均利润达到最大值（利润收入生产成本筹集资金），则n等于（）A3B4C5D68（5分）如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，SA平面ABCD，P为底面ABCD内的一动点，若，则动点P的轨迹在（）A圆上B双曲线上C抛
3、物线上D椭圆上二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9（5分）关于x的一元二次不等式x26x+a0（aZ）的解集中有且仅有3个整数，则a的取值可以是（）A6B7C8D910（5分）在递增的等比数列an中，Sn是数列an的前n项和，若a1a432，a2+a312，则下列说法正确的是（）Aq1B数列Sn+2是等比数列CS8510D数列lgan是公差为2的等差数列11（5分）下列命题为真命题的是（）AxR，x2x+10B当ac0时，xR，ax2+bxc0C|xy|x|y|成立的充要条件是x
4、y0D“2x3”是“（x22|x|+4）（x22x3）0”的必要不充分条件12（5分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是（）A当时，B1，P，D三点共线B当时，C当时，D1P平面BDC1D当时，A1C平面D1AP二、填空题（本题共4小题，每题5分，满分3分，将答案填在答题纸上）13若0a1，则关于x的不等式（ax）（x）0的解集是 14由9个正数组成的3行3列方阵中，每行中三个数成等比数列，且a11a12a13，a21a22a23，a31a32a33成等差数列若a122，a324，则a22 15若x，yR+，若1，则x+y的最小值为 1
5、6（3分）已知直线l：4x3y+60，抛物线C：y24x图象上的一动点P到直线l与到y轴距离之和的最小值为 ，P到直线l距离的最小值为 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知为等差数列an，bn1是首项为5公比为q的等比数列，且满足a1+b17，a2q，a3+b235（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设cnanbnan，求数列cn的前n项和Sn18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA平面ABCD，PA1，M为侧棱PD的中点（1）证明：平面MAC平面PCD；（2）求直线PB与平面PCD所成的角的大
6、小19（12分）已知双曲线C：x2y2a2（a0）与椭圆有相同的焦点（1）求双曲线C的方程；（2）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程20（12分）已知三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ACBC，ACBC，CMAB于点M，点N在棱CC1上，满足（1）若，求证：CM平面B1AN；（2）设平面B1AN与平面B1MC所成的锐二面角的大小为，若A1BB1C，试判断命题“（0，1），”的真假，并说明理由21（12分）已知在数列an中，a3，对于nN*，（1）求a2，a3，并证明2介于an和an+1之间；（2）若，求数列bn的通项公式，并证明22（12分）已知在平
7、面直角坐标系xOy中，椭圆过点，离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）过右焦点F作一条不与坐标轴平行的直线l，交椭圆C于A，B两点，求AOB面积的取值范围2019-2020学年山东省淄博市部分学校高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）命题“xR，x2+ax+10”的否定是（）AxR，x2+ax+10BxR，x2+ax+10CxR，x2+ax+10DxR，x2+ax+10【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论【解答】解：命题为全称命题，则命题“xR，x2+ax+10”的否
8、定是：xR，x2+ax+10，故选：B【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础2（5分）下列命题为真命题的是（）A若ab0，则ac2bc2B若ab0，则a2abC若ab0，则D若ab0，则【分析】利用不等式的基本性质可判断命题CD的真假，取特殊值可判断命题AB的真假【解答】解：A取c0，则ac2bc2不成立，故A错误；B由ab0，取a2，b1，则a2ab不成立，故B错误；Cab0，由不等式的基本性质知，故C正确；Dab0，ab0，故D错误故选：C【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题3（5分）在三棱锥ABCD中，E是棱CD的中点，且，则（）ABCD【分析】直接利用空间向量的加减
9、法运算，即可得答案【解答】解：如图，E是棱CD的中点，且，+故选：D【点评】本题考查了空间向量的加减法运算，属于基础题4（5分）设等比数列an的前n项和为Sn，若，则（）ABCD【分析】结合已知及等比数列的通项公式可求公比q，然后结合等比数列的求和公式即可求解【解答】解：由，可得q2，则1+q4故选：A【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式的简单应用，属于基础试题5（5分）若双曲线C：（a0，b0）的一条渐近线方程为y2x，则C的离心率为（）ABCD【分析】利用双曲线的渐近线推出b，a关系，然后求解离心率即可【解答】解：由已知双曲线C：（a0，b0）的一条渐近线方程为y2x，可得，
10、故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力6（5分）方程为mx2+ny0和mx2+ny21（mn0）的两条曲线在同一坐标系中可以是（）ABCD【分析】由mn0，分m、n同号或异号讨论，即可得到结论【解答】解：方程mx2+ny0 即 x2y，表示抛物线，方程mx2+ny21（mn0）表示椭圆或双曲线当m和n同号时，抛物线开口向下，方程mx2+ny21（mn0）表示椭圆，无符合条件的选项当m和n异号时，抛物线x2y，开口向上，方程mx2+ny21表示双曲线，注意B满足，故选：B【点评】本题考查根据曲线的方程判断曲线的形状，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中
11、档题7（5分）为落实“精准扶贫”任务，某扶贫干部帮助帮扶贫困村筹集资金16万元，购进了一条配件加工生产线已知该生产线每年收入20万元，第一年生产成本为4万元，从第二年起，每年生产成本比前一年增加2万元若该生产线n（nN*）年后年平均利润达到最大值（利润收入生产成本筹集资金），则n等于（）A3B4C5D6【分析】由题意可知，生产成本是以4为首项，公差为2的等差数列，先求出生产成本之和，再结合题意列出年平均利润关于n的函数解析式，利用基本不等式即可求出函数的最大值，以及此时n的值【解答】解：设年平均利润达为y，n年的生产成本之和为s，由题意可知，生产成本是以4为首项，公差为2的等差数列，（n+）+
12、17，当且仅当n，即n4时，取等号，平均利润达到最大值时，n4，故选：B【点评】本题主要考查了函数的实际运用，以及基本不等式，是中档题8（5分）如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，SA平面ABCD，P为底面ABCD内的一动点，若，则动点P的轨迹在（）A圆上B双曲线上C抛物线上D椭圆上【分析】建立空间直角坐标系，设坐标，由数量积可得P的轨迹为圆【解答】解：由题意建立空间直角坐标系，以AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，A为坐标原点，则B（2，0，0），S（0，0，c），设P（x，y，0）因为（2x，y，0）（x，y，c）x22x+y2+0（x1）2+y2，由题意可得：（x1
13、）2+y21，可得动点P的轨迹为：以（1，0）为圆心，以1为半径的圆故选：A【点评】考查求轨迹方程，属于中档题二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9（5分）关于x的一元二次不等式x26x+a0（aZ）的解集中有且仅有3个整数，则a的取值可以是（）A6B7C8D9【分析】设f（x）x26x+a，画出函数图象，利用数形结合的方法得出关于a的不等式组，从而求出a的值【解答】解：设f（x）x26x+a，其图象是开口向上，对称轴是x3的抛物线，如图所示；若关于x的一元二次不等式x26x+a0
14、的解集中有且仅有3个整数，则，即，解得5a8，又aZ，所以a6，7，8故选：ABC【点评】本题主要考查了一元二次不等式，以及根的存在性和根的个数判断问题，是中档题10（5分）在递增的等比数列an中，Sn是数列an的前n项和，若a1a432，a2+a312，则下列说法正确的是（）Aq1B数列Sn+2是等比数列CS8510D数列lgan是公差为2的等差数列【分析】本题先根据题干条件判断并计算得到q和a1的值，则即可得到等比数列an的通项公式和前n项和公式，则对选项进行逐个判断即可得到正确选项【解答】解：由题意，根据等比中项的性质，可得a2a3a1a4320，a2+a3120，故a20，a30根据根
15、与系数的关系，可知a2，a3是一元二次方程x212x+320的两个根解得a24，a38，或a28，a34故必有公比q0，a10等比数列an是递增数列，q1a24，a38满足题意q2，a12故选项A不正确ana1qn12nSn2n+12Sn+22n+142n1数列Sn+2是以4为首项，2为公比的等比数列故选项B正确S828+125122510故选项C正确lganlg2nn数列lgan是公差为1的等差数列故选项D不正确故选：BC【点评】本题主要考查等比数列的基础知识，不等式与等比数列的综合，以及排除法的应用，本题属中档题11（5分）下列命题为真命题的是（）AxR，x2x+10B当ac0时，xR，a
16、x2+bxc0C|xy|x|y|成立的充要条件是xy0D“2x3”是“（x22|x|+4）（x22x3）0”的必要不充分条件【分析】AxR，x2x+1+0，即可判断出正误；B当ac0时，由ax2+bxc0，可得0，即可判断出正误；C|xy|x|y|成立的充要条件是xy0，且|x|y|，即可判断出正误；D由x22|x|+4（|x|1）2+30恒成立，因此（x22|x|+4）（x22x3）0x22x301x3，即可判断出正误【解答】解：AxR，x2x+1+0，因此A不正确；B当ac0时，由ax2+bxc0，可得b2+4ac0，因此xR，ax2+bxc0，正确C|xy|x|y|成立的充要条件是xy0
17、，且|x|y|，因此不正确；D由x22|x|+4（|x|1）2+30恒成立，因此（x22|x|+4）（x22x3）0x22x301x3“2x3”是“（x22|x|+4）（x22x3）0”的必要不充分条件因此正确故选：BD【点评】本题考查了方程与不等式的解法、简易逻辑的判定方法、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12（5分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是（）A当时，B1，P，D三点共线B当时，C当时，D1P平面BDC1D当时，A1C平面D1AP【分析】建立空间直角坐标系，设k，（1，1），可得：+（1，1），A当时，点P
18、为对角线A1C的中点，即可判断出结论B当时，（，1），+10，解得k5计算0是否成立即可C当时，P（，），（，），设平面BDC1的法向量为（x，y，z），利用0，可得计算0是否成立即可得出D当时，可得：P可得：（，）（1，0，1），设平面D1AP的法向量为（a，b，c），利用0，可得，判断是否成立即可判断出结论【解答】解：建立空间直角坐标系，A1（1，0，1），D（0，0，0），C（0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），B（1，0），C1（0，1），设k，（1，1），可得：+（1，1），A当时，点P为对角线A1C的中点，可得B1，P，D三点共线，正确B当时，（，1
19、），+10，解得k5则（，）（，）+0，因此不正确；C当时，P（，），（，），设平面BDC1的法向量为（x，y，z），（1，0），（0，1），x+y0，y+z0，取（，1，）则0，D1P平面BDC1，正确D当时，可得：P可得：（，）（1，0，1），设平面D1AP的法向量为（a，b，c），则a+b+c0，ac0，取（1，1），A1C平面D1AP，因此正确综上可得：ACD正确故选：ACD【点评】本题考查了空间直角坐标系的应用、正方体的性质、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系、法向量的应用、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本题共4小题，每题5分，满分3分，将答案
20、填在答题纸上）13若0a1，则关于x的不等式（ax）（x）0的解集是【分析】已知0a1，可得1，判断a与的大小，再根据不等式的解法，进行求解【解答】解：因为0a1，可得1，a；（ax）（x）0（xa）（x）0ax；关于x的不等式（ax）（x）0的解集是（a，）；故答案为：（a，）【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，是一道基础题14由9个正数组成的3行3列方阵中，每行中三个数成等比数列，且a11a12a13，a21a22a23，a31a32a33成等差数列若a122，a324，则a22【分析】由题意设出一个满足条件的矩阵，结合a11a12a13，a21a22a23，a31a32a33成等差
21、数列，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得所求值【解答】解：由题意可设9个正数组成的矩阵为（q，m，n，分别为各行的公比），a11a12a13，a21a22a23，a31a32a33成等差数列，可得（aq）3+（cn）32（bm）3，a122，a324，可得bm2，cn4，则23+432a223，解得a22故答案为：【点评】本题以三阶矩阵为载体，主要考查等比数列的性质、等差数列的性质、三阶矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想属于中档题15若x，yR+，若1，则x+y的最小值为3【分析】由已知可得，x+y+1（x+y+1）（ ），展开后应用基本不等式即可【解答】
22、解：由题意可得，x+y+1（x+y+1）（+）2+2+24；当且仅当即则x1，y2时取等号x+y的最小值为413故答案为：3【点评】本题考查基本不等式，着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力，属于中档题16（3分）已知直线l：4x3y+60，抛物线C：y24x图象上的一动点P到直线l与到y轴距离之和的最小值为1，P到直线l距离的最小值为【分析】将点到y轴的距离转化为到准线的距离减准线到y轴的距离，再由由抛物线的性质到准线的距离等于到焦点的距离，用焦点到直线的距离求出最小距离；抛物线上的点到直线的距离转化为平行线间的距离，直线与抛物线相切时平行线间的距离最小，切线与抛物线联立用判别式等
23、于0求出l的平行线，进而求出P到直线的最小值【解答】解：由题意抛物线的焦点F（1，0），准线方程为x1，由抛物线的性质，到准线的距离等于到焦点的距离，所以y24x图象上的一动点P到直线l与到y轴距离之和的最小值时过焦点F做这些l的垂线与抛物线的交点P，所以最小值为焦点F到直线l的距离减准线到y轴的距离，而焦点到直线l的距离d2，所以P到直线l与到y轴距离之和的最小值为：211；当与直线l的平行的直线与抛物线相切时，两条平行直线的距离最小，即切点P到直线l的距离最小，设直线l的平行线：4x3y+c0，与抛物线联立：，整理得：y23y+c0，94c0，所以c，所以P到直线l的最小距离为：，故答案分
24、别为：1，【点评】考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，属于中档题四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知为等差数列an，bn1是首项为5公比为q的等比数列，且满足a1+b17，a2q，a3+b235（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设cnanbnan，求数列cn的前n项和Sn【分析】（1）设an的公差为d，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得首项、公差和公比，进而得到所求通项公式；（2）求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和【解答】解：（1）设an的公差为d，所以，所以b16，因为a1+b17
25、，所以a11，由己知得，解得，故（2）设，所以Sn15+552+953+（4n3）5n，5Sn152+553+954+（4n3）5n+1，相减可得4Sn5+4（52+53+5n）（4n3）5n+15+4（4n3）5n+1，所以【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的错位相减法求和，考查运算能力，属于中档题18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA平面ABCD，PA1，M为侧棱PD的中点（1）证明：平面MAC平面PCD；（2）求直线PB与平面PCD所成的角的大小【分析】（1）以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，以AP所在
26、的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系，用向量法先证明AM垂直CM，证明AM平面PCD，再证明结论；（2）由（1）可知为平面PCD的一个法向量，根据线面夹角的向量公式求出结论即可【解答】解：（1）因为PA平面ABCD，ABCD为正方形，以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，以AP所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系由已知可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1）因为M为PD的中点，且PAAD1，所以AMPD，所以，所以AMCM，所以AM平面PCD，因为AM平面MAC，所以平面MAC平面PCD；（2）设直线PB与平面PCD所成的角
27、的大小，由（1）可知为平面PCD的一个法向量，因为，所以，所以，即直线PB与平面PCD所成的角的大小为【点评】考查向量法证明线面垂直，面面垂直，向量法求线面所成角的大小，中档题19（12分）已知双曲线C：x2y2a2（a0）与椭圆有相同的焦点（1）求双曲线C的方程；（2）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程【分析】（1）由已知椭圆，得双曲线C的焦点为F1（2，0），F2（2，0），即c2，由等轴双曲线的性质ab及c2a2+b2，求出a，得到双曲线方程（2）法一：当AB所在直线斜率不存在时，验证不满足题意；当AB所在直线斜率存在时，设AB所在直线的方程为ykx+m，
28、联立方程组，利用韦达定理，转化求解直线方程x2y+30即为所求法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），利用平方差法，求解直线的斜率，得到直线方程【解答】解：（1）由已知椭圆得双曲线C的焦点为F1（2，0），F2（2，0），即c2，由等轴双曲线的性质ab及c2a2+b2，则所求双曲线C的方程为x2y22（2）法一：当AB所在直线斜率不存在时，由对称性可知，中点不可为P（1，2），故此时不满足题意；当AB所在直线斜率存在时，设AB所在直线的方程为ykx+m，联立方程组，得（1k2）x22kmx（m2+2）0点P（1，2）在AB所在的直线ykx+m上，即2k+m联立两式，解得，经检验，直线方程x
29、2y+30即为所求法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），两式作差：所以，所以，直线AB的方程为，即x2y+30，经检验x2y+30为所求直线方程【点评】本题考查双曲线方程的求法，直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题20（12分）已知三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ACBC，ACBC，CMAB于点M，点N在棱CC1上，满足（1）若，求证：CM平面B1AN；（2）设平面B1AN与平面B1MC所成的锐二面角的大小为，若A1BB1C，试判断命题“（0，1），”的真假，并说明理由【分析】（1）建立空间直角坐标系，设BCa，则，设AA1b，求出平面B1A
30、N的法向量，根据法向量与向量的数量积为0，证明即可；（2）由A1BB1C，求出ab，再求出平面B1AN的法向量，平面B1MC的法向量，利用夹角公式求出关于的函数，根据函数的大尿性判断即可【解答】解：（1）因为CMAB，ACBC，设BCa，则，CMABACBC，所以，所以AM，设AA1b，以BA所在的直线为x轴，过M和BB1平行的直线为y轴，以MC所在的直线为z建立如图所示的空间直角坐标系，所以，所以，所以，所以，设为平面B1AN的法向量，则，即，取，则y3a，z0，所以，而，所以，又因为直线CM在平面B1AN外，所以CM平面B1AN；（2）由（1）知，因为A1BB1C，所以，所以ab，所以，所
31、以，设（x，y，z）为平面B1AN的法向量则则，即，取，则，因为CM平面ABB1A1，所以CMA1B，因为A1BB1C，所以与B1MC的法向量平行，取，设平面B1AN与平面B1MC所成锐二面角为，所以对于（0，1），若把cos看作的函数则此函数在上是单调递增的，在是单调递减的，所以，所以，所以不存在（0，1），使得，命题“”是假命题【点评】本题考查向量法证明线面垂直，向量法求平面的法向量和二面角的余弦值的应用，本题难度较大，运算量大，要求有很强的逻辑思维能力21（12分）已知在数列an中，a3，对于nN*，（1）求a2，a3，并证明2介于an和an+1之间；（2）若，求数列bn的通项公式，并证
32、明【分析】（1）运用代入法和化简可得所求；（2）运用等比数列的定义和通项公式，不等式的解法可得证明【解答】解：（1），由己知可得，对nN*，an0，且an2（否则a12与已知矛盾），所以，所以2介于an和an+1之间；（2）因为，所以，即，所以，因为，bn+13bn，即，所以bn是以3为公比的等比数列，因为则，所以，求bn的另外一种解法：因为，所以代入得，化简得bn+13bn，所以，所以数列bn是等比数列，所以，所以，所以，因为3n11，所以53n114.3n1所以【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，注意运用构造数列法，属于中档题22（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆
33、过点，离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）过右焦点F作一条不与坐标轴平行的直线l，交椭圆C于A，B两点，求AOB面积的取值范围【分析】（1）根据椭圆的性质及过点，代入 即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，点到直线的距离公式求得三角形面积的表达式，换元，利用函数的单调性，即可求得AOB的面积的取值范围【解答】解：（1）因为椭圆，过点，离心率为，得，解得，所以椭圆C的标准方程为；（2）设直线l：xmy+1，m0，联立方程组，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my90设A（x1，y1），B（x2，y2），y1+y2，y1y2，所以又，则令，则在（1，+）上单调递增，则，则，所以AOB的面积的取值范围为【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及函数的单调性的应用，考查转化思想，属于中档题
