1、2018-2019学年山东省威海市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知abc，ac0，则下列关系式一定成立的是（）Ac2bcBa2b2Ca+bcDbc（ac）02（5分）命题“任意向量，|”的否定为（）A任意向量，|B存在向量，|C任意向量，|D存在向量，|3（5分）已知直线l，m和平面，满足l，m给出下列命题：lm；lm；lm；lm，其中正确命题的序号是（）ABCD4（5分）设aR，则“a1”是“直线l1：ax+2y40与直线l2：x+（a+1）y+20平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分
2、条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（5分）已知等差数列an前17项和为34，若a310，则a99（）A180B182C178D1806（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽（）米A2B4C4D27（5分）已知椭圆+1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为，离心率为过点F1的直线交椭圆于A，B两点，则ABF2的周长为（）A4B8C16D328（5分）关于x的不等式x2（m+2）x+2m0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（）A（5，6B（5，6）C（2，3D（2，3）9（5分）设m，n为正实数，若直线
3、（m+1）x+（n+1）y20与圆（x1）2+（y1）21相切，则mn的最小值为（）A32B2+3C+1D110（5分）不等式x22（a2）x+a0对任意x（1，5）恒成立，则实数a的取值范围为（）Aa5Ba5C5a5D5a511（5分）已知F1，F2分别是双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线的右支交于点P，若|PF2|F1F2|，直线PF1与圆x2+y2a2相切，则双曲线的焦距为（）ABC5D1012（5分）已知函数f（x）x2+ax6，g（x）x+4，若对任意x1（0，+），存在x2（，1，使f（x1）g（x2），则实数a的最大值为（）A6B4C3D2二、填空题：本大
4、题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知圆x2+y24x6y0，则过点M（1，1）的最短弦所在的直线方程是 14（5分）已知条件p：xa23a，条件q：向量（2，1，3），（3，x，2）的夹角为锐角若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 15（5分）已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长和侧棱长相等，D为A1A的中点，则直线BD与B1C所成的角为 16（5分）毕达哥拉斯的生长程序如图所示：正方形一边上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形两直角边再分别连接着一个正方形，如此继续下去，共得到511个正方形，设初始正方形的边长为1，则最小正方形的边长为 三、解答题：本大题共6小题，
5、共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）记Sn为数列an的前n项和，已知a18，an+1Sn+8（）求数列an的通项公式；（）求使不等式a1a2a3an1000成立的正整数n的最小值18（12分）已知三棱台ABCA1B1C1，AA1平面ABC，底面ABC为直角三角形，ABAC2A1C12，点M，N分别为CC1，A1B1的中点（）求证：MN平面AB1C；（）求二面角ABCN的余弦值19（12分）已知an是公差为3等差数列，数列bn满足b11，b23，（an+1）bnnbn+1（）求数列an，bn的通项公式；（）设cnanbn，求数列cn的前n项和Sn20（12分）已知四棱锥P
6、ABCD，底面ABCD为等腰梯形，ADBC，ABBCAD2，AP平面PCD，且APPC，点E为AD中点（）求证：BE平面APC；（）求直线AB与平面PAD所成角的正弦值21（12分）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，抛物线y22px（p0）的焦点F与双曲线的右焦点重合（）求双曲线和抛物线的标准方程；（）过点F做互相垂直的直线l1，l2，设l1与抛物线的交点为A，B，l2与抛物线的交点为D，E，求|AB|+|DE|的最小值22（12分）已知椭圆1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，点P为椭圆上一点，F1PF290，F1PF2的面积为1（）求椭圆的标准方程；（）设点B为椭圆
7、的上顶点，过椭圆内一点M（0，m）的直线l交椭圆于C，D两点，若BMC与BMD的面积比为2：1，求实数m的取值范围2018-2019学年山东省威海市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知abc，ac0，则下列关系式一定成立的是（）Ac2bcBa2b2Ca+bcDbc（ac）0【分析】取特值排除法：a3，b2，c1排除A；a1，b2，c3排除C，B【解答】解：不妨令a3，b2，c1，则c21bc2由此排除A；令a1，b2，c3，则a+b3c，由此排除C；则a21b24由此排除B故选
8、：D【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题2（5分）命题“任意向量，|”的否定为（）A任意向量，|B存在向量，|C任意向量，|D存在向量，|【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“任意向量，|”的否定是存在向量，|故选：B【点评】本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握全称命题：“xA，P（x）”的否定是特称命题：“xA，非P（x）”，是解答此类问题的关键3（5分）已知直线l，m和平面，满足l，m给出下列命题：lm；lm；lm；lm，其中正确命题的序号是（）ABCD【分析】作出图形容易否定，排除A，C；根据线面垂直的判定
9、和性质易证正确，从而确定选项【解答】解：如图可否定，排除选项A，C；中，l，l，m，lm，故正确，故选：D【点评】此题考查了线面，面面之间的位置关系，难度不大4（5分）设aR，则“a1”是“直线l1：ax+2y40与直线l2：x+（a+1）y+20平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】a1时，两条直线不平行a1时，由，解得a即可判断出结论【解答】解：对于两条直线：直线l1：ax+2y40与直线l2：x+（a+1）y+20，对a分类讨论：a1时，两条直线不平行，舍去a1时，由，解得a1“a1”是“直线l1：ax+2y40与直线l2：x+（a+1）y+
10、20平行”的充要条件故选：C【点评】本题考查了直线平行、简易逻辑的判定方法分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5（5分）已知等差数列an前17项和为34，若a310，则a99（）A180B182C178D180【分析】利用等差数列前n项和公式、通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果【解答】解：等差数列an前17项和为34，a310，解得a114，d2，a9914+982182故选：B【点评】本题考查等差数列的第99项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后
11、（水足够深），水面宽（）米A2B4C4D2【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y4代入抛物线方程求得x0进而得到答案得到答案【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2my，将A（2，2）代入x2my，得m2x22y，代入B（x0，4）得x02 ，故水面宽为4m故选：B【点评】本题主要考查抛物线的应用考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力7（5分）已知椭圆+1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为，离心率为过点F1的直线交椭圆于A，B两点，则ABF2的周长为（）A4B8C16D32【分析】利用椭圆的定义结合a2b2+c2可得结果【解答】解：
12、1，又b212，a216，a4，ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|4a16故选：C【点评】本题考查了椭圆的定义和标准方程，属基础题8（5分）关于x的不等式x2（m+2）x+2m0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（）A（5，6B（5，6）C（2，3D（2，3）【分析】根据题意写出不等式x2（m+2）x+2m0的解集，根据解集中恰有3个正整数求出m的取值范围【解答】解：关于x的不等式x2（m+2）x+2m0可化为（xm）（x2）0，该不等式的解集中恰有3个正整数，不等式的解集为x|2xm，且5m6；即实数m的取值范围是（5，6故选：A【点评】本题考查了一元二
13、次不等式的解法与应用问题，是基础题9（5分）设m，n为正实数，若直线（m+1）x+（n+1）y20与圆（x1）2+（y1）21相切，则mn的最小值为（）A32B2+3C+1D1【分析】根据圆心到切线的距离等于半径建立关系（m1）（n1）2，然后借助于基本不等式求解即可【解答】解：由直线与圆相切可知|m+n|，整理得（m1）（n1）2，m+nmn12，+1，mn3+2当且仅当mn时等号成立，mn的最小值是3+2故选：B【点评】本题借助基本不等式考查点到直线的距离，考查直线与圆的位置关系，属于中档题10（5分）不等式x22（a2）x+a0对任意x（1，5）恒成立，则实数a的取值范围为（）Aa5Ba
14、5C5a5D5a5【分析】根据题意，设f（x）x22（a2）x+a，分析可得f（x）0在区间（1，5）上恒成立，结合二次函数的性质可得，解可得a的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，设f（x）x22（a2）x+a，若x22（a2）x+a0对任意x（1，5）恒成立，则f（x）0在区间（1，5）上恒成立，必有，即，解可得：a5；故选：B【点评】本题考查不等式的恒成立问题，涉及二次函数的性质，属于基础题11（5分）已知F1，F2分别是双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线的右支交于点P，若|PF2|F1F2|，直线PF1与圆x2+y2a2相切，则双曲线的焦距为（）ABC5D
15、10【分析】由直线和圆相切的性质，设切点为M，可得OMPF1，且|OM|a，取PF1的中点为N，连接NF2，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到所求焦距【解答】解：直线PF1与圆x2+y2a2相切，切点设为M，连接OM，可得OMPF1，且|OM|a，由PF2|F1F2|2c，取PF1的中点为N，连接NF2，可得|NF2|2a，|NF1|2b8，|PF1|2|NF1|16，由双曲线的定义可得2a|PF1|PF2|162c，即a+c8，c2a216，解得c5，a3，即2c10故选：D【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查中位线定理和直线和圆相切的性质，考查运算能力，属于基础
16、题12（5分）已知函数f（x）x2+ax6，g（x）x+4，若对任意x1（0，+），存在x2（，1，使f（x1）g（x2），则实数a的最大值为（）A6B4C3D2【分析】问题转化为f（x）maxg（x）max，根据二次函数的以及一次函数的性质分别求出f（x），g（x）的最大值，得到关于a的不等式组，解出即可【解答】解：问题转化为f（x）maxg（x）max，f（x）x2+ax6（x2ax）6+6，对称轴x0即a0时，f（x）在（0，+）递减，f（x）maxf（0）6，0即a0时，f（x）maxf（）6，g（x）x+4在（，1递增，故g（x）maxg（1）3，故或，解得：a6，故a的最大值是6，
17、故选：A【点评】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性，最值问题，考查转化思想，是一道常规题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知圆x2+y24x6y0，则过点M（1，1）的最短弦所在的直线方程是x+2y30【分析】由圆心与点M的连线与直线l垂直时，所截的弦长最短求解【解答】解：根据题意：弦最短时，则圆心与点M的连线与直线l垂直，圆x2+y24x6y0即（x2）2+（y3）213，圆心为：O（2，3），kl由点斜式整理得直线方程为：x+2y30故答案为：x+2y30【点评】本题考查直线与圆的位置关系，弦长问题及直线的斜率及方程形式，考查数学用几何法解决直线与圆的能
18、力，是基础题14（5分）已知条件p：xa23a，条件q：向量（2，1，3），（3，x，2）的夹角为锐角若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为0a3【分析】由空间向量的夹角的运算得：23+（1）x+（3）20，解得：x0，由充分必要条件得：a23a0，得解【解答】解：由向量（2，1，3），（3，x，2）的夹角为锐角得：23+（1）x+（3）20，解得：x0，又p是q的充分不必要条件，所以a23a0，即0a3，故答案为：0a3【点评】本题考查了空间向量的夹角及充分必要条件，属简单题15（5分）已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长和侧棱长相等，D为A1A的中点，则直线BD与B1C所成的角
19、为90【分析】以A为原点，在平面ABC中过点A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BD与B1C所成的角的大小【解答】解：正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长和侧棱长相等，D为A1A的中点，以A为原点，在平面ABC中过点A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长和侧棱长都是2，则B（，1，0），D（0，0，1），B1（），C（0，2，0），（，1），（，1，2），0，BDB1C，直线BD与B1C所成的角为90故答案为：90【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面
20、面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题16（5分）毕达哥拉斯的生长程序如图所示：正方形一边上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形两直角边再分别连接着一个正方形，如此继续下去，共得到511个正方形，设初始正方形的边长为1，则最小正方形的边长为【分析】推导出正方形个数an是以首项为1，公比为2的等比数列，从而得到正方形个数为9，再推导出第一个正方形的边长bn是以为首项1，公比为的等比数列，由此能求出最小的正方形的边长即可【解答】解：设初始正方形个数为a11，依次得到a22，a34，每一个正方形都可以得到2个正方形，满足2，是以首项为1，公比为2的等比数列，正方形个数
21、的和为Sn2n1511，即2n512解得n9，第一个正方形的边长设为b11，然后满足，数列bn是以1为首项，公比为的等比数列，b9（）8，最小的正方形的边长为故答案为：【点评】本题主要考查归纳推理的应用，根据条件推出边长和正方形个数满足等比数列，结合等比数列的通项公式以及前n项和公式是解决本题的关键三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）记Sn为数列an的前n项和，已知a18，an+1Sn+8（）求数列an的通项公式；（）求使不等式a1a2a3an1000成立的正整数n的最小值【分析】（）直接利用递推关系式求出数列的通项公式（）利用（）的关系式建
22、立不等量关系，进一步求出n的最小值【解答】解：（）当n1时，a2S1+816；当n2时，anSn1+8，所以an+1anSnSn1an，即an+12an，因为a216，所以数列an为等比数列，所以（），由，即化简得n2+5n200，因为函数yx2+5x20在1，+）单调递增，所以，正整数n的最小值为3【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型18（12分）已知三棱台ABCA1B1C1，AA1平面ABC，底面ABC为直角三角形，ABAC2A1C12，点M，N分别为CC1，A1B1的中点（）求证：MN平面AB1C；（
23、）求二面角ABCN的余弦值【分析】（）取B1C1的中点F，连接NF，FM，推导出平面MNF平面AB1C，由此能证明MN平面AB1C；（）以A为原点，分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角ABCN的余弦值【解答】证明：（）取B1C1的中点F，连接NF，FM，点M，N分别为CC1，A1B1的中点，FMB1C，NFA1C1，（2分）又ACA1C1，NFAC，（3分）FMNFF，平面MNF平面AB1C，（5分）MN平面MNF，MN平面AB1C（6分）（）由题意知AB，AC，AA1两两垂直，以A为原点，分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，（
24、7分）则，（8分），（9分）设平面BCN的法向量为n（x，y，z），由，令x1，解得，所以平面BCN的一个法向量为，（10分）因为AA1平面ABC，可得平面ABC的一个法向量为n1（0，0，1），（11分），所以二面角ABCN的余弦值为（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用19（12分）已知an是公差为3等差数列，数列bn满足b11，b23，（an+1）bnnbn+1（）求数列an，bn的通项公式；（）设cnanbn，求数列cn的前n项和Sn【分析】（）可令n1，求得a1，an，进而得到数列bn为等比数列，求得通项公式；（）
25、求得，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简整理可得所求和【解答】解：（）当n1时，（a1+1）b1b2，解得a1b212，由已知可得an2+3（n1）3n1，将an代入（an+1）bnnbn+1，整理可得，所以数列bn为等比数列，公比q3，由b11，可得；（），（1）（2）（1）（2）可得，所以，即【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简整理你的运势能力，属于中档题20（12分）已知四棱锥PABCD，底面ABCD为等腰梯形，ADBC，ABBCAD2，AP平面PCD，且APPC，点E为AD中点（）求证：BE平面APC；（）
26、求直线AB与平面PAD所成角的正弦值【分析】（）推导出APCD，四边形BEDC为平行四边形，从而BECD，APBE，推导出四边形ABCE为菱形，从而ACBE，由此能证明BE平面APC（）推导出AD2CD4，CD平面APC，从而CDAC，以O为原点，分别以OB，OC，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面PAD所成角的正弦值【解答】（本小题满分12分）证明：（）AP平面PCD，CD平面PCD，APCD（1分）E为AD中点，ADBC，DEBC且DEBC，四边形BEDC为平行四边形，（2分）BECD，APBE，（3分）ABAEBC且AEBC，四边形ABCE为菱形，ACB
27、E，（4分）ACAPA，BE平面APC（5分）解：（）在等腰梯形ABCD中，AD2CD4，BE平面APC，BECD，CD平面APC，CDAC，RtACD中，又AP平面PCD，APPC，PO（7分）BE平面APC，BOOP，BOOC，APPC，O为AC中点，POOC，OB，OC，OP两两垂直，（8分）以O为原点，分别以OB，OC，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，（9分）则，（10分）设（x，y，z）为平面APD的法向量，则，令z1，得（），（11分）设直线AB与平面PAD所成角为，直线AB与平面PAD所成角的正弦值为（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空
28、间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题21（12分）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，抛物线y22px（p0）的焦点F与双曲线的右焦点重合（）求双曲线和抛物线的标准方程；（）过点F做互相垂直的直线l1，l2，设l1与抛物线的交点为A，B，l2与抛物线的交点为D，E，求|AB|+|DE|的最小值【分析】（）由双曲线的渐近线方程可得a，b的关系，点代入双曲线方程，解得a，b，可得双曲线方程；求得双曲线的焦点，可得p，进而得到抛物线方程；（）由题意知，设直线l1的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，以及弦长公式，化简整理，结合
29、基本不等式可得所求最小值【解答】解：（）由题意可得，即，所以双曲线方程为x23y23b2，将点（2，1）代入双曲线方程，可得b23，所以双曲线的标准方程为，c2a2+b212，所以，所以抛物线的方程为（）由题意知，l1，l2与坐标轴不平行，设直线l1的方程为，整理可得，0恒成立，因为直线l1，l2互相垂直，可设直线l2的方程为，同理可得，当且仅当k1时取等号，所以|AB|+|DE|的最小值为【点评】本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题22（12分）已知椭圆1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距
30、为2，点P为椭圆上一点，F1PF290，F1PF2的面积为1（）求椭圆的标准方程；（）设点B为椭圆的上顶点，过椭圆内一点M（0，m）的直线l交椭圆于C，D两点，若BMC与BMD的面积比为2：1，求实数m的取值范围【分析】（）根据设|PF1|p，|PF2|q，由题意可得，pq2，p2+q212，解得即可，（）设直线l的方程为ykx+m，C（x1，y1），D（x2，y2），则有x12x2，根据韦达定理即可求出m的范围【解答】解：（）设|PF1|p，|PF2|q，由题意可得，pq2，p2+q212，所以a2，b2a2c2431，所求椭圆的标准方程为（）因为BMC与BMD的面积比为2：1，所以|CM|2|DM，由题意知，直线l的斜率必存在，设为k（k0），设直线l的方程为ykx+m，C（x1，y1），D（x2，y2），则有x12x2，联立，整理得（4k2+1）x2+8kmx+4m240，由0得4k2m2+10，由x12x2可求得，可得，整理得，由k20，4k2m2+10可得，m21，解得或【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、不等式定解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
