1、2019-2020学年山西省太原五中高二（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个正确答案）1（4分）下列命题正确的是（）A棱柱的侧面都是长方形B棱柱的所有面都是四边形C棱柱的侧棱不一定相等D一个棱柱至少有五个面2（4分）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45，上底为1，腰为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）ABCD3（4分）已知两条不同的直线m，n和平面，下列结论正确的是（）mn，n，则m；m，n，则mn；m，n，则mn；m与平面所成角的大小等于n与平面所成角的大小，则mnABCD4（4分）三棱锥PABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分
2、别为，则该三棱锥的外接球表面积为（）A4B6C8D105（4分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A、E、C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（）ABCD6（4分）如图所示，直线PA垂直于O所在的平面，ABC内接于O，且AB为O的直径，点M为线段PB的中点现有结论：BCPC；OM平面APC；点B到平面PAC的距离等于线段BC的长其中正确的是（）ABCD7（4分）在九章算术中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”现有一个羡除如图所示，DA平面ABFE，四边形ABFE，CDEF均为等腰梯形，ABCDEF，ABAD4
3、，EF8，E到面ABCD的距离为6，则这个羡除体积是（）A96B72C64D588（4分）在平面四边形ABCD中，ACBC，BC1，AB2，将ABC沿对角线AC所在的直线折起，使平面ABC平面ACD，则直线AB与平面ACD所成角为（）ABCD9（4分）如图，平面四边形ABCD中，E，F是AD，BD中点，ABADCD2，BD2，BDC90，将ABD沿对角线BD折起至AD，使平面ABD平面BCD，则四面体ABCD中，下列结论不正确的是（）AEF平面ABCB异面直线CD与AB所成的角为90C异面直线EF与AC所成的角为60D直线AC与平面BCD所成的角为3010（4分）直三棱柱ABCA1B1C1中，
4、侧棱长为2，ACBC1，ACB90，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1平面C1DF，则线段B1F的长为（）AB1CD2二、填空题（每小题4分，共20分）11（4分）两个球的体积之比为8：27，那么这两个球的表面积的比为 12（4分）三棱锥PABC中，PAPBPC，PO平面ABC于O则O为ABC的 心13（4分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MDDD1，NBBB1，那么正方体过点M，N，C1的截面图形是 边形14（4分）如图，在正三棱柱A1B1C1ABC中，AB2，A1A2，D，F分别是棱AB，AA1的中点，E为棱A
5、C上的动点，则DEF周长的最小值为 15（4分）在三棱锥SABC中，ABC是边长为3的等边三角形，SA，SB，二面角SABC的大小为120，则此三棱锥的外接球的半径为 三、解答题（每小题10分，共40分）16（10分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，E、F分别为A1C1、BC的中点（1）求证：AB平面B1BCC1；（2）求证：C1F平面ABE17（10分）如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA（1）证明：平面PBE平面PAB；（2）求二面角ABEP的大小18（10分）如图，在棱长为
6、3的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在棱AB，CD上，且AECF1（1）求异面直线A1E与C1F所成角的余弦值（2）求四面体EFC1A1的体积19（10分）如图，在四棱锥PABCD中，ABPC，ADBC，ADCD，且PCBC2AD2CD2，PA2（1）PA平面ABCD；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角MACD的大小为60？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由2019-2020学年山西省太原五中高二（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个正确答案）1（4分）下列命题正确的是（）A棱柱的侧面都是长方形B棱柱的所
7、有面都是四边形C棱柱的侧棱不一定相等D一个棱柱至少有五个面【分析】根据棱柱的几何特征，逐一分析可得答案【解答】解：棱柱的侧面都是平行四边形，但不一定是长方形，故A错误；棱柱的底面可能不是四边形，故B错误；棱柱的侧棱一定相等，故C错误；一个棱柱至少有五个面，故D正确，故选：D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了棱柱的几何特征，难度中档2（4分）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45，上底为1，腰为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）ABCD【分析】先计算出该梯形的斜二测直观图的面积，再根据直观图的面积与原图的面积之比为，即可得到原图的面积【解答】解：依题意，如图四边形
8、ABCD是一个底角为45，上底为1，腰为的等腰梯形，过C，D分别做CFAB，DEAB，则三角形ADE，和三角形BCF为斜边长为的等腰直角三角形，所以AEDEBF1，又EFCD1，所以梯形ABCD的面积S（1+3）12又因为在斜二测画直观图时，直观图的面积与原图的面积之比为，所以，所以S原故选：C【点评】本题考查了斜二测直观图的面积与原图面积的关系，可以还原图形求原图的面积，也可以根据直观图与原图的面积比求原图的面积属于基础题3（4分）已知两条不同的直线m，n和平面，下列结论正确的是（）mn，n，则m；m，n，则mn；m，n，则mn；m与平面所成角的大小等于n与平面所成角的大小，则mnABCD【
9、分析】在中，由线面垂直的判定定理得m；在中，m与n相交、平行或异面；在中，由线面垂直的判定定理得mn；在中，m与n相交、平行或异面【解答】解：由两条不同的直线m，n和平面，知：在中，mn，n，则由线面垂直的判定定理得m，故正确；在中，m，n，则m与n相交、平行或异面，故错误；在中，m，n，则由线面垂直的判定定理得mn，故正确；在中，m与平面所成角的大小等于n与平面所成角的大小，则m与n相交、平行或异面，故错误故选：A【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题4（4分）三棱锥PAB
10、C三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球表面积为（）A4B6C8D10【分析】三棱锥PABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积【解答】解：三棱锥PABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，设PAa，PBb，PCc，则ab，bc，ca，解得，a，b1，c则长方体的对角线的长为所以球的直径是，半径长R，则球的表面积S4R26故选：B【点评】本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题将三棱锥扩展为长方体是本题的关键
11、5（4分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A、E、C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（）ABCD【分析】根据剩余几何体的直观图，结合三视图的定义即可得到主视图【解答】解：正方体ABCDA1B1C1D1中，过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的正视图为图中粗线部分故选：A【点评】本题主要考查了空间三视图与直观图的应用问题，是基础题6（4分）如图所示，直线PA垂直于O所在的平面，ABC内接于O，且AB为O的直径，点M为线段PB的中点现有结论：BCPC；OM平面APC；点B到平面PAC的
12、距离等于线段BC的长其中正确的是（）ABCD【分析】对于，先根据线面垂直的判定定理证明BC面PAC，然后根据线面垂直的判定定理得到结论；对于，根据线面平行的判定定理进行判定即可；对于，根据点到面的距离的定义进行判定即可【解答】解：PA圆O所在的平面，BC圆O所在的平面，PABC而BCAC，PAACABC面PAC，而PC面PACBCPC，故正确；点M为线段PB的中点，点O为AB的中点OMPA，而OM面PAC，PA面PACOM平面APC，故正确；BC面PAC，正确故选：B【点评】本题考查了线线垂直、线面垂直、线面平行的判定，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力7（4分）在九章算术中，将有三条棱互
13、相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”现有一个羡除如图所示，DA平面ABFE，四边形ABFE，CDEF均为等腰梯形，ABCDEF，ABAD4，EF8，E到面ABCD的距离为6，则这个羡除体积是（）A96B72C64D58【分析】多面体切割为两个三棱锥EAGD，FHBC和一个直三棱柱GADHBC，由此能求出这个羡除体积【解答】解：如图，多面体切割为两个三棱锥EAGD，FHBC和一个直三棱柱GADHBC，这个羡除体积为：故选：C【点评】本题考查多面体的体积以及切割思想，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题8（4分）在平面四边形ABCD中，ACBC，BC1
14、，AB2，将ABC沿对角线AC所在的直线折起，使平面ABC平面ACD，则直线AB与平面ACD所成角为（）ABCD【分析】画出图形，判断直线与平面的位置关系，然后求解即可【解答】解：在平面四边形ABCD中，ACBC，BC1，AB2，将ABC沿对角线AC所在的直线折起，使平面ABC平面ACD，如图：ACBC，平面ABC平面ACD，BC平面ADC，直线AB与平面ACD所成角为BAC，BC1，AB2，直线AB与平面ACD所成角为：故选：B【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力9（4分）如图，平面四边形ABCD中，E，F是AD，BD中点，ABADCD2，BD2，BDC90，
15、将ABD沿对角线BD折起至AD，使平面ABD平面BCD，则四面体ABCD中，下列结论不正确的是（）AEF平面ABCB异面直线CD与AB所成的角为90C异面直线EF与AC所成的角为60D直线AC与平面BCD所成的角为30【分析】运用线面平行的判定定理可判断A；由面面垂直的性质定理，结合异面直线所成角可判断B；由异面直线所成角和勾股定理的逆定理可判断C；由线面角的求法，可判断D【解答】解：A：因为E，F分别为AD和BD两边中点，所以EFAB，即EF平面ABC，EF平面ABC，A正确；B：因为平面ABD平面BCD，交线为BD，且CDBD，所以CD平面ABD，即CDAB，故B正确；C：取CD边中点M，
16、连接EM，FM，则EMAC，所以FEM为异面直线EF与AC所成角，又EF1，EMAC，FMBC，即FEM90，故C错误；D：连接AF，可得AFBD，由面面垂直的性质定理可得AF平面BCD，连接CF，可得ACF为AC与平面BCD所成角，由sinACF，则直线AC与平面BCD所成的角为30，故D正确故选：C【点评】本题考查异面直线所成角的求法，线面角的求法和线面平行的判断，考查转化思想和运算能力，属于基础题10（4分）直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，ACBC1，ACB90，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1平面C1DF，则线段B1F的长为（）AB1C
17、D2【分析】作DEAB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1平面C1DF，点F即为所求，由C1D平面AA1BB，AB1平面AA1B1B，则C1DAB1，AB1DF，DFC1DD，满足线面垂直的判定定理，则AB1平面C1DF【解答】解：作DEAB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1平面C1DF，点F即为所求C1D平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，C1DAB1又AB1DF，DFC1DD，AB1平面C1DF四边形AA1B1B为矩形，此时点F为B1B的中点如图则有AA1B1DB1F，即故选：A【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定应熟练记忆直线与平
18、面垂直的判定定理，属于中档题二、填空题（每小题4分，共20分）11（4分）两个球的体积之比为8：27，那么这两个球的表面积的比为4：9【分析】由题意，设两个球的半径，表示出求的表面积和体积；根据体积比，得到表面积的比【解答】解：设两个球的半径分别为r，R，由两个球的体积之比为8：27，得到r3：R38：27，所以r：R2：3，那么这两个球的表面积的比为r2：R24：9；故答案为：4：9【点评】本题考查了球的体积和表面积；明确体积、表面积公式是关键12（4分）三棱锥PABC中，PAPBPC，PO平面ABC于O则O为ABC的外心【分析】由射影定理得OAOBOC，从而得到O为ABC的内心【解答】解：
19、三棱锥PABC中，PAPBPC，PO平面ABC于O，由射影定理得OAOBOC，O为ABC的外心故答案为：外【点评】本题考查三角形五心的确定，是基础题，解题时要认真审题，注意射影定理的合理运用13（4分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MDDD1，NBBB1，那么正方体过点M，N，C1的截面图形是五边形【分析】正方体被平面所截，需要判断和正方体哪个边有交点，找出所有的点【解答】解：延长C1M交CD于点P，延长C1N交CB于点Q，连接PQ交AD于点E，交AB于点F，则正方体过点M，N，C1的截面图形是五边形C1MEFN，故答案为：五边形【点评】本题考查平面基
20、本定理，属于基础题14（4分）如图，在正三棱柱A1B1C1ABC中，AB2，A1A2，D，F分别是棱AB，AA1的中点，E为棱AC上的动点，则DEF周长的最小值为+2【分析】由正三棱柱A1B1C1ABC的性质可得：AA1AB，AA1AC在RtADF中，利用勾股定理可得DF2因此只要求出DE+EF的最小值即可得出把底面ABC展开与侧面ACC1A1在同一个平面，如图所示，只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值利用余弦定理即可得出【解答】解：由正三棱柱A1B1C1ABC，可得AA1底面ABC，AA1AB，AA1AC在RtADF中，DF2把底面ABC展开与侧面ACC1A1在同一个平面
21、，如图所示，只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值在ADF中，DAF60+90150，由余弦定理可得：DFDEF周长的最小值+2故答案为：+2【点评】本题考查了空间几何位置关系、余弦定理、侧面展开图，考查了转化能力、数形结合能力、推理能力与计算能力，属于难题15（4分）在三棱锥SABC中，ABC是边长为3的等边三角形，SA，SB，二面角SABC的大小为120，则此三棱锥的外接球的半径为【分析】由题意得SA2+AB2SB2，得到SAAB，取AB中点为D，SB中点为M，得到CDM为SABC的二面角的平面角，得到MDC120，再根据球心的性质，分别过M与O作平面SAB与平面ABC的
22、垂线，交点即为球心【解答】解：如图，由题意得SA2+AB2SB2，得到SAAB，取AB中点为D，SB中点为M，得到CDM为SABC的二面角的平面角得到MDC120，设三角形ABC 的外心为O，则COBO，DO，分别过M与O作平面SAB与平面ABC的垂线，交点即为球心，设为O，在四边形MDOO中，OO，所以R2OO2+BO2+3，所以R，故答案为【点评】本题考查了几何体的外接球表面积的求法；关键是正确找出球心的位置，通过勾股定理计算半径，属于中档题三、解答题（每小题10分，共40分）16（10分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，E、F分别为A1C1、B
23、C的中点（1）求证：AB平面B1BCC1；（2）求证：C1F平面ABE【分析】（1）运用线面垂直的性质定理和判定定理，即可得证；（2）可通过线面平行的判定定理和面面平行的性质定理，即可得证【解答】（1）证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱BB1垂直于底面ABC，所以BB1AB，又ABBC，BB1BCB，则有AB平面B1BCC1；（2）证法一、取AB中点G，连接EG，FG，由于E、F分别为A1C1、BC的中点，所以FGAC，FGAC，因为ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1FEG，又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C
24、1F平面ABE；证法二、取AC中点H，连接FH和C1H，因为F，H分别是BC，AC的中点，所以HFAB，HF平面ABE，ABABE，所以HF平面ABE，又由AEC1H，也可得到C1H平面ABE，又C1HHFH，所以平面C1HF平面ABE，因为C1F平面C1HF，所以C1F平面ABE【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面垂直的判定和性质、线面平行和面面平行的判定和性质的运用，考查推理能力，属于中档题17（10分）如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA（1）证明：平面PBE平面PAB；（2）求二面角ABEP的大小【分
25、析】（1）连接BD，证明BECD推出BEAB证明PA平面ABCD，得到PABE然后证明平面PBE平面PAB（2）说明PBA是二面角ABEP的平面角在RtPAB中，求解二面角ABEP的大小即可【解答】（12分）（1）证明：如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且BCD60，知BCD是等边三角形因为E是CD的中点，所以BECD又ABCD，所以BEAB又因为PA平面ABCD，BE平面ABCD，所以PABE而PAABA，因此BE平面PAB又BE平面PBE，所以平面PBE平面PAB（6分）（2）解：由（1）知，BE平面PAB，PB平面PAB，所以PBBE又ABBE，所以PBA是二面角ABEP的平面角在Rt
26、PAB中，tanPBA，则PBA60故二面角ABEP的大小是60（12分）【点评】本题考查直线与平面垂直以及平面与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查计算能力18（10分）如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在棱AB，CD上，且AECF1（1）求异面直线A1E与C1F所成角的余弦值（2）求四面体EFC1A1的体积【分析】（1）通过补形法得到异面直线A1E与C1F所成的角，利用余弦定理求解；（2）证明A1N平面EFC1，然后利用等积法求四面体EFC1A1的体积【解答】解：（1）在正方体ABCDA1B1C1D1中，延长DC至M，使CM1，则AECM，AEC
27、MA1EC1M，A1EC1MFC1M为异面直线A1E与C1F所成的角在FC1M中，FM2，；（2）在D1C1上取一点N，使ND11A1EFN，A1EFN，则四边形A1EFN为平行四边形，从而A1NEF，A1NEF，A1N平面EFC1，EF平面EFC1，A1N平面EFC1，【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查了利用等积法求多面体的体积，是中档题19（10分）如图，在四棱锥PABCD中，ABPC，ADBC，ADCD，且PCBC2AD2CD2，PA2（1）PA平面ABCD；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角MACD的大小为60？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由【分析】（1）
28、推导出ABAC，APAC，ABPC，从而AB平面PAC，进而PAAB，由此能证明PA平面ABCD（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PD上，存在一点M，使得二面角MACD的大小为60，42【解答】证明：（1）在四棱锥PABCD中，ABPC，ADBC，ADCD，且PCBC2AD2CD2，PA2ABAC2，AB2+AC2BC2，PA2+AC2PC2，ABAC，APAC，ABPC，AB平面PAC，PAAB，ABACA，PA平面ABCD解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设在线段PD上，存在一点M（a，b，c），使得二面角MACD的大小为60，且，（01），A（0，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（1，1，0），（a，b，c2），（1，1，2），M（，22），（0，2，0），（，22），设平面ACM的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，0，），平面ACD的法向量（0，0，1），二面角MACD的大小为60，cos60，解得在线段PD上，存在一点M，使得二面角MACD的大小为60，42【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题
