1、2019-2020学年山西省长治二中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）（9月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）下列命题正确的是（）A棱柱的侧面都是长方形B棱柱的所有面都是四边形C棱柱的侧棱不一定相等D一个棱柱至少有五个面2（5分）下列推理错误的是（）AAl，A，Bl，BlBA，A，B，BABCl，AlADAl，lA3（5分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）ABCD4（5分）已知ABC的平面直观图ABC是边长为a的正三角形，那么原AB
2、C的面积为（）ABCD5（5分）已知三角形三个顶点A（5，0），B（3，3），C（0，2），则BC边上中线所在直线方程是（）Ax13y+50Bx13y50Cx+13y+50Dx+13y06（5分）已知过点A（2，m）和点B（m，4）的直线为l1，l2：2x+y10，l3：x+ny+10若l1l2，l2l3，则实数m+n的值为（）A10B2C0D87（5分）若m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，mn，mn，m，nmn，mn，mn若m，n，mn，则则以上说法中正确的有（）个A1B2C3D48（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球面上，且AB6，则棱锥OABCD的体积为（）ABCD12
3、9（5分）圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是60，轴截面的面积为，则圆台的母线长l（）ABCD1210（5分）已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）AABmBACmCABDAC11（5分）某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是（）ABCD12（5分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，D，F分别是棱AB，AA1的中点，E为棱AC上的动点，则DEF的周长的最小值为（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）过点P（3，2），并且在两轴上的截距
4、相等的直线方程为 14（5分）九章算术卷5商功记载一个问题“今有圆堡壔（dao），周四丈八尺，高一丈一尺问积几何？”意思是：今有圆柱形土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，则它的体积是 立方尺（取3，1丈10尺）15（5分）在正三棱锥SABC中，M是SC的中点，且AMSB，底面边长AB2，则正三棱锥SABC的体积为 ，其外接球的表面积为 16（5分）如图，在直角梯形ABCD中，BCDC，AEDC，M、N分别是AD、BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是 （1）不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MN平面DEC；（2）不论D折至何位置，都有MNAE；（3）不论D折至
5、何位置（不在平面ABC内），都有MNAB；（4）在折起过程中，一定存在某个位置，使ECAD三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）已知两条直线：m为何值时，l1与l2：（1）垂直；（2）平行18（12分）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点求证：（）PA平面BDE；（）平面PAC平面BDE19（12分）如图，三棱锥PABC中，底面ABC是边长为4的正三角形，PAPC，PB4，面PAC面ABC（1）求证：ACPB；（2）求三棱锥APBC的体积20（12分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC1
6、0，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4过E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值21（12分）已知斜三棱柱ABCA1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，ABC90，BC2，AC2，且AA1A1C，AA1A1C求侧面A1ABB1与底面ABC所成锐二面角的大小；求顶点C到侧面A1ABB1的距离22（12分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，CC1，AD的中点（1）求异面直线B1E与BG所成角的余弦值；（2）棱CD上是否存在点T，使得AT平
7、面B1EF？请证明你的结论2019-2020学年山西省长治二中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）（9月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）下列命题正确的是（）A棱柱的侧面都是长方形B棱柱的所有面都是四边形C棱柱的侧棱不一定相等D一个棱柱至少有五个面【分析】根据棱柱的几何特征，逐一分析可得答案【解答】解：棱柱的侧面都是平行四边形，但不一定是长方形，故A错误；棱柱的底面可能不是四边形，故B错误；棱柱的侧棱一定相等，故C错误；一个棱柱至少有五个面，故D正确，故选：D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载
8、体，考查了棱柱的几何特征，难度中档2（5分）下列推理错误的是（）AAl，A，Bl，BlBA，A，B，BABCl，AlADAl，lA【分析】本题主要考查了平面的基本性质及推论，根据平面的基本性质及推论，依次分析命题即可【解答】解：A，B分别是公理1、2的符号表示，故它们都是正确的；对于C，l有两种可能，l，l与相交；若交点为A，则Al且A故错D是公理1的性质，正确故选：C【点评】本题考查平面的基本性质及推论，比较基础3（5分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）ABCD【分析】由BA1CD1，知A1BE是异面直线BE与
9、CD1所形成角，由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值【解答】解：正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1中点，BA1CD1，A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，设AA12AB2，则A1E1，BE，A1B，cosA1BE异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为故选：C【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养4（5分）已知ABC的平面直观图ABC是边长为a的正三角形，那么原ABC的面积为（）ABCD【分析】由原图和直观图面积之间的关系 ，求出直观图三角形的面积，再求原图的面积即可【解答】解：直观图ABC是边长为
10、a的正三角形，故面积为 ，而原图和直观图面积之间的关系 ，那么原ABC的面积为：故选：C【点评】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本运算的考查5（5分）已知三角形三个顶点A（5，0），B（3，3），C（0，2），则BC边上中线所在直线方程是（）Ax13y+50Bx13y50Cx+13y+50Dx+13y0【分析】由中点坐标公式求得BC的中点坐标，再求出BC边上中线的斜率，由直线方程的点斜式得答案【解答】解：由B（3，3），C（0，2），得BC的中点坐标为D（，），又A（5，0），BC边上中线所在直线方程是y0，即x+13y+50故选：C【点评】本题考查直线方程的求法，考查中点
11、坐标公式的应用，是基础题6（5分）已知过点A（2，m）和点B（m，4）的直线为l1，l2：2x+y10，l3：x+ny+10若l1l2，l2l3，则实数m+n的值为（）A10B2C0D8【分析】利用直线平行垂直与斜率的关系即可得出【解答】解：l1l2，解得m8又l2l3，解得n2m+n10故选：A【点评】本题考查了直线平行垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（5分）若m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，mn，mn，m，nmn，mn，mn若m，n，mn，则则以上说法中正确的有（）个A1B2C3D4【分析】在中，由线面垂直的判定定理得n；在中，m与n平行或异面；在中，由线
12、面垂直的判定定理得n；在中，与相交或平行【解答】解：由m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，知：在中，mn，m，由线面垂直的判定定理得n，故正确；在中，m，n，则m与n平行或异面，故错误；在中，mn，m，由线面垂直的判定定理得n，故正确；在中，若m，n，mn，则与相交或平行，故错误故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题8（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球面上，且AB6，则棱锥OABCD的体积为（）ABCD12【分析】先求出矩形的对角线的长，再求出球心到矩形的距离，由此能求出棱锥OABCD的体积【解答】解：矩
13、形ABCD的顶点都在半径为4的球面上，且AB6，矩形的对角线的长为：4，球心到矩形的距离为：2，所以棱锥OABCD的体积为：VOABCD8故选：A【点评】本题考查棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养9（5分）圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是60，轴截面的面积为，则圆台的母线长l（）ABCD12【分析】根据题意画出图形，结合图形设出圆台的上、下底面半径分别为r和R，列方程组求出R、r和l的值【解答】解：设圆台的上、下底面半径分别为r和R，则r：R2：3；由题意可知cos60，圆台的轴截面面积为（2r+2R）（Rr）tan60，化简得R2r2180
14、，由组成方程组，解得R18，r12，l12；即圆台的母线长为l12故选：D【点评】本题考查了圆台的结构特征与应用问题，是基础题10（5分）已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）AABmBACmCABDAC【分析】利用图形可得ABlm；A对再由ACl，mlACm；B对又ABlAB，C对ACl，但AC不一定在平面内，故它可以与平面相交、平行，故不一定垂直，所以D不一定成立【解答】解：如图所示ABlm；A对ACl，mlACm；B对ABlAB，C对对于D，虽然ACl，但AC不一定在平面内，故它可以与平面相交、平行，故不一定垂直；故错故
15、选：D【点评】高考考点：线面平行、线面垂直的有关知识及应用易错点：对有关定理理解不到位而出错全品备考提示：线面平行、线面垂直的判断及应用仍然是立体几何的一个重点，要重点掌握11（5分）某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是（）ABCD【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可【解答】解：由题意可知：几何体是上面是半圆锥，下部是半个圆柱，底面半径是2，圆柱的高为4，圆锥的高为2，几何体的体积为：224+222故选：A【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键12（5分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，D
16、，F分别是棱AB，AA1的中点，E为棱AC上的动点，则DEF的周长的最小值为（）ABCD【分析】由正三棱柱A1B1C1ABC的性质可得：AA1AB，AA1AC在RtADF中，利用勾股定理可得DF2因此只要求出DE+EF的最小值即可得出，把底面ABC展开与侧面ACC1A1在同一个平面，如图所示，只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值利用余弦定理即可得出【解答】解：由正三棱柱A1B1C1ABC，可得AA1底面ABC，AA1AB，AA1AC在RtADF中，DF2，把底面ABC展开与侧面ACC1A1在同一个平面，如图所示，只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值在AD
17、F中，DAF60+90150，由余弦定理可得：DF，DEF周长的最小值故选：D【点评】本题考查了空间几何位置关系、余弦定理、侧面展开图，考查了转化能力、数形结合能力、推理能力与计算能力，属于难题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）过点P（3，2），并且在两轴上的截距相等的直线方程为2x3y0或x+y5【分析】当直线过原点时，直线的斜率k，即可得到直线的方程当直线不过原点时，可设直线的方程为x+ya，把点P（3，2）代入即可得到【解答】解：当直线过原点时，直线的斜率k，可得直线的方程为：，即2x3y0当直线不过原点时，可设直线的方程为x+ya，把点P（3，2）代入方程可得
18、3+2a，解得a5此时直线的方程为x+y5综上可知：直线的方程为2x3y0或x+y5故答案为：2x3y0或x+y5【点评】本题考查了直线的截距式方程、分类讨论，属于基础题14（5分）九章算术卷5商功记载一个问题“今有圆堡壔（dao），周四丈八尺，高一丈一尺问积几何？”意思是：今有圆柱形土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，则它的体积是2112立方尺（取3，1丈10尺）【分析】根据周长求出城堡的底面半径，代入圆柱的体积公式计算【解答】解：设圆柱形城堡的底面半径为r，取3，1丈10尺，则由题意得2r48，r8尺又城堡的高h11尺，城堡的体积Vr2h64112112立方尺故答案为：2112【点
19、评】本题考查了圆柱的体积计算，属于基础题15（5分）在正三棱锥SABC中，M是SC的中点，且AMSB，底面边长AB2，则正三棱锥SABC的体积为，其外接球的表面积为12【分析】根据空间直线平面的垂直问题，得出棱锥的高，转化顶点，求解体积，补图的正方体的外接球求解【解答】解：取AC中点D，则SDAC，DBAC，又SDBDD，AC平面SDB，SB平面SBD，ACSB，又AMSB，AMACA，SB平面SAC，SASB，SCSB，根据对称性可知SASC，从而可知SA，SB，SC两两垂直，将其补为立方体，其棱长为2，VSABCSCASB，其外接球即为立方体的外接球，半径r，表面积S4312【点评】本题考
20、查了空间空间几何体的性质，学生的空间思维能力，计算能力，属于中档题16（5分）如图，在直角梯形ABCD中，BCDC，AEDC，M、N分别是AD、BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是（1）（2）（4）（1）不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MN平面DEC；（2）不论D折至何位置，都有MNAE；（3）不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MNAB；（4）在折起过程中，一定存在某个位置，使ECAD【分析】利用直线和平面平行、直线和平面垂直的判定定理、性质定理，结合反例、反证法的思想方法，逐一判断得出答案【解答】解：由已知，在未折叠的原梯形中，ABDE，BEAD所以四边
21、形ABED为平行四边形，DAEB折叠后得出图形如下：（1）过M，N分别作AE，BC的平行线，交ED，EC于F，H连接FH则，由平行公理得HNFM，DAEB，HNFM，四边形MNHF是平行四边形MNFHMN面CED，HF面CEDMN平面DEC 正确（2）由已知，AEED，AEEC，AE面CED，HF面CEDAEHF，MNAE；正确（3）MN与AB 异面假若MNAB，则MN与AB确定平面MNAB，从而BE平面MNAB，AD平面MNAB与BE和AD是异面直线矛盾错误（4）当CEED时，ECAD这是因为，由于CEEA，EAEDE，所以CE面AED，AD面AED得出ECAD正确故答案为：（1）（2）（4
22、）【点评】本题考查空间直线和直线、直线和平面位置关系的判断利用有关的定义、定理、性质确定命题的正确性，结合反例、反证法说明命题的错误性，是判断命题真假的常用方法三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）已知两条直线：m为何值时，l1与l2：（1）垂直；（2）平行【分析】（1）由l1l2，得3（m2）+（1）（m）0，求解得答案；（2）由两直线平行可得，求解可得m值【解答】解：（1）由l1l2，得3（m2）+（1）（m）0，解得m；（2）由l1l2，得，解得m1【点评】本题考查直线的一般方程与直线平行、垂直的关系，是基础题18（12分）如图，ABCD
23、是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点求证：（）PA平面BDE；（）平面PAC平面BDE【分析】（I）根据线面平行的判定定理证出即可；（II）根据面面垂直的判定定理证明即可【解答】证明：（I）O是AC的中点，E是PC的中点，OEAP，又OE平面BDE，PA平面BDEPA平面BDE（II）PO底面ABCD，POBD，又ACBD，且ACPOOBD平面PAC，而BD平面BDE，平面PAC平面BDE【点评】本题考查了线面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，是一道基础题19（12分）如图，三棱锥PABC中，底面ABC是边长为4的正三角形，PAPC，PB4，面PAC面ABC（1）求证
24、：ACPB；（2）求三棱锥APBC的体积【分析】（1）取AC的中点D，连接PD，BD，可得PDAC，BDAC，再由线面垂直的判定可得AC平面PDB，进一步得到ACPB；（2）由平面PAC平面ABC，利用面面垂直的性质可得PD平面ABC，再由等体积法求三棱锥APBC的体积【解答】（1）证明：取AC的中点D，连接PD，BD在PAC中，PAPC，PDAC，在ABC中，BABC，BDAC，又PDBDD，AC平面PDB，而PB平面PDB，ACPB；（2）解：平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，由（1）知PDAC，PD平面ABC，在ABC中，BABC4，BD，PD平面ABC，BD平面ABC，P
25、DBD，又PB4，PD2，【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题20（12分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4过E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值【分析】（）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；（）求出MH6，AH10，HB6，即可求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值【解答】解：
26、（）交线围成的正方形EFGH如图所示；（）作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EB112，EMAA18因为EFGH为正方形，所以EHEFBC10，于是MH6，AH10，HB6因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为【点评】本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础21（12分）已知斜三棱柱ABCA1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，ABC90，BC2，AC2，且AA1A1C，AA1A1C求侧面A1ABB1与底面ABC所成锐二面角的大小；求顶点C到侧面A1ABB1的距离【分析】利用三垂线定理作出角，即作DEAB，垂足为E，连A1E，则由A1D面AB
27、C，得A1EAB，所以A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角；求顶点C到侧面A1ABB1的距离，直接作出距离解三角形即可【解答】解：作A1DAC，垂足为D，由面A1ACC1面ABC，得A1D面ABC作DEAB，垂足为E，连A1E，则由A1D面ABC，得A1EAB所以A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角由已知，ABBC，得EDBC又D是AC的中点，BC2，AC2所以DE1，ADA1D，tanA1ED故A1ED60为所求由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离连接HB，由于ABBC，得ABHB又A1EAB，知HBA1E，且BCE
28、D，所以HBCA1ED60所以CHBCsin60为所求【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力22（12分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，CC1，AD的中点（1）求异面直线B1E与BG所成角的余弦值；（2）棱CD上是否存在点T，使得AT平面B1EF？请证明你的结论【分析】第一问利用异面直线的定义通过平移放到有公共顶点的三角形中，算出各边的值，再利用余弦定理求出所成角的余弦值；第二问在DC上固定一点T，可得出点T在DC的四分之一处，再利用直线与面平行的判定定理，找到线
29、线平行即可【解答】解：（1）在A1、D1上取中点M，连接，连接ME、GE、MG因为ABCDA1B1C1D1是正方体，M、G分别为A1D1、AD的中点，所以BGB1M所以B1E与BG所成角即为B1M与BG所成角，所以MB1E为异面直线B1E与BG所成角正方体边长为2，则，所以（2）在棱CD 上取点T，使得DTDC，则AT平面B1EF证明如下：延长BC，B1F交于H，连EH交DC于K，因为CC1BB1，FCC1的中点，所以C为BH中点因为CDAB，所KCAB，且KC，因为DTDC，E为AB中点，所以TKAE，且TKAE，即四边形AEKT为平行四边形，所以ATEK，即ATEH，又EH平面B1EF，AT平面B1EF，所AT平面B1EF【点评】本题主要考查了异面直线所成夹角问题和直线与面平行的判定，属于中等题
