1、2019-2020学年山西大学附中高二（上）第一次月考数学试卷（9月份）一、选择题（每小题3分，共36分）1（3分）（）ABCD2（3分）设a，bc，为实数，且ab0，则下列不等式正确的是（）Aac2bc2BCDa2ab3（3分）已知数列an是递增的等比数列，Sn是其前n项和，若a1+a633，a2a532，则S5（）A62B48C36D314（3分）已知平面向量与的夹角为，且，则（）A2B.1C.D.5（3分）下列选项中，使不等式xx2成立的x的取值范围是（）A（，1）B（1，0）C（0，1）D（1，+）6（3分）若三角形ABC中，sin（A+B）sin（AB）sin2C，则此三角形的形状是
2、（）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形7（3分）在ABC中，|3，|5，tan，则（）A16B16C9D98（3分）已知（0，），2sin2cos2+1，则sin（）ABCD9（3分）如图，在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且ADDM，N是线段BD上的动点，过点N作AM的垂线，垂足为H，当最小时，（）A+B+C+D+10（3分）已知在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，A60，b4，若此三角形有且只有一个，则a的取值范围是（）A0a4Ba6Ca4或 a6D0a411（3分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知asinAbsinB4csinC，c
3、osA，则（）A6B5C4D312（3分）已知函数f（x）2sin（x+）的图象经过点和若函数g（x）f（x）m在区间上有唯一零点，则m的取值范围是（）A（1，1BC2，1）D2（1，1二、填空题（每小题3分，共12分）13（3分）已知a0，b0，若a，2，b依次成等比数列，则a+4b的最小值为 14（3分）已知函数f（x）3sin（x），若f（x1）f（x2）6，则f（x1x2）的值为 15（3分）已知角 的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将终边按逆时针方向旋转后经过点p（，1），则cos2的值是 16（3分）已知数列an满足a13，anan+1，设bnlog2，则数列bn的前8项和
4、为 三、解答题（17-20题每小题10分，21题12分，共计52分）17（10分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2+a5+a842，2，a3的等比中项为4（1）求数列an的通项公式；（2）设bn，求数列bnbn+1的前n项和为Tn18（10分）设函数f（x）sinx，xR（）已知0，2），函数f（x+）是偶函数，求的值；（）求函数yf（x+）2+f（x+）2的值域19（10分）新余到吉安相距120千米，汽车从新余匀速行驶到吉安，速度不超过120km/h，已知汽车每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分两部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为
5、a元，（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数；并求出当a50，b时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小；（2）随着汽车的折旧，运输成本会发生一些变化，那么当a，b，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小20（10分）已知ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，C120（1）若a2b，求tanA的值；（2）若ACB的平分线交AB于点D，且CD1，求ABC周长的最小值21（12分）已知an是递增数列，其前n项和为Sn，a11，且（1）求数列an的通项an；（2）是否存在m，n，kN*，使得2（am+an）ak成立？若存在，写出一组符合条件的m，n，k
6、的值；若不存在，请说明理由；（3）设，若对于任意的nN*，不等式恒成立，求正整数m的最大值2019-2020学年山西大学附中高二（上）第一次月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分）1（3分）（）ABCD【分析】利用诱导公式可得 cos（6 ）cos，从而得到结果【解答】解：cos（6 ）cos，故选：C【点评】本题考查利用诱导公式进行化简求值，把要求的式子化为cos（6 ），是解题的关键2（3分）设a，bc，为实数，且ab0，则下列不等式正确的是（）Aac2bc2BCDa2ab【分析】由ab0，可判断选项的对错【解答】解：若c0，A错；选项C中，C错；选项D中
7、，a2ab，D错；选项B对；故选：B【点评】本题考查不等式，属于基础题3（3分）已知数列an是递增的等比数列，Sn是其前n项和，若a1+a633，a2a532，则S5（）A62B48C36D31【分析】求出联立解方程组，求出a11，a632，再求出q，利用前n项和公式求出S5【解答】解：数列an是递增的等比数列，a2a5a1a632，a1+a633，所以a132，a61；或者a11，a632，因为数列an是递增，故a11，a632，设公比为q，所以q5，q2，所以，故选：D【点评】考查等比数列的性质和求等比数列的前n项和公式的应用，中档题4（3分）已知平面向量与的夹角为，且，则（）A2B.1C
8、.D.【分析】根据条件可求出，从而对两边平方即可得出，解出即可【解答】解：向量与的夹角为，且；或0（舍去）；故选：A【点评】考查向量数量积的运算及计算公式5（3分）下列选项中，使不等式xx2成立的x的取值范围是（）A（，1）B（1，0）C（0，1）D（1，+）【分析】通过x，2验证不等式是否成立，排除选项B、C、D即可得到正确选项【解答】解：利用特殊值排除选项，不妨令x时，代入xx2，得到，显然不成立，选项B不正确；当x时，代入xx2，得到，显然不正确，排除C；当x2时，代入xx2，得到，显然不正确，排除D故选：A【点评】本题考查分式不等式的解法，由于本题是选择题，利用特殊值验证法是快速解答选
9、择题的一种技巧当然可以直接解答，过程比较复杂6（3分）若三角形ABC中，sin（A+B）sin（AB）sin2C，则此三角形的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形【分析】已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sinC不为0得到sin（AB）sinC，再利用两角和与差的正弦函数公式化简，【解答】解：ABC中，sin（A+B）sinC，已知等式变形得：sinCsin（AB）sin2C，即sin（AB）sinCsin（A+B），整理得：sinAcosBcosAsinBsinAcosB+cosAsinB，即2cosAsinB0，cosA0或sinB0（不合题意，舍去），A9
10、0，则此三角形形状为直角三角形故选：B【点评】此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键7（3分）在ABC中，|3，|5，tan，则（）A16B16C9D9【分析】可画出图形，根据条件可得出，然后得出，从而进行数量积的运算即可【解答】解：如图，则：，又，16故选：B【点评】本题考查了向量夹角的取值范围，切化弦公式，sin2x+cos2x1，向量减法的几何意义，相反向量的定义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题8（3分）已知（0，），2sin2cos2+1，则sin（）ABCD【分析】由二倍角的三角函数公式化简已知可得4sincos2cos2
11、，结合角的范围可求sin0，cos0，可得cos2sin，根据同角三角函数基本关系式即可解得sin的值【解答】解：2sin2cos2+1，可得：4sincos2cos2，（0，），sin0，cos0，cos2sin，sin2+cos2sin2+（2sin）25sin21，解得：sin故选：B【点评】本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题9（3分）如图，在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且ADDM，N是线段BD上的动点，过点N作AM的垂线，垂足为H，当最小时，（）A+B+C+D+【分析】关键是得出点N与点D重合时，的
12、模最大，即最小，进而得解【解答】解：，由图易知，向量所成的角为钝角，所以，NHAM，当最小时，的模最大，数形结合易知点N与点D重合时，的模最大，即最小，ADDM，DHAM，H是AM的中点，则故选：C【点评】本题考查平面向量的数量积及平面向量基本定理的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题10（3分）已知在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，A60，b4，若此三角形有且只有一个，则a的取值范围是（）A0a4Ba6Ca4或 a6D0a4【分析】根据题意求出csinA6，然后数形结合可得a的范围【解答】解：在ABC中，A60，b4，由正弦定理可得bsinA46；这样的三角形有且只有一个，a
13、6或a4；故选：C【点评】本题考查正弦定理的应用，考查三角形解得情况，考查特殊角的三角函数值，属于基础题11（3分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知asinAbsinB4csinC，cosA，则（）A6B5C4D3【分析】利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果【解答】解：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinAbsinB4csinC，cosA，解得3c2，6故选：A【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（3分）已知函数f（x）2sin（x+）的图象经过点和若函数g（x）f（x）m在区间上有唯一零点，则m
14、的取值范围是（）A（1，1BC2，1）D2（1，1【分析】利用条件求出函数的解析式，结合函数零点与图象之间的关系进行求解即可【解答】解：由题意得，kN，得，故，因为06，kN，所以2由，得，因为，故，所以，从而当时，令，则由题意得2sintm0在上有唯一解，故由正弦函数图象可得或，解得m2（1，1故选：D【点评】本题考查三角函数的图象与性质以及函数零点问题，考查推理论证能力根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键二、填空题（每小题3分，共12分）13（3分）已知a0，b0，若a，2，b依次成等比数列，则a+4b的最小值为8【分析】由题意利用等比数列的定义可得ab4，再利用基本不等式求得a+4b
15、的最小值【解答】解：已知a0，b0，若a，2，b依次成等比数列，ab4，则a+4b248，当且仅当 a4b4时，取等号，故a+4b的最小值为8，故答案为：8【点评】本题主要考查等比数列的定义，基本不等式，属于基础题14（3分）已知函数f（x）3sin（x），若f（x1）f（x2）6，则f（x1x2）的值为【分析】由题意求出x1和x2）的值，再计算x1x2和f（x1x2）的值【解答】解：由函数f（x）3sin（x），且f（x1）f（x2）6，则x1+2k，kZ，即x1+2k，kZ；x2+2k，kZ，即x2+2k，kZ；所以x1x2+2k，kZ；所以f（x1x2）3sin（+2k）3sin故答案为
16、：【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题15（3分）已知角 的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将终边按逆时针方向旋转后经过点p（，1），则cos2的值是【分析】结合三角函数的定义可求cos（+），sin（+），然后由cos2sin（2）2sin（+）cos（+），代入即可求解【解答】解：由题意可得，cos（+），sin（+），cos2sin（2）2sin（+）cos（+）2故答案为：【点评】本题主要考查了三角函数的定义及诱导公式及二倍角的正弦公式的应用，属于基础试题16（3分）已知数列an满足a13，anan+1，设bnlog2，则数列bn的前8项和为255【分析】
17、求得an+1，两边取2为底的对数，结合等比数列的定义和通项公式，求和公式，可得所求和【解答】解：anan+1，可得an+1，则，两边取2为底的对数，可得log22log2，即有bn+12bn，a13，可得b1log21，bn为首项为1，公比为2的等比数列，可得bn2n1，则数列bn的前8项和为255故答案为：255【点评】本题考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，注意构造法的运用，以及对数的运算性质，属于中档题三、解答题（17-20题每小题10分，21题12分，共计52分）17（10分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2+a5+a842，2，a3的等比中项为4（1）求数列an的通
18、项公式；（2）设bn，求数列bnbn+1的前n项和为Tn【分析】（1）等差数列的公差设为d，由等比数列的中项性质和等差数列的性质、通项公式可得公差d，进而得到所求通项公式；（2）由等差数列的求和公式，化简可得bn，bnbn+1（），由数列的裂项相消求和化简可得所求和【解答】解：（1）等差数列an的公差设为d，前n项和为Sn，且a2+a5+a842，可得3a542，即a514，2，a3的等比中项为4，可得2a316，即a38，则d3，则ana3+3（n3）3n1；（2）Snn（2+3n1），bn，bnbn+1（），前n项和为Tn（+）（）【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式、等比数列的中
19、项性质，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题18（10分）设函数f（x）sinx，xR（）已知0，2），函数f（x+）是偶函数，求的值；（）求函数yf（x+）2+f（x+）2的值域【分析】（1）函数f（x+）是偶函数，则（kZ），根据的范围可得结果；（2）化简函数得y，然后根据x的范围求值域即可【解答】解：（1）由f（x）sinx，得f（x+）sin（x+），f（x+）为偶函数，（kZ），0，2），或，（2）yf（x+）2+f（x+）2sin2（x+）+sin2（x+）1，xR，函数yf（x+）2+f（x+）2的值域为：【点评】本题考查了三角函数的奇偶性和三角函数的图象与性质，关键
20、是熟练掌握三角恒等变换，属基础题19（10分）新余到吉安相距120千米，汽车从新余匀速行驶到吉安，速度不超过120km/h，已知汽车每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分两部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元，（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数；并求出当a50，b时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小；（2）随着汽车的折旧，运输成本会发生一些变化，那么当a，b，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小【分析】（1）由题意知，汽车从新余匀速到吉安所用时间为，全程成本为y（bv2+a）120（bv+）
21、，v（0，120；代入a50，b，利用基本不等式求解；（2）注意到y120（v+）时，利用基本不等式取不到等号，故转而应用函数的单调性求最值【解答】解：（1）由题意知，汽车从新余匀速到吉安所用时间为，全程成本为y（bv2+a）120（bv+），v（0，120；当a50，b时，y120（v+）240120（当且仅当v100时取等号）所以汽车应以100km/h的速度行驶，能使得全程运输成本最小 （2）当a，b时，y120（v+），由双勾函数的单调性可知v120时，y有最小值所以汽车应以120km/h的速度行驶，才能使得全程运输成本最小【点评】本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，同时考查了
22、基本不等式的应用，属于中档题20（10分）已知ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，C120（1）若a2b，求tanA的值；（2）若ACB的平分线交AB于点D，且CD1，求ABC周长的最小值【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的变换的应用求出结果（2）利用三角形的面积和余弦定理的应用及基本不等式的应用求出结果【解答】解：（1）已知ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，C120若a2b，所以sinA2sinB，整理得：sinA2sin（180120A），整理得：sinA，解得tanA（2）ACB的平分线交AB于点D，且CD1，利用三角形的面积：所以，整理得，所以1+12
23、+24，当且仅当ab2时，等号成立所以c2a2+b22abcos120，解得c，所以ABC周长的最小值为2+2+24+2【点评】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型21（12分）已知an是递增数列，其前n项和为Sn，a11，且（1）求数列an的通项an；（2）是否存在m，n，kN*，使得2（am+an）ak成立？若存在，写出一组符合条件的m，n，k的值；若不存在，请说明理由；（3）设，若对于任意的nN*，不等式恒成立，求正整数m的最大值【分析】（1）令n1代入10Sn（2an+1）（an+2），求
24、得a1的值，根据，转化为等差数列，可以求得数列an的通项an；（2）假设存在m，n，kN*，使得2（am+an）ak成立，代入数列an的通项an，经过分析得出矛盾，可以得到不存在m，n，kN*，使得2（am+an）ak成立；（3）把数列an的通项an代入，分离参数，转化为求某个数列的最值问题【解答】解：（1）10a1（2a1+1）（a1+2），得，解得a12或由于a11，所以a12因为10Sn（2an+1）（an+3），所以故整理，得，即（an+1+an）2（an+1an）50因为an是递增数列，且a12，故an+1+an0，因此则数列an是以2为首项，为公差的等差数列所以（2）满足条件的正整数m，n，k不存在，证明如下：假设存在m，n，kN*，使得2（am+an）ak，则整理，得，显然，左边为整数，所以式不成立故满足条件的正整数m，n，k不存在（3），不等式可转化为设，则所以f（n+1）f（n），即当n增大时，f（n）也增大要使不等式对于任意的nN*恒成立，只需即可因为，所以即所以，正整数n的最大值为8【点评】本题考查数列与不等式的综合，考查了等差数列的定义，单调性，不等式的性质，函数等知识，属于综合题型
