1、2018-2019学年山西省临汾一中、翼城中学、曲沃中学等学校高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设命题p：xR，|x|x，则p为（）Ax0R，|x0|x0BxR，|x|xCxR，|x|xDx0R，|x0|x02（5分）设集合Ax|1x1，B（x|1，则AB（）Ax|1x1Bx|0x1Cx|0x1Dx|0x13（5分）复数的虚部是（）ABCiDi4（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线的斜率为，焦距为10，则双曲线C的方程为（）A1B1C1D15（5分）函数的图象大致为（）ABC
2、D6（5分）若x，y满足约束条件，则z2xy的最小值为（）A1B0CD17（5分）“方程1表示的曲线为椭圆”是“2m6”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8（5分）如图所示是计算的值的程序框图，则图中空白的判断框与执行框内应填入的内容分别是（）Ai2018，Bi2018，Ci2019，Di2019，9（5分）把函数ysin（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位长度，则所得图象（）A关于y轴对称B关于（，0）对称C最小正周期为4D在（，）上单调递增10（5分）有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛，只有其中一位获奖，有
3、人走访了这四位大学生，甲说：“是丙获奖”乙说：“是丙或丁获奖，”丙说：“乙、丁都未获奖“”丁说：“我获奖了，”这四位大学生的话只有两人说的是对的，则获奖的大学生是（）A甲B乙C丙D丁11（5分）已知首项为2的正项数列an的前n项和为Sn，且当n2时，若恒成立，则实数m的取值范围为（）ABCD12（5分）设双曲线M：1（a0，b0）的上顶点为A，直线y与M交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线交于点D若D到点（0，2）的距离不超过87a，则M的离心率的取值范围是（）A+1，+）B1，+）C（1，+1D（1，1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共16分把答案填在答题卡中的横线上13（
4、5分）已知复数za+bi（a，bR），且（3+z）i1i，则|z| 14（5分）命题“若|a|b|，则ab或ab”的逆否命题是 15（5分）某学院为了调查学生2018年9月“健康使用手机”（健康使用手机指每天使用手机不超过3小时）的天数情况，随机抽取了80名学生作为样本，统计他们在30天内“健康使用手机”的天数，将所得数据分成以下六组：0，5，（5，10，（25，30，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示，根据频率分布直方图，可计算出这80名学生中“健康使用手机”超过15天的人数为 16（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，O为侧面BCC1B1的中心，
5、则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知向量（2cosC，2c），（cosA，2b，且（1）求C；（2）若c，a+b2，求ABC的面积18（12分）已知数列an满足a11，（an+5）an+15an（1）计算a2，a3，a4的值，猜想数列an的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想19（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACAB，ACAB4，AA16，点E，F分别为CA1与AB的中点（1）证明：EF平面BCC1B1；（2）求B1F与平面
6、AEF所成角的正弦值20（12分）已知过点M（2，3）的直线l与抛物线E：y28x交于点A，B（1）若弦AB的中点为M，求直线l的方程；（2）设O为坐标原点，OAOB，求|AB|21（12分）在三棱锥PABC中，AB1，BC2，AC，PC，PA，PB，E是线段BC的中点（1）求点C到平面APE的距离d；（2）求二面角PEAB的余弦值22（12分）已知直线l与椭圆C：1交于A，B两点（1）若线段AB的中点为（2，1），求直线l的方程；（2）记直线l与x轴交于点M，是否存在点M，使得始终为定值？若存在，求点M的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由2018-2019学年山西省临汾一中、翼城中学、
7、曲沃中学等学校高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设命题p：xR，|x|x，则p为（）Ax0R，|x0|x0BxR，|x|xCxR，|x|xDx0R，|x0|x0【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定p：x0R，|x0|x0，故选：D【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键比较基础2（5分）设集合Ax|1x1，B（x|1，则AB（）Ax|1x1Bx|0x1Cx|0x1Dx|0x1
8、【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可【解答】解：Ax|1x1，Bx|0x1，ABx|0x1故选：C【点评】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题3（5分）复数的虚部是（）ABCiDi【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：，的虚部为故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题4（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线的斜率为，焦距为10，则双曲线C的方程为（）A1B1C1D1【分析】利用双曲线的渐近线的斜率，转化求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程【解答】解：焦距为10，c5，曲线
9、的焦点坐标为（5，0），双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线的斜率为，25a2+b2，解得a4，b3，所求的双曲线方程为：1故选：D【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力5（5分）函数的图象大致为（）ABCD【分析】先用奇偶性排除C，D再用0x1时，f（x）的符号排除B【解答】解：因为f（x）f（x），所以f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，因为f（1）0，0x1时，f（x）0，所以排除B故选：A【点评】本题考查了函数的图象与图象变换属中档题6（5分）若x，y满足约束条件，则z2xy的最小值为（）A1B0CD1【分析】作出满足不等式组的可行域
10、，由z2xy可得y2xz可得z为该直线在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合图形可求z的最大值【解答】解：作出x，y满足约束条件所表示的平面区域，如图所示：由于z2xy可得y2xz，则z表示目标函数在y轴上的截距，截距越大，z越小作直线L：y2x，然后把直线l向平域平移，由题意可得，直线平移到A时，z最小，由可得A（，），此时z故选：C【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题7（5分）“方程1表示的曲线为椭圆”是“2m6”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】先求“方程1表示的曲线为椭圆”的充要条件，为“m（2，4）（4，
11、6）”，再由集合A（2，4）（4，6），集合B（2，6）的包含关系得解【解答】解：“方程1表示的曲线为椭圆”的充要条件为，解得：m（2，4）（4，6），设集合A（2，4）（4，6），集合B（2，6），因为AB，所以“方程1表示的曲线为椭圆”是“2m6”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了椭圆的性质及充分、必要条件，及集合的包含关系，属简单题8（5分）如图所示是计算的值的程序框图，则图中空白的判断框与执行框内应填入的内容分别是（）Ai2018，Bi2018，Ci2019，Di2019，【分析】由已知得本程序的作用是计算，根据利用循环结构进行累加的方法，由题意得执行框内应填，分析不难给出结
12、论【解答】解：由题意得执行框内应填，所以排除A，C；若判断框内填i2018，则计算结果为，符合题意；若判断框内填i2019，则计算结果为，不符合题意，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图与算法，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误9（5分）把函数ysin（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位长度，则所得图象（）A关于y轴对称B关于（，0）对称C最小正周期
13、为4D在（，）上单调递增【分析】首先把三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数性质的应用求出结果【解答】解：函数ysin（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到ysin（2x）的图象，再将图象向左平移个单位长度，得到ysin（2x+）的图象由于函数为非奇非偶函数，故A错误，函数的最小正周期为，故C错误当x时，f（）sin，故D错误令（kZ），解得（kZ）所以函数在（，）上单调递增，故D正确故选：D【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础
14、题型10（5分）有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛，只有其中一位获奖，有人走访了这四位大学生，甲说：“是丙获奖”乙说：“是丙或丁获奖，”丙说：“乙、丁都未获奖“”丁说：“我获奖了，”这四位大学生的话只有两人说的是对的，则获奖的大学生是（）A甲B乙C丙D丁【分析】直接利用推理的应用和假设法的应用求出结果【解答】解：若甲获奖，则甲乙丁说的是错的，丙说的是对的，不符合题意若乙获奖，则甲乙丙丁这四个人说的全是错的，不符合题意若丙获奖，则甲乙丙三人说的是对的，丁说的是错的，不符合题意若丁获奖，则甲丙说的是错的，丁说的是对的，符合题意故选：D【点评】本题考查的知识要点：推理的应用，主要考查学生的逻
15、辑思维能力和推理能力，属于基础题型11（5分）已知首项为2的正项数列an的前n项和为Sn，且当n2时，若恒成立，则实数m的取值范围为（）ABCD【分析】利用已知条件转化推出数列an是首项为2，公差为2的等差数列，求出数列的和，利用行事历的单调性，转化求解实数m的取值范围【解答】解：由n2时，得n3时，两式相减得，整理得an+1an2（n3），另由n2时，因为a12，且an0，所以a24，a2a12，故数列an是首项为2，公差为2的等差数列，an2n，由，可知中当n2或n3时为最大项，即最大项，所以故选：B【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和以及数列的函数的性质的应用，考查转化思想以
16、及计算能力12（5分）设双曲线M：1（a0，b0）的上顶点为A，直线y与M交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线交于点D若D到点（0，2）的距离不超过87a，则M的离心率的取值范围是（）A+1，+）B1，+）C（1，+1D（1，1【分析】求出双曲线的渐近线方程，令xc，求得B，C的坐标，由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（0，t），则1，利用D到直线BC的距离不超过87a，建立不等式关系，结合双曲线离心率的定义，即可得出结论【解答】解：记c，由题意可得B（，c），C（，c），由双曲线的对称性可知D点在y轴上，设D（0，t），则1，则tcc，2cc87a8c7a，7（ca），c2+2ac
17、+a27a2，即e2+2e60，解得1e1+，e1，e（1，1，故选：D【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查三角形的垂心的概念，以及两直线垂直的条件：斜率之积为1，考查运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共16分把答案填在答题卡中的横线上13（5分）已知复数za+bi（a，bR），且（3+z）i1i，则|z|【分析】根据复数的基本运算法则进行化简求出复数z，再利用模长公式即可复数z的模长【解答】解：（3+z）i1i，3+z1i，z4i，|z|，故答案为：【点评】本题主要考查复数模长的计算，比较基础14（5分）命题“若|a|b|，则ab或ab”的逆否命题是若ab且ab
18、，则|a|b|【分析】根据四种命题之间的关系，原命题的逆否命题定义可得答案【解答】解：四种命题之间的关系如下：p或q的否定为：p且q，所以：命题“若|a|b|，则ab或ab”的逆否命题是若ab且ab，则|a|b|，故答案为：若ab且ab，则|a|b|；【点评】本题考查了四种命题中的逆否命题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题15（5分）某学院为了调查学生2018年9月“健康使用手机”（健康使用手机指每天使用手机不超过3小时）的天数情况，随机抽取了80名学生作为样本，统计他们在30天内“健康使用手机”的天数，将所得数据分成以下六组：0，5，（5，10，（25，30，由此得到样本的频率分布直方图
19、，如图所示，根据频率分布直方图，可计算出这80名学生中“健康使用手机”超过15天的人数为54【分析】由频率分布直方图求出健康使用手机超过15天的频率，由此能求出这80名学生中“健康使用手机”超过15天的人数【解答】解：由频率分布直方图知，健康使用手机超过15天的频率为：（0.07+0.05+0.015）50.675，这80名学生中“健康使用手机”超过15天的人数为：0.6758054故答案为：54【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，O为侧面BCC1B1的中心，
20、则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为【分析】以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线MN与OD1所成角的余弦值【解答】解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，令AB2，则D1（0，2，2），O（2，1，1），M（0，1，0），N（1，2，2），（1，1，2），（2，1，1），设异面直线MN与OD1所成角为，则cos异面直线MN与OD1所成角的余弦值为故答案为：【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题三、解答题：本大题
21、共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知向量（2cosC，2c），（cosA，2b，且（1）求C；（2）若c，a+b2，求ABC的面积【分析】（1）结合向量平行的坐标表示及正弦定理进行化简可求cosC，进而可求C，（2）结合余弦定理及三角形的面积公式即可求【解答】解：（1）解：（2cosC，2c），（cosA，2b，且，2cosC（2b）0，由正弦定理可得，2sinBcosCcosCsinAsinAcosC0，即2sinBcosC（cosCsinA+sinAcosC）sin（A+C）sinB，sinB0，cosC
22、，C（0，），C，（2）由余弦定理可得，c2a2+b22abcosC，4（2）ab，ab2，ABC的面积s【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理三角形的面积公式及和差角公式的综合应用，熟练掌握基本公式是解本题的关键18（12分）已知数列an满足a11，（an+5）an+15an（1）计算a2，a3，a4的值，猜想数列an的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想【分析】（1）利用已知条件通过n2，3，4，直接计算a2，a3，a4的值，an（2）根据（1）的计算结果，猜想的通an项公式，用数学归纳法的证明步骤直接证明即可【解答】（1）解：由题意，a11，（an+5）an+15anan+1，得
23、a2，a3，a4由a1，a2，a3，a4猜想an（2）证明：以下用数学归纳法证明：对任何的nN*，an证明：当n1时，由已知a11，an，可得a11，所以n1时等式成立假设当nk（kN*）时，ak成立，则nk+1时，以 当nk+1时，等式也成立根据 和 ，可知对于任何nN*，an成立【点评】本题考查数列递推关系式以及通项公式的应用，数学归纳法的证明方法的应用，考查计算能力与逻辑推理能力19（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACAB，ACAB4，AA16，点E，F分别为CA1与AB的中点（1）证明：EF平面BCC1B1；（2）求B1F与平面AEF所成角的正弦值【分析】（1）连结AC
24、1，BC1，推导出EFBC1，由此能证明EF平面BCC1B1（2）以A1为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B1F与平面AEF所成角的正弦值【解答】解：（1）证明：如图，连结AC1，BC1，三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，E为AC1的中点，F为AB的中点，EFBC1，EF平面BCC1B1，BC1BCC1B1，EF平面BCC1B1；（2）解：以A1为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，6），B1（0，4，0），E（2，0，3），F（0，2，6），（0，2，6），（2，0，3），（0，2，0），设平面AEF的法向量（x，y，z），则，取x3，得（3，0，2），设B1F与平
25、面AEF所成角为，则B1F与平面AEF所成角的正弦值为：sin【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（12分）已知过点M（2，3）的直线l与抛物线E：y28x交于点A，B（1）若弦AB的中点为M，求直线l的方程；（2）设O为坐标原点，OAOB，求|AB|【分析】（1）由题意知直线的斜率存在，设直线l的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法求得直线斜率，再由直线方程点斜式求解；（2）设直线l方程为yk（x2）+3由OAOB 解得k，由|AB|y1y2|求解【解答】解：（1）由题意
26、知直线的斜率存在，设直线l的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），则有y128x1，y228x2，两式作差可得：y12y228（x1x2），即，y1+y2236，kAB则直线l的方程为y3（x2），即4x3y+10；（2）当ABx轴时，不符合题意，故设直线l方程为yk（x2）+3ky28y+2416k0，OAOB，x1x2+y1y20，0，y1y20，2416k0解得k|AB|y1y2|16【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理得运用，考查等价转化问题的能力21（12分）在三棱锥PABC中，AB1，BC2，AC，PC，PA，PB，E是线段BC的中点（1）求点C到平面A
27、PE的距离d；（2）求二面角PEAB的余弦值【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面APE的法向量，利用向量的距离公式得解；（2）求出两个平面的法向量，利用向量公式求解【解答】解：AB2+BC2AC2，PC2+BC2PB2，PA2+AB2PB2，过点P作PO平面ABC，垂足为O，易得OP1，且BCOC，BAOA，四边形ABCO为矩形，（1）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则C（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），P（0，0，1），设平面APE的法向量为，则，令x1，则，；（2）由（1）知平面APE的法向量为，取平面ABE的一个法向量，且二面角PEAB为钝角，设其为
28、，故【点评】本题考查利用空间向量求距离及空间角，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题22（12分）已知直线l与椭圆C：1交于A，B两点（1）若线段AB的中点为（2，1），求直线l的方程；（2）记直线l与x轴交于点M，是否存在点M，使得始终为定值？若存在，求点M的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由【分析】（1）一般有中点采用点差法求出直线的斜率，进而求出直线方程（2）假设存在M点，对直线AB的斜率是否存在两种情况讨论得得始终为定值，并且求出 M的坐标【解答】解：（1）设A（x，y），B（x，y），代入椭圆得：，两式相减得，+0，由题意知：2，1，直线l的斜率为：1，所以直线l的方程为：y1（x2），即：x+y30；（2）设M（x0，0），当直线l与轴重合时，有+；当直线与x轴垂直时+，由，解得x0，所以存在点M，则M（，0），根据对称性，只考虑直线l过点M（2，0），设A（x，y），B（x，y），设直线l的方程为xmy+2，由整理得：（2+m2）y2+4my240，y+y，yy，因为，同理，所以（），因为y2+y2（y+y）22yy，y2y2，所以，综上所述，存在点M（，0），使得为定值【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题
