1、2018-2019学年山西省长治二中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知双曲线的标准方程是其渐近线方程是（）Ay2xBy4xCx4yDx2y2（5分）设m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若mn，n，则mD若m，则m3（5分）以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（）A1B1C1D14（5分）已知点M（a，b）在圆O：x2+y22内，则直线ax+by2与圆O：x2+y22的位置关系是（）A相切B相离C相交D不
2、确定5（5分）若椭圆+1（ab0）的离心率e，则双曲线1的离心率为（）ABCD6（5分）一条光线从点M（2，3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y2）21相切，则光线自M到切点所经过的路程为（）ABCD77（5分）若圆x2+y24上恰有2个点到直线yx+b的距离等于1，则b的取值范围是（）ABCD8（5分）设a，bR，ab0，则直线axy+b0和曲线bx2+ay2ab的大致图形是（）ABCD9（5分）已知A（1，0），M是圆B：x22x+y270（B为圆心）上一动点，线段AM的垂直平分线交MB于P，则点P的轨迹方程是（）A1B1C1D110（5分）已知C：x2+y21，对A（0，2），B
3、（a，2），从点A观察点B，要使视线不被C挡住，则实数a的取值范围是（）A（，2）（2，+）B（，）（）C（）（）D（）11（5分）已知点（2，1）是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程是（）A2x+3y70B2x3y10C4x+3y110D4x3y5012（5分）已知椭圆，双曲线，若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率是（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答卷的相应位置13（5分）椭圆+1的焦点坐标为 14（5分）过点P（3，1）引直线，使点A（2，3），B（4，5）到它的距离相等，则所求
4、直线方程是 （写出直线的一般式方程）15（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线A1B与平面A1B1CD所成的角的大小等于 16（5分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y121，x22+y221，x1x2+y1y2，则+的最大值为 三、解答题：本大题共70分17（10分）已知双曲线C的焦点坐标为，实轴长为4，（1）求双曲线C标准方程；（2）若双曲线C上存在一点P使得PF1PF2，求PF1F2的面积18（12分）已知点M（2，2），圆O：x2+y23（O为坐标原点）（1）求经过M，以及圆O与圆x2+y2+3x0交点的圆的方程；（2）过点M向圆O引两条切线，切点分别为A，
5、B，求直线AB的方程19（12分）如图，边长为3的等边三角形ABC，E，F分别在边AB，AC上，且AEAF2，M为BC边的中点，AM交EF于点O，沿EF将AEF，折到DEF的位置，使（1）证明DO平面EFCB；（2）试在BC边上确定一点N，使EN平面DOC，并求的值20（12分）已知ABC的一个顶点是A（2，1），ACB的平分线在直线y3x上，AC边上的中线在直线上求（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程21（12分）已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，并且经过点（，），圆O的直径为F1F2（O为坐标原点）（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P若直线l与椭圆C有且只
6、有一个公共点，求点P的坐标；直线l与椭圆C交于A，B两点，若AOB的面积为，求直线l的方程22（12分）在平面直角坐标系xOy中，点M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线l：x4的距离的比是常数（1）求点M的轨迹C方程；（2）设过点A（2，0）的直线l与曲线C交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点P，与y轴交于点D，若BFDF，且POAPAO，求直线l的斜率2018-2019学年山西省长治二中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知双曲线的标准方
7、程是其渐近线方程是（）Ay2xBy4xCx4yDx2y【分析】由双曲线的标准方程是的渐近线方程为y2x，求出a，b即可得到渐近线方程【解答】解：双曲线的标准方程是，可得a1，b2，由于渐近线方程为y2x，即为y2x故选：A【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题2（5分）设m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若mn，n，则mD若m，则m【分析】易知选项C是正确的，选项A，B，D中除了所给关系外都存在其它情况【解答】解：A，m，n也可能异面，故错误；B，m，n存在多种位置关系，不一定垂直，
8、故错误；C，平行线中的一条垂直一个平面则另一条也垂直该平面，故正确；D，存在m的情况，故错误故选：C【点评】此题考查了线线，线面，面面之间的位置关系，属容易题3（5分）以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（）A1B1C1D1【分析】求得双曲线的焦点和顶点，设椭圆的方程为+1（ab0），由题意可得a2b29，且a5，解方程可得b，进而得到椭圆方程【解答】解：双曲线的焦点为（4，0），顶点为（2，0），设椭圆的方程为+1（ab0），由题意可得a2b24，且a4，解得b，可得椭圆的方程为：1故选：D【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用双曲线的方程和性质，考查待定系数法和运算能力，属于基
9、础题4（5分）已知点M（a，b）在圆O：x2+y22内，则直线ax+by2与圆O：x2+y22的位置关系是（）A相切B相离C相交D不确定【分析】因为点M（a，b）在圆内，所以a2+b22，又圆心（0，）到直线ax+by2的距离dr，所以相离【解答】解：因为点M（a，b）在圆内，所以a2+b22，又圆心（0，）到直线ax+by2的距离dr故直线与圆相离故选：B【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题5（5分）若椭圆+1（ab0）的离心率e，则双曲线1的离心率为（）ABCD【分析】利用a与b表示出椭圆的离心率并且结合椭圆离心率的数值求出，接着利用a，b表示出双曲线的离心率，即可求出双曲线的离
10、心率【解答】解：由题意得椭圆+1（ab0）的离心率e，所以所以所以双曲线的离心率故选：B【点评】解决此类问题的关键是熟悉椭圆与双曲线中的相关数值的关系，区分椭圆的离心率与双曲线的离心率的表达形式有何不同，离心率一直是高考考查的重点6（5分）一条光线从点M（2，3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y2）21相切，则光线自M到切点所经过的路程为（）ABCD7【分析】根据光学性质，问题转化为过M（2，3）作y轴的对称点N（2，3），再过点N（2，3）作圆的切线NE，求切线N的长度，根据勾股定理可求得【解答】解：根据光学性质，点M（2，3）关于y轴的对称点N（2，3）在反射光线所在直线上，设反射
11、点为B，则|MB|NB|，所以光线自M到切点E所经过的路程为：|MB|+|BE|NB|+|BE|NE|，设圆心为C（3，2），在直角三角形NCE中，|NE|7故选：D【点评】本题考查了点与点关于直线对称的问题、圆的切线问题，属中档题7（5分）若圆x2+y24上恰有2个点到直线yx+b的距离等于1，则b的取值范围是（）ABCD【分析】问题转化为圆心到直线的距离大于2，小于3，再求出圆心到直线的距离后列不等式可解得【解答】解：依题意可得圆心到直线的距离d（1，3）d，13，解得3b或b3，故选：B【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题8（5分）设a，bR，ab0，则直线axy+b0和曲线b
12、x2+ay2ab的大致图形是（）ABCD【分析】先把曲线方程整理成1的形式，直线方程整理成yax+b，通过观察选项中的直线判断出a和b与0的关系，进而推断曲线方程形式推断其图象【解答】解：整理曲线的方程得1，整理直线方程得yax+b对于A选项观察直线图象可知斜率小于0即，a0，b0则曲线的方程的图象一定是双曲线，故A不符合B，D选项中，直线的斜率a0，截距b0，则曲线方程为双曲线，焦点在x轴，故B正确，D错误C项中直线斜率a0，则曲线一定不是椭圆，故C项错误故选：B【点评】本题主要考查了曲线与方程考查了学生分类讨论思想以及数形结合思想的应用9（5分）已知A（1，0），M是圆B：x22x+y27
13、0（B为圆心）上一动点，线段AM的垂直平分线交MB于P，则点P的轨迹方程是（）A1B1C1D1【分析】利用椭圆的定义判断点P的轨迹 是以A、F 为焦点的椭圆，求出a、b的值，即得椭圆的方程【解答】解：由题意得 圆心B（1，0），半径等于2，|PA|PB|，|PB|+|PM|PB|+|PA|BM|2|AB|，故点P的轨迹是以A、B 为焦点的椭圆，2a2，c1，b1，椭圆的方程为：1故选：A【点评】本题考查用定义法求点的轨迹方程，结合椭圆的定义求轨迹是解题的难点10（5分）已知C：x2+y21，对A（0，2），B（a，2），从点A观察点B，要使视线不被C挡住，则实数a的取值范围是（）A（，2）（2
14、，+）B（，）（）C（）（）D（）【分析】设切线的斜率为k，由点斜式求得切线方程为kxy20，由圆心到切线的距离等于半径，得k，从而切线方程为y2，和直线y2的交点坐标为（，2），（，2），由此能求出要使视线不被C挡住，实数a的取值范围【解答】解：点B在直线y2上，过点A（0，2）作圆的切线，设切线的斜率为k，由点斜式求得切线方程为ykx2，即kxy20，由圆心到切线的距离等于半径，得1解得k，切线方程为y2，和直线y2的交点坐标为（，2），（，2），要使视线不被C挡住，则实数a的取值范围是（，）（，+）故选：B【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查直线方程、切线性质、点到直线距离公式等基
15、础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题11（5分）已知点（2，1）是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程是（）A2x+3y70B2x3y10C4x+3y110D4x3y50【分析】设直线l与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法能求出直线l的方程【解答】解：设直线l与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），（2，1）是直线l被椭圆所截得的线段的中点，x1+x24，y1+y22，把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入椭圆，得：，两式相减，得：（x1+x2）（x1x2）+3（y1+y2）（y1y2）0，2（x1x2）+3（y1y2）0，k，直线l
16、的方程为y1（x2），整理，得2x+3y70故选：A【点评】本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用12（5分）已知椭圆，双曲线，若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率是（）ABCD【分析】利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率【解答】解：椭圆，双曲线，若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，），可得：+1，可得e2+1，可得e48e2+40，e（0，1），解得e1故选：B【点评】本
17、题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答卷的相应位置13（5分）椭圆+1的焦点坐标为（0，1），（0，1）【分析】由椭圆的方程求得半焦距c的值，根据椭圆的性质即可求得椭圆的焦点坐标【解答】解：由椭圆的性质可知焦点在y轴上，c1，椭圆的焦点坐标为（0，1），（0，1），故答案为：（0，1），（0，1），【点评】本题考查椭圆的方程及简单性质，考查学生对椭圆性质的掌握，属于基础题14（5分）过点P（3，1）引直线，使点A（2，3），B（4，5）到它的距离相等，则所求直线方程是4x+3y90，x+2y10（写出直线的一般式方程）【分
18、析】根据题意，求出经过点P且与AB平行的直线方程和经过P与AB中点C的直线方程，即可得到满足条件的直线方程【解答】解：由题意，所求直线有两条，其中一条是经过点P且与AB平行的直线；另一条是经过P与AB中点C的直线A（2，3），B（4，5），AB的斜率k，可得经过点P且与AB平行的直线方程为y+1（x3），化简得4x+3y90，又AB中点为C（1，1），经过PC方程为，即x+2y10，故答案为：4xy130或x+2y10【点评】本题给出点A、B，求经过点P且与A、B距离相等的直线方程，着重考查了直线的斜率与直线方程等知识，属于基础题和易错题15（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，直
19、线A1B与平面A1B1CD所成的角的大小等于30【分析】连接BC1，交B1C于点O，再连接A1O，根据几何体的结构特征可得：BO平面A1B1CD，所以BA1O是直线A1B与平面A1B1CD 所成的角，再利用解三角形的有关知识求出答案即可【解答】解：连接BC1，交B1C于点O，再连接A1O，因为是在正方体ABCDA1B1C1D1中，所以BO平面A1B1CD，所以BA1O是直线A1B与平面A1B1CD 所成的角设正方体ABCDA1B1C1D1的边长为1，所以在A1BO中，A1B，OB，所以sinBA1O，所以直线A1B与平面A1B1CD 所成的角的大小等于30故答案为30【点评】解决此类问题的关键
20、是熟练掌握几何体的结构特征，以及空间角的做法与解法16（5分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y121，x22+y221，x1x2+y1y2，则+的最大值为+【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1，y1），（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y10的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1，y1），（x2，y2），由x12+y121，x22+y221，x1x2+y1y2，可得A，B两点在圆x2+y21上，且11
21、cosAOB，即有AOB60，即三角形OAB为等边三角形，AB1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y10的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y1平行，可设AB：x+y+t0，（t0），由圆心O到直线AB的距离d，可得21，解得t，即有两平行线的距离为，即+的最大值为+，故答案为：+【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题三、解答题：本大题共70分17（10分）已知双曲线C的焦点坐标为，实轴长为4，（1）求双曲线C标准方程；（2）若双曲线C上存在一点P使得PF1PF2，求P
22、F1F2的面积【分析】（1）由题意可得条件c，2a4，可得b1，即可求双曲线C标准方程，（2）根据双曲线的定义和勾股定理和三角形的面积公式即可求出【解答】.解：（1）由条件c，2a4，b1，双曲线方程为y21，（2）由双曲线定义|PF1|PF2|4，|PF1|2+|PF2|24c220，|PF1|PF2|2，PF1F2的面积S|PF1|PF2|21【点评】本题考查了双曲线的标准方程，三角形的面积，属于基础题18（12分）已知点M（2，2），圆O：x2+y23（O为坐标原点）（1）求经过M，以及圆O与圆x2+y2+3x0交点的圆的方程；（2）过点M向圆O引两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的
23、方程【分析】（1）设出经过两已知圆的交点的圆系方程，再代入M点，解得，从而可得所求圆的方程；（2）先求出以MO为直径的圆的方程，然后用两圆方程相减消去二次项得公共弦（即AB）所在直线方程【解答】解：（1）设圆的方程为x2+y2+3x+（x2+y23）0，因为点M（2，2）在圆上，所以，所求圆的方程是3x2+3y25x140；（2）以MO为直径的圆的方程为x2+y22x+2y0，所以直线AB方程是2x2y3【点评】本题考查了圆的切线方程，属中档题19（12分）如图，边长为3的等边三角形ABC，E，F分别在边AB，AC上，且AEAF2，M为BC边的中点，AM交EF于点O，沿EF将AEF，折到DEF
24、的位置，使（1）证明DO平面EFCB；（2）试在BC边上确定一点N，使EN平面DOC，并求的值【分析】（1）先由勾股定理证DOOM，易得DOEF，得证；（2）作ENOC即可，求解不难【解答】解：（1）证明：在DOM中，易得DO，OM，DM，由DM2DO2+OM2，得DOOM，又AEAF2，ABAC3，EFBC，又M为BC中点，AMBC，DOEF，EFOMO，DO平面EBCF；（2）连接OC，过E作ENOC交BC于N，则EN平面DOC，又OECN，四边形OENC为平行四边形，OENC，【点评】此题考查了线面垂直，线面平行等，难度不大20（12分）已知ABC的一个顶点是A（2，1），ACB的平分线
25、在直线y3x上，AC边上的中线在直线上求（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程【分析】（1）设C（a，b），则b3a又AC的中点M在AC边的中线上，代入联立即可得出（2）设A点关于直线y3x对称点的坐标是（m，n）可得，3，解出即可得出【解答】解：（1）设C（a，b），则b3a又AC的中点M在AC边的中线上，所以由+3，解之a，b，C（2）设A点关于直线y3x对称点的坐标是（m，n）则，3，解之m1，n2直线BC方程为xy+30【点评】本题考查了直线交点、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题21（12分）已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，并且经过点（
26、，），圆O的直径为F1F2（O为坐标原点）（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；直线l与椭圆C交于A，B两点，若AOB的面积为，求直线l的方程【分析】（1）由条件c，+1，a2b2+3，求出a，b即可；（2）求设直线l的方程为ykx+m，k0，根据直线和圆相切可得m23+3k2，将直线方程与椭圆方程联立消去y，得到关于x的二次方程，利用判别式等于0，即可求出直线l与椭圆C有且只有一个公共点，即求出点P的坐标，运用韦达定理，再用弦长公式，求出原点到直线的距离，运用面积公式，列出方程，然后求出k2，即可得到l的方程【解
27、答】解：（1）由条件c，+1，a2b2+3，解之a2，b1椭圆标准方程+y21，（2）设直线l的方程为ykx+m，k0圆O的方程为x2+y23，直线与圆相切，则所以m23+3k2，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m240，由题意知（8km）24（4k2+1）（4m24）16（1+4k2m2）16（k22），x1+x2，x1x2，当直线与椭圆只有一个公共点0，k，k0，k直线的方程为yx+3，方程组的解为x，y1所以P（，1）x1+x2，x1x2，|AB|x1x2|，又m23+3k2，AOB的面积为，|AB|，解之k25，k，m3当k，m3时，16（k
28、22）0，直线与椭圆有两个不同的交点直线AB的方程为yx+3【点评】本题主要考查椭圆的方程和几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，以及弦长公式，考查运算能力，属于中档题22（12分）在平面直角坐标系xOy中，点M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线l：x4的距离的比是常数（1）求点M的轨迹C方程；（2）设过点A（2，0）的直线l与曲线C交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点P，与y轴交于点D，若BFDF，且POAPAO，求直线l的斜率【分析】（1）由条件得，化简可得+1，（2）设直线l的方程为yk（x2），k0，设B（xB，yB），根据韦达定理求出点B的坐标，再根据因此直线D
29、P的方程，求出求出的坐标，根据BFDF，且POAPAO，即可求出【解答】解：（1）由条件得，化简可得+1，所以椭圆方程为+1；（2）：设直线l的方程为yk（x2），k0，设B（xB，yB） 联立，整理得（3+4k2）x216k2x+16k2120，解得 x2或x，从而xB，yB，由（1）知，F（1，0），设D（0，y1），（1，y1）， 由BFDF得0，所以+0，解得y1，因此直线DP的方程为yx+，设P（x2，y2）由方程组，得x2，在PAO中，POAPAO|PA|PO|，即（x22）2+y22x22+y22，化简得x21，即1，解得k或k，所以直线l的斜率为或【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题
