1、2018-2019学年山西省忻州一中高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设集合A1，2，4，Bx|x24x+m0若AB1，则B（）A1，3B1，0C1，3D1，52（5分）设x，yR，向量且，则|+|（）ABC2D103（5分）如果直线l与平面不垂直，那么在平面内（）A不存在与l垂直的直线B存在一条与l垂直的直线C存在无数条与l垂直的直线D任一条都与l垂直4（5分），是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么如果m，n，那么mn如果，m，那么m如果mn，那么m与所
2、成的角和n与所成的角相等其中正确的命题的个数为（）A1B2C3D45（5分）ABC的斜二侧直观图如图所示，则ABC的面积为（）AB1CD26（5分）一个骰子由16六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字，推出“？”处的数字是（）A6B3C1D27（5分）三个不重合的平面，能把空间分成n个部分，则n的所有可能值为（）A4、6、7B4、7、8C4、6、7、8D4、5、6、88（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是（）A3B3C4D59（5分）执行如图的程序框图，输出的S值为（）A6B5C4D310（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个
3、球的球面上，则该圆柱的体积为（）ABCD11（5分）已知函数f（x），则有（）A函数f（x）的图象关于直线x对称B函数f（x）的图象关关于点（，0）对称C函数f（x）的最小正周期为D函数f（x）在区间（0，）内单调递减12（5分）已知函数，若方程f（x）a0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A（1，3）B（0，3）C（0，2）D（0，1）二、填空题（4520分，把答案填在答题纸的相应位置上）13（5分）在四面体ABCD中，则该四面体外接球的表面积为 14（5分）若x，y满足约束条件，则z3x4y的最小值为 15（5分）已知数列an是递增的等比数列，a1+a49，a2a38，则数列an
4、的前n项和等于 16（5分）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60角；DM与BN是异面直线以上四个命题中，正确命题的序号是 三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题纸的相应位置上）17（10分）在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinBb（）求角A的大小；（）若a6，b+c8，求ABC的面积18（12分）等差数列an的前n项和为Sn，且a35，S15225（1）数列bn满足：，求数列bn的通项公式；（2）设，求数列cn的前n项和Tn19（12分）如图，在四棱
5、锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，ABC，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点，N为BC的中点（）证明：直线MN平面OCD；（）求异面直线AB与MD所成角的大小；（）求点B到平面OCD的距离20（12分）已知四棱锥ABCDE，其中ABBCACBE1，CD2，CD面ABC，BECD，F为AD的中点（）求证：EF面ABC；（）求证：平面ADE平面ACD；（）求四棱锥ABCDE的体积21（12分）某学校随机抽取了100名学生进行身高调查，得到如下统计表：身高（cm）145，155）155，165）165，175）175，185）185，195）195，205）人数12a3522b2频
6、率0.12cd0.220.040.02（）求表中b、c、d的值；（）根据上面统计表，估算这100名学生的平均身高；（）若从上面100名学生中，随机选取2名身高不低于185cm的学生，求这2名学生中至少有1名学生身高不低于195cm的概率22（12分）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD（）证明：平面AEC平面BED；（）若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积2018-2019学年山西省忻州一中高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
7、求的）1（5分）设集合A1，2，4，Bx|x24x+m0若AB1，则B（）A1，3B1，0C1，3D1，5【分析】由交集的定义可得1A且1B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B【解答】解：集合A1，2，4，Bx|x24x+m0若AB1，则1A且1B，可得14+m0，解得m3，即有Bx|x24x+301，3故选：C【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基础题2（5分）设x，yR，向量且，则|+|（）ABC2D10【分析】根据即可得出，从而求出x2，而根据即可得出42y0，从而求出y2，这样即可得出，从而求出【解答】解：；x2；
8、42y0；y2；故选：B【点评】考查向量垂直的充要条件，向量平行时的坐标关系，向量坐标的加法和数量积运算3（5分）如果直线l与平面不垂直，那么在平面内（）A不存在与l垂直的直线B存在一条与l垂直的直线C存在无数条与l垂直的直线D任一条都与l垂直【分析】平面内与l在内的射影垂直的直线，垂直于直线l，这样的直线有无数条，故可得结论【解答】解：平面内与l在内的射影垂直的直线，垂直于直线l，这样的直线有无数条，故A、B不正确，C正确；若在平面内，任一条都与l垂直，则直线l与平面垂直，与题设矛盾，故D不正确故选：C【点评】本题考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题4（5分），是两个平面，m
9、，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么如果m，n，那么mn如果，m，那么m如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题的个数为（）A1B2C3D4【分析】对，运用长方体模型，找出符合条件的直线和平面，即可判断；对，运用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，即可判断；对，运用面面平行的性质定理，即可判断；对，由平行的传递性及线面角的定义，即可判断【解答】解：对于命题，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为，ABCD所在的平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立；命题正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面
10、相交于直线l，则ln，由m知ml，从而mn，结论正确；由平面与平面平行的定义知命题如果，m，那么m正确；由平行的传递性及线面角的定义知命题：如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等，正确故选：C【点评】本题考查命题的真假判断，考查空间线面、面面平行和垂直的位置关系，注意运用判定定理和性质定理，考查推理能力，属于中档题5（5分）ABC的斜二侧直观图如图所示，则ABC的面积为（）AB1CD2【分析】用斜二侧画法的法则，可知原图形是一个两边分别在x、y轴的直角三角形，x轴上的边长与原图形相等，而y轴上的边长是原图形边长的一半，由此不难得到平面图形的面积【解答】解：OA1，OB2，ACB45原图形
11、中两直角边长分别为2，2，因此，RtACB的面积为S2故选：D【点评】本题要求我们将一个直观图形进行还原，并且求出它的面积，着重考查了斜二侧画法和三角形的面积公式等知识，属于基础题6（5分）一个骰子由16六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字，推出“？”处的数字是（）A6B3C1D2【分析】由图中的前两个状态可知1的周围为2，3，4，5；则“？”处的数字可能为1或6；从状态一可知，不可能为6，即可得出结论【解答】解：由图中的前两个状态可知1的周围为2，3，4，5；则“？”处的数字可能为1或6；从状态一可知，不可能为6，因此为1；故选：C【点评】本题考查了学生的空间想象力，属于基础题7（
12、5分）三个不重合的平面，能把空间分成n个部分，则n的所有可能值为（）A4、6、7B4、7、8C4、6、7、8D4、5、6、8【分析】分别讨论三个平面的位置关系，根据它们位置关系的不同，确定平面把空间分成的部分数目【解答】C解：若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分；若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6部分；若三个平面交于一线，则可将空间分为6部分；若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系），则可将空间分为7部分；若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系），则可将空间分为8部分；故n等于4，6，7或8故选：C【点评】本题考查
13、平面的基本性质及推论，要讨论三个平面不同的位置关系考查学生的空间想象能力8（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是（）A3B3C4D5【分析】根据三视图得出：空间几何体的性质得出直线平面的垂直问题，判断各个线段的长度比较即可【解答】解：根据三视图得出：几何体为下图AD，AB，AG相互垂直，面AEFG面ABCDE，BCAE，ABADAG3，DE1，根据几何体的性质得出：AC3，GC，GE5，BG，AD4，EF，CE，故最长的为GC3故选；B【点评】本题考查了复杂几何体的三视图的运用，主要是恢复几何体的直观图，利用几何体的性质判断即可，属于中档题9（5分）执行如图的
14、程序框图，输出的S值为（）A6B5C4D3【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算y的值，并输出相应变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得a2，x3y8，不满足条件y10x+3，执行循环体，x4，y16，不满足条件y10x+3，执行循环体，x5，y32，不满足条件y10x+3，执行循环体，x6，y64，此时，满足条件y10x+3，退出循环，输出x的值为6故选：A【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题10（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直
15、径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）ABCD【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r，由此能求出该圆柱的体积【解答】解：圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，该圆柱底面圆周半径r，该圆柱的体积：VSh故选：B【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题11（5分）已知函数f（x），则有（）A函数f（x）的图象关于直线x对称B函数f（x）的图象关关于点（，0）对称C函数f（x）的最小正周期为D函数f（x）在区间（0，）内单调递减【分析】分析函数f（x）性质，要先利用公式化成正弦型
16、、余弦型或正切型函数的标准形式，然后再研究性质【解答】解：f（x）函数f（x）不是轴对称图形，A不正确；函数f（x）的最小正周期为，C不正确；函数在区间（0，）不单调，D不正确；函数f（x）的对称中心为（）kZ，函数f（x）的图象关关于点（，0）对称正确，故选：B【点评】本题考查了三角变换和正切型函数的性质12（5分）已知函数，若方程f（x）a0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A（1，3）B（0，3）C（0，2）D（0，1）【分析】结合方程f（x）a有三个不同的实数解，将问题转化为函数图象交点的个数判断问题，进而结合函数f（x）的图象即可获得解答【解答】解：由题意可知：函数f（x）
17、的图象如下：由关于x的方程f（x）a0有三个不同的实数解，可知函数ya与函数yf（x）有三个不同的交点，由图象易知：实数a的取值范围为（0，1）故选：D【点评】此题考查的是方程的根的存在性以及根的个数问题在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想、数形结合的思想二、填空题（4×520分，把答案填在答题纸的相应位置上）13（5分）在四面体ABCD中，则该四面体外接球的表面积为14【分析】由题意画出图形，补形为长方体，求出外接球的半径，则答案可求【解答】解：如图，补形为长方体，设过一个顶点的三条棱长分别为a，b，c，则a2+b25，b2+c213，a2+c210，作和可得2（a2+b2+c
18、2）28，a2+b2+c214，该长方体的对角线长为，其外接球的半径为R该四面体外接球的表面积为故答案为：14【点评】本题考查多面体外接球的表面积的求法，关键是“分割补形法”的应用，是中档题14（5分）若x，y满足约束条件，则z3x4y的最小值为1【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z3x4y的最小值【解答】解：由z3x4y，得yx，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线yx，由平移可知当直线yx，经过点B（1，1）时，直线yx的截距最大，此时z取得最小值，将B的坐标代入z3x4y341，即目标函数z3x4y的最小值为1故答案为：1【点评】本题主要考查线
19、性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法15（5分）已知数列an是递增的等比数列，a1+a49，a2a38，则数列an的前n项和等于2n1【分析】利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列an的前n项和【解答】解：数列an是递增的等比数列，a1+a49，a2a38，可得a1a48，解得a11，a48，81q3，q2，数列an的前n项和为：2n1故答案为：2n1【点评】本题考查等比数列的性质，数列an的前n项和求法，基本知识的考查16（5分）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60
20、角；DM与BN是异面直线以上四个命题中，正确命题的序号是【分析】将展开图复原为几何体，如图，根据正方体的几何牲，分别四个命题的真假，容易判断选项的正误，求出结果【解答】解：展开图复原的正方体如图，不难看出：BM与ED平行；错误的，是异面直线；CN与BE是异面直线，错误；是平行线；CN与BM成60；正确；DM与BN是异面直线正确判断正确的答案为故答案为：【点评】本题考查异面直线的判定，异面直线及其所成的角，空间中直线与直线之间的位置关系，几何体的折叠与展开，考查空间想象能力，是基础题三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题纸的相应位置上）17（
21、10分）在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinBb（）求角A的大小；（）若a6，b+c8，求ABC的面积【分析】（）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积【解答】解：（）由2asinBb，利用正弦定理得：2sinAsinBsinB，sinB0，sinA，又A为锐角，则A；（）由余弦定理得：a2b2+c22bccosA，即36b2+c2bc（b+c）23bc
22、643bc，bc，又sinA，则SABCbcsinA【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键18（12分）等差数列an的前n项和为Sn，且a35，S15225（1）数列bn满足：，求数列bn的通项公式；（2）设，求数列cn的前n项和Tn【分析】（1）由a35，S15225列式求出数列an的首项和公差，写出通项公式，然后根据，采用累加法求数列bn的通项公式；（2）把an的通项公式代入，整理后采用分组求和求数列cn的前n项和Tn【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，由已知得：，解得：a11，d2an2n1，又bnb1+（b2b1）+（b3b2）+（bnbn
23、1）1+a1+a2+an1（2）【点评】本题考查了数列的求和，考查了等差数列的前n项和、等比数列的前n项和与分组求和，考查了学生的运算能力，此题为中档题19（12分）如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，ABC，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点，N为BC的中点（）证明：直线MN平面OCD；（）求异面直线AB与MD所成角的大小；（）求点B到平面OCD的距离【分析】方法一：（1）取OB中点E，连接ME，NE，证明平面MNE平面OCD，方法是两个平面内相交直线互相平行得到，从而的到MN平面OCD；（2）CDAB，MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）作APCD于P
24、，连接MPOA平面ABCD，CDMP菱形的对角相等得到ABCADC，利用菱形边长等于1得到DP，而MD利用勾股定理求得等于，在直角三角形中，利用三角函数定义求出即可（3）AB平面OCD，点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作AQOP于点Q，APCD，OACD，CD平面OAP，AQCD，又AQOP，AQ平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，求出距离可得方法二：（1）分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，分别表示出A，B，O，M，N的坐标，求出，的坐标表示设平面OCD的法向量为（x，y，z），则，解得，MN平面OCD（2）设AB与MD所成的角为，表示出
25、和，利用ab|a|b|cos求出叫即可（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量上的投影的绝对值，由，得所以点B到平面OCD的距离为【解答】解：方法一（综合法）（1）取OB中点E，连接ME，NEMEAB，ABCD，MECD又NEOC，平面MNE平面OCDMN平面OCD（2）CDAB，MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）作APCD于P，连接MPOA平面ABCD，CDMP，所以AB与MD所成角的大小为（3）AB平面OCD，点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作AQOP于点Q，APCD，OACD，CD平面OAP，AQCD又AQOP，AQ平面OCD，线段AQ的长就是点A到
26、平面OCD的距离，所以点B到平面OCD的距离为方法二（向量法）作APCD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系：A（0，0，0），B（1，0，0），O（0，0，2），M（0，0，1），（1），设平面OCD的法向量为n（x，y，z），则0，0即取，解得（，1）（0，4，）0，MN平面OCD（2）设AB与MD所成的角为，AB与MD所成角的大小为（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量（0，4，）上的投影的绝对值，由，得d所以点B到平面OCD的距离为【点评】培养学生利用多种方法解决数学问题的能力，考查学生利用空间向量求直线间的夹角和距离的能力20（12分）已知四
27、棱锥ABCDE，其中ABBCACBE1，CD2，CD面ABC，BECD，F为AD的中点（）求证：EF面ABC；（）求证：平面ADE平面ACD；（）求四棱锥ABCDE的体积【分析】（）取AC中点G，连接FG、BG，根据三角形中位线定理，得到四边形FGBE为平行四边形，进而得到EFBG，再结合线面平行的判定定理得到EF面ABC；（）根据已知中ABC为等边三角形，G为AC的中点，DC面ABC得到BGAC，DCBG，根据线面垂直的判定定理得到BG面ADC，则EF面ADC，再由面面垂直的判定定理，可得面ADE面ACD；（）方法一：四棱锥四棱锥ABCDE分为两个三棱锥EABC和EADC，分别求出三棱锥EA
28、BC和EADC的体积，即可得到四棱锥ABCDE的体积方法二：取BC的中点为O，连接AO，可证AO平面BCDE，即AO为VABCDE的高，求出底面面积和高代入棱锥体积公式即可求出四棱锥ABCDE的体积【解答】证明：（）取AC中点G，连接FG、BG，F，G分别是AD，AC的中点FGCD，且FGDC1BECDFG与BE平行且相等EFBGEF面ABC，BG面ABCEF面ABC（4分）（）ABC为等边三角形BGAC又DC面ABC，BG面ABCDCBGBG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，BG面ADC （6分）EFBGEF面ADCEF面ADE，面ADE面ADC （8分）解：（）方法一：连接EC，该四
29、棱锥分为两个三棱锥EABC和EADC（12分）方法二：取BC的中点为O，连接AO，则AOBC，又CD平面ABC，CDAO，BCCDC，AO平面BCDE，AO为VABCDE的高，【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中熟练掌握空间线面平行或垂直的判定、性质、定义、几何特征是解答此类问题的关键21（12分）某学校随机抽取了100名学生进行身高调查，得到如下统计表：身高（cm）145，155）155，165）165，175）175，185）185，195）195，205）人数12a3522b2频率0.12cd0.220.040.02（）求表中b、c、d的
30、值；（）根据上面统计表，估算这100名学生的平均身高；（）若从上面100名学生中，随机选取2名身高不低于185cm的学生，求这2名学生中至少有1名学生身高不低于195cm的概率【分析】（）由频数分布表，直接求表中b、c、d的值；（）根据平均数公式计算即可；（）首先列举出所有的基本事件，再找到满足这2名学生中至少有1名学生身高不低于195cm的基本事件，最后根据概率公式计算即可【解答】解：（）由，得b4，由，得d0.35，c10.120.350.220.040.25（）由，得a25，1500.12+1600.25+1700.35+1800.22+1900.04+2000.02168.7cm（）
31、设185，195内的学生为A，B，C，D，195，205内的学生为E，F，从185，205内随机选取2名学生的所有的基本事假有，ABACADAEAF，BCBDBEBFCDCECFDEDFEF共15个，其中这2名学生中至少有1名学生身高不低于195cm有AE，BE，CE，DE，AF，BF，CF，DF，EF，共9个基本事件，故这2名学生中至少有1名学生身高不低于195cm的概率P【点评】本题主要考查了频数分布表和平均数以及古典概型的概率公式的应用22（12分）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD（）证明：平面AEC平面BED；（）若ABC120，AEEC，三棱锥EAC
32、D的体积为，求该三棱锥的侧面积【分析】（）根据面面垂直的判定定理即可证明：平面AEC平面BED；（）根据三棱锥的条件公式，进行计算即可【解答】证明：（）四边形ABCD为菱形，ACBD，BE平面ABCD，ACBE，则AC平面BED，AC平面AEC，平面AEC平面BED；解：（）设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，得AGGCx，GBGD，BE平面ABCD，BEBG，则EBG为直角三角形，EGACAGx，则BEx，三棱锥EACD的体积V，解得x2，即AB2，ABC120，AC2AB2+BC22ABBCcosABC4+4212，即AC，在三个直角三角形EBA，EBD，EBC中，斜边AEECED，AEEC，EAC为等腰三角形，则AE2+EC2AC212，即2AE212，AE26，则AE，从而得AEECED，EAC的面积S3，在等腰三角形EAD中，过E作EFAD于F，则AE，AF，则EF，EAD的面积和ECD的面积均为S，故该三棱锥的侧面积为3+2【点评】本题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理以及体积公式
