1、2018-2019学年山西大学附中高二（上）12月月考数学试卷（理科）一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1（5分）直线x+y50的倾斜角是（）A30B60C120D1502（5分）方程x2+y2+2x4y60表示的图形是（）A以（1，2）为圆心，11为半径的圆B以（1，2）为圆心，11为半径的圆C以（1，2）为圆心，为半径的圆D以（1，2）为圆心，为半径的圆3（5分）直线y3x4关于点P（2，1）对称的直线方程是（）Ay3x10By3x18Cy3x+4Dy4x+34（5分）已知直线l1：x+my+70和l2：（m2）x+3y
2、+2m0互相平行，则实数m（）Am1或3Bm1Cm3Dm1或m35（5分）直线l过点（1，2）且与直线2x3y+40垂直，则l的方程是（）A2x3y+50B2x3y+80C3x+2y10D3x+2y+706（5分）若变量x，y满足约束条件，则3x+2y的最大值是（）A0B2C5D67（5分）已知坐标平面内三点，直线l过点P若直线l与线段MN相交，则直线l的倾斜角的取值范围为（）ABCD8（5分）直线l过P（1，2），且A（2，3），B（4，5）到l的距离相等，则直线l的方程是（）A4x+y60Bx+4y60C3x+2y70或4x+y60D2x+3y70或x+4y609（5分）设点F1，F2分别
3、是椭圆的左、右焦点，弦AB过点F1，若ABF2的周长为8，则椭圆C的离心率为（）ABCD10（5分）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q（4，3），则|PQ|+|PF|的最大值为（）ABCD11（5分）如图，F1F2分别为椭圆+1的左右焦点，点P在椭圆上，POF2的面积为的正三角形，则b2的值为（）AB2C3D412（5分）直线kxyk0与曲线y交于M、N两点，O为坐标原点，当OMN面积取最大值时，实数k的值为（）ABC1D1二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13（5分）椭圆C：1的焦距是 14（5分）与圆关于直线l：x+y10对称的圆的标准方程为 15（5分）已知
4、椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0e，则长轴长的取值范围是 16（5分）当实数x，y满足时，ax+y4恒成立，则实数a的取值范围是 三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17（10分）已知直线l：ax+y+2a0，若直线l在两坐标轴上截距相等，求l的方程18（12分）已知ABC的三个顶点坐标为A（3，3），B（4，2），C（2，2）（）求ABC的外接圆E的方程；（）若一光线从（2，3）射出，经y轴反射后与圆E相切，求反射光线所在直线的斜率19（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PBBC，PDCD，且PA2，E为PD中点（
5、1）求证：PA平面ABCD；（2）求平面ABE与平面BEC所成锐二面角的余弦值20（12分）已知圆，圆，直线l过点M（1，2）（1）若直线l被圆C1所截得的弦长为，求直线l的方程；（2）若直线l与圆C2相交于A，B两点，求线段AB的中点P的轨迹方程21（12分）已知过点A（0，4），且斜率为k的直线与圆C：（x2）2+（y3）21，相交于不同两点M、N（1）求实数k的取值范围；（2）求证：为定值；（3）若O为坐标原点，问是否存在以MN为直径的圆恰过点O，若存在则求k的值，若不存在，说明理由22（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点为F1，F2，且半焦距为1，直线l经过点F2，当l垂直
6、于x轴时，与椭圆C交于A1，B1两点，且|A1B1|（1）求椭圆C的方程；（2）当直线l不与x轴垂直时，与椭圆C相交于A2，B2两点，取的取值范围2018-2019学年山西大学附中高二（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1（5分）直线x+y50的倾斜角是（）A30B60C120D150【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可【解答】解：因为直线x+y50的斜率为：，直线的倾斜角为：所以tan，120故选：C【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用2（5分）方程
7、x2+y2+2x4y60表示的图形是（）A以（1，2）为圆心，11为半径的圆B以（1，2）为圆心，11为半径的圆C以（1，2）为圆心，为半径的圆D以（1，2）为圆心，为半径的圆【分析】将圆的一般方程化为标准方程，确定圆的圆心与半径，可得结论【解答】解：方程x2+y2+2x4y60化为标准方程为：（x+1）2+（y2）211表示以（1，2）为圆心，为半径的圆故选：C【点评】本题考查圆的方程，解题的关键是将圆的一般方程化为标准方程，确定圆的圆心与半径，属于基础题3（5分）直线y3x4关于点P（2，1）对称的直线方程是（）Ay3x10By3x18Cy3x+4Dy4x+3【分析】先在对称直线上任取一点
8、A（x，y），设A关于点P（2，1）对称的点为B（4x，2y），再根据B在直线y3x4上，得到对称直线的方程【解答】解：在对称直线上任取一点A（x，y），设A关于点P（2，1）对称的点为B（4x，2y），由题意，B在直线y3x4上，故有2y3（4x）4，即 y3x10，故选：A【点评】本题主要考查求一条直线关于某个点的对称直线的方法，属于基础题4（5分）已知直线l1：x+my+70和l2：（m2）x+3y+2m0互相平行，则实数m（）Am1或3Bm1Cm3Dm1或m3【分析】由m（m2）30，解得m经过验证即可得出【解答】解：由m（m2）30，解得m3或1经过验证都满足两条直线平行，m3或1故
9、选：A【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5（5分）直线l过点（1，2）且与直线2x3y+40垂直，则l的方程是（）A2x3y+50B2x3y+80C3x+2y10D3x+2y+70【分析】设l的方程3x+2y+c0，把点（1，2）代入，求出c1，由此能求出l的方程【解答】解：直线l过点（1，2）且与直线2x3y+40垂直，设l的方程3x+2y+c0，把点（1，2）代入，得：3+4+c0，解得c1，l的方程是3x+2y10故选：C【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线垂直、待定系数法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想
10、、函数与方程思想，是基础题6（5分）若变量x，y满足约束条件，则3x+2y的最大值是（）A0B2C5D6【分析】由题意作出其平面区域，将z2x+y化为y2x+z，z相当于直线y2x+z的纵截距，由几何意义可得【解答】解：由题意作出其平面区域，令z3x+2y，化为yx+，相当于直线yx+的纵截距，由图可知，解得，x1，y1，则3x+2y的最大值是3+25故选：C【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题7（5分）已知坐标平面内三点，直线l过点P若直线l与线段MN相交，则直线l的倾斜角的取值范围为（）ABCD【分析】由题意画出图形，分别求出直线PM，PN所在直线当斜率，进一步求得倾
11、斜角得答案【解答】解：如图，由，得，PM所在直线的倾斜角为，PN所在直线的倾斜角为，则直线l的倾斜角的取值范围为故选：A【点评】本题考查直线的斜率，考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题8（5分）直线l过P（1，2），且A（2，3），B（4，5）到l的距离相等，则直线l的方程是（）A4x+y60Bx+4y60C3x+2y70或4x+y60D2x+3y70或x+4y60【分析】由条件可知直线平行于直线AB或过线段AB的中点，当直线lAB时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段AB的中点（2，3）时，易得所求的直线方程【解答】解 设所求直线为l，由条件可知直线l平行于
12、直线AB或过线段AB的中点，（2分）（1）AB的斜率为4，当直线lAB时，l的方程是y24（x1），即 4x+y60 （6分）（2）当直线l经过线段AB的中点（3，1）时，l的斜率为，l的方程是 y2（x1），即3x+2y70（10分）故所求直线的方程为3x+2y70或4x+y60 （12分）故选：C【点评】本题考查求直线的方程的方法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题9（5分）设点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，弦AB过点F1，若ABF2的周长为8，则椭圆C的离心率为（）ABCD【分析】由已知求得b，可得椭圆长半轴长，再由隐含条件求得c，则椭圆离心率可求【解答】解：由已知可得，椭圆的长轴
13、长为，弦AB过点F1，ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|4a，解得：b1（b0），a2，b1，则c，则椭圆的离心率为e故选：D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，是基础的计算题10（5分）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q（4，3），则|PQ|+|PF|的最大值为（）ABCD【分析】设椭圆C的右焦点为F（1，0），由已知条件推导出|PQ|+|PF|PQ|+2 |PF|，利用Q，F，P共线，可得|PQ|+|PF|取最大值【解答】解：点F为椭圆的左焦点，F（1，0），点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为（4，3），设椭圆C的右焦点为F（1，0），|PQ|
14、+|PF|PQ|+2 |PF|2 +|PQ|PF|，|PQ|PF|QF|3 ，|PQ|+|PF|5 ，即最大值为5 ，此时Q，F，P共线故选：A【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查学生转化问题的能力，正确转化是关键11（5分）如图，F1F2分别为椭圆+1的左右焦点，点P在椭圆上，POF2的面积为的正三角形，则b2的值为（）AB2C3D4【分析】由POF2的面积为的正三角形，可得，解得c把P（1，）代入椭圆方程可得：，与a2b2+4联立解得即可得出【解答】解：POF2的面积为的正三角形，解得c2P（1，）代入椭圆方程可得：，与a2b2+4联立解得：b22故选：B【点评】本题考查了椭圆的标准方程
15、及其性质、等边三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）直线kxyk0与曲线y交于M、N两点，O为坐标原点，当OMN面积取最大值时，实数k的值为（）ABC1D1【分析】根据MON为直角时，OMN的面积取到最大值，于是得到OMN为等腰直角三角形，根据三角形的相关知识求出原点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列方程可解出k的值，但需要结合图形，得出k0，从而得出正解【解答】解：由，知y0，将等式两边平方得y21x2，即x2+y21，所以，曲线表示的图形是圆x2+y21 的上半部分，设MON，则OMN的面积为，显然，当90时，OMN的面积取到最大值，此时，OMN是等腰
16、直角三角形，设原点到直线的距离为d，则，另一方面，由点到直线的距离公式可得，解得，结合图象可知，k0，因此，故选：A【点评】本题考查直线与圆的位置关系，将问题转化为圆心到直线的距离，是解本题的关键，属于中等题二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13（5分）椭圆C：1的焦距是8【分析】直接从方程中解读出椭圆中基本参量的数值；然后通过椭圆中a、b、c之间的等量关系，即可解出c，进而得到2c，即该椭圆的焦距【解答】解：依题意得，a225，b29，又在任意椭圆中有a2b2+c2，从而c2a2b216（c0），解得c4则该椭圆的焦距即2c248，故答案为：8【点评】本题考查了椭圆中各个参量
17、的意义以及在方程中相应的相关表示，以及椭圆中重要的基本关系a2b2+c214（5分）与圆关于直线l：x+y10对称的圆的标准方程为【分析】先求出圆C的圆心和半径，可得关于直线l：x+y10对称的圆的圆心C的坐标，从而写出对称的圆的标准方程【解答】解：圆 的圆心C（，1），点C关于直线l：x+y10对称的点C（0，），半径为，则圆C关于直线l：x+y10对称的圆的标准方程为x2+，故答案为：x2+【点评】本题主要考查圆的标准方程，点关于直线对称的性质，属于中档题15（5分）已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0e，则长轴长的取值范围是（2，4【分析】由椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0e，可得0
18、1，由此可求长轴长的取值范围【解答】解：椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0e，01，1a24，1a2，22a4，即长轴长的取值范围是（2，4故答案为：（2，4【点评】本题考查长轴长的取值范围，考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，比较基础16（5分）当实数x，y满足时，ax+y4恒成立，则实数a的取值范围是（，【分析】由约束条件作出可行域，再由ax+y4恒成立，结合可行域内特殊点A，B，C的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围【解答】解：由约束条件作可行域如图联立 ，解得C（1， ）联立 ，解得B（2，1）在xy10中取y0得A（1，0）由ax+y4得yax+4要使ax+y
19、4恒成立，则平面区域在直线yax+4的下方，若a0，则不等式等价为y4，此时满足条件，若a0，即a0，平面区域满足条件，若a0，即a0时，要使平面区域在直线yax+4的下方，则只要B在直线的下方即可，即2a+14，得0a综上a实数a的取值范围是（，故答案为：（，【点评】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17（10分）已知直线l：ax+y+2a0，若直线l在两坐标轴上截距相等，求l的方程【分析】分别令x，y等于0，代入已知方程可得两截距，由题意可得a
20、的方程，解a值可得答案【解答】解：当x0时，ya2，当y0时，x，则a2，解得a1或a2，故直线l的方程为x+y+10或2x+y0【点评】本题考查直线的一般式方程，涉及直线的截距，属基础题18（12分）已知ABC的三个顶点坐标为A（3，3），B（4，2），C（2，2）（）求ABC的外接圆E的方程；（）若一光线从（2，3）射出，经y轴反射后与圆E相切，求反射光线所在直线的斜率【分析】（）由题意，注意到：，于是ABAC，所以ABC是直角三角形，即可求解外接圆E的方程；（）点（2，3）关于y轴对称的点（2，3），则反射光线经过点（2，3），有图象易得：反射光线斜率存在，故设反射光线所在直线方程为y+
21、3k（x2），反射后与圆E相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解k【解答】解：（）由题意：，于是ABAC所以ABC是直角三角形，于是外接圆圆心为斜边BC的中点（3，2），半径所以：ABC的外接圆E的方程为：（x+3）2+（y2）21（）点（2，3）关于y轴对称的点（2，3），则反射光线经过点（2，3）有图象易得：反射光线斜率存在，故设反射光线所在直线方程为y+3k（x2）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得：或【点评】本题考查了直线关于直线的对称直线方程的求法，考查了直线与圆的位置关系的运用，是基础题19（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PBBC，PD
22、CD，且PA2，E为PD中点（1）求证：PA平面ABCD；（2）求平面ABE与平面BEC所成锐二面角的余弦值【分析】（1）推导出AD平面PAB，从而PAAD，同理，PACD，由此能证明PA平面ABCD（2）以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABE与平面BEC所成锐二面角的余弦值【解答】解：（1）证明：四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PBBC，PDCD，PBAD，ABAD，又ABPBB，AD平面PAB，PA平面PAB，PAAD，同理，PACD，ADCDD，PA平面ABCD（2）解：以A为坐标原点，AB，AC，AP所
23、在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），（2，0，0），（0，1，1），（2，1，1），（0，2，0），设平面ABE的法向量（x，y，z），则，取y1，得（0，1，1），设平面BCE的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，0，2），设平面ABE与平面BEC所成锐二面角的平面角为，则cos，平面ABE与平面BEC所成锐二面角的余弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的距离的求法，考查运算求解能力，是中档题20（12分）已知圆，圆，
24、直线l过点M（1，2）（1）若直线l被圆C1所截得的弦长为，求直线l的方程；（2）若直线l与圆C2相交于A，B两点，求线段AB的中点P的轨迹方程【分析】（1）根据题意，由直线与圆的位置关系可得圆心C1到直线l的距离d，进而分直线l的斜率存在与否两种情况讨论，求出直线的方程，综合即可得答案；（2）根据题意，设P的坐标为（x，y），分析可得C2PMP，则P在以C2P为直径上为圆上，据此分析可得答案【解答】解：（1）根据题意，圆，圆心为（0，0），半径r2，若直线l被圆C1所截得的弦长为，则圆心C1到直线l的距离d1，分2种情况讨论：（i）当直线的斜率不存在时，x1，显然满足题意，（ii）当直线的斜
25、率存在时，可设直线方程y2k（x1）即kxy+2k0，则圆心（0，0）到直线kxy+2k0的距离d，根据直线与圆相交的性质可得，+34，解可得，k，此时直线方程为3x4y+50，综上可得，满足题意的直线x1或3x4y+50，（2）根据题意，设P的坐标为（x，y），P为线段AB的中点，则有C2PMP，则P在以C2P为直径上为圆上，又由圆，其圆心C2的坐标为（3，0）且M（1，2），则有（x3）（x1）+y（y2）0，变形可得x2+y24x2y+30；故P的轨迹方程为x2+y24x2y+30【点评】本题考查轨迹方程的求法，涉及圆与圆相交的性质以及应用，属于基础题21（12分）已知过点A（0，4），
26、且斜率为k的直线与圆C：（x2）2+（y3）21，相交于不同两点M、N（1）求实数k的取值范围；（2）求证：为定值；（3）若O为坐标原点，问是否存在以MN为直径的圆恰过点O，若存在则求k的值，若不存在，说明理由【分析】第一步结合图形由相切入手，不难求解；第二，第三步须把直线与圆的方程联立，得根与系数关系，通过向量数量积解决【解答】解：（1）过点A（0，4），斜率为k的直线l的方程为：ykx+4即kxy+40圆C：（x2）2+（y3）21的圆心C（2，0），半径r1若l与圆C相切，1解得k10，k2结合图形分析可知，当直线l与圆C相交时，k（2）证明：设M（x1，y1）N（x2，y2），则（x1
27、，y14）（x2，y24）x1x2+y1y24（y1+y2）+16（*）把直线l的方程代入圆C的方程并整理得（1+k2）x2+（2k4）x+40x1+x2x1x2y1+y2k（x1+x2）+8y1y2（kx1+4）（kx2+4）k2x1x2+4k（x1+x2）+16代回（*）式并整理得4为定值（3）若以MN为直径的圆过原点，则OMON，从而0即x1x2+y1y20由（2）可知，x1x2+y1y2+此式，分子判别式小于0，即分子恒正从而整个分式值恒正，与0矛盾故以MN为直径的圆不会过原点【点评】此题综合考查了直线与圆的位置关系，向量的数量积等知识，难度适中22（12分）已知椭圆C：+1（ab0）
28、的左、右焦点为F1，F2，且半焦距为1，直线l经过点F2，当l垂直于x轴时，与椭圆C交于A1，B1两点，且|A1B1|（1）求椭圆C的方程；（2）当直线l不与x轴垂直时，与椭圆C相交于A2，B2两点，取的取值范围【分析】（1）由c1，根据椭圆的通径公式及a2b2c2，求得a和b的值，即可求得a和b的值；（2）分类讨论，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得的取值范围【解答】解：（1）由题意可知：c1，由椭圆的通径公式可知：|A1B1|，即ab2，a2b2c21，解得：a，b1，椭圆的标准方程：；（2）由（1）可知椭圆的右焦点F2（1，0），当直线l与x轴不重合时，设直线l方程xmy+1，A2（x1，y1），B2（x2，y2），整理得：（m2+2）y2+2my10，则y1+y2，y1y2，x1+x2m（y1+y2）+2，x1x2（my1+1）（my2+1）m2y1y2+m（y1+y2）+1，（x11，y1）（x21，y2）x1x2（x1+x2）+1+y1y2（1）1+（1，当直线l与x轴重合时，则A2（，0），B2（，0），则（1，0）（1，0）1，的取值范围1，【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查分类讨论思想，属于中档题
