1、2017-2018学年山西省实验中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）i是虚数单位，复数（）A1iB1+iC1+iD1i2（5分）下面给出了关于向量的三种类比推理：由数可以比较大小类比得向量可以比较大小；由平面向量的性质类比得到空间向量的性质；由向量相等的传递性，可类比得到向量平行的传递性：，其中正确的是（）ABCD3（5分）下列函数满足f（x）f（x）的是（）Af（x）1Bf（x）xCf（x）0Df（x）1x4（5分）一个物体的运动方程为s1t+t2，其中s的单位是米，t的单位是秒
2、，那么物体在3秒这个时刻的瞬时速度是（）A7米/秒B6米/秒C5米/秒D8米/秒5（5分）已知复数，则i在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6（5分）“M不是N的子集”的充分必要条件是（）A若xM，则xNB若xN，则xMC存在x1M且x1N，又存在x2M且x2ND存在x0M但x0N7（5分）等式12+22+32+n2（5n27n+4）（）An为任何正整数都成立B仅当n1，2，3时成立C当n4时成立，n5时不成立D仅当n4时不成立8（5分）已知曲线ylnx的切线过原点，则此切线的斜率为（）AeBeCD9（5分）函数yxcosxsinx在下面哪个区间上是增函数（）A（
3、，）B（，2）C（ ，）D（ 2，3）10（5分）|sinx|dx的值为（）A0B2C4D211（5分）当函数yx2x取极小值时，x（）ABCln2Dln212（5分）如图所示的是函数f（x）x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（）ABCD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）观察数列，3，3，写出数列的一个通项公式an 14（5分）如果3+4i是方程x2+ax+b0（a，bR）的一个根，则a+b 15（5分） 16（5分）体积为8的正三棱柱，底面边长是 时，正三棱柱的表面积最小三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演
4、算步骤.）17（14分）已知复数z1+i，且，求实数a，b的值18（14分）（1）求函数f（x）x33x2+1的极小值；（2）求函数g（x）x22lnx的单调减区间19（14分）若存在经过点（1，0）的直线l与曲线yx3和同时相切（1）求切线l的方程；（2）求实数a的值20（14分）要设计一个容积为V的有盖圆柱形容器，已知侧面的单位面积造价是底面单位面积造假的一半，而盖的单位面积造价是侧面单位面积的造价一半，问容器的底面半径r与高h之比为何值时，总造价最低21（14分）已知（1）求f（x）的值域；（2）若x1，2使得g（x）0，求a的取值范围；（3）对x1（0，2），总存在x21，2使得f（x
5、1）g（x2），求a的取值范围2017-2018学年山西省实验中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）i是虚数单位，复数（）A1iB1+iC1+iD1i【分析】进行复数的除法运算，分子很分母同乘以分母的共轭复数，约分化简，得到结果【解答】解：1+i故选：C【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是掌握除法的运算法则，本题是一个基础题2（5分）下面给出了关于向量的三种类比推理：由数可以比较大小类比得向量可以比较大小；由平面向量的性质类比得到空间向量的性质
6、；由向量相等的传递性，可类比得到向量平行的传递性：，其中正确的是（）ABCD【分析】利用向量的性质直接判断求解【解答】解：在中，由向量的定义得向量既有大小又有方向，两个向量不能比较大小，故错误；在中，由向量的性质得空间向量的性质，故正确；在中，当是零向量时，与有可能不平行，故错误故选：B【点评】本题考查类比推理，注意类比的准确性，一般类比是有低级向高级类比利用加乘乘方3（5分）下列函数满足f（x）f（x）的是（）Af（x）1Bf（x）xCf（x）0Df（x）1x【分析】利用导数性质及运算法则直接求解【解答】解：在A中，f（x）1，f（x）0，不满足f（x）f（x）；在B中，f（x）x，f（x）
7、1，不满足f（x）f（x）；在C中，f（x）0，f（x）0，满足f（x）f（x）；在D中，f（x）1x，f（x）1，不满足f（x）f（x）故选：C【点评】本题考查满足f（x）f（x）的函数的解析式的求法，考查导数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题4（5分）一个物体的运动方程为s1t+t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒这个时刻的瞬时速度是（）A7米/秒B6米/秒C5米/秒D8米/秒【分析】求出运动方程的导数，据对位移求导即得到物体的瞬时速度，求出导函数在t3时的值，即为物体在3秒末的瞬时速度【解答】解：物体的运动方程为s1t+t2s1+2t，s|t3
8、5米/秒故选：C【点评】求物体的瞬时速度，只要对位移求导数即可5（5分）已知复数，则i在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】求出复数的共轭复数，代入i化简为a+bi（a，bR）的形式，可以确定所在象限【解答】解：实部，虚部，对应点为（，）在第二象限，故选：B【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查学生计算能力，是基础题6（5分）“M不是N的子集”的充分必要条件是（）A若xM，则xNB若xN，则xMC存在x1M且x1N，又存在x2M且x2ND存在x0M但x0N【分析】利用充分必要条件的意义、子集的定义即可判断出结论【解答】解：“M不是N的子
9、集”的充分必要条件是：存在x0M但x0N，故选：D【点评】本题考查了充分必要条件的意义、子集的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（5分）等式12+22+32+n2（5n27n+4）（）An为任何正整数都成立B仅当n1，2，3时成立C当n4时成立，n5时不成立D仅当n4时不成立【分析】验证当n1，2，3，4，5时，等式是否成立，从而即可解决问题【解答】解：当n1时，左边1，右边1，成立；当n2时，左边1+45，右边5，成立；当n3时，左边1+4+914，右边14，成立；当n4时，左边1+4+9+1640，右边28，不成立；当n5时，左边1+4+9+16+2565，右边94，不成立；故选
10、：B【点评】本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式：设P（n）是关于自然数n的命题，若1P（n0）成立（奠基）；2假设P（k）成立（kn0），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n0的自然数n都成立8（5分）已知曲线ylnx的切线过原点，则此切线的斜率为（）AeBeCD【分析】设切点坐标为（a，lna），求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入（0，0），求切点坐标，切线的斜率【解答】解：设切点坐标为（a，lna），ylnx，y，切线的斜率是，切线的方程为ylna（xa），将（0，0）代入可得lna1，ae，切线的斜率是；故选：C【点评】本题主要考查导数的几何
11、意义，利用切线斜率和导数之间的关系可以切点坐标9（5分）函数yxcosxsinx在下面哪个区间上是增函数（）A（，）B（，2）C（ ，）D（ 2，3）【分析】分析知函数的单调性用三角函数的相关性质不易判断，易用求其导数的方法来判断其在那个区间上是增函数【解答】解：ycosxxsinxcosxxsinx欲使导数为正，只需x与sinx符号总相反，分析四个选项知，B选项符合条件，故选：B【点评】考查判断函数单调性的方法一般可以用定义法，导数法，其中导数法判断函数的单调性比较简便10（5分）|sinx|dx的值为（）A0B2C4D2【分析】根据积分的公式即可得到结论【解答】解：|sinx|dx2sin
12、xdx2（cosx）4故选：C【点评】本题主要考查积分的计算，要求熟练积分的公式和运算法则11（5分）当函数yx2x取极小值时，x（）ABCln2Dln2【分析】对函数求导，由y2x+x2xln2（1+xln2）2x0，即可得出结论【解答】解：y2x+x2xln2（1+xln2）2x0，即1+xln20，x故选：B【点评】本题考查利用导数研究函数的极值问题，属于基础题12（5分）如图所示的是函数f（x）x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（）ABCD【分析】由图象知f（x）0的根为0，1，2，求出函数解析式，x1，x2为导函数的两根，可结合根与系数求解【解答】解：由图象知f（
13、x）0的根为0，1，2，d0f（x）x3+bx2+cxx（x2+bx+c）0x2+bx+c0的两个根为1和2b3，c2f（x）x33x2+2xf（x）3x26x+2x1，x2为3x26x+20的两根，故选：C【点评】本题考查了识图能力，以及极值与导数的关系二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）观察数列，3，3，写出数列的一个通项公式an【分析】根据数列项的规律求出数列的通项公式即可【解答】解：数列等价为，则对应的通项公式为an，故答案为：【点评】本题主要考查数列的概念和简单表示，求出数列的规律是解决本题的关键14（5分）如果3+4i是方程x2+ax+b0（a，bR）
14、的一个根，则a+b19【分析】由实系数的一元二次方程x2+ax+b0的两个虚根互为共轭复数，再利用根与系数的关系，即可求出a，b的值【解答】解：3+4i是方程x2+ax+b0（a，bR）的一个根，34i是方程x2+ax+b0（a，bR）的另一个根，a（x1+x2）（3+4i+34i）6，bx1x2（3+4i）（34i）25，a+b6+2519故答案为：19【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了根与系数的关系，是基础题15（5分）【分析】根据定积分的计算法则计算即可【解答】解：（12x）（13x2）dx（12x3x2+6x3）dx（xx2x3+x4）0（11+1+），故答案为：【点评】
15、本题考查了定积分的计算，属于基础题16（5分）体积为8的正三棱柱，底面边长是时，正三棱柱的表面积最小【分析】设底边边长为a，高为h，利用体积公式VSh得出h，再根据表面积公式得S3ah+2+，最后利用导函数即得底面边长【解答】解：设底边边长为a，高为h，则VSh，h，则表面积为S3ah+2a2+，S，令S0，得a2当底面边长为2时，正本棱柱的表面积最小故答案为：2【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想，是中档题三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（14分）已知
16、复数z1+i，且，求实数a，b的值【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列出方程组，求解得答案【解答】解：由题可知，z22i，左式右式，即（a+b）+（a+2）ii（1i）1+i，得到方程组，解得：【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的相等的条件，是基础题18（14分）（1）求函数f（x）x33x2+1的极小值；（2）求函数g（x）x22lnx的单调减区间【分析】（1）求出f（x）3x26x，利用导数性质能求出f（x）的极小值（2）函数g（x）的定义域为（0，+），令g（x）0，能求出函数g（x）的单调递减区间【解答】解：（1）函数f（x）x33x2+1
17、，f（x）3x26x，令f（x）3x26x0，得x10，x22，x（，0）时，f（x）0；x（0，2）时，f（x）0；x（2，+）时，f（x）0故f（x）在x2时取得极小值f（2）812+13（2）函数g（x）的定义域为（0，+），令g（x）0，即：，解得：0x1所以函数g（x）的单调递减区间为（0，1）【点评】本题考查函数的极小值的求法，考查函数的减区间等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19（14分）若存在经过点（1，0）的直线l与曲线yx3和同时相切（1）求切线l的方程；（2）求实数a的值【分析】（1）设过（1，0）的直线与yx3相切于点，求得yx3的导数，可得切线
18、的斜率，由点斜式方程写出切线方程，代入（1，0），求得切点，可得切线方程；（2）分别联立切线方程和，运用相切的条件，设出切点，列出方程，解方程可得a【解答】解：（1）设过（1，0）的直线与yx3相切于点，则函数的导数为f（x0）3x02，则切线斜率k3x02，所以切线方程为即，又（1，0）在切线上，则x00或，对应的切线方程为y0或；（2）当x00时，切线方程为y0设直线y0与曲线的切点为（t，0）则，解得当时，切线方程为，代入yax2+x9得yax2+x9x，消去y可得ax23x0，又由0，即9+4a0，可解得a1，所以a的值为1或【点评】运用导数的几何意义，求得切线的斜率，注意切点的确定，
19、以及方程思想的运用，属于中档题20（14分）要设计一个容积为V的有盖圆柱形容器，已知侧面的单位面积造价是底面单位面积造假的一半，而盖的单位面积造价是侧面单位面积的造价一半，问容器的底面半径r与高h之比为何值时，总造价最低【分析】设总造价y，底面单位面积造价为a，由条件可得函数y的解析式，求得导数和极值点，极值且为最值，即可得到所求结论【解答】解：设总造价y，底面单位面积造价为a，由Vr2h，得，可得ya（r），由y0，得，解得，易知y在处取极小值，即为最小值此时，所以储油罐的半径r和高h之比为2：5时，造价最省【点评】本题考查函数在实际问题中的应用，考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查运
20、算能力，属于中档题21（14分）已知（1）求f（x）的值域；（2）若x1，2使得g（x）0，求a的取值范围；（3）对x1（0，2），总存在x21，2使得f（x1）g（x2），求a的取值范围【分析】（1）中只需要分子分母同除以x，再利用基本不等式即可，注意到x的取值范围（2）题目中的问题可以转化为g（x）0在1，2上有解去解决（3）分析题意，可知f（x）的值域是g（x）值域的子集，然后画数轴求解【解答】解：（1）当x（0，2）时，2，+），故（2）原问题等价于方程有解令，则，故（x）在1，2上单调递增，故（3）令Ay|yf（x），x（0，2），By|yg（x），x1，2则原问题等价于AB由（1）（2）可知，解得【点评】在本题的三小问中第（1）（3）中，都是求函数的值域，常用的方法有换元法，图象法，不等式法，利用单调性求解，判别式法等等（2）的解题思路是转化成方程的问题，再利用数形结合即可解决在高中阶段，对于“”的考查比较多，通过讲练，学生也较易掌握，但对于“”的理解，需要更多的分析和思考，才能准确的把握题意
