2017-2018学年山西省实验中学高二(下)期中数学试卷(理科)含详细解答

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1、2017-2018学年山西省实验中学高二(下)期中数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)i是虚数单位,复数()A1iB1+iC1+iD1i2(5分)下面给出了关于向量的三种类比推理:由数可以比较大小类比得向量可以比较大小;由平面向量的性质类比得到空间向量的性质;由向量相等的传递性,可类比得到向量平行的传递性:,其中正确的是()ABCD3(5分)下列函数满足f(x)f(x)的是()Af(x)1Bf(x)xCf(x)0Df(x)1x4(5分)一个物体的运动方程为s1t+t2,其中s的单位是米,t的单位是秒

2、,那么物体在3秒这个时刻的瞬时速度是()A7米/秒B6米/秒C5米/秒D8米/秒5(5分)已知复数,则i在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6(5分)“M不是N的子集”的充分必要条件是()A若xM,则xNB若xN,则xMC存在x1M且x1N,又存在x2M且x2ND存在x0M但x0N7(5分)等式12+22+32+n2(5n27n+4)()An为任何正整数都成立B仅当n1,2,3时成立C当n4时成立,n5时不成立D仅当n4时不成立8(5分)已知曲线ylnx的切线过原点,则此切线的斜率为()AeBeCD9(5分)函数yxcosxsinx在下面哪个区间上是增函数()A(

3、,)B(,2)C( ,)D( 2,3)10(5分)|sinx|dx的值为()A0B2C4D211(5分)当函数yx2x取极小值时,x()ABCln2Dln212(5分)如图所示的是函数f(x)x3+bx2+cx+d的大致图象,则x12+x22等于()ABCD二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13(5分)观察数列,3,3,写出数列的一个通项公式an 14(5分)如果3+4i是方程x2+ax+b0(a,bR)的一个根,则a+b 15(5分) 16(5分)体积为8的正三棱柱,底面边长是 时,正三棱柱的表面积最小三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演

4、算步骤.)17(14分)已知复数z1+i,且,求实数a,b的值18(14分)(1)求函数f(x)x33x2+1的极小值;(2)求函数g(x)x22lnx的单调减区间19(14分)若存在经过点(1,0)的直线l与曲线yx3和同时相切(1)求切线l的方程;(2)求实数a的值20(14分)要设计一个容积为V的有盖圆柱形容器,已知侧面的单位面积造价是底面单位面积造假的一半,而盖的单位面积造价是侧面单位面积的造价一半,问容器的底面半径r与高h之比为何值时,总造价最低21(14分)已知(1)求f(x)的值域;(2)若x1,2使得g(x)0,求a的取值范围;(3)对x1(0,2),总存在x21,2使得f(x

5、1)g(x2),求a的取值范围2017-2018学年山西省实验中学高二(下)期中数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)i是虚数单位,复数()A1iB1+iC1+iD1i【分析】进行复数的除法运算,分子很分母同乘以分母的共轭复数,约分化简,得到结果【解答】解:1+i故选:C【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算,本题解题的关键是掌握除法的运算法则,本题是一个基础题2(5分)下面给出了关于向量的三种类比推理:由数可以比较大小类比得向量可以比较大小;由平面向量的性质类比得到空间向量的性质

6、;由向量相等的传递性,可类比得到向量平行的传递性:,其中正确的是()ABCD【分析】利用向量的性质直接判断求解【解答】解:在中,由向量的定义得向量既有大小又有方向,两个向量不能比较大小,故错误;在中,由向量的性质得空间向量的性质,故正确;在中,当是零向量时,与有可能不平行,故错误故选:B【点评】本题考查类比推理,注意类比的准确性,一般类比是有低级向高级类比利用加乘乘方3(5分)下列函数满足f(x)f(x)的是()Af(x)1Bf(x)xCf(x)0Df(x)1x【分析】利用导数性质及运算法则直接求解【解答】解:在A中,f(x)1,f(x)0,不满足f(x)f(x);在B中,f(x)x,f(x)

7、1,不满足f(x)f(x);在C中,f(x)0,f(x)0,满足f(x)f(x);在D中,f(x)1x,f(x)1,不满足f(x)f(x)故选:C【点评】本题考查满足f(x)f(x)的函数的解析式的求法,考查导数性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题4(5分)一个物体的运动方程为s1t+t2,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒这个时刻的瞬时速度是()A7米/秒B6米/秒C5米/秒D8米/秒【分析】求出运动方程的导数,据对位移求导即得到物体的瞬时速度,求出导函数在t3时的值,即为物体在3秒末的瞬时速度【解答】解:物体的运动方程为s1t+t2s1+2t,s|t3

8、5米/秒故选:C【点评】求物体的瞬时速度,只要对位移求导数即可5(5分)已知复数,则i在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】求出复数的共轭复数,代入i化简为a+bi(a,bR)的形式,可以确定所在象限【解答】解:实部,虚部,对应点为(,)在第二象限,故选:B【点评】本题考查复数的基本概念,复数代数形式的乘除运算,考查学生计算能力,是基础题6(5分)“M不是N的子集”的充分必要条件是()A若xM,则xNB若xN,则xMC存在x1M且x1N,又存在x2M且x2ND存在x0M但x0N【分析】利用充分必要条件的意义、子集的定义即可判断出结论【解答】解:“M不是N的子

9、集”的充分必要条件是:存在x0M但x0N,故选:D【点评】本题考查了充分必要条件的意义、子集的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题7(5分)等式12+22+32+n2(5n27n+4)()An为任何正整数都成立B仅当n1,2,3时成立C当n4时成立,n5时不成立D仅当n4时不成立【分析】验证当n1,2,3,4,5时,等式是否成立,从而即可解决问题【解答】解:当n1时,左边1,右边1,成立;当n2时,左边1+45,右边5,成立;当n3时,左边1+4+914,右边14,成立;当n4时,左边1+4+9+1640,右边28,不成立;当n5时,左边1+4+9+16+2565,右边94,不成立;故选

10、:B【点评】本题主要考查数学归纳法,数学归纳法的基本形式:设P(n)是关于自然数n的命题,若1P(n0)成立(奠基);2假设P(k)成立(kn0),可以推出P(k+1)成立(归纳),则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立8(5分)已知曲线ylnx的切线过原点,则此切线的斜率为()AeBeCD【分析】设切点坐标为(a,lna),求函数的导数,可得切线的斜率,切线的方程,代入(0,0),求切点坐标,切线的斜率【解答】解:设切点坐标为(a,lna),ylnx,y,切线的斜率是,切线的方程为ylna(xa),将(0,0)代入可得lna1,ae,切线的斜率是;故选:C【点评】本题主要考查导数的几何

11、意义,利用切线斜率和导数之间的关系可以切点坐标9(5分)函数yxcosxsinx在下面哪个区间上是增函数()A(,)B(,2)C( ,)D( 2,3)【分析】分析知函数的单调性用三角函数的相关性质不易判断,易用求其导数的方法来判断其在那个区间上是增函数【解答】解:ycosxxsinxcosxxsinx欲使导数为正,只需x与sinx符号总相反,分析四个选项知,B选项符合条件,故选:B【点评】考查判断函数单调性的方法一般可以用定义法,导数法,其中导数法判断函数的单调性比较简便10(5分)|sinx|dx的值为()A0B2C4D2【分析】根据积分的公式即可得到结论【解答】解:|sinx|dx2sin

12、xdx2(cosx)4故选:C【点评】本题主要考查积分的计算,要求熟练积分的公式和运算法则11(5分)当函数yx2x取极小值时,x()ABCln2Dln2【分析】对函数求导,由y2x+x2xln2(1+xln2)2x0,即可得出结论【解答】解:y2x+x2xln2(1+xln2)2x0,即1+xln20,x故选:B【点评】本题考查利用导数研究函数的极值问题,属于基础题12(5分)如图所示的是函数f(x)x3+bx2+cx+d的大致图象,则x12+x22等于()ABCD【分析】由图象知f(x)0的根为0,1,2,求出函数解析式,x1,x2为导函数的两根,可结合根与系数求解【解答】解:由图象知f(

13、x)0的根为0,1,2,d0f(x)x3+bx2+cxx(x2+bx+c)0x2+bx+c0的两个根为1和2b3,c2f(x)x33x2+2xf(x)3x26x+2x1,x2为3x26x+20的两根,故选:C【点评】本题考查了识图能力,以及极值与导数的关系二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13(5分)观察数列,3,3,写出数列的一个通项公式an【分析】根据数列项的规律求出数列的通项公式即可【解答】解:数列等价为,则对应的通项公式为an,故答案为:【点评】本题主要考查数列的概念和简单表示,求出数列的规律是解决本题的关键14(5分)如果3+4i是方程x2+ax+b0(a,bR)

14、的一个根,则a+b19【分析】由实系数的一元二次方程x2+ax+b0的两个虚根互为共轭复数,再利用根与系数的关系,即可求出a,b的值【解答】解:3+4i是方程x2+ax+b0(a,bR)的一个根,34i是方程x2+ax+b0(a,bR)的另一个根,a(x1+x2)(3+4i+34i)6,bx1x2(3+4i)(34i)25,a+b6+2519故答案为:19【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了根与系数的关系,是基础题15(5分)【分析】根据定积分的计算法则计算即可【解答】解:(12x)(13x2)dx(12x3x2+6x3)dx(xx2x3+x4)0(11+1+),故答案为:【点评】

15、本题考查了定积分的计算,属于基础题16(5分)体积为8的正三棱柱,底面边长是时,正三棱柱的表面积最小【分析】设底边边长为a,高为h,利用体积公式VSh得出h,再根据表面积公式得S3ah+2+,最后利用导函数即得底面边长【解答】解:设底边边长为a,高为h,则VSh,h,则表面积为S3ah+2a2+,S,令S0,得a2当底面边长为2时,正本棱柱的表面积最小故答案为:2【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积、基本不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查转化思想,是中档题三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17(14分)已知

16、复数z1+i,且,求实数a,b的值【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数相等的条件列出方程组,求解得答案【解答】解:由题可知,z22i,左式右式,即(a+b)+(a+2)ii(1i)1+i,得到方程组,解得:【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的相等的条件,是基础题18(14分)(1)求函数f(x)x33x2+1的极小值;(2)求函数g(x)x22lnx的单调减区间【分析】(1)求出f(x)3x26x,利用导数性质能求出f(x)的极小值(2)函数g(x)的定义域为(0,+),令g(x)0,能求出函数g(x)的单调递减区间【解答】解:(1)函数f(x)x33x2+1

17、,f(x)3x26x,令f(x)3x26x0,得x10,x22,x(,0)时,f(x)0;x(0,2)时,f(x)0;x(2,+)时,f(x)0故f(x)在x2时取得极小值f(2)812+13(2)函数g(x)的定义域为(0,+),令g(x)0,即:,解得:0x1所以函数g(x)的单调递减区间为(0,1)【点评】本题考查函数的极小值的求法,考查函数的减区间等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题19(14分)若存在经过点(1,0)的直线l与曲线yx3和同时相切(1)求切线l的方程;(2)求实数a的值【分析】(1)设过(1,0)的直线与yx3相切于点,求得yx3的导数,可得切线

18、的斜率,由点斜式方程写出切线方程,代入(1,0),求得切点,可得切线方程;(2)分别联立切线方程和,运用相切的条件,设出切点,列出方程,解方程可得a【解答】解:(1)设过(1,0)的直线与yx3相切于点,则函数的导数为f(x0)3x02,则切线斜率k3x02,所以切线方程为即,又(1,0)在切线上,则x00或,对应的切线方程为y0或;(2)当x00时,切线方程为y0设直线y0与曲线的切点为(t,0)则,解得当时,切线方程为,代入yax2+x9得yax2+x9x,消去y可得ax23x0,又由0,即9+4a0,可解得a1,所以a的值为1或【点评】运用导数的几何意义,求得切线的斜率,注意切点的确定,

19、以及方程思想的运用,属于中档题20(14分)要设计一个容积为V的有盖圆柱形容器,已知侧面的单位面积造价是底面单位面积造假的一半,而盖的单位面积造价是侧面单位面积的造价一半,问容器的底面半径r与高h之比为何值时,总造价最低【分析】设总造价y,底面单位面积造价为a,由条件可得函数y的解析式,求得导数和极值点,极值且为最值,即可得到所求结论【解答】解:设总造价y,底面单位面积造价为a,由Vr2h,得,可得ya(r),由y0,得,解得,易知y在处取极小值,即为最小值此时,所以储油罐的半径r和高h之比为2:5时,造价最省【点评】本题考查函数在实际问题中的应用,考查导数的运用:求单调性和极值、最值,考查运

20、算能力,属于中档题21(14分)已知(1)求f(x)的值域;(2)若x1,2使得g(x)0,求a的取值范围;(3)对x1(0,2),总存在x21,2使得f(x1)g(x2),求a的取值范围【分析】(1)中只需要分子分母同除以x,再利用基本不等式即可,注意到x的取值范围(2)题目中的问题可以转化为g(x)0在1,2上有解去解决(3)分析题意,可知f(x)的值域是g(x)值域的子集,然后画数轴求解【解答】解:(1)当x(0,2)时,2,+),故(2)原问题等价于方程有解令,则,故(x)在1,2上单调递增,故(3)令Ay|yf(x),x(0,2),By|yg(x),x1,2则原问题等价于AB由(1)(2)可知,解得【点评】在本题的三小问中第(1)(3)中,都是求函数的值域,常用的方法有换元法,图象法,不等式法,利用单调性求解,判别式法等等(2)的解题思路是转化成方程的问题,再利用数形结合即可解决在高中阶段,对于“”的考查比较多,通过讲练,学生也较易掌握,但对于“”的理解,需要更多的分析和思考,才能准确的把握题意

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