1、2017-2018学年山西省太原五中高二（下）4月段考数学试卷（理科）一、选择题（每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案）1（3分）i是虚数单位，复数在复平面上的对应点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（3分）用反证法证明命题“若a，bR，则方程x2+ax+b0至少有一个实根“时要做的假设是（）A方程x2+ax+b0没有实根B方程x2+ax+b0至多有一个实根C方程x2+ax+b0至多有两个实根D方程x2+ax+b0恰好有两个实根3（3分）设f0（x）sinx，f1（x）f0（x），f2（x）f1（x），fn+1（x）fn（x），nN，则f2018（x）（）AsinxBsi
2、nxCcosxDcosx4（3分）函数f（x）（x1）ex的单调递增区间是（）A（，0）B（1，+）C（2，+）D（0，+）5（3分）若复数z满足（34i）z|4+3i|，则z的虚部为（）A4BC4D6（3分）观察式子：1+，1+，则可归纳出式子为（）A（n2）B1+（n2）C1+（n2）D1+（n2）7（3分）关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则a的取值范围是（）A（4，0）B（，0）C（1，+）D（0，1）8（3分）函数yf（x）的导函数yf（x）的图象如图所示，则函数yf（x）的图象可能是（）ABCD9（3分）若函数f（x）x3ax2x+6在（0，1）内单调递减，则a的取值范
3、围是（）Aa1Ba1Ca1D0a110（3分）若f（x）x2+2f（x）dx，则f（x）dx（）A1BCD111（3分）设直线xt与函数f（x）x2，g（x）lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A1BCD12（3分）已知定义在（0，）上的函数f（x），f（x）为其导函数，且f（x）f（x）tanx恒成立，则（）Af（）f（）Bf（）f（）Cf（）f（）Df（1）2f（）sin1二、填空题（每小题4分，共16分）13（4分）已知函数yf（x）的图象在点M（1，f（1）处的切线方程是2x+y10，则f（1）+f（1） 14（4分）由曲线yx2与xy2所围成的曲边形的面积
4、为 15（4分）已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a1，a2，a3，a4，点P为四边形内任意一点，且点P到四边的距离分别记为h1，h2，h3，h4，若k，则h1+2h2+3h3+4h4，类比以上性质，体积为V的三棱锥的每个面的面积分别记为S1，S2，S3，S4，此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别记为H1，H2，H3，H4，若K，则H1+2H2+3H3+4H4 16（4分）已知函数f（x）aexx2有两个极值点，则实数a的取值范围是 三、解答题（每小题12分，共48分）17（12分）设函数f（x）x3+ax2+bx+20（aR，bR）在x2处取得极值8（1）求a和b的值；（2）求f（x
5、）在1，3上的最小值和最大值18（12分）已知函数f（x）（1）求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线；（2）求f（x）的单调区间；19（12分）已知函数f（x）ln（x+a）x的最大值为0（1）求a的值；（2）证明：2ln（2n+1）（nN*）20（12分）设函数f（x）ax2alnx，g（x），其中aR，e2.718为自然对数的底数（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明：当x1时，g（x）0；（3）确定a的所有可能取值，使得f（x）g（x）在区间（1，+）内恒成立2017-2018学年山西省太原五中高二（下）4月段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分，每
6、小题只有一个正确答案）1（3分）i是虚数单位，复数在复平面上的对应点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出【解答】解：所对应的点为位于第四象限，故选：D【点评】熟练掌握复数的运算法则和几何意义是解题的关键2（3分）用反证法证明命题“若a，bR，则方程x2+ax+b0至少有一个实根“时要做的假设是（）A方程x2+ax+b0没有实根B方程x2+ax+b0至多有一个实根C方程x2+ax+b0至多有两个实根D方程x2+ax+b0恰好有两个实根【分析】直接利用命题的否定写出假设即可【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，用反证法证明命题“设
7、a，b为实数，则方程x2+ax+b0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b0没有实根故选：A【点评】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查3（3分）设f0（x）sinx，f1（x）f0（x），f2（x）f1（x），fn+1（x）fn（x），nN，则f2018（x）（）AsinxBsinxCcosxDcosx【分析】根据条件f0（x）sinx，f1（x）cosx，f2（x）sinx，f3（x）cosx，f4（x）sinx，并且20182+5044，从而可得出f2018（x）f2（x）sinx【解答】解：f0（x）sinx，f1（x）cosx，f2（x）sinx，f3（x）cos
8、x，f4（x）sinx，又20182+5044，f2018（x）sinx故选：B【点评】考查基本初等函数的求导公式，函数周期性的定义4（3分）函数f（x）（x1）ex的单调递增区间是（）A（，0）B（1，+）C（2，+）D（0，+）【分析】根据题意，求出函数的导数，结合函数的导数与单调性的关系可得f（x）xex0，解可得x的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，f（x）（x1）ex，其导数f（x）（x1）ex+（x1）exxex，若f（x）xex0，则有x0，即f（x）的递增区间为（0，+）；故选：D【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性，注意正确计算函数的导数，属于基础题5（3分）若复
9、数z满足（34i）z|4+3i|，则z的虚部为（）A4BC4D【分析】由题意可得 z，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为 +i，由此可得z的虚部【解答】解：复数z满足（34i）z|4+3i|，z+i，故z的虚部等于，故选：D【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题6（3分）观察式子：1+，1+，则可归纳出式子为（）A（n2）B1+（n2）C1+（n2）D1+（n2）【分析】根据题意，由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母分析可得答案【解答】解：根据题意，由每个不等式的不等
10、号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母可知，C正确；故选：C【点评】本题考查了归纳推理，培养学生分析问题的能力7（3分）关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则a的取值范围是（）A（4，0）B（，0）C（1，+）D（0，1）【分析】构造f（x）x33x2a，则f（x）3x26x3x（x2），可知f（0）a为极大值，f（2）4a为极小值，从而当极大值大于0，极小值小于0时，有三个不等实根，由此可得a的取值范围【解答】解：假设f（x）x33x2a，则f（x）3x26x3x（x2）函数在（，0），（2，+）上单调增，在（0，2）上单调
11、减f（0）a为极大值，f（2）4a为极小值当f（0）0，f（2）0时，即a0，4a0，即4a0时，有三个不等实根故选：A【点评】本题以方程为载体，考查方程根问题，考查函数与方程的联系，解题的关键是构造函数，利用导数求函数的极值8（3分）函数yf（x）的导函数yf（x）的图象如图所示，则函数yf（x）的图象可能是（）ABCD【分析】根据导数与函数单调性的关系，当f（x）0时，函数f（x）单调递减，当f（x）0时，函数f（x）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数yf（x）的图象可能【解答】解：由当f（x）0时，函数f（x）单调递
12、减，当f（x）0时，函数f（x）单调递增，则由导函数yf（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选：D【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题9（3分）若函数f（x）x3ax2x+6在（0，1）内单调递减，则a的取值范围是（）Aa1Ba1Ca1D0a1【分析】先求导数，再由“在（0，1）内单调递减”，转化为导数小于或等于零，在（0，1）上恒成立求解【解答】解：函数f（x）x3ax2x+6在（0，1）内单调递减，f（x）3x2
13、2ax10，在（0，1）内恒成立，即：a（3x）在（0，1）内恒成立，令h（x）3x，则它在区间（0，1）上为增函数，h（x）2，a1，故选：A【点评】本题主以及要考查用函数的导数来研究函数的单调性，当为增函数时，导数恒大于或等于零，当为减函数时，导数恒小于或等于零10（3分）若f（x）x2+2f（x）dx，则f（x）dx（）A1BCD1【分析】把定积分项看成常数对两侧积分，化简求解即可【解答】解：令f（x）dxt，对f（x）x2+2f（x）dx，两边积分可得：t+2tdx+2t，解得tf（x）dx，故选：B【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的应用，是基础题11（3分）设直线xt与函数f
14、（x）x2，g（x）lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A1BCD【分析】将两个函数作差，得到函数yf（x）g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值【解答】解：设函数yf（x）g（x）x2lnx，求导数得当时，y0，函数在上为单调减函数，当时，y0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选：D【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+）上x2lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值12（3分）已知定义在（0，）上的函数f（x），f（x）为其导函数，且f（x）f（x）tanx恒成立，则（）Af（）f（）Bf（）f
15、（）Cf（）f（）Df（1）2f（）sin1【分析】把给出的等式变形得到f（x）sinxf（x）cosx0，由此联想构造辅助函数g（x），由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，则g（ ）g（ ）g（1）g（），整理后即可得到答案【解答】解：因为x（0，），所以sinx0，cosx0，由f（x）f（x）tanx，得f（x）cosxf（x）sinx，即f（x）sinxf（x）cosx0令g（x），x（0，），则g（x）0所以函数g（x）在x（0，）上为增函数，则g（）g（ ）g（1）g（），即，对照选项，A应为，C应为f（），D应为f（1）2f（）sin1，B正确故选：B【点评】本题考查了导
16、数的运算法则，考查了利用函数导函数的符号判断函数的单调性，考查了函数构造法，属中档题型二、填空题（每小题4分，共16分）13（4分）已知函数yf（x）的图象在点M（1，f（1）处的切线方程是2x+y10，则f（1）+f（1）3【分析】由导数的几何意义可得f（1）2，再由直线方程可得f（1）1，计算可得所求和【解答】解：函数yf（x）的图象在点M（1，f（1）处的切线方程是2x+y10，可得f（1）1，f（1）2，则f（1）+f（1）123故答案为：3【点评】本题考查导数的几何意义，考查直线方程的运用，考查运算能力，属于基础题14（4分）由曲线yx2与xy2所围成的曲边形的面积为【分析】由题意，
17、可作出两个曲线yx2与xy2的图象，由图象知阴影部分即为所求的面积，本题可用积分求阴影部分的面积，先求出两曲线交点A的坐标，根据曲线确定出被积函数与积分区间0，1，计算出定积分的值，即可出面积曲线y2x，yx2所围成图形的面积【解答】解：作出如图的图象（2分）联立 解得，（5分）即点O（0，0），A（1，1）故所求面积为：（10分）所以所围成图形的面积S故答案为：【点评】本题考查了定积分在求面积中的应用，解题的关键是确定出被积函数与积分区间，熟练掌握积分的运算15（4分）已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a1，a2，a3，a4，点P为四边形内任意一点，且点P到四边的距离分别记为h1，h
18、2，h3，h4，若k，则h1+2h2+3h3+4h4，类比以上性质，体积为V的三棱锥的每个面的面积分别记为S1，S2，S3，S4，此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别记为H1，H2，H3，H4，若K，则H1+2H2+3H3+4H4【分析】根据条件可得到S1K，S22K，S33K，S44K，根据三棱锥的体积公式即可得出，这样便可得出【解答】解：K，S1K，S22K，S33K，S44K，故答案为：【点评】本题考查了三角形的面积公式，三棱锥的体积公式，考查了计算能力，属于基础题16（4分）已知函数f（x）aexx2有两个极值点，则实数a的取值范围是（0，）【分析】求出函数的导数，问题转化为ya和g（
19、x）在R上有2个交点，根据函数的单调性求出g（x）的范围，从而求出a的范围即可【解答】解：f（x）aex2x，若函数f（x）aexx2有两个极值点，则ya和g（x）在R上有2个交点，g（x），x（，1）时，即g（x）0，g（x）递增，x（1，+）时，g（x）0，g（x）递减，故g（x）maxg（1），而0恒成立，所以0a，故答案为：（0，）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题三、解答题（每小题12分，共48分）17（12分）设函数f（x）x3+ax2+bx+20（aR，bR）在x2处取得极值8（1）求a和b的值；（2）求f（x）在1，3上的最小值和
20、最大值【分析】（1）由题意可得f（2）0，f（2）8，联立方程组即可求得a，b；（2）由（1）可求得f（x），f（x），利用导数判断函数的单调性，求出极值与端点值，即可求得函数在x1，3时的最大值、最小值【解答】解：（1）函数f（x）x3+ax2+bx+20，f（x）3x2+2ax+b，函数f（x）x3+ax2+bx+20（aR，bR）在x2处取得极值8，根据题意得：f（2）12+4a+b0，f（2）8+4a+2b+208联立解得a3，b24所以a3，b24（2）由（1）知：f（x）x3+3x224x+20，f（x）3x2+6x243（x+4）（x2），令f（x）0得x2，或x4舍去，x1，3
21、当3x2时，f（x）0，当1x2时，f（x）0，当x2时f（x）取得极小值，f（2）8又f（1）0，f（3）2，所以当x1，3时，f（x）max2，f（x）min8【点评】本题考查函数在某点取得极值的条件及函数在闭区间上的最值求解，属中档题，f（x0）0是可导函数f（x）在x0处取得极值的必要非充分条件是中档题18（12分）已知函数f（x）（1）求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线；（2）求f（x）的单调区间；【分析】第（1）问关键在于能否正确求导；第（2）关键在于构造函数求导判断函数符号【解答】解：（1），f（1）0，函数的切线方程为，即（2）构造函数，则，注意到g（1）0，因此g（x
22、）在（0，1）满足g（x）g（1）0，g（x）在（1，+）满足g（x）g（1）0，因此当0x1时，f（x）0；当x1时，f（x）0；所以f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+）内递减，递增区间为（0，1），递减区间为（1，+）【点评】本题是一道导数综合题，难度中等19（12分）已知函数f（x）ln（x+a）x的最大值为0（1）求a的值；（2）证明：2ln（2n+1）（nN*）【分析】（1）求出原函数的导函数，解得导函数的零点，列当x变化时，f（x），f（x）变化情表，由表格可得f（x）在 x1a处取得最大值，故f（1a）a10，得a1；（2）法一、直接利用数学归纳法证明；法二、由（1）知，
23、当x0时，xln（x+1），令x，kN*，则ln（1+）ln由此即可证明2+ln（2n+1）【解答】（1）解：由f（x）ln（x+a）x，得f（x），由得f（x）0，得x1aa当x变化时，f（x），f（x）变化情况如下：x（a，1a）1a（1a，+）f（x） +0f（x）增极大值减因此，f（x）在 x1a处取得最大值，故f（1a）a10，得a1；（2）证明：法一、当n1时，不等式左边为2，右边为ln3，2ln3，结论成立假设当nk时结论成立，即2+ln（2k+1），那么，当nk+1时，2+ln（2k+1）+要证2+ln（2k+3），需证ln（2k+1）+ln（2k+3），即证由（1）知ln（x
24、+1）x，但取等号的条件是x0，故结论成立由可知，结论对nN*成立法二、由（1）知，当x0时，xln（x+1）令x，kN*，则ln（1+）ln故2+ln3+ln+ln+lnln（2n+1），结论得证【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，训练了利用放缩法与数学归纳法证明函数不等式，属难题20（12分）设函数f（x）ax2alnx，g（x），其中aR，e2.718为自然对数的底数（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明：当x1时，g（x）0；（3）确定a的所有可能取值，使得f（x）g（x）在区间（1，+）内恒成立【分析】（）求导数，分类讨论，即可讨论f（x）的单调性；（）要证g（x）0（x1），即
25、0，即证，也就是证；（）由f（x）g（x），得，设t（x），由题意知，t（x）0在（1，+）内恒成立，再构造函数，求导数，即可确定a的取值范围【解答】（）解：由f（x）ax2alnx，得f（x）2ax（x0），当a0时，f（x）0在（0，+）成立，则f（x）为（0，+）上的减函数；当a0时，由f（x）0，得x，当x（0，）时，f（x）0，当x（，+）时，f（x）0，则f（x）在（0，）上为减函数，在（，+）上为增函数；综上，当a0时，f（x）为（0，+）上的减函数，当a0时，f（x）在（0，）上为减函数，在（，+）上为增函数；（）证明：要证g（x）0（x1），即0，即证，也就是证，令h（x），
26、则h（x），h（x）在（1，+）上单调递增，则h（x）minh（1）e，即当x1时，h（x）e，当x1时，g（x）0；（）解：由f（x）g（x），得，设t（x），由题意知，t（x）0在（1，+）内恒成立，t（1）0，有t（x）2ax0在（1，+）内恒成立，令（x），则（x）2a，当x2时，（x）0，令h（x），h（x），函数在1，2）上单调递增，h（x）minh（1）1e1x0，1x2，（x）0，综上所述，x1，（x）0，（x）在区间（1，+）单调递增，t（x）t（1）0，即t（x）在区间（1，+）单调递增，由2a10，a【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，不等式的证明，考查恒成立成立问题，正确构造函数，求导数是关键
