1、2017-2018学年山西省临汾一中等五校联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知Ax|ylog2（3x2+10x3），By|x2+y24则AB（）A2，3）B2，）C（，2D（，2）2（5分）双曲线的焦点坐标为（）A（0，1）B（1，0）C（0，3）D（3，0）3（5分）已知数列an满足，且a22，则a4（）AB11C12D234（5分）如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于（）A2B3C4D55（5分）下列命题中的假命题是（）A“lgx1”是“x1”的充分不必要条件B函数为
2、奇函数CDkR，直线ykx+1k与圆x2+y24都相交6（5分）设0，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（）ABCD7（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA3sinB，c，且cosC，则a（）AB3CD48（5分）如图，在四棱锥PABCD中，PO平面ABCD，E为线段AP的中点，底面ABCD为菱形，若BD2a，PC4a，则异面直线DE与PC所成角的正弦值为（）ABCD9（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD10（5分）已知F是椭圆C：的左焦点，P为C上的一点，A（1，2），则|PA|+|PF|的最大值为（）A5B9C
3、6D1011（5分）过双曲线1（a0，b0）的焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（）A（1，）B（，）C（，2）D（1，）（，+）12（5分）已知函数，若f（m）g（n）成立，则nm的最小值为（）ABCD二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）幂函数yf（x）的图象经过点（2，8），则f（4） 14（5分）目前北方空气污染越来越严重，某大学组织学生参加环保知识竞赛，从参加学生中抽取40名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图，若从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两
4、人，则他们在同一分数段的概率为 15（5分）直线l：y2x+m与抛物线yx2切于点A，l与y轴的交点为B，且O为原点，则 16（5分）已知点A是抛物线C：x22py（p0）上一点，O为坐标原点，若A，B是以点M（0，8）为圆心，|OA|的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且ABO为等边三角形，则p的值是 三、解答题（本大题共6题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知p：函数f（x）2x2+（4m8）x+5在区间（，1）上是减函数；q：关于x的不等式x24mx+3m0无解如果“pq”为假，“pq”为真，求m的取值范围18（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1
5、中，已知ABAC，AB3，AC4，AA14（1）证明：B1CAC1；（2）若BP1，求二面角PA1CA的余弦值19（12分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，原点为O，过F作倾斜角为的直线l交抛物线C于A，B两点（1）过A点作抛物线准线的垂线，垂足为A，若直线AF的斜率为，且AF4，求抛物线的方程；（2）当直线l的倾斜角为多大时，AB的长度最小20（12分）如图，在四棱锥EABCD中，底面为等腰梯形，且底面与侧面ABE垂直，ABCD，F，G，M分别为线段BE，BC，AD的中点，AECD1，AD2，AB3，且AEAB（1）证明：MF平面CDE；（2）求EG与平面CDE所成角的正弦值21
6、（12分）已知椭圆C：（ab0）经过（0，），且椭圆C的离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率存在的直线l与椭圆C交于P，Q两点，O为坐标原点，OPOQ，且l与圆心为O的定圆W相切直线l：yx+n （n0）与圆W交于M，N两点，G（3，3）求GMN的面积的最大值22（12分）设函数f（x）mlnx（xR），g（x）cosx（1）若函数在（1，+）上单调递增，求m的取值范围；（2）设m0，点P（x0，y0）是曲线yf（x）与yg（x）的一个交点，且这两曲线在点P处的切线互相垂直，证明：存在唯一的实数x0满足题意，且2017-2018学年山西省临汾一中等五校联考高二（上）期末数学试卷（理科）参
7、考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知Ax|ylog2（3x2+10x3），By|x2+y24则AB（）A2，3）B2，）C（，2D（，2）【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出AB【解答】解：Ax|ylog2（3x2+10x3）x|3x2+10x30x|（x3）（3x1）0x|x3（，3），By|x2+y24y|2y22，2；AB（，2故选：C【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题2（5分）双曲线的焦点坐标为（）A（0，1）B（1，0）C（0，3）D（3，0）【分析】直接利用双曲线方程
8、，求出c，写出焦点坐标即可【解答】解：双曲线可得a2，b，则c3，所以双曲线的焦点坐标（3，0）故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查3（5分）已知数列an满足，且a22，则a4（）AB11C12D23【分析】利用数列的递推关系式，转化求解即可【解答】解：数列an满足，且a22，可得，a35，则，解得a411故选：B【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力4（5分）如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于（）A2B3C4D5【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值，并输出相应的n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值
9、的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得：a2，s0，n1，s2，a，满足条件s3，执行循环体，n2，s2+，a，满足条件s3，执行循环体，n3，s+，a，此时，不满足条件s3，退出循环，输出n的值为3故选：B【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题5（5分）下列命题中的假命题是（）A“lgx1”是“x1”的充分不必要条件B函数为奇函数CDkR，直线ykx+1k与圆x2+y24都相交【分析】利用充要条件判断A是正误；减函数的定义判断B的正误；函数的导数判断C的正误；直线与圆的位置关系判断D的正误；【解答】解：“lgx1”可得
10、“x10”，所以“x1”，可得“lgx1”是“x1”的充分不必要条件，正确；函数，满足f（x）lg（ +x）lg（）f（x），所以函数为奇函数，正确；sin（ ）0，所以（sin ）不正确；直线ykx+1k恒过（1，1），而（1，1）在圆x2+y24的内部，所以：kR，直线ykx+1k与圆x2+y24都相交正确故选：C【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查6（5分）设0，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（）ABCD【分析】根据三角函数的图象重合，得到平移长度和周期关系，进行求解即可【解答】解：函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则，故选：A【点评】本题
11、主要考查三角函数图象变换关系，利用图象重合得到周期关系是解决本题的关键7（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA3sinB，c，且cosC，则a（）AB3CD4【分析】根据正弦、余弦定理，即可求得a的值【解答】解：ABC中，若sinA3sinB，则a3b，ba；又c，且cosC，c2a2+b22abcosC，5a2+a22aa，化简得a29，解得a3故选：B【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是基础题8（5分）如图，在四棱锥PABCD中，PO平面ABCD，E为线段AP的中点，底面ABCD为菱形，若BD2a，PC4a，则异面直线DE与PC所成角的正弦值为（）AB
12、CD【分析】由题意，连接EO，O是底面ABCD为菱形的中点，在APC中，EOPC，异面直线DE与PC所成角的平面角为DEO，证明DEO是直角三角形，即可求解正弦值【解答】解：由题意，连接EO，O是底面ABCD为菱形的中点，在APC中，EOPC，异面直线DE与PC所成角的平面角为DEO，PO平面ABCD，底面ABCD为菱形，ACBD，POC是直角三角形，PCBD，则EOBD，那么：DEO是直角三角形，BD2a，PC4a，则ODa，EO2a那么ED故DEO正弦值，即sinDEO故选：B【点评】本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养9（5分）已知一
13、个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD【分析】根据几何体的三视图知该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体，结合图中数据即可求出它的体积【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体，画出直观图如图所示；则几何体的体积为V几何体V三棱柱+V三棱锥2+2故选：C【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题目10（5分）已知F是椭圆C：的左焦点，P为C上的一点，A（1，2），则|PA|+|PF|的最大值为（）A5B9C6D10【分析】涉及|PF|时，一般可以想到椭圆的定义，所以设该椭圆的右焦点为F，则：|PF|+|PF|6，所以|PA|+
14、|PF|6+|PA|PF|这时候可以作出图形，根据图形即可看出|PA|PF|AF|，这样即可求得|PA|PF|的最大值，从而求出|PA|+|PF|的最大值【解答】解：F是椭圆C：的左焦点，如图，设椭圆的右焦点为F，则|PF|+|PF|6；F（2，0），|PF|，|PA|+|PF|PA|+6|PF|6+|PA|PF|；由图形知，当P在直线AF上时，|PA|PF|AF|，|PA|+|PF|的最大值为6+，故选：C【点评】考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点，以及椭圆的定义，以及三角形两边之差小于第三边，及数形结合求最值11（5分）过双曲线1（a0，b0）的焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D
15、为虚轴上的一个端点，且ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（）A（1，）B（，）C（，2）D（1，）（，+）【分析】设出双曲线的左焦点，令xc，代入双曲线的方程，解得A，B的坐标，讨论DAB为钝角，可得0，或ADB为钝角，可得0，运用向量数量积的坐标表示，再由离心率公式和范围，即可得到所求范围【解答】解：设双曲线的左焦点F1（c，0），令xc，可得y，可得A（c，），B（c，），又设D（0，b），可得（c，b），（0，），（c，b），由ABD为钝角三角形，可能DAB为钝角，可得0，即为0（b）0，化为ab，即有a2b2c2a2，可得c22a2，即e，又e1，可得1e，可能ADB中，
16、ADB为钝角，可得0，即为c2（+b）（b）0，化为c44a2c2+2a40，由e，可得e44e2+20，又e1，可得e综上可得，e的范围为（1，）（+）故选：D【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用转化思想，以及向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题12（5分）已知函数，若f（m）g（n）成立，则nm的最小值为（）ABCD【分析】根据g（m）f（n）t得到m，n的关系，利用消元法转化为关于t的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论【解答】解：不妨设g（m）f（n）t，e3m4+lnt，（t0），3m4lnt，m（4+lnt），n2，故nm2（4+ln
17、t），（t0），令h（t）2（4+lnt），（t0），h（t）2，易知h（t）在（0，+）上是增函数，且h（）0，当t时，h（t）0，h（t）递增；当0t时，h（t）0，h（t）递减即当t时，h（t）取得极小值同时也是最小值，此时h（）2（4+ln），即nm的最小值为故选：B【点评】本题主要考查导数的应用，利用换元法转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）幂函数yf（x）的图象经过点（2，8），则f（4）8【分析】设幂函数f（x）x，则由f（x）图象经过点（2，8），可得
18、 （2）8，求得的值，可得函数的解析式，从而求得f（4）的值【解答】解：设幂函数f（x）x，则由f（x）图象经过点（2，8），可得 （2）8，3，故幂函数f（x）x3，f（4）8，故答案为：8【点评】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题14（5分）目前北方空气污染越来越严重，某大学组织学生参加环保知识竞赛，从参加学生中抽取40名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图，若从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，则他们在同一分数段的概率为【分析】求出成绩在80，90）分的学生有4人，成绩在90，100）分的学生有2人，从成绩是80分以上（包括80分）
19、的学生中选两人，基本事件总数n15，他们在同一分数段包含的基本事件个数m，由此能求出他们在同一分数段的概率【解答】解：从参加学生中抽取40名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图，则成绩在80，90）分的学生有：1（0.015+0.025+0.035+0.005）10404人，成绩在90，100）分的学生有：0.00510402人，从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，基本事件总数n15，他们在同一分数段包含的基本事件个数m，则他们在同一分数段的概率为p故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是
20、基础题15（5分）直线l：y2x+m与抛物线yx2切于点A，l与y轴的交点为B，且O为原点，则3【分析】利用切线，求出切点坐标，求出切线方程，然后求解向量的数量积即可【解答】解：由题意可得：，可得x22xm0，因为y2x+m与抛物线yx2切于点A，所以4+4m0，解的m1切线方程为：y2x1，切点坐标A（1，1）l与y轴的交点为B（0，1），（1，2）则123故答案为：3【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力16（5分）已知点A是抛物线C：x22py（p0）上一点，O为坐标原点，若A，B是以点M（0，8）为圆心，|OA|的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且A
21、BO为等边三角形，则p的值是【分析】根据等边三角形性质及MAOA求出A点代入抛物线方程解出p【解答】解：ABO为等边三角形，AOM30，|MA|OA|，|OM|OA|8，A（，4）代入抛物线方程得：8p，解得p故答案为：【点评】本题考查了抛物线的方程，属于基础题三、解答题（本大题共6题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知p：函数f（x）2x2+（4m8）x+5在区间（，1）上是减函数；q：关于x的不等式x24mx+3m0无解如果“pq”为假，“pq”为真，求m的取值范围【分析】求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行转化求解即可【解答】解：若p
22、为真，则对称轴x2m1，即m1若q为真，则16m24（3m）0，即4m2+m30，解得1m，因为“pq”为假，“pq”为真，所以p，q一真一假若p真q假，则，得m1或m1，若q真p假，则，得m无解，综上，所以m1或m1，即m的取值范围是（，1（，1）【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合复合命题真假关系求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键18（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAC，AB3，AC4，AA14（1）证明：B1CAC1；（2）若BP1，求二面角PA1CA的余弦值【分析】（1）证明AC1A1C，A1B1AC1，推出AC1平面A1B1C，然后证
23、明AC1B1C（2）分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴，求出平面PA1C的法向量，平面PA1C的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角PA1CA的余弦值即可【解答】（1）证明：因为四边形AA1C1C是矩形，AA1AC，所以AC1A1C又因为ABAC，ABAA1，所以AB平面AA1C1C因为A1B1AB，所以A1B1平面AA1C1C，A1B1AC1，又A1B1A1CA1，所以AC1平面A1B1C，从而AC1B1C（2）解：分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz因为BP1，所以P（3，0，1），又C（0，4，0），A1（0，0，4），故
24、，设为平面PA1C的法向量，则即，取z1，解得y1，x1，为平面PA1C的一个法向量显然，为平面A1CA的一个法向量则据图可知，二面角PA1CA为锐角，故二面角PA1CA的余弦值为【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查计算能力19（12分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，原点为O，过F作倾斜角为的直线l交抛物线C于A，B两点（1）过A点作抛物线准线的垂线，垂足为A，若直线AF的斜率为，且AF4，求抛物线的方程；（2）当直线l的倾斜角为多大时，AB的长度最小【分析】（1）准线与x轴的交点为M，则由几何性质得转化求解p，得到抛物线方程（2
25、）直线l的方程可设为，由得y22mpyp20，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式，求解即可【解答】解：（1）准线与x轴的交点为M，则由几何性质得AFM60，AF2p，AAF60且AAAF，AAF为等边三角形，得AFAF2p4，抛物线方程为y24x（2），直线l的方程可设为，由得y22mpyp20，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，得，所以，当且仅当等号成立，900【点评】本题考查抛物线的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查计算能力20（12分）如图，在四棱锥EABCD中，底面为等腰梯形，且底面与侧面ABE垂直，ABCD，F，G，M分别为线段BE，BC
26、，AD的中点，AECD1，AD2，AB3，且AEAB（1）证明：MF平面CDE；（2）求EG与平面CDE所成角的正弦值【分析】（1）利用中位线定理证明平面MFG平面CDE，从而得出MF平面CDE；（2）建立空间坐标系，求出平面CDE的法向量和的坐标，从而得出线面角的正弦值【解答】（1）证明：F，G，M分别为线段BE，BC，AD的中点，MGCD，FGCE，又MGFGG，MG平面MFG，FG平面MFG，CD平面CDE，CE平面CDE，平面MFG平面CDE，又MF平面MFG，MF平面CDE（2）解：底面ABCD侧面ABE，AEAB，平面ABCDABEAB，AE平面ABCD，以A为原点，建立如图所示的
27、空间坐标系如图所示：则E（1，0，0），C（0，2，），D（0，1，），G（0，），（0，1，0），（1，1，），（1，），设（x，y，z）为平面CDE的法向量，则，令z1得（，0，1），cos，EG与平面CDE所成角的正弦值为|cos，|【点评】本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，属于中档题21（12分）已知椭圆C：（ab0）经过（0，），且椭圆C的离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率存在的直线l与椭圆C交于P，Q两点，O为坐标原点，OPOQ，且l与圆心为O的定圆W相切直线l：yx+n （n0）与圆W交于M，N两点，G（3，3）求GMN的面积的最大值【分析】（1）根据椭圆的定义和离
28、心率的定义即可求出椭圆C的方程，（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），l的方程为ykx+m，根据韦达定理和0，可得5m2k2+1，再根据点到直线的距离公式分别求出|MN|2，G到直线l的距离为，结合三角形的面积公式和基本不等式即可求出答案【解答】解：（1）椭圆C：（ab0）经过（0，），则b，椭圆C的离心率为，解得a21，椭圆C的方程为x2+4y21；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），l的方程为ykx+m，由，可得（1+k2）x2+8kmx+4m210，则x1+x2，x1x2，4（4m2+4k2+1）0，OPOQ，x1x2+y1y2x1x2+（kx1+m）（kx2+m）（1+k
29、2）x1x2+km（x1+x2）+m2，（1+k2）（4m21）8k2m2+m2（1+4k2）0，整理可得5m2k2+1，O到l的距离d，直线l恒与定圆x2+y2相切，即圆W的方程为x2+y2，又O到直线l的距离d，即n2，且n0，|MN|2，G到直线l的距离为，SGMN2（+），当且仅当，即n2时取等号，GMN的面积的最大值为【点评】本题考查了椭圆的定义和方程以及直线和椭圆的位置关系和基本不等式，属于难题22（12分）设函数f（x）mlnx（xR），g（x）cosx（1）若函数在（1，+）上单调递增，求m的取值范围；（2）设m0，点P（x0，y0）是曲线yf（x）与yg（x）的一个交点，且这
30、两曲线在点P处的切线互相垂直，证明：存在唯一的实数x0满足题意，且【分析】（1）利用函数的导数的符号，求出m的表达式，利用恒成立，转化求解即可（2）推出，g（x）sinx，两曲线在点P处的切线互相垂直，列出方程，点P（x0，y0）是曲线yf（x）与yg（x）的一个交点，推出x0lnx0sinx0cosx00（）当x0（0，1时，（）当x0（1，+）时，通过验证以及函数的单调性，转化证明即可【解答】（1）解：由题意知，所以，由题意，即对x（1，+）恒成立，又当x（1，+）时，所以m1（2）证明：因为，g（x）sinx，所以，即msinx0x0又点P（x0，y0）是曲线yf（x）与yg（x）的一个
31、交点，所以mlnx0cosx0由消去m，得x0lnx0sinx0cosx00（）当x0（0，1时，因为m0所以mlnx00，且cosx00，此与式矛盾所以在（0，1上没有x0适合题意（）当x0（1，+）时，设r（x）xlnxsinxcosx，x（1，+）则r（x）lnx+1cos2x0，即函数r（x）在（1，+）上单调递增，所以函数r（x）在（1，+）上至多有一个零点因为r（1）ln1sin1cos1sin1cos10，且r（x）的图象在（1，+）上不间断，所以函数r（x）在有唯一零点即只有唯一的x0（1，+），使得x0lnx0sinx0cosx00成立，且综上所述，存在唯一的x0（0，+），且【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，函数的单调性的应用考查发现问题解决问题的能力，转化思想的应用
