1、2017-2018学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1（3分）已知命题p：xR，x20，则p是（）AxR，x20Bx0R，x020CxR，x20Dx0R，x0202（3分）椭圆+1的焦距为（）A10B8C6D43（3分）已知（1，m，2），（n，1，2），若，则实数m，n的值分别为（）A1，1B1，1C1，1D1，14（3分）已知平面，a是直线，则“a”是“a”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（3分）抛物线x24y的焦点坐标是（）A（1，0）B（0，1）C（2，0）D（0，2）6（3分）已知
2、（1，0，2）是直线l的一个方向向量，是平面的一个法向量，且l，则不可能是（）A（0，1，0）B（2，0，1）C（2，1，1）D（1，1，2）7（3分）已知双曲线的一个焦点是，其渐近线方程为y2x，则该曲线的标准方程为（）ABCD8（3分）在空间直角坐标系中，O （0，0，0），A（1，0，0），B （0，2，0），C （0，0，c），D （2，d，1），若直线OD平面ABC，则实数c，d的值分别是（）A2，1B2，1C，1D，19（3分）已知命题“x01，2，x022ax0+10”是真命题，则实数a的取值范围为（）A（，1）B（1，+）CD10（3分）已知（1，0，0），（0，1，0），（0
3、，0，1），且m+2+3，若mx（+）+y（+）+z（+），则实数x，y，z的值分别是（）A0，1，2B0，2，1C2，0，1D1，2，011（3分）已知直线ykx+2与双曲线的右支相交于A，B两个不同点，则实数k的取值范围是（）ABCD12（3分）已知直棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABAC，ABAC，点P是侧面ABB1A1内的动点，点P到棱AC的距离等于到平面BCC1B1的距离，则动点P的轨迹是（）A抛物线的一部分B椭圆的一部分C双曲线的一部分D直线的一部分二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共16分.把答案填在题中横线上）13（3分）命题“若x1，则x21”的否命题为
4、14（3分）双曲线x23y23的焦点坐标为 15（3分）在平面直角坐标系xoy中，双曲线的左支与焦点为F的抛物线x22py（p0）交于M，N两点若|MF|+|NF|4|OF|，则该双曲线的离心率为 16（3分）在空间直角坐标系中，O （0，0，0），A（1，0，0），B （0，2，0），C （0，0，3），D（x，y，z），且CD1，则|+|的取值范围是 三、解答题（本大题共3小题，共48分）17（10分）已知命题p：直线yx+m经过第一、第二和第三象限，q：不等式x2+2x+m0在R上恒成立（1）若pq是真命题，求实数m的取值范围；（2）若（p）（q）是假命题，求实数m的取值范围18（10分
5、）如图，三棱锥OABC各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且，记，（1）用向量，表示向量；（2）求DE的最小值19（10分）已知双曲线（a0）的离心率e2，抛物线C的准线经过其左焦点（1）求抛物线C的标准方程及其准线方程；（2）若过抛物线C焦点F的直线l与该抛物线交于A，B两个不同的点，求证：以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切说明：请考生在（A），（B）两小题中任选一题解答20（10分）如图，在四棱锥PABCD中，点E是AD的中点，点F在棱PB上，ADBC，ABAD，PAPD2，BCAD1，AB，PC（1）证明：平面CEF平面PAD；（2）若点F是PB的中点，求直线CP与平
6、面CEF所成角的正弦值21如图，在四棱锥PABCD中，点E是AD的中点，点F在棱PB上，ADBC，ABAD，PAPD2，BCAD1，AB，PC（1）证明：平面CEF平面PAD；（2）设k（0k1），且二面角PCEF的大小为30，求实数k的值说明：考生在（A），（B）两小题中任选一题解答22（12分）已知点F1，F2分别是椭圆C：（ab0）的左，右焦点，点A，B分别是其右顶点和上顶点，椭圆C的离心率e且（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F2的直线l与椭圆C相交于M，N两个不同点，求F1MN面积的最大值23已知点F1，F2分别是椭圆C：1（ab0）的左，右焦点，点A，B分别是其右顶点和上顶点，且1
7、（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F2的直线l与椭圆C相交于M，N两个不同点，求F1MN面积的最大值2017-2018学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1（3分）已知命题p：xR，x20，则p是（）AxR，x20Bx0R，x020CxR，x20Dx0R，x020【分析】直接写出特称命题的否定得答案【解答】解：命题：xR，x20的否定是：x0R，x020故选：D【点评】本题考查特称命题的否定，关键是注意命题否定的格式，是基础题2（3分）椭圆+1的焦距为（）A10B8C6D4【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可【解
8、答】解：椭圆+1，可知a5，b4，则c3，所以椭圆的焦距为6故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力3（3分）已知（1，m，2），（n，1，2），若，则实数m，n的值分别为（）A1，1B1，1C1，1D1，1【分析】由，可得：，解出即可得出【解答】解：，解得1，m1，n1故选：A【点评】本题考查了向量共面定理、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4（3分）已知平面，a是直线，则“a”是“a”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据题意，由直线与平面垂直的性质，结合充分必要条件的定义，分析可得答案【解答】解：根据题意，“a
9、”，又由平面，则有“a”，则“a”是“a”的充分条件，反之，若“a”，又由平面，则有“a”，则“a”是“a”的必要条件，则“a”是“a”的充要条件；故选：C【点评】本题考查充分必要条件的判定，涉及直线与平面垂直的性质，属于基础题5（3分）抛物线x24y的焦点坐标是（）A（1，0）B（0，1）C（2，0）D（0，2）【分析】把抛物线方程化成标准方程，根据抛物线的焦点坐标公式得出焦点坐标【解答】解：把抛物线方程化为标准方程为：x24y，抛物线的焦点在y轴的正半轴，p2，抛物线的焦点坐标为（0，1）故选：B【点评】本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题6（3分）已知（1，0，2）是直线l的一个方向向
10、量，是平面的一个法向量，且l，则不可能是（）A（0，1，0）B（2，0，1）C（2，1，1）D（1，1，2）【分析】由题意可得0，即可判断关系【解答】解：设（x，y，z），（1，0，2）是直线l的一个方向向量，是平面的一个法向量，且l，0，x+2z0，x2z，对于D中不满足，故选：D【点评】本题考查了法向量的应用、数量积运算性质、空间线面位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（3分）已知双曲线的一个焦点是，其渐近线方程为y2x，则该曲线的标准方程为（）ABCD【分析】根据双曲线的渐近线方程，利用待定系数法进行求解即可【解答】解：双曲线的渐近线方程为y2x，对应的双曲线方程为x2，0，
11、双曲线的一个焦点是，c5，且0，则，则a2，b24，则c2+455，则1，即双曲线的方程为：x21，故选：A【点评】本题主要考查双曲线方程的求解，根据双曲线渐近线方程设出渐近线方程，利用待定系数法进行求解是解决本题的关键8（3分）在空间直角坐标系中，O （0，0，0），A（1，0，0），B （0，2，0），C （0，0，c），D （2，d，1），若直线OD平面ABC，则实数c，d的值分别是（）A2，1B2，1C，1D，1【分析】求出（2，d，1），（1，2，0），（1，0，c），由直线OD平面ABC，列出方程组，能求出实数c，d的值【解答】解：在空间直角坐标系中，O （0，0，0），A（1，0
12、，0），B （0，2，0），C （0，0，c），D （2，d，1），（2，d，1），（1，2，0），（1，0，c），解得c2，d1故选：B【点评】本题考查实数值的求法，考查线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想，是基础题9（3分）已知命题“x01，2，x022ax0+10”是真命题，则实数a的取值范围为（）A（，1）B（1，+）CD【分析】由题意可得2ax0+在1，2的最大值，运用对勾函数的单调性可得最大值，即可得到所求a的范围【解答】解：命题“x01，2，x022ax0+10”是真命题，即有2ax0+在1，2的最大值，由x0+在1，2递增，可得x02取得
13、最大值，则2a，可得a，故选：C【点评】本题考查存在性命题的真假问题解法，注意运用分离参数，运用对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题10（3分）已知（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），且m+2+3，若mx（+）+y（+）+z（+），则实数x，y，z的值分别是（）A0，1，2B0，2，1C2，0，1D1，2，0【分析】利用向量坐标运算性质、向量相等即可得出【解答】解：x（+）+y（+）+z（+）（x+z）+（x+y）+（y+z）+2+3，解得x0，y2，z1，故选：B【点评】本题考查了向量坐标运算性质、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题11（3分）已知直线ykx+2
14、与双曲线的右支相交于A，B两个不同点，则实数k的取值范围是（）ABCD【分析】根据双曲线的方程求得渐近线方程，把直线与双曲线方程联立消去y，利用判别式大于0和k联立求得k的范围【解答】解：双曲线的渐近线方程为yx，由ykx+2与双曲线，消去y可得（34k2）x216kx280，ykx+2与双曲线右支交于不同的两点，k，故选：D【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题12（3分）已知直棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABAC，ABAC，点P是侧面ABB1A1内的动点，点P到棱AC的距离等于到平面BCC1B1的距离，则动点P的轨迹是（）A抛物线
15、的一部分B椭圆的一部分C双曲线的一部分D直线的一部分【分析】建立空间直角坐标系，设出P的坐标，利用已知条件列出方程，求解即可【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，设P（x，y，z），设AB1，则AC1，点P到平面BCC1B1的距离：，点P到棱AC的距离：，点P到棱AC的距离等于到平面BCC1B1的距离，可得，化简可得：x2+2x+2z21，即，轨迹是椭圆的一部分故选：B【点评】本题考查空间图象的应用，轨迹方程的求法与判断，是难题二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共16分.把答案填在题中横线上）13（3分）命题“若x1，则x21”的否命题为“若x1，则x21”【分析】根据否命题的定义，
16、结合已知中的原命题，可得答案【解答】解：命题“若x1，则x21”的否命题为“若x1，则x21”，故答案为：“若x1，则x21”【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题14（3分）双曲线x23y23的焦点坐标为（2，0）【分析】化简双曲线方程为标准方程，然后求解焦点坐标即可【解答】解：双曲线x23y23的标准方程为：，可得a，b1，则c2，所以双曲线的焦点坐标（2，0）故答案为：（2，0）【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查15（3分）在平面直角坐标系xoy中，双曲线的左支与焦点为F的抛物线x22py（p0）交于M，N两点若|MF|+|NF|4|OF|，则该双
17、曲线的离心率为【分析】把x22py（p0）代入双曲线，可得：a2y22pb2y+a2b20，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出【解答】解：把x22py（p0）代入双曲线，可得：a2y22pb2y+a2b20，yA+yB，|AF|+|BF|4|OF|，yA+yB+24，p，即该双曲线的离心率为：e故答案为：【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（3分）在空间直角坐标系中，O （0，0，0），A（1，0，0），B （0，2，0），C （0，0，3），D（x，y，z），且CD1，则|+|的取值范围是
18、1，+1【分析】先用空间向量坐标运算出|+|，再利用点到平面的距离小于等于以C为球心，1为半径列出不等式可以求出【解答】解：在空间直角坐标系中，O （0，0，0），A（1，0，0），B （0，2，0），C （0，0，3），D（x，y，z），且CD1，x2+y2+（z3）21，x2+y2+z26z8（x+1，y+2，z），|+|令t2x+4y+6z3，则平面2x+4y+6z3t0与球x2+y2+（z3）21有公共点，所以球心（0，0，3）到平面2x+4y+6z3t0的距离小于等于球的半径，1，解得 152t15+2，（1）2t（+1）2，|+|1，+1，故答案为：1，+1【点评】本题考查了空间向
19、量坐标运算、空间点到平面距离公式属中档题三、解答题（本大题共3小题，共48分）17（10分）已知命题p：直线yx+m经过第一、第二和第三象限，q：不等式x2+2x+m0在R上恒成立（1）若pq是真命题，求实数m的取值范围；（2）若（p）（q）是假命题，求实数m的取值范围【分析】分别求出p、q为真命题的m的范围（1）由pq是真命题，可知p或q至少一个为真命题，取并集得答案；（2）由（p）（q）是假命题，可知p与q均为真命题，取交集得答案【解答】解：若p为真命题，则m0；若q为真命题，则44m0，即m1（1）若pq是真命题，则m的取值范围是m0；（2）若（p）（q）是假命题，则p与q均为假命题，即
20、p与q均为真命题，则实数m的取值范围是m1【点评】本题考查复合命题的真假判断，考查一元二次不等式的解集与判别式的关系，是基础题18（10分）如图，三棱锥OABC各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且，记，（1）用向量，表示向量；（2）求DE的最小值【分析】（1）根据题意，根据题意，连接OD，CD，由空间向量的运算方法可得（+），即可得答案；（2）根据题意，由正三棱锥的几何结构分析可得|OD|，且cosDOE，由空间向量的运算法则可得|2|2，变形可得|22+，由二次函数的性质分析可得答案【解答】解：（1）根据题意，连接OD，CD，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且，记，（
21、+），（2）根据题意，点D是棱AB的中点，则|OD|，且cosDOE，|2|222+2（）221cosDOE+2+（）2+，则当时，|2取得最小值，则|的最小值为【点评】本题考查空间向量的计算，涉及空间向量模的计算，属于基础题19（10分）已知双曲线（a0）的离心率e2，抛物线C的准线经过其左焦点（1）求抛物线C的标准方程及其准线方程；（2）若过抛物线C焦点F的直线l与该抛物线交于A，B两个不同的点，求证：以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切【分析】（1）运用双曲线的离心率公式，解方程可得a，可得双曲线的左焦点，即有抛物线的准线方程和抛物线的标准方程；（2）设直线AB的方程为xmy+2，代入抛
22、物线方程可得y28my160，设A（，y1），B（，y2），运用韦达定理和抛物线的定义和弦长公式，结合直线和圆相切的条件：dr，即可得证【解答】解：（1）双曲线（a0）的离心率e2，可得2，解得a1，可得双曲线的方程为x21，抛物线C的准线经过其左焦点（2，0），即抛物线的准线方程为x2，焦点为（2，0），则抛物线的方程为y28x，准线为x2；（2）证明：设直线AB的方程为xmy+2，代入抛物线方程可得y28my160，设A（，y1），B（，y2），则y1+y28m，y1y216，可得AB的中点M的横坐标为（y12+y22）（y1+y2）2y1y24m2+2，则M到准线的距离为4m2+4，|A
23、B|+4+4+48m2+8，可得M到准线的距离为|AB|，即以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切【点评】本题考查双曲线、抛物线的定义、方程和性质，考查离心率公式和准线方程的求法，运用定义法和联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理是解题的关键，属于中档题说明：请考生在（A），（B）两小题中任选一题解答20（10分）如图，在四棱锥PABCD中，点E是AD的中点，点F在棱PB上，ADBC，ABAD，PAPD2，BCAD1，AB，PC（1）证明：平面CEF平面PAD；（2）若点F是PB的中点，求直线CP与平面CEF所成角的正弦值【分析】（1）根据ADBC，ABAD，BCAD1，可得ABCE是矩形，EC
24、AD，可得平面CEF平面PAD（2）由PAPD2，点E是AD的中点，得到ECPE，以E为坐标原点，向量，的方向为x轴，y轴，z轴的正方形建立如图所示的空间直角坐标系Axyz利用向量法即可求解直线CP与平面CEF所成角的正弦值【解答】（1）证明：BCAE，E为AD中点，BCADAE，四边形ABCE为矩形，CEAD，CEAD，PE，PC，PE2+EC2PC2，PEEC，CE平面PAD，又CE平面CEF，平面CEF平面PAD（2）解：以E为坐标原点，向量，的方向为x轴，y轴，z轴的正方形建立如图所示的空间直角坐标系AxyzE（0，0，0），P（0，0，），C（0，0），B（1，0），F（，）（0，0
25、），（，）.（0，）设平面CEF的法向量为（x，y，z），即，令x，可得：，平面CEF的法向量为（，0，1），设直线CP与平面CEF所成角为，则sin|故得直线CP与平面CEF所成角的正弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养21如图，在四棱锥PABCD中，点E是AD的中点，点F在棱PB上，ADBC，ABAD，PAPD2，BCAD1，AB，PC（1）证明：平面CEF平面PAD；（2）设k（0k1），且二面角PCEF的大小为30，求实数k的值【分析】（1）根据ADBC，ABAD，BCAD1，可得ABCE是矩形，ECAD，可得
26、平面CEF平面PAD（2）由PAPD2，点E是AD的中点，PAAD，ECAD，PAEC，以E为坐标原点，向量，的方向为x轴，y轴，z轴的正方形建立如图所示的空间直角坐标系Axyz利用向量法即可求解直线CP与平面CEF所成角的正弦值【解答】（1）证明：BCAE，E为AD中点，BCADAE，四边形ABCE为矩形，CEAD，CEAD，PE，PC，PE2+EC2PC2，PEEC，CE平面PAD，又CE平面CEF，平面CEF平面PAD（2）解：由（1）可得PAAD，ECAD，PAEC，以E为坐标原点，向量，的方向为x轴，y轴，z轴的正方形建立如图所示的空间直角坐标系AxyzE（0，0，0），P（0，0，
27、），C（0，0），B（1，0），设F（x，y，z），则（x，y，z），（1，），可得：xk，y，z，即F（k，），设平面CEF的法向量为（p，q，r），（k，），（k，），即，令r，则q0，p，即（，0，），PCE的法向量为（1，0，0），二面角PCEF的大小为30，即cos30|，解得：k，故得实数k的值为【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题说明：考生在（A），（B）两小题中任选一题解答22（12分）已知点F1，F2分别是椭圆C：（ab0）的左，右焦点，点A，B分别是其右顶点和上顶点，椭圆C的离心率e且（1）求椭圆
28、C的方程；（2）若过点F2的直线l与椭圆C相交于M，N两个不同点，求F1MN面积的最大值【分析】（1）由椭圆的离心率得到a2c，于是得到，利用向量数量积的坐标运算得到c1，从而得出a、b的值，进而求出椭圆C的方程；（2）设直线l的方程为xmy+1，将直线l与椭圆C的方程联立，消去x，列出韦达定理得出F1MN的面积为，并令，转化为t的函数，利用函数的单调性求出面积的最大值【解答】解：（1）设椭圆C的焦距为2c（c0），椭圆C的离心率为e，所以，a2c，则点F2（c，0）、A（2c，0）、，所以，则，得c1，所以，a2c2，因此，椭圆C的方程为；（2）易知点F2（1，0），设直线l的方程为xmy+
29、1，设点M（x1，y1）、N（x2，y2），将直线l的方程与椭圆C的方程联立得，消去x并化简得（3m2+4）y2+6my90，36m2+49（3m2+4）144（m2+1），由韦达定理可得，所以，F1MN的面积为，令，则f（f（，由双勾函数的单调性可知，函数在t1，+）上单调递增，所以，函数在t1，+）上单调递减，所以，当t1时，函数yf（t）取得最大值，且最大值为因此，F1MN面积的最大值为3【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，解决本题的关键在于灵活利用韦达定理进行化简，属于难题23已知点F1，F2分别是椭圆C：1（ab0）的左，右焦点，点A，B分别是其右顶点和上顶点，且1（1）求椭圆C的
30、方程；（2）若过点F2的直线l与椭圆C相交于M，N两个不同点，求F1MN面积的最大值【分析】（1）由三角形的面积可得（ac）b，于是得到利用向量数量积的坐标运算得到ac+c21，再根据a2b2+c2，从而得出a、b的值，进而求出椭圆C的方程；（2）设直线l的方程为xmy+1，将直线l与椭圆C的方程联立，消去x，列出韦达定理得出F1MN的面积为，利用函数的单调性求出面积的最小值【解答】解：（1）由题意可知，F2（c，0），A（a，0），B（0，b），（ac，0），（c，b），ac+c21，（ac）b，又a2b2+c2，由解得a2，b，c1，椭圆C的方程为+1，（2）由（1）可得F2（1，0），由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l为xmy+1，由，可得（3m2+4）y2+6my90，36m24（9）（3m2+4）144m2+1440，设M（x1，y1），N（x2，y2），y1+y2，y1y2，|y1y2|4，又m2+11，当且仅当m2+11时，即m0时，|y1y2|max3，F1MN面积的S|F1F2|y1y2|233，故F1MN面积的最大值为3【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，解决本题的关键在于灵活利用韦达定理进行化简，属于难题
