1、2017-2018学年山西省运城市新绛县高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本题包括12个小题，每小题5分，共60分)1（5分）直线x+y+10的倾斜角为（）A30B45C120D1352（5分）已知命题q：x0R，x020，则命题q的否定为（）AxR，x20BxR，x20CxR，x20DxR，x203（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为yx，其焦点在x轴上，虚轴长为2，则该双曲线的焦距为（）A1B2C2D44（5分）若函数f（x）asinx+f（0）x+3x，则a等于（）A3B3C2D25（5分）“m0，n0”是“方程mx2+ny21”表示椭圆的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充
2、要条件D既不充分也不必要条件6（5分）已知函数f（x）x2+x2lnx，则f（x）的单调增区间是（）A（0，+）B（1，+）C（2，+）D（e，+）7（5分）已知圆（x1）2+y21与圆（x2）2+（y1）2r2（r0）无公切线，则r的取值范围为（）A（0，1）B（，+）C（0，）D（，+）8（5分）已知p：1，q：对于任意的xR，mx2+2mx+10恒成立，p成立是q成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件9（5分）设E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DC上两点，且AB2，EF1，给出下列四个命题：三棱锥D1B1EF的体积为定值；异面直线D1B1
3、与EF所成的角为45；D1B1平面B1EF；直线D1B1与平面B1EF所成的角为60其中正确的命题为（）ABCD10（5分）P为双曲线C：1（a，b0）右支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，|PF1|2|PF2|，PF1PF2，则C的离心率为（）ABCD11（5分）抛物线C：yx2与直线y2x相交于A，B两点，P（x，y）为C上的动点，且满足2xy0，则PAB面积的最大值为（）A1BC2D212（5分）已知函数f（x）x2ex+ta，x1，1，若对任意的t1，3，该方程f（x）0总存在唯一的实数解，则实数a的取值范围是（）A（2，e+1B（，e+1C1+，eD（1，e二、填空题（本题包括
4、4个小题，每小题5分，共20分)13（5分）曲线y2ex在点（0，1）处的切线方程是 14（5分）若函数f（x）x2alnx在区间1，2上递增，则实数a的取值范围是 15（5分）如图，网格中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为 16（5分）已知抛物线C：y2x与直线相交于A，B两点，则（O为坐标原点）的最小值为 三、解答题（本题包括6个小题，共70分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知m0，设p：指数函数y（13m）x在实数集R上为减函数，q：x1，2，使得不等式x2mx1恒成立若p是真命题，且q是假命题，求m的取值范围18（12
5、分）已知圆C过点O（0，0），A（6，0），B（0，8）（1）求圆C的方程；（2）若P为圆C上的动点，求PAB面积的最大值19（12分）已知函数f（x）ax1+lnx（aR）（1）若曲线yf（x）在点A（1，f（1）处的切线方程为3xyb0，求a，b；（2）求函数f（x）的极值20（12分）直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，四边形BCC1B1是边长为2的正方形，D为侧棱AA1的中点（1）若AC3，求几何体DBCC1B1的体积；（2）若平面DB1C1平面DBC，求AC的长21（12分）已知椭圆C：1（ab0）过点P（2，1），且C的离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）过点Q（2，0）的直
6、线l与C相交于A，B两点，且3，求l的方程22（12分）已知函数（1）当x2时，证明：f（x）0；（2）若f（x）4a（a2）对于任意的x（a+2，+）恒成立，求a的取值范围2017-2018学年山西省运城市新绛县高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题包括12个小题，每小题5分，共60分)1（5分）直线x+y+10的倾斜角为（）A30B45C120D135【分析】根据直线的斜率k1，利用倾斜角的公式即可算出所求直线的倾斜角【解答】解：直线x+y+10的k1设直线的倾斜角为，则tan1结合0，），可得135故选：D【点评】本题给出直线的方程，求直线的倾斜角着重考查了直线
7、的基本量与基本形式等知识，属于基础题2（5分）已知命题q：x0R，x020，则命题q的否定为（）AxR，x20BxR，x20CxR，x20DxR，x20【分析】直接写出特称命题的否定得答案【解答】解：命题q：x0R，x020的否定为：xR，x20故选：A【点评】本题考查特称命题的否定，是基础题3（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为yx，其焦点在x轴上，虚轴长为2，则该双曲线的焦距为（）A1B2C2D4【分析】设双曲线方程为1（a0，b0），求得渐近线方程，结合条件可得b1，a，由a，b，c的关系可得c，即有焦距2c【解答】解：设双曲线方程为1（a0，b0），可得渐近线方程为yx，由题意可得b1
8、，a，c2，焦距为2c4故选：D【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和应用，考查运算能力，属于基础题4（5分）若函数f（x）asinx+f（0）x+3x，则a等于（）A3B3C2D2【分析】根据题意，由函数的导数计算公式可得f（x）acosx+f（0）+3，令x0可得，f（0）a+f（0）+3，变形可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）acosx+f（0）+3，令x0可得：f（0）acos0+f（0）+3，变形可得：f（0）a+f（0）+3，解可得：a3；故选：A【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题5（5分）“m0，n0”是“方程mx2+ny21
9、”表示椭圆的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据椭圆的标准方程形式确定m，n的关系，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：m0，n0，mn时，方程mx2+ny21”表示圆，不是充分条件，方程mx2+ny21”表示椭圆，则m0，n0，是必要条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，要求掌握椭圆的标准方程6（5分）已知函数f（x）x2+x2lnx，则f（x）的单调增区间是（）A（0，+）B（1，+）C（2，+）D（e，+）【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可【解答】解：f（x）的定义域是（0
10、，+），f（x）x+1，令f（x）0，解得：x1，故f（x）在（1，+）递增，故选：B【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道常规题7（5分）已知圆（x1）2+y21与圆（x2）2+（y1）2r2（r0）无公切线，则r的取值范围为（）A（0，1）B（，+）C（0，）D（，+）【分析】由题意画出图形，数形结合得答案【解答】解：（x1）2+y21是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，（x2）2+（y1）2r2是以（2，1）为圆心，以r为半径的圆，要使两圆无公切线，则利用内含如图：两圆的圆心距为，r的取值范围为（，+）故选：D【点评】本题考查两圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思
11、想方法，是中档题8（5分）已知p：1，q：对于任意的xR，mx2+2mx+10恒成立，p成立是q成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】首先正确转化p、q，然后根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：p：0m1，q：或m0，或m0，0m1，pq，q推不出p，p成立是q成立的充分不必要条件故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键9（5分）设E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DC上两点，且AB2，EF1，给出下列四个命题：三棱锥D1B1EF的体积为定值；异面直线D1B1与EF
12、所成的角为45；D1B1平面B1EF；直线D1B1与平面B1EF所成的角为60其中正确的命题为（）ABCD【分析】根据题意画出图形，结合图形求出三棱锥D1B1EF的体积为定值；求得异面直线D1B1与EF所成的角为45；判断D1B1与平面B1EF不垂直；直线D1B1与平面B1EF所成的角是为30【解答】解：如图所示，三棱锥D1B1EF的体积为VB1C1221为定值，正确；EFD1C1，B1D1C1是异面直线D1B1与EF所成的角，为45，正确；D1B1与EF不垂直，由此知D1B1与平面B1EF不垂直，错误；在三棱锥D1B1DC中，设D1到平面DCB1的距离为h，V，即有22222h，解得h，直线
13、D1B1与平面B1EF所成的角的正弦为，即所成角为30，错误综上，正确的命题序号是故选：C【点评】本题考查了空间中的直线与平面之间的位置关系应用问题，是中档题10（5分）P为双曲线C：1（a，b0）右支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，|PF1|2|PF2|，PF1PF2，则C的离心率为（）ABCD【分析】设|PF1|2|PF2|2m，可得|F1F2|，PF1PF22am即C的离心率为e【解答】解：如图，设|PF1|2|PF2|2m，PF1PF2，|F1F2|PF1PF22amC的离心率为e故选：C【点评】本题考查了双曲线的离心率，属于中档题11（5分）抛物线C：yx2与直线y2x相交于
14、A，B两点，P（x，y）为C上的动点，且满足2xy0，则PAB面积的最大值为（）A1BC2D2【分析】依题意得，当过点P的切线与y2x平行时，P到AB的距离最大，此时PAB的面积最大【解答】解：依题意得，当过点P的切线与y2x平行时，P到AB的距离最大，此时PAB的面积最大设P（x0，y0），因为y2x，所以切线的斜率k2x0，2x02 x01，P（1，1），则P到y2x的距离为d，由得A（0，0），B（2，4），|AB|2，SPABd|AB|1，故选：A【点评】本题考查了直线与抛物线的综合，属中档题12（5分）已知函数f（x）x2ex+ta，x1，1，若对任意的t1，3，该方程f（x）0总存
15、在唯一的实数解，则实数a的取值范围是（）A（2，e+1B（，e+1C1+，eD（1，e【分析】本题考查了方程与函数的关系，将方程问题转化为函数问题解决，然后构造函数，利用导数研究函数的单调性及图象，参考图象后利用恒成立问题最值法处理即可设f（x）x2ex，x1，1，由导函数可得：yf（x）在（1，0）上为减函数，在（0，1）上为增函数，作直线yat，当直线与yf（x）的图象只有一个交点时，有，又a3ata1，在t1，3恒成立，用最值法求解即可，【解答】解：设f（x）x2ex，x1，1，则f（x）x（x+2）ex，当1x0时，f（x）0，当0x1时，f（x）0，即yf（x）在（1，0）上为减函数
16、，在（0，1）上为增函数，又f（1），f（1）e，f（0）0，作直线yat，当直线与yf（x）的图象只有一个交点时，又对任意的t1，3，又a3ata1，所以，所以3+，故选：B【点评】本题考查了函数的零点与方程的根，同时考查了导数的综合应用，属难度较大的题型二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分)13（5分）曲线y2ex在点（0，1）处的切线方程是yx+1【分析】根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，结合直线的点斜式方程即可得直线的方程，即可得答案【解答】解：根据题意，曲线y2ex，其导数yex，则有y|x0e01，则切线的斜率k1，则切线的方程为y1（x0），
17、即yx+1；故答案为：yx+1【点评】本题考查利用导数分析曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题14（5分）若函数f（x）x2alnx在区间1，2上递增，则实数a的取值范围是a1【分析】函数f（x）x2alnx在区间1，2上递增转化为f（x）0在1，2上恒成立，分离参数a，可得ax2在1，2上恒成立，利用单调性即可求出实数a的取值范围【解答】解：f（x）x2alnx在区间1，2上递增，f（x）x0在1，2上恒成立，也就是ax2在1，2上恒成立，函数yx21，a1即实数a的取值范围是a1故答案为：a1【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题的求解方法，是中档题15（
18、5分）如图，网格中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为12【分析】判断几何体的形状，求出几何体的外接球的半径，即可求解几何体外接球的表面积【解答】解：由三视图可知几何体的直观图如图：黑线与虚线组成的几何体，几何体可以补成正方体，正方体的棱长为2，外接球的半径为：，该几何体外接球的表面积为：12故答案为：12【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养判断几何体的形状是解题的难点也是关键点16（5分）已知抛物线C：y2x与直线相交于A，B两点，则（O为坐标原点）的最小值为【分析】设直线方程，联立抛物线方程，利用根与系
19、数解决数量积需要的数据，只是注意设方程灵活一些，可有效简化解题过程【解答】解：设直线的方程为：xmy+n，A（x1，y1），B（x2，y2）代入y2x，得y2myn0，y1y2n，x1x2+y1y2（y1y2）2+y1y2n2n（n）2故答案为：【点评】此题考查了数量积，直线与抛物线，二次函数最值等，难度不大三、解答题（本题包括6个小题，共70分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知m0，设p：指数函数y（13m）x在实数集R上为减函数，q：x1，2，使得不等式x2mx1恒成立若p是真命题，且q是假命题，求m的取值范围【分析】分别求出使p，q为真命题的m的范围，再求出q为
20、假命题的m的范围，取交集得答案【解答】解：由p是真命题，得013m1，即0m；由q是真命题，即：x1，2，使得不等式x2mx1恒成立，得：x1，2，mx，则mq是假命题的m的范围为m则p是真命题，且q是假命题的m的取值范围是0m【点评】本题考查复合命题的真假判断，考查指数函数的单调性与恒成立问题的解法，是基础题18（12分）已知圆C过点O（0，0），A（6，0），B（0，8）（1）求圆C的方程；（2）若P为圆C上的动点，求PAB面积的最大值【分析】（1）由已知条件可得，|OA|6，|OB|8，|AB|10，进一步得到RtOAB的外接圆即为圆C，圆心为斜边AB的中点（3，4），半径为5，代入圆C
21、的方程可得答案；（2）AB的方程为4x+3y240，由AB过圆心，可得|AB|10，当P到直线的距离为5时，PAB面积最大，再由三角形面积公式求解即可【解答】解：（1）圆C过点O（0，0），A（6，0），B（0，8），|OA|6，|OB|8，|AB|10，RtOAB的外接圆即为圆C，圆心为斜边AB的中点（3，4），半径为5圆C的方程为（x3）2+（y4）225；（2）AB的方程为4x+3y240，AB过圆心，|AB|10，当P到直线的距离为5时，PAB面积最大，【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的标准方程，是中档题19（12分）已知函数f（x）ax1+lnx（aR）（1）若曲线yf（x
22、）在点A（1，f（1）处的切线方程为3xyb0，求a，b；（2）求函数f（x）的极值【分析】（1）根据题意，分析函数的定义域，求出函数的导数，由导数的几何意义可得f（1）a+13，f（1）a13b，解可得a、b的值，（2）根据题意，求出函数f（x）的导数，分a0与a0两种情况讨论函数的极值，综合即可得答案【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）ax1+lnx，其定义域为（0，+），其导数f（x）a+，则f（1）a+1，若曲线yf（x）在点A（1，f（1）处的切线方程为3xy60，则f（1）a+13，f（1）a13b，解可得：a2，b2，（2）函数f（x）ax1+lnx，其导数f（x）a+，（x
23、0），分2种情况讨论：，当a0时，f（x）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增，无极值；，当a0时，f（x）a+0，可得x，则有在区间（0，）上，f（x）0，函数f（x）为增函数，在区间（，+）上，f（x）0，函数f（x）为减函数，则函数f（x）在x处取得极大值，且其极大值为f（）2ln（a），无极小值，综合可得：当a0时，函数f（x）无极值，当a0时，函数f（x）在x处取得极大值f（）2ln（a），无极小值【点评】本题考查利用导数分析函数的极值以及切线方程的计算，涉及参数的讨论，属于综合题20（12分）直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，四边形BCC1B1是边长为2的正方形，D为侧棱
24、AA1的中点（1）若AC3，求几何体DBCC1B1的体积；（2）若平面DB1C1平面DBC，求AC的长【分析】（1）点D到平面BCC1B1的距离等于AC的长，由此能求出几何体DBCC1B1的体积（2）由BCC1D，只要C1DDC，则平面DB1C1平面DBC，只要C1DC为等腰直角三角形即可，当平面DB1C1平面DBC时，AC1【解答】解：（1）几何体DBCC1B1是四棱锥，其底面是正方形，点D到平面BCC1B1的距离等于AC的长，几何体DBCC1B1的体积：4（2）BC平面CDC1，BCC1D，只要C1DDC，则平面DB1C1平面DBC，只要C1DC为等腰直角三角形即可，CC12，AC1，当平
25、面DB1C1平面DBC时，AC1【点评】本题考查三棱锥体积的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21（12分）已知椭圆C：1（ab0）过点P（2，1），且C的离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）过点Q（2，0）的直线l与C相交于A，B两点，且3，求l的方程【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得直线l的方程【解答】解：（1）由已知可得，解得a28，b22，椭圆C的方程为+1，（2）当l为
26、x轴时，可验证，符合题意当l不为x轴时，设直线l的方程为：xmy+2，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程可得，整理得（m2+4）y2+4my40，则y1+y2，y1y2，x1+x2m（y1+y2）+4，x1x2m2y1y2+2m（y1+y2）+4，由（x1+2，y11）（x2+2，y21）x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2（y1+y2）+1（m2+1）y1y2+（4m1）（y1+y2）+17（m2+1）（4m1）+173解得：m19，直线l的方程为：x+19y20或y0【点评】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查转化思想，属于中档题2
27、2（12分）已知函数（1）当x2时，证明：f（x）0；（2）若f（x）4a（a2）对于任意的x（a+2，+）恒成立，求a的取值范围【分析】（1）求出导函数，通过当x2时，f（x）0，f（x）单调递减，推出结果即可（2）设，则，利用函数的单调性求解函数的最大值，转化求解即可【解答】（1）证明：，（1分）当x2时，f（x）0，f（x）单调递减（2分）f（x）f（2）ln210（3分）（2）解：设，则，当0x2时，g（x）0，g（x）单调递增；当x2时，g（x）0，g（x）单调递减；所以，g（x）maxg（2）ln214a（5分）当0a+22，即2a0时，ln214a0，（8分）当a+22时，即a0，g（x）在（a+2，+）上单调递减，由（1）知，又4a0，g（x）0故当a0时，f（x）4a（a2）对于任意的x（a+2，+）恒成立（11分）综上，a的取值范围为（12分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思想的应用
