1、2017-2018学年山西省运城市盐湖区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）在空间直角坐标系中，点（2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为（）A（2，1，4）B（2，1，4）C（2，1，4）D（2，1，4）2（5分）双曲线1的离心率是（）ABCD3（5分）命题“x0R，x5+3x10”的否定是（）AxR，x5+3x10Bx0R，x5+3x10Cx0R，x5+3x10D不存在xR，x5+3x104（5分）已知直线m，n和平面，如果n，那么“mn”是“m”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条
2、件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5（5分）已知空间四边形OABC，其对角线OB、AC，M、N分别是边OA、CB的中点，点G在线段MN上，且使MG2GN，用向量，表示向量 是（）ABCD6（5分）给出下列命题：已知a，bR，“a1且b1”是“ab1”的充分条件；已知平面向量，|1，|1“是“|+|1”的必要不充分条件；已知a，bR，“a2+b21”是“|a|+|b|1”的充分不必要条件；命题P：“x0R，使且lnx0x01”的否定为p：“xR，都有exx+1且lnxx1”其中正确命题的个数是（）A0B1C2D37（5分）若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有+，则P，A，B，C四点（）
3、A不共面B共面C共线D不共线8（5分）已知双曲线1（a0，b0），过原点的一条直线与双曲线交于A，B两点，点F为双曲线的右焦点，且满足AFBF，设ABF，则该双曲线离心率e的值为（）A2BC2D9（5分）对于直线m，n和平面，则的一个充分条件是（）A.m，n，m，nBmn，m，nCmn，m，nDmn，m，n10（5分）已知直线l1：4x3y+60和直线l2：x2，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A2B3CD11（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，），C（0，2，0），D（1，1，）若S1，S2，S3分别是三棱锥DABC在xO
4、y，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积则（）AS1S2S3BS1S2S3CS1S2S3DS1S2S312（5分）如图，F1，F2是椭圆C1：+1（mn0）与双曲线C2：1（a0，b0）的公共焦点，C1，C2的离心率分别记为e1，e2A是C1，C2在第一象限的公共点，若C2的一条渐近线是线段AF1的中垂线，则+（）A2BCD4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）已知A、B、C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为零的实数、m、n使+m+n，那么+m+n的值等于 14（5分）已知mR，命题p：对x0，1，不等式2x2m23m恒成立；命题q：x1，1，使得max成立
5、，当a1时，若pq假，pq为真，求m的取值范围 15（5分）已知球O内切于正四面体ABCD，且正四面体的棱长为2，线段MN是球O的一条动直径（M，N是直径的两端点），点P是正四面体ABCD的表面上的一个动点，则的最大值是 16（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线上的两个动点，动点P满足，直线OM与直线ON斜率之积为2，已知平面内存在两定点F1、F2，使得|PF1|PF2|为定值，则该定值为 三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知命题p：|1|2；命题q：x22x+1m20（m0），若p是q的必要而不充分条件，求实数m的
6、取值范围18（12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，且AB，AF1（）求点F到平面BDE的距离；（）求AC与平面BDE所成的角19（12分）抛物线y24x的内接三角形的一个顶点在原点，三边上的高线都通过抛物线的焦点，求此三角形外接圆的方程20（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC2，ABCC14，AC2，M，N分别是A1B，B1C1的中点（1）求证：MN平面ACC1A1；（2）求平面MNC与平面A1B1B所成的锐二面角的余弦值21（12分）已知椭圆C1：+y2l，曲线C2：上的动点M（x，y）满足：8（）求曲线C2的方程；（）设O为坐标原点，第一象限的
7、点A，B分别在C1和C2上，2，求线段|AB|的长22（12分）如图所示，椭圆C1：+y21，抛物线C2：yx21，其中C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E（）证明：MAMB；（）记MAB，MDE的面积分别是S1，S2问：是否存在直线l，使得若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由2017-2018学年山西省运城市盐湖区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）在空间直角坐标系中，点（2，1，4）关于x轴的
8、对称点的坐标为（）A（2，1，4）B（2，1，4）C（2，1，4）D（2，1，4）【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标【解答】解：在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为：（x，y，z），点（2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为：（2，1，4）故选：B【点评】本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题2（5分）双曲线1的离心率是（）ABCD【分析】求得双曲线的a，b，c，由离心率公式
9、e，计算可得所求值【解答】解：双曲线1的a3，b2，c，则e，故选：D【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查运算能力，属于基础题3（5分）命题“x0R，x5+3x10”的否定是（）AxR，x5+3x10Bx0R，x5+3x10Cx0R，x5+3x10D不存在xR，x5+3x10【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：特称命题的否定是全称命题，命题“x0R，x5+3x10”的否定为xR，x5+3x10故选：A【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系4（5分）已知直线m，n和平面，如果n，那么“mn”是“m”的（）A充分而不必要条件B必要而
10、不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据线面垂直的判定定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若m，则mn，即必要性成立，当mn时，m不一定成立，必须m垂直平面内的两条相交直线，即充分性不成立，故“mn”是“m”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的判定定理是解决本题的关键5（5分）已知空间四边形OABC，其对角线OB、AC，M、N分别是边OA、CB的中点，点G在线段MN上，且使MG2GN，用向量，表示向量 是（）ABCD【分析】根据所给的图形和一组基底，从起点O出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就
11、可以得到结论【解答】解：故选：C【点评】本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程6（5分）给出下列命题：已知a，bR，“a1且b1”是“ab1”的充分条件；已知平面向量，|1，|1“是“|+|1”的必要不充分条件；已知a，bR，“a2+b21”是“|a|+|b|1”的充分不必要条件；命题P：“x0R，使且lnx0x01”的否定为p：“xR，都有exx+1且lnxx1”其中正确命题的个数是（）A0B1C2D3【分析】由a1且b1ab1，反之不成立，例如取a2，b3，即可判断出结论平面向量，|
12、1，|1，取（2，1），（2，0），则|+|1，因此|+|1不成立反之取，|1，|1不成立，即可判断出结论单位圆x2+y21上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b21”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|1”，但不满足，“a2+b21”；利用命题的否定定义即可判断出结论【解答】解：由a1且b1ab1，反之不成立，例如取a2，b3，因此“a1且b1”是“ab1”的充分条件，正确；平面向量，|1，|1，取（2，1），（2，0），则|+|1，因此|+|1不成立反之取，则|1，|1不成立，平面向量，|1，|1“是“|+|
13、1”的既不必要也不充分条件；如图在单位圆x2+y21上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b21”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|1”，但不满足，“a2+b21”，故a2+b21是“|a|+|b|1”的充分不必要条件，因此正确；命题P：“x0R，使且lnx0x01”的否定为p：“xR，都有exx+1或lnxx1”，因此不正确其中正确命题的个数是2故选：C【点评】本题考查了不等式的选择与解法、平行向量有关性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（5分）若A，B，C不共线，对于空间任意一点O
14、都有+，则P，A，B，C四点（）A不共面B共面C共线D不共线【分析】由共面向量基本定理即可得出【解答】解：由+，可得1，又A，B，C不共线，P，A，B，C四点共面故选：B【点评】本题考查了共面向量基本定理，属于基础题8（5分）已知双曲线1（a0，b0），过原点的一条直线与双曲线交于A，B两点，点F为双曲线的右焦点，且满足AFBF，设ABF，则该双曲线离心率e的值为（）A2BC2D【分析】可设|AF|m，|OF|c，F为双曲线的左焦点，连接AF，BF，可得四边形AFBF为矩形，运用直角三角形的三角函数定义解得|BF|，|AF|和|FF|，由双曲线的定义和离心率公式，计算可得所求值【解答】解：如图
15、，可设|AF|m，|OF|c，F为双曲线的左焦点，连接AF，BF，可得四边形AFBF为矩形，在直角三角形ABF中，ABF，即有|BF|m，|AF|m，2c2m，2amm，则双曲线的离心率e+1故选：B【点评】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查解直角三角形，以及化简运算能力，属于基础题9（5分）对于直线m，n和平面，则的一个充分条件是（）A.m，n，m，nBmn，m，nCmn，m，nDmn，m，n【分析】A，B，D三个选项下的，相交时，也满足每个选项的条件，所以由A，B，D中的条件得不出，而选项C可以得到平面，同时和一条直线垂直，所以，所以C中的条件是的充分条件【解答】解：A这种情况下，可能
16、相交，让m，n都和交线平行即可；B这种情况下，可能相交，让m，n都和交线平行即可；Cmn，m，n，又n，同时和一直线垂直的两平面平行，；D如果，也存在mn，且m，n故选：C【点评】本题考查线面平行的判定定理，两条平行直线分别和两个平面平行，这两个平面可能相交，平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，同时垂直于一条直线的两平面平行10（5分）已知直线l1：4x3y+60和直线l2：x2，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A2B3CD【分析】设抛物线上一点P的坐标，求出P到直线l1的距离d1和P到直线l2的距离d2，利用函数的性质求出d1+d2的最小
17、值【解答】解：设抛物线y24x上一动点P（，a），aR；则P到直线l1的距离为d1（a23a+6），P到直线l2的距离为d2+2；d1+d2a2a+，则a时，d1+d2取得最小值是3故选：B【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式应用问题，是中档题11（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，），C（0，2，0），D（1，1，）若S1，S2，S3分别是三棱锥DABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积则（）AS1S2S3BS1S2S3CS1S2S3DS1S2S3【分析】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标，再求对应的面积，即可得到
18、结论【解答】解：A（2，0，0），B（2，2，2），C（0，2，0），D（1，1，），则各个面上的射影分别为A，B，C，D，在xOy坐标平面上的正投影A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，0），S1224；在yOz坐标平面上的正投影A（0，0，0），B（0，2，2），C（0，2，0），D（0，1，），S2222；在zOx坐标平面上的正投影A（2，0，0），B（2，0，2），C（0，0，0），D（1，0，），S3222，则S3S2且S1S2，故选：C【点评】本题考查了空间中线线、线面、面面之间的位置关系与应用问题，也考查运算求解能力，是中档题12（5分）如图，F1，F
19、2是椭圆C1：+1（mn0）与双曲线C2：1（a0，b0）的公共焦点，C1，C2的离心率分别记为e1，e2A是C1，C2在第一象限的公共点，若C2的一条渐近线是线段AF1的中垂线，则+（）A2BCD4【分析】由题设中的条件，设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程，联立可得m，a，c的等式，整理即可得到结论【解答】解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，则由双曲线的定义|AF1|AF2|2m由椭圆的定义|AF1|+|AF2|2aC2的一条渐近线是线段AF1的中垂线，F1AF290，故|AF1|2+|AF2|24c2
20、2+2得|AF1|2+|AF2|22a2+2m2将代入得a2+m22c2，即+2故选：A【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义焦点三角形中用勾弦定理建立三个方程联立求椭圆离心率e1与双曲线心率e2满足的关系式，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，凑出两曲线离心率所满足的方程来二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）已知A、B、C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为零的实数、m、n使+m+n，那么+m+n的值等于0【分析】根据向量共线的条件，存在实数k，使得k由此化简得（k+1）+k，再与已知等式比较系数，结合讨论即可得到+m+n的值为0【解
21、答】解：A、B、C三点共线，存在实数k，使得k，k（），化简整理得：（k+1）+k+m+n，当k1时，比较系数得：m0且n，所以+m+n0当k1时，可得，得m（k1），nk由此可得：+m+n+（k1）+k0综上所述，+m+n的值为0故答案为：0【点评】本题给出三点共线，求向量式中的系数特征着重考查了平面向量共线的条件和平面向量的基本定理及其意义等知识，属于基础题14（5分）已知mR，命题p：对x0，1，不等式2x2m23m恒成立；命题q：x1，1，使得max成立，当a1时，若pq假，pq为真，求m的取值范围（，1）（1，2【分析】先求出命题p，q为真命题时对应的等价条件，然后利用pq为假命题，
22、pq为真命题，确定m的取值范围【解答】解：x0，1，不等式2x2m23m恒成立，即x0，1，不等式2xm23m+2恒成立，则m23m+20，得1m2，即p：1m2，当a1时，x1，1，使得mx成立，则m1，即q：m1，若命题“pq”为真，“pq”为假p，q中一真一假，若p真q假，则，得1m2，若p假q真，则，得m1，综上实数m的取值范围是（，1）（1，2，故答案为：（，1）（1，2【点评】本题考查了复合命题的真假判断以及应用，要求熟练掌握复合命题与简单命题的真假关系，属于基础题15（5分）已知球O内切于正四面体ABCD，且正四面体的棱长为2，线段MN是球O的一条动直径（M，N是直径的两端点），
23、点P是正四面体ABCD的表面上的一个动点，则的最大值是8【分析】先算出内切球的半径，ra（a为正四面体的棱长），然后再利用向量数量积进行运算【解答】解：由正四面体棱长为2，的其内切圆的半径为1，由题意，M，N是直径的两端点，可得，则+（+）+011，当点P在正四面体顶点时，最大，且最大值为9，则1的最大值为8，故答案为：8【点评】本题考查空间向量的数量积运算16（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线上的两个动点，动点P满足，直线OM与直线ON斜率之积为2，已知平面内存在两定点F1、F2，使得|PF1|PF2|为定值，则该定值为2【分析】设动点P（x，y），M（x1，y1 ）、
24、N（x2，y2 ），由直线OM与ON的斜率之积为2，得：2x1x2y1y20，由向量的坐标运算、向量相等得到x2x1x2，y2y1y2，把M、N代入双曲线方程化简，结合式子的特点化简2x2y2，得到点P的轨迹方程，根据双曲线的定义即可得到所求定值【解答】解：设动点P（x，y），M（x1，y1 ）、N（x2，y2 ），直线OM与ON的斜率之积为2，2，所以2x1x2y1y20，动点P满足，（x，y）（2x1x2，2y1y2 ），则x2x1x2，y2y1y2，M、N是双曲线上的点，2x12y124，2x22y2242x2y22（2x1x2）2（2y1y2）24（2x12y12 ）+（2x22y22
25、 ）4（2x1x2y1y2 ）44+44（2x1x2y1y2 ）204（2x1x2y1y2 ），把代入上式得：2x2y220，即1，所以点P是双曲线1上的点，因为1的两个焦点为：F1（，0）、F2（，0），所以|PF1|PF2|为定值2故答案为：2【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，双曲线的定义，两个向量坐标形式的运算，解题时要认真审题，考查了学生分析问题和解决问题的能力三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知命题p：|1|2；命题q：x22x+1m20（m0），若p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围【分析】分别确定命题p，q对应
26、的范围Px|2x10和Qx|1mx1+m，m0，再将问题等价为p是q的充分不必要条件，进而得出PQ，最后解不等式即可【解答】解：对于命题p：由|1|2，解得，2x10，记集合Px|2x10，对于命题q：由x22x+（1m）（1+m）0（m0），得x（1m）x（1+m）0，解得，1mx1+m，记集合Qx|1mx1+m，m0，因为，p是q的必要不充分条件，所以，q是P的必要不充分条件，故p是q的充分不必要条件，因此，PQ，所以，解得，m9故实数m的取值范围为：9，+）【点评】本题主要考查了条件之间充要关系的判断，以及条件间的充要关系与集合之间的包含关系的关联，涉及一元二次不等式的解法，属于中档题1
27、8（12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，且AB，AF1（）求点F到平面BDE的距离；（）求AC与平面BDE所成的角【分析】（）分别以AB，AD，AF为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点F到平面BDE的距离（）由ACEF，知AC与平面BDE所成角即为EF与平面BDE所成的角，由此能求出AC与平面BDE所成的角【解答】解：（）正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，且AB，AF1，分别以AB，AD，AF为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（，0，0），C（），D（0，），F（0，0，1），（，0），（0，1），（，0），
28、设平面BDE的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，），cos，|2，设点F到平面BDE的距离为h，则cos，h点F到平面BDE的距离为（）由ACEF，知AC与平面BDE所成角即为EF与平面BDE所成的角，由（）知点F到平面BDE的距离为，EF2，AC与平面BDE所成的角的正弦值为，AC与平面BDE所成的角为【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19（12分）抛物线y24x的内接三角形的一个顶点在原点，三边上的高线都通过抛物线的焦点，求此三角形外接圆的方程【分析】由抛物线的
29、对称性知A、B关于x轴对称，设出它们的坐标，利用三角形的垂心的性质，结合斜率之积等于1即可求得直线MN的方程，即可求出点C的坐标，问题得以解决【解答】解：抛物线关于x轴对称，三边上的高过焦点，另两个顶点A，B关于x轴对称，即ABO是等腰三角形，作AO的中垂线MN，交x轴与C点，而Ox是AB的中垂线，故C点即为ABO的外接圆的圆心，OC是外接圆的半径，设A（x1，2），B（x1，2），连接BF，则BFAO，kBF，kAO，kBFkAO1，整理，得x1（x15）0，则x15，（x10不合题意，舍去），AO的中点为（，），且MNBF，直线MN的方程为y（x），当x15代入得2x+4y90，C是MN与
30、x轴的交点，C（，0），而ABO的外接圆的半径OC，于是得到三角形外接圆方程为（x）2+y2（）2【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查了两直线垂直与斜率的关系，是中档题20（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC2，ABCC14，AC2，M，N分别是A1B，B1C1的中点（1）求证：MN平面ACC1A1；（2）求平面MNC与平面A1B1B所成的锐二面角的余弦值【分析】（1）连接AC1，AB1，推导出四边形ABB1A1为矩形，由矩形性质得AB1过A1B的中点M，由中位线性质得MNAC1，由此能证明MN平面ACC1A1（2）推导出ABBC，分别以BC，BA，BB1为x，y，z轴，建立
31、空间直角坐标系，利用向量法能求出平面MNC与平面A1B1B所成的锐二面角的余弦值【解答】证明：（1）如图，连接AC1，AB1，该三棱柱是直三棱柱，AA1A1B1，则四边形ABB1A1为矩形，由矩形性质得AB1过A1B的中点M，（3分）在AB1C1中，由中位线性质得MNAC1，又MN平面ACC1A1，AC1平面ACC1A1，MN平面ACC1A1（6分）解：（2）BC2，ABCC14，AC2，ABBC，如图，分别以BC，BA，BB1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，B（0，0，0），C（2，0，0），A1（0，4，4），C1（2，0，4），M（0，2，2），N（1，0，4），（2，2，2），（1
32、，0，4），（8分）设平面MNC的法向量为（x，y，），则，令z1，得（4，3，1），（10分）又平面A1B1B的一个法向量为（1，0，0），cos，即平面MNC与平面A1B1B所成的锐二面角的余弦值为（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题21（12分）已知椭圆C1：+y2l，曲线C2：上的动点M（x，y）满足：8（）求曲线C2的方程；（）设O为坐标原点，第一象限的点A，B分别在C1和C2上，2，求线段|AB|的
33、长【分析】（）由两点的距离公式和椭圆定义，即可得到所求轨迹方程；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），由2，可得x22x1，可设AB的方程为ykx，联立椭圆方程求得交点的坐标，再由两点的距离公式，计算可得所求值【解答】解：（）动点M（x，y）满足：8，可得点（x，y）到点P（0，2）和点Q（0，2）的距离之和为8，且8|PQ|，即有动点的轨迹为以P，Q为焦点的椭圆，且a4，c2，b2，则C2的方程为+1；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），由2，可得x22x1，可设AB的方程为ykx，代入椭圆C1：+y2l，可得（1+4k2）x24，x12；将ykx代入+1，可得（4+k2）x216
34、，即x22，则4，解得k1，即有A（，），B（，），|AB|【点评】本题考查曲线方程的求法，注意运用椭圆定义，考查直线和椭圆方程联立，求交点，考查运算能力，属于中档题22（12分）如图所示，椭圆C1：+y21，抛物线C2：yx21，其中C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E（）证明：MAMB；（）记MAB，MDE的面积分别是S1，S2问：是否存在直线l，使得若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由【分析】（）由题得，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为：ykx，与抛物线方程联立得x2kx10设A（x1，y1），B（x2
35、，y2），利用根与系数的关系、斜率计算公式可得：kMAkMB1即可证明；（）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为yk1x1联立抛物线方程，解得点A的坐标又直线MB的斜率为，同理可得点B的坐标可得S1|MA|MB|同理联立直线方程和椭圆方程，可得D的坐标同理可得点E的坐标可得S2|MD|ME|，利用（4k12+17），再由点A，B的坐标求得k，进而得到直线方程【解答】解：（）证明：由题得，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为：ykx，由ykx和yx21，得x2kx10设A（x1，y1），B（x2，y2），于是x1+x2k，x1x21，又点M的坐标为（0，1）所以kMAkMB1故MAM
36、B，即MDME；（）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为yk1x1联立yx21可得或则点A的坐标为（k1，k121）又直线MB的斜率为，同理可得点B的坐标为（，1）于是S1|MA|MB|k1|由椭圆方程x2+4y24和yk1x1，得（1+4k12）x28k1x0，解得，或，则点D的坐标为（，）又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为（，）于是S2|MD|ME|故（4k12+17），解得k124，或k12又由点A，B的坐标得，kk1所以k故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程为yx【点评】本题考查椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题
