1、2017-2018学年山西省吕梁市柳林县高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑1（5分）如果命题“p且q”是假命题，“非p”是假命题，那么（）A命题q一定是真命题B命题q一定是假命题C命题p不一定是真命题D命题q不一定是真命题2（5分）下列曲线中离心率为的是（）ABCD3（5分）函数f（x）（x1）（x2）2在0，3上的最小值为（）A8BC0D44（5分）双曲线1（0m3）的焦距为（）A6B12C36D25（5分）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否
2、定是（）A任意一个有理数，它的平方是有理数B任意一个无理数，它的平方不是有理数C存在一个有理数，它的平方是有理数D存在一个无理数，它的平方不是有理数6（5分）已知椭圆C：+1（ab0）的左右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C与A、B两点，若AF1B的周长为，则C的方程为（）A+1B+y21C+1D+17（5分）与椭圆+y21共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（）ABCD8（5分）曲线yax在x0点处的切线方程是xln2+y10，则a（）AB2Cln2Dln9（5分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|（
3、）ABC4D10（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点若双曲线上存在点A，使F1AF290，且|AF1|3|AF2|，则双曲线离心率为（）ABCD11（5分）若抛物线y22px上一点P（2，y0）到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为（）Ay24xBy26xCy28xDy210x12（5分）已知f（x）2x36x2+m（m为常数）在2，2上有最大值3，那么此函数在2，2上的最小值是（）A37B29C5D以上都不对二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）若抛物线y22px（p0）的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则p 14（5分）函数yx2lnx的单调递减区间为
4、 15（5分）已知甲：x1且y2；乙：x+y3，则甲是乙的 条件16（5分）已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为 三、解答题（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）设p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0；q：实数x满足x2x60或x2+2x80，且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围18（12分）已知点P是抛物线y22x上的动点，B（1，1），点P到直线l：x的距离为d，求d+|PB|的最小值19（12分）求两条渐近线为x+2y0和x2y0且截直线xy30所得的
5、弦长为的双曲线方程20（12分）设函数f（x）x+ax2+bln x，曲线yf（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2（1）求a，b的值；（2）令g（x）f（x）2x+2，求g（x）在定义域上的最值21（12分）设双曲线C：1（a0）与直线l：x+y1相交于两个不同点A、B（1）求双曲线C的离心率e的取值范围；（2）设直线l与y轴的交点为P，且，求实数a的值22（12分）设，其中a为正实数（）当a时，求f（x）的极值点；（）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围2017-2018学年山西省吕梁市柳林县高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题
6、5分，共60分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑1（5分）如果命题“p且q”是假命题，“非p”是假命题，那么（）A命题q一定是真命题B命题q一定是假命题C命题p不一定是真命题D命题q不一定是真命题【分析】根据复合命题的真值表可得【解答】解：因为非P为假命题，所以p为真命题又因为复合命题p且q为假命题，所以q为假命题故选：B【点评】本题考查了复合命题及其真假属基础题2（5分）下列曲线中离心率为的是（）ABCD【分析】分别求出双曲线的a，b，c，再由离心率公式计算即可得到【解答】解：对于Aa，b2，c，e；对于Ba2，b，c，e；对于C
7、a2，b，c，e；对于Da2，b，c，e故离心率为的是C故选：C【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题3（5分）函数f（x）（x1）（x2）2在0，3上的最小值为（）A8BC0D4【分析】求出函数的导数，求出函数的极值点，然后求解函数的最值【解答】解：函数f（x）（x1）（x2）2，可得：f（x）3x210x+8，令3x210x+80，可得x2，或x，由f（0）4f（），f（2）0，f（3）2，可得f（x）在0，3的最小值为4故选：D【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最小值的求法，考查计算能力4（5分）双曲线1（0m3）的焦距为（）A
8、6B12C36D2【分析】判断双曲线的焦点在x轴上，求得a，b，再由a，b，c的关系，求得c6，再由焦距2c即可得到【解答】解：双曲线1（0m3）的焦点在x轴上，即有a，bm，c6，则焦距2c12故选：B【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦距，运用双曲线的a，b，c的关系是解题的关键5（5分）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（）A任意一个有理数，它的平方是有理数B任意一个无理数，它的平方不是有理数C存在一个有理数，它的平方是有理数D存在一个无理数，它的平方不是有理数【分析】根据特称命题“xA，p（A）”的否定是“xA，非p（A）”，结合已知中命题，即可得到答案
9、【解答】解：命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”是特称命题而特称命题的否定是全称命题，则命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数故选：B【点评】本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握特称命题的否定方法“xA，p（A）”的否定是“xA，非p（A）”，是解答本题的关键6（5分）已知椭圆C：+1（ab0）的左右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C与A、B两点，若AF1B的周长为，则C的方程为（）A+1B+y21C+1D+1【分析】由AF1B的周长为，4a，求得a2，根据椭圆的离心率公式e，求得c2，有b2a2c2，即可求得椭圆的标准方程【解
10、答】解：由椭圆的性质可知：4a，即a2，椭圆的离心率e，c2，b2a2c21248，椭圆的方程为：，故选：D【点评】本题考查椭圆的简单性质及椭圆的标准方程，考查计算能力，属于基础题，7（5分）与椭圆+y21共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（）ABCD【分析】先根据椭圆的标准方程，求得焦点坐标，进而求得双曲线离心率，根据点P在双曲线上，根据定义求出a，从而求出b，则双曲线方程可得【解答】解：由题设知：焦点为a，c，b1与椭圆共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是故选：B【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程考查了学生对双曲线和椭圆基本知识的掌握8（5分）曲线yax在x0点处的切线方程是xl
11、n2+y10，则a（）AB2Cln2Dln【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，结合切线方程可得a的方程，由对数的性质，即可得到a【解答】解：yax的导数为yaxlna，在x0点处的切线斜率为klna，由切线方程xln2+y10，可得lnaln2，解得a故选：A【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，主要考查导数的几何意义，直线的斜率，属于基础题9（5分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|（）ABC4D【分析】关键点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此
12、可求|OM|【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y22px（p0）点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，2+3p2抛物线方程为y24xM（2，y0）|OM|故选：B【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程10（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点若双曲线上存在点A，使F1AF290，且|AF1|3|AF2|，则双曲线离心率为（）ABCD【分析】由题设条件设|AF2|1，|AF1|3，双曲线中2a|AF1|AF2|2，由此可以求出双曲线的离心率【解答】解：设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点若双曲线上存在点A，使F
13、1AF290，且|AF1|3|AF2|，设|AF2|t，|AF1|3t，（t0）双曲线中2a|AF1|AF2|2t，t，离心率，故选：B【点评】挖掘题设条件，合理运用双曲线的性质能够准确求解11（5分）若抛物线y22px上一点P（2，y0）到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为（）Ay24xBy26xCy28xDy210x【分析】由已知条件，利用抛物线的性质得到+24，求出p的值，由此求出抛物线的标准方程【解答】解：抛物线y22px上一点P（2，y0）到其准线的距离为4，+24，解得p4，抛物线的标准方程为y28x故选：C【点评】本题考查了抛物线的标准方程与简单性质的应用问题，是基础题12（
14、5分）已知f（x）2x36x2+m（m为常数）在2，2上有最大值3，那么此函数在2，2上的最小值是（）A37B29C5D以上都不对【分析】先求导数，根据单调性研究函数的极值点，在开区间（2，2）上只有一极大值则就是最大值，从而求出m，通过比较两个端点2和2的函数值的大小从而确定出最小值，得到结论【解答】解：f（x）6x212x6x（x2），f（x）在（2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函数，当x0时，f（x）m最大，m3，从而f（2）37，f（2）5最小值为37故选：A【点评】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间a，b上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值
15、与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，属于基础题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）若抛物线y22px（p0）的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则p2【分析】先求出x2y21的左焦点，得到抛物线y22px的准线，依据p的意义求出它的值【解答】解：双曲线x2y21的左焦点为（，0），故抛物线y22px的准线为x，p2，故答案为：2【点评】本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程 y22px中p的意义14（5分）函数yx2lnx的单调递减区间为（0，1【分析】根据题意，先求函数的定义域，进而求得其导数，即yx，令其导数小于等于0，可得0，结合函数的定义域
16、，解可得答案【解答】解：对于函数，易得其定义域为x|x0，yx，令0，又由x0，则0x210，且x0；解可得0x1，即函数的单调递减区间为（0，1，故答案为（0，1【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间，注意首先应求函数的定义域15（5分）已知甲：x1且y2；乙：x+y3，则甲是乙的既不充分也不必要条件【分析】要判断命题甲、乙的关系，可以从定义入手，判段二者是否可以相互推出，利用特殊值法进行判断；【解答】解：x1且y2时，若xy，则x+y3，由甲不能推出乙由x+y3不能推出x1且y2，可以取x1.1，y1.9，也满足x+y3，甲是乙的既不充分也不必要条件故答案为：既不充分也不必要；【点评】本
17、题主要考查了必要条件，充分条件与充要条件的判断，要求掌握好判断的方法16（5分）已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为4【分析】通过P，Q的横坐标求出纵坐标，通过二次函数的导数，推出切线方程，求出交点的坐标，即可得到点A的纵坐标【解答】解：因为点P，Q的横坐标分别为4，2，代入抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8，2由x22y，则y，所以yx，过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为y4x8，y2x2 联立方程组解得x1，y4 故点A的纵坐标为4故答案为：4【点评】本题主要
18、考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）设p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0；q：实数x满足x2x60或x2+2x80，且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围【分析】由p是q的必要不充分条件，转化成它的逆否命题q是p的必要不充分条件，即p 是q的充分不必要条件，也就是pq且q推不出p【解答】解：化简条件p得，Ax|3axa，a0，化简条件q：由x2x60，解得2x3，由x2+2x80，解得x2或x4可得：Bx|x4或x2由p是q的必要不充分条件，可得：p是q的
19、充分不必要条件AB，得或解得a4或a0【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）已知点P是抛物线y22x上的动点，B（1，1），点P到直线l：x的距离为d，求d+|PB|的最小值【分析】先根据抛物线定义儿可知点P到抛物线的准线方程的距离为d，进而判断出当B，P，F三点共线时，所求的值最小【解答】解：y22x，焦点坐标为F（ ，0），B（1，1），根据抛物线定义可知点P到x距离为d|PF|，d+|PB|PF|+d|BF|进而可知当B，P，F三点共线时，d+|PB|的最小值为：|BF|故答案为：【点评】本题主要考查了抛物线的简单应用考查了
20、学生对抛物线定义的理解和应用19（12分）求两条渐近线为x+2y0和x2y0且截直线xy30所得的弦长为的双曲线方程【分析】先假设双曲线方程，再将直线代入双曲线方程，进而借助于弦长公式，即可求得双曲线方程【解答】解：设所求双曲线的方程为x24y2k（k0），将yx3代入双曲线方程得3x224x+k+360，由韦达定理得x1+x28，x1x2+12，由弦长公式得|x1x2|，解得k4，故所求双曲线的方程为y21【点评】本题考查的重点是双曲线方程，解题的关键是利用双曲线的性质，待定系数法假设双曲线方程20（12分）设函数f（x）x+ax2+bln x，曲线yf（x）过P（1，0），且在P点处的切线
21、斜率为2（1）求a，b的值；（2）令g（x）f（x）2x+2，求g（x）在定义域上的最值【分析】（1）设函数f（x）x+ax2+blnx，求出导函数，利用曲线yf（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2列出方程组，即可求a，b的值；（2）令g（x）f（x）2x+2，化简解析式g（x）求出函数的导数，通过导函数的符号，判断函数的单调性锐角求解函数的最值【解答】解（1）f（x）1+2ax+（x0），又f（x）过点P（1，0），且在点P处的切线斜率为2，即解得a1，b3（2）由（1）知，f（x）xx2+3ln x，其定义域为（0，+），g（x）2xx2+3ln x，x0，则g（x）12x+当0
22、x1时，g（x）0；当x1时，g（x）0所以g（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+）内单调递减g（x）的最大值为g（1）0，g（x）没有最小值【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力21（12分）设双曲线C：1（a0）与直线l：x+y1相交于两个不同点A、B（1）求双曲线C的离心率e的取值范围；（2）设直线l与y轴的交点为P，且，求实数a的值【分析】（1）把直线与双曲线方程联立消去y，利用判别式大于0和方程二次项系数不等于0求得a的范围，进而利用a和c的关系，用a表示出离心率，根据a的范围确定离心率的范围；（2）设出A，B，P的坐标
23、，根据，求得x1和x2的关系式，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，联立方程求得a【解答】解：（1）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解消去y并整理得，（1a2）x2+2a2x2a20即有解得0a且a1，双曲线的离心率e，由于0a，且a1，e且e；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，1），由于，（x1，y11）（x2，y21），即有x1x2，由于x1，x2都是方程的根，且1a20，x1+x2，x1x2，x2，x22，消去x2得：，又a0，解得a【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查了离心率的范围和直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生综合分析问题和解
24、决问题的能力22（12分）设，其中a为正实数（）当a时，求f（x）的极值点；（）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围【分析】（）首先对f（x）求导，将a代入，令f（x）0，解出后判断根的两侧导函数的符号即可（）因为a0，所以f（x）为R上为增函数，f（x）0在R上恒成立，转化为二次函数恒成立问题，只要0即可【解答】解：对f（x）求导得f（x）ex（）当a时，若f（x）0，则4x28x+30，解得结合，可知 x（，） （，） （，+） f（x）+00+f（x）增极大值减极小值增所以，是极小值点，是极大值点（）若f（x）为R上的单调函数，则f（x）在R上不变号，结合与条件a0知ax22ax+10在R上恒成立，因此4a24a4a（a1）0，由此并结合a0，知0a1【点评】本题考查求函数的极值问题、已知函数的单调性求参数范围问题，转化为不等式恒成立问题求解
