1、2019-2020学年山西省大同一中高二（上）9月月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A25B50C125D都不对2（5分）过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（）A1：2：3B1：3：5C1：2：4D1：3：93（5分）在ABC中，AB2，BC1.5，ABC120，若将ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）ABCD4（5分）一个三角形的直观图是腰长为4的等腰直角三角形，则它的原面积是（）A8B16C16D325（5分）底
2、面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（）A130B140C150D1606（5分）半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）AR3BR3CR3DR37（5分）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为（）A7B6C5D38（5分）棱台上、下底面面积之比为1：9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（）A1：7B2：7C7：19D5：169（5分）如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（）AB5C6
3、D10（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A8+B8+4C8+D11（5分）正四棱锥PABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为（）ABCD12（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）ABC5D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）若圆锥的表面积是15，侧面展开图的圆心角是60，则圆锥的体积是 14（5分）一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为 厘米15（5分）在正三棱锥PABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，AB4，PA8，过A作与PB，PC
4、分别交于D和E的截面，则截面ADE的周长的最小值是 16（5分）一个正方体的三视图如图所示，若俯视图中正六边形的边长为1，则该正方体的体积是 三、解答题（共70分）17（10分）空间四边形ABCD中，ADBC2，E、F分别是AB、CD的中点，若，求异面直线AD、BC所成角的大小18（12分）已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体（1）求直线DA1与BC所成角；（2）求直线D1A与BA1所成角；（3）求直线BD1和AC所成角19（12分）养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12M，高4M，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现
5、有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M（高不变）；二是高度增加4M（底面直径不变）（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；（3）哪个方案更经济些？20（12分）（1）已知圆台的上下底面半径分别是2，5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长（2）有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190L，假如它的两底面长分别等于60cm和40cm，求它的深度为多少cm？21（12分）（1）如图（1）已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EHFG求证：EHBD（2）如图（2）：S是平行四边形ABCD平面外一点
6、，M，N分别是SA，BD上的点，且，求证：MN平面SBC22（12分）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点（）证明MN平面PAB；（）求四面体NBCM的体积2019-2020学年山西省大同一中高二（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A25B50C125D都不对【分析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的
7、表面积【解答】解：因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是确定直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：，所以这个球的表面积是：50故选：B【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力2（5分）过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（）A1：2：3B1：3：5C1：2：4D1：3：9【分析】先从得到的三个圆锥入手，根据“过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面”，结合相似比：可知底面半径之
8、比：r1：r2：r31：2：3，母线长之比：l1：l2：l31：2：3，侧面积之比：S1：S2：S31：4：9，从而得到结论【解答】解：由此可得到三个圆锥，根据题意则有：底面半径之比：r1：r2：r31：2：3，母线长之比：l1：l2：l31：2：3，侧面积之比：S1：S2：S31：4：9，所以三部分侧面面积之比：S1：（S2S1）：（S3S2）1：3：5故选：B【点评】本题主要考查圆锥的结构特征，特别考查了截面问题，三角形相似比，属中档题3（5分）在ABC中，AB2，BC1.5，ABC120，若将ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）ABCD【分析】所形成的几何体是以ACD为
9、轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分，故用大圆锥的体积减去小圆锥的体积，即为所求【解答】解：如图：ABC中，绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分AB2，BC1.5，ABC120，AEABsin60，BEABcos601，V1，V2，VV1V2，故选：D【点评】本题考查圆锥的体积公式的应用，判断旋转体的形状是解题的关键4（5分）一个三角形的直观图是腰长为4的等腰直角三角形，则它的原面积是（）A8B16C16D32【分析】可根据直观图和原图面积之间的关系求解，也可作出原图，直接求面积【解答】解：由题意直
10、观图为等腰直角三角形，ACB90，ACBC4，直观图的面积为8，因为直观图和原图面积之间的关系为，故原ABO的面积是16故选：C【点评】本题考查斜二测画法及斜二测画法中原图和直观图面积之间的联系，考查作图能力和运算能力5（5分）底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（）A130B140C150D160【分析】根据直棱柱的性质，结合线面垂直的性质算出底面菱形的两条对角线，再由菱形的性质算出底面边长，利用勾股定理算出底面边长为8，由此即可得出这个棱柱的侧面积【解答】解：如图，底面是菱形的直棱柱ABCDABCD中，两条对角线长为AC15cm，
11、BD9cm，侧棱长为AADD5cm，BDD和ACA都是直角三角形，由勾股定理，得AC215252200，BD2925256，可得AC10，BD2AC、BD分别是菱形ABCD的两条对角线，AC、BD互相垂直平分，把菱形分成全等的四个直角三角形，两条直角边分别是AC5和BD，由勾股定理，得斜边长AB8该棱柱的侧面积S485160故选：D【点评】本题给出直棱柱满足的条件，求它的侧面积着重考查了线面垂直的定义、菱形的性质和直棱柱的侧面积公式等知识，属于中档题6（5分）半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）AR3BR3CR3DR3【分析】求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆
12、锥的高，然后求出体积【解答】解：2rR，所以r，则h，所以V故选：A【点评】本题是基础题，考查圆锥的展开图与圆锥之间的计算关系，圆锥体积的求法，考查计算能力7（5分）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为（）A7B6C5D3【分析】设出上底面半径为r，利用圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，求出上底面半径，即可【解答】解：设上底面半径为r，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，所以S侧面积（r+3r）l84，r7故选：A【点评】本题是基础题，考查 圆台的侧面积
13、公式，考查计算能力，送分题8（5分）棱台上、下底面面积之比为1：9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（）A1：7B2：7C7：19D5：16【分析】根据棱台的体积公式，以及面积之比等于相似比的平方，求出棱台上下边长的比，利用中截面与体积比的关系，求出中截面分棱台成两部分的体积之比【解答】解：棱台体积公式：VH（S上+S下+）棱台上、下底面面积之比为1：9，则上下边长比为1：3，那么依比例求出中截面边长与下边长比为2：3，上底面、中截面下底面面积之比为1：4：9，棱台的中截面分棱台成两部分的高相同，代入体积公式得出体积比故选：C【点评】本题是基础题，考查空间想象能力，计算能力，此题关键在
14、于面积比、边长比、体积比的相互转化9（5分）如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（）AB5C6D【分析】由已知中多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF与面AC的距离为2，我们易求出四棱锥EABCD的体积，然后根据整个几何体大于部分几何体的体积，分析已知中的四个答案，利用排除法，得到答案【解答】解：法一：如下图所示，连接BE、CE则四棱锥EABCD的体积VEABCD3326，又整个几何体大于四棱锥EABCD的体积，所求几何体的体积V求VEABCD，法二：分别取AB、CD的中点G、H连EG，
15、GH，EH，把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱，可求得四棱锥的体积为3，三棱柱的体积，整个多面体的体积为故选：D【点评】本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积，其中根据根据整个几何体大于部分几何体的体积，求出四棱锥EABCD的体积，并与已知中的四个答案进行比较，利用排除法是解答此类问题的捷径10（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A8+B8+4C8+D【分析】根据三视图知该几何体是正方体与四棱锥的组合体，结合图中数据求出它的体积【解答】解：根据三视图知，该几何体是下面是边长为2的正方体，上面是一个四棱锥，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为VV正方体+V四棱锥
16、23+8+故选：A【点评】本题考查了根据三视图求几何体体积的应用问题，是基础题11（5分）正四棱锥PABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为（）ABCD【分析】过顶点作垂线，交底面正方形对角线交点O，连接OE，我们根据正四棱锥PABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，易求出OEB即为PA与BE所成的角，解三角形OEB，即可求出答案【解答】解：过顶点作垂线，交底面正方形对角线交点O，连接OE，正四棱锥PABCD的底面积为3，体积为，PO，AB，AC，PA，OB因为OE与PA在同一平面，是三角形PAC的中位线，则OEB即为PA与BE所成的角所以OE，在Rt
17、OEB中，tanOEB，所以OEB故选：B【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据已知得到OEB即为PA与BE所成的角，将异面直线的夹角问题转化为解三角形问题是解答本题的关键12（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）ABC5D【分析】画出几何体的直观图，判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可【解答】解：由题意可知几何体是正方体的一部分，正方体的棱长为2，是正方体去掉两个三棱锥，一个三棱柱的剩余部分，ABCDEFGHR几何体的体积为：故选：D【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，是难题二、填空题（共4小题，每小题
18、5分，满分20分）13（5分）若圆锥的表面积是15，侧面展开图的圆心角是60，则圆锥的体积是【分析】设圆锥的底面半径为r，母线为l，利用圆锥的底面周长就是圆锥的侧面展开图的弧长，推出底面半径与母线的关系，通过圆锥的表面积求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，则，得l6r，Sr2+r6r7r215，得，圆锥的高h即，故答案为：【点评】本题是基础题，正确利用圆锥的底面周长就是展开图的弧长，是本题的突破口，是难点所在，考查空间想象能力，计算能力，常考题型14（5分）一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球
19、的半径为12厘米【分析】根据圆柱水面升高的高度，求出水的体积，就是球的体积，然后求出球的半径【解答】解：（cm）故答案为：12【点评】本题是基础题，考查圆柱的体积与球的体积的关系，考查计算能力，是送分题15（5分）在正三棱锥PABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，AB4，PA8，过A作与PB，PC分别交于D和E的截面，则截面ADE的周长的最小值是11【分析】画出正三棱锥PABC侧面展开图，将问题转化为求平面上两点间的距离最小值问题，不难求得结果【解答】解：三棱锥的侧面展开图，如图，ADE的周长的最小值为AA1，在PAB中，sinAPB，cosAPB12sin2APB，在APA1中，
20、sinAPA1sin（APB+APB）sinAPBcosAPB+cosAPBsinAPB+，所以AA12PAsinAPA111，故答案为：11【点评】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，其中将三棱锥的侧面展开，将空间问题转化为平面上两点之间的距离问题，是解答本题的关键16（5分）一个正方体的三视图如图所示，若俯视图中正六边形的边长为1，则该正方体的体积是【分析】由三视图还原原几何体，结合俯视图求出原正方体的棱长，则答案可求【解答】解：由三视图还原原几何体如图，设其棱长为a，则其俯视图中，AC为原正方体一条面对角，长为，OA1，AC，即，则a该正方体的体积是故答案为：【点评】本题考查由三视图求面积
21、、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题三、解答题（共70分）17（10分）空间四边形ABCD中，ADBC2，E、F分别是AB、CD的中点，若，求异面直线AD、BC所成角的大小【分析】设G为AC的中点，由已知中ADBC2，E、F分别是AB、CD的中点，若，根据三角形中位线定理，我们易求出EGF为异面直线AD、BC所成的角（或其补角），解三角形EGF即可得到答案【解答】解：设G为AC的中点，E、F分别是AB、CD中点EGBC且FGAD且EGF为异面直线AD、BC所成的角（或其补角），EGF中，EGF120，即异面直线AD、BC所成的角为60【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中
22、根据已知三角形中位线定理得到EGF为异面直线AD、BC所成的角（或其补角），是解答本题的关键18（12分）已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体（1）求直线DA1与BC所成角；（2）求直线D1A与BA1所成角；（3）求直线BD1和AC所成角【分析】（1）由ADBC，得DAD1是直线DA1与BC所成角，由此能求出直线DA1与BC所成角（2）由D1AC1A，得C1BA1是直线D1A与BA1所成角，再由BA1A1B1BC1，能求出直线D1A与BA1所成角（3）推导出ACBD，DD1AC，从而AC平面BDD1，由此能求出直线BD1和AC所成角【解答】解：（1）ABCDA1B1C1D1是棱长为a
23、的正方体ADBC，DAD1是直线DA1与BC所成角，ADDD1，ADDD1，直线DA1与BC所成角为（2）D1AC1A，C1BA1是直线D1A与BA1所成角，BA1A1B1BC1，C1BA1，直线D1A与BA1所成角为（3）四边形ABCD是正方形，ACBD，正方体ABCDA1B1C1D1中，DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC，DD1BDD，AC平面BDD1，BD1平面BDD1，ACBD1，直线BD1和AC所成角为【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19（12分）养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高
24、速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12M，高4M，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M（高不变）；二是高度增加4M（底面直径不变）（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；（3）哪个方案更经济些？【分析】（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M，由此能求出仓库的体积V1；如果按方案二，仓库的高变成8M，由此能求出仓库的体积V2（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M，半径为8M，求出棱锥的母线长，由此能求出仓库的表面积S1；如果按方案二，仓库的高变成8M，求出棱锥的母
25、线长，由此能求出仓库的表面积S2（3）由V2V1，S2S1，得到方案二比方案一更加经济【解答】解：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M，则仓库的体积，如果按方案二，仓库的高变成8M，则仓库的体积（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M，半径为8M棱锥的母线长为，则仓库的表面积如果按方案二，仓库的高变成8M棱锥的母线长为，则仓库的表面积（3）V2V1，S2S1，方案二比方案一更加经济【点评】本题考查圆锥子的体积、表面积的求法及应用，考查学生分析解决问题的能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20（12分）（1）已知圆台的上下底面半径分别是2，5，且侧面面积等于两底面面积之和
26、，求该圆台的母线长（2）有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190L，假如它的两底面长分别等于60cm和40cm，求它的深度为多少cm？【分析】（1）求出圆台的上底面面积，下底面面积，写出侧面积表达式，利用侧面面积等于两底面面积之和，求出圆台的母线长（2）根据棱台的体积公式可由体积直接计算出高度【解答】解：设圆台的母线长为l，则圆台的上底面面积为S上224，圆台的下底面面积为S下5225，所以圆台的底面面积为SS上+S下29，又圆台的侧面积S侧（2+5）l7l，于是7l29，即l；（2）由于V（S+S）h，则h75cm故它的深度为75cm【点评】本题考查旋转体（圆柱、圆锥、圆台），棱柱、棱锥、棱
27、台的侧面积和表面积以及体积，考查计算能力，是基础题21（12分）（1）如图（1）已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EHFG求证：EHBD（2）如图（2）：S是平行四边形ABCD平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且，求证：MN平面SBC【分析】（1）由EHFG，得EH平面BCD，由BD平面ABD，EH平面ABD，能证明EHBD（2）过N作NGAD，交AB于G，连接MG，利用已知比例关系证明MGSB，从而可证MG平面SBC，再证平面SBC平面MNG，由面面平行的性质得线面平行【解答】证明：（1）如图（1），E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，
28、BC，CD，DA上的点，EHFG，EH平面BCD，FG平面BCD，EH平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BD平面ABD，EH平面ABD，EHBD（2）如图（2），S是平行四边形ABCD平面外一点，过N作NGAD，交AB于G，连接MG，可得，由已知条件，得，MGSBMG平面SBC，SB平面SBC，MG平面SBC又ADBC，NGBC，NG平面SBC，BC平面SBCNG平面SBC，NGMGG，平面SBC平面MNG，MN平面MNG，MN平面SBC【点评】本题考查线线平行、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22（12分）如图，四棱锥PABCD
29、中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点（）证明MN平面PAB；（）求四面体NBCM的体积【分析】（）取BC中点E，连结EN，EM，得NE是PBC的中位线，推导出四边形ABEM是平行四边形，由此能证明MN平面PAB（）取AC中点F，连结NF，NF是PAC的中位线，推导出NF面ABCD，延长BC至G，使得CGAM，连结GM，则四边形AGCM是平行四边形，由此能求出四面体NBCM的体积【解答】证明：（）取BC中点E，连结EN，EM，N为PC的中点，NE是PBC的中位线NEPB，又ADBC，BEAD，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，BEBCAM2，四边形ABEM是平行四边形，EMAB，平面NEM平面PAB，MN平面NEM，MN平面PAB解：（）取AC中点F，连结NF，NF是PAC的中位线，NFPA，NF2，又PA面ABCD，NF面ABCD，如图，延长BC至G，使得CGAM，连结GM，AMCG，四边形AGCM是平行四边形，ACMG3，又ME3，ECCG2，MEG的高h，SBCM2，四面体NBCM的体积VNBCM【点评】本题考查线面平行的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养
