1、2019-2020学年山西省朔州市怀仁一中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）（10月份）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）集合Ax|x21，Bx|ax1若BA，则实数a的值为（）A1B1C1D0或12（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的是（）AyexBylnx2CyDysinx3（5分）已知与为互相垂直的单位向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）A（，2）B（，+）C（2，）D（）4（5分）已知不等式ax2+bx+c0的解集为x|2x4，则不等式cx2+bx+a0的解集为（）Ax|xB
2、x|xCx|Dx|x5（5分）等差数列an和bn，bn的前n项和分别为Sn与Tn，对一切自然数n，都有，则等于（）ABCD6（5分）若变量x，y满足约束条件，则3x+2y的最大值是（）A0B2C5D67（5分）已知坐标平面内三点，直线l过点P若直线l与线段MN相交，则直线l的倾斜角的取值范围为（）ABCD8（5分）直线l过P（1，2），且A（2，3），B（4，5）到l的距离相等，则直线l的方程是（）A4x+y60Bx+4y60C3x+2y70或4x+y60D2x+3y70或x+4y609（5分）下列各函数中，最小值为4的是（）ABCy4log3x+logx3Dy4ex+ex10（5分）在圆x2
3、+y22x6y0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）ABCD11（5分）在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，且三边a，b，c成等比数列，则的值为（）ABC1D212（5分）已知二次函数yx22x+m（m0）交x轴于A，B两点（A，B不重合），交y轴于C点，圆M过A，B，C三点下列说法正确的是（）圆心M在直线x1上；m的取值范围是（0，1）；圆M半径的最小值为1；存在定点N，使得圆M恒过点NABCD二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分将正确答案填在题中横线上）13（5分）若x，y满足约束条件则的最大值为 14（5分
4、）已知点A（1，0），过点A可作圆x2+y2mx+10的两条切线，则m的取值范围是 15（5分）若关于x的方程9x+（4+a）3x+40有解，则实数a的取值范围是 16（5分）已知两条直线yx+1，yk（x1）将圆x2+y21及其内部划分成三个部分，则k的取值范围是 ；三、解答题（本大题共6个小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B+sin2Csin2AsinBsinC（1）求A；（2）若a4，ABC的面积为，求b+c18（12分）为了了解当下高二男生的身高状况，某地区对高二年级男生的身高（单位：cm）进行了抽
5、样调查，得到的频率分布直方图如图所示已知身高在（185，190之间的男生人数比身高在（150，155之间的人数少1人（1）若身高在（160，175以内的定义为身高正常，而该地区共有高二男生18000人，则该地区高二男生中身高正常的大约有多少人？（2）从所抽取的样本中身高在（150，155和（185，190的男生中随机再选出2人调查其平时体育锻炼习惯对身高的影响，则所选出的2人中至少有一人身高大于185cm的概率是多少？19（12分）已知数列an的前n项和为Sn（1）若an为等差数列，且公差d2，an11，Sn36，求a1和n；（2）若an为等比数列，且a32，S36，求a1和公比q20（12分
6、）已知直线l：kxy+1+2k0（kR）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程21（12分）已知关于x，y的方程C：x2+y22x4y+m0（1）若方程C表示圆，求实数m的取值范围；（2）若圆C与直线l：x+2y40相交于M，N两点，且|MN|，求m的值22（12分）已知圆C：x2+（y4）21，直线l：2xy0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B（1）若APB60，求点P的坐标；（2）求证：经过点A，P，C三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标2019-2020学年山西省朔州市怀仁一中高二（
7、上）第二次月考数学试卷（理科）（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）集合Ax|x21，Bx|ax1若BA，则实数a的值为（）A1B1C1D0或1【分析】由BA，可分B和B两种情况进行讨论，根据集合包含关系的判断和应用，分别求出满足条件的a值，并写成集合的形式即可得到答案【解答】解：Ax|x211，1，又BA，当a0，ax1无解，故B，满足条件若B，则B1，或Q1，即a1，或a1故满足条件的实数a0，1，1故选：D【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，本题有两个易错点，一是忽略
8、B的情况，二是忽略题目要求求满足条件的实数a的取值集合，而把答案没用集合形式表示，属中档题2（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的是（）AyexBylnx2CyDysinx【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可【解答】解：y，yex为（0，+）上的单调递增函数，但不是偶函数，故排除A，C；ysinx在整个定义域上不具有单调性，排除D；ylnx2满足题意，故选：B【点评】本题主要考查函奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的性质：单调性、奇偶性等性质，比较基础3（5分）已知与为互相垂直的单位向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）A（，2）B（，+）C（
9、2，）D（）【分析】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，由与为互相垂直的单位向量，我们易得，代入，可求出，又由与的夹角为锐角，故0，由此得到一个关于的不等式，解不等式即可得到实数的取值范围，但要注意，与同向的排除【解答】解：与为互相垂直的单位向量，又，且与的夹角为锐角，但当2时，不满足要求故满足条件的实数的取值范围是（，2）故选：A【点评】两个向量夹角为锐角，则两个向量的数量积为正；两个向量夹角为钝角，则两个向量的数量积为负；两个向量夹角为直角，则两个向量的数量积为零；4（5分）已知不等式ax2+bx+c0的解集为x|2x4，则不等式cx2+bx+a0的解集为（）Ax|xBx|xCx|Dx
10、|x【分析】设yax2+bx+c，ax2+bx+c0的解集为x|2x4，得到开口向下，2和4为函数与x轴交点的横坐标，利用根与系数的关系表示出a与b、c的关系，化简不等式cx2+bx+a0，求出解集即可【解答】解：由题意cx2+bx+a0可化为x2+x+0，即x2x+0，解得x|x或故选：D【点评】考查学生综合运用函数与不等式的能力，以及解一元二次不等式的方法5（5分）等差数列an和bn，bn的前n项和分别为Sn与Tn，对一切自然数n，都有，则等于（）ABCD【分析】利用等差数列的前n项和公式分别表示出等差数列an和bn的前n项的和分别为Sn和Tn，利用等差数列的性质化简后，得到a5S9，b5
11、T9，然后将n9代入已知的等式中求出的值，即为所求式子的值【解答】解：S99a5，T99b5，a5S9，b5T9，又当n9时，故选：C【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握等差数列的性质及求和公式是解本题的关键6（5分）若变量x，y满足约束条件，则3x+2y的最大值是（）A0B2C5D6【分析】由题意作出其平面区域，将z2x+y化为y2x+z，z相当于直线y2x+z的纵截距，由几何意义可得【解答】解：由题意作出其平面区域，令z3x+2y，化为yx+，相当于直线yx+的纵截距，由图可知，解得，x1，y1，则3x+2y的最大值是3+25故选：C【点评】本题考查了简单
12、线性规划，作图要细致认真，属于中档题7（5分）已知坐标平面内三点，直线l过点P若直线l与线段MN相交，则直线l的倾斜角的取值范围为（）ABCD【分析】由题意画出图形，分别求出直线PM，PN所在直线当斜率，进一步求得倾斜角得答案【解答】解：如图，由，得，PM所在直线的倾斜角为，PN所在直线的倾斜角为，则直线l的倾斜角的取值范围为故选：A【点评】本题考查直线的斜率，考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题8（5分）直线l过P（1，2），且A（2，3），B（4，5）到l的距离相等，则直线l的方程是（）A4x+y60Bx+4y60C3x+2y70或4x+y60D2x+3y70
13、或x+4y60【分析】由条件可知直线平行于直线AB或过线段AB的中点，当直线lAB时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段AB的中点（2，3）时，易得所求的直线方程【解答】解 设所求直线为l，由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，（2分）（1）AB的斜率为4，当直线lAB时，l的方程是y24（x1），即 4x+y60 （6分）（2）当直线l经过线段AB的中点（3，1）时，l的斜率为，l的方程是 y2（x1），即3x+2y70（10分）故所求直线的方程为3x+2y70或4x+y60 （12分）故选：C【点评】本题考查求直线的方程的方法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题9（5分）
14、下列各函数中，最小值为4的是（）ABCy4log3x+logx3Dy4ex+ex【分析】根据基本应用条件，一正二定三相等，即可判断【解答】解：对于A，当x时，y，故不对，对于B：若取到最小值，则sinx2，显然不成立，对于C：4log3x与logx3均不能保证为正数，故对，对于D：y4ex+ex4，当且仅当xln2时取等号，故选：D【点评】本题考查函数的最值以及基本不等式的应用，考查计算能力10（5分）在圆x2+y22x6y0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）ABCD【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最
15、长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD2BE，然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x1）2+（y3）210，则圆心坐标为（1，3），半径为，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC2，MB，ME，所以BD2BE22，又ACBD，所以四边形ABCD的面积SACBD2210故选：B【点评】此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用
16、两点间的距离公式化简求值，是一道中档题学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半11（5分）在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，且三边a，b，c成等比数列，则的值为（）ABC1D2【分析】由结合整理定理代入即可求得tanB，求得B，由等比中项可知，b2ac，根据余弦定理代入即可求得4b2（a+c）2，即可求解的值【解答】解：由正弦定理可知：2R，a2RsinA，b2RsinB，bsinAacosB2RsinBsinA2RsinAcosB0，sinA0，tanB，B（0，），B，由a，b，c成等比数列，b2ac，b2a2+c22accosBa2+c2ac，4
17、b2（a+c）2，1，故选：C【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形的应用，考查灵活变形能力，属于中档题12（5分）已知二次函数yx22x+m（m0）交x轴于A，B两点（A，B不重合），交y轴于C点，圆M过A，B，C三点下列说法正确的是（）圆心M在直线x1上；m的取值范围是（0，1）；圆M半径的最小值为1；存在定点N，使得圆M恒过点NABCD【分析】根据圆心在弦的垂直平分线上，可知正确，排除C，根据判别式大于0，可知不正确，排除A，设出圆M的标准方程，将A，B，C的坐标代入，得到关半径r于m的函数，通过求值域可知不正确，排除B，故选D【解答】解：因为直线x1是抛物线的对称轴，且A，B两点
18、关于直线x1对称，所以圆心M在直线x1上，故正确；排除C，因为二次函数yx22x+m（m0）交x轴于A，B两点（A，B不重合），所以44m0，解得：m1且m0，故不正确；排除A，令x22x+m0，解得x11，x21+，A（1，0），B（1+，0），令x0，得ym，则C（0，m），设圆M的方程为：（x1）2+（yb）2r2，将A，B，C的坐标代入得：，消去r2得m22mbm，m0，m2b1，b，r21m+（）2，m1且m0，r21，r1故不正确，排除B，故选：D【点评】本题考查了二次函数的性质，圆的标准方程和性质，属中档题二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分将正确答案填在题中横线上
19、）13（5分）若x，y满足约束条件则的最大值为3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）设k，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），kOA3，即的最大值为3故答案为：3【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法14（5分）已知点A（1，0），过点A可作圆x2+y2mx+10的两条切线，则m的取值范围是（2，+）【分析】根据条件表示出圆心O（），半径r，再由AOr
20、，可解得m取值范围【解答】解：圆的方程可化为（x）2+y2，所以圆心O（），半径r为，因为过点A可作圆的两条切线，所以AOr，即|，解得m2又r0，所以0，解得m2或m2，综上m2故答案为：（2，+）【点评】本题考查圆的切线条件，属于基础题15（5分）若关于x的方程9x+（4+a）3x+40有解，则实数a的取值范围是a|a8【分析】令3xt0由条件可得a4（t+），利用基本不等式和不等式的性质求得实数a的取值范围【解答】解：令3xt0，则关于x的方程9x+（4+a）3x+40 即 t2+（4+a）t+40 有正实数解故 a4（t+），由基本不等式可得 t+4，当且仅当t时，等号成立，故（t+）
21、4，故4（t+）8，即a8，故答案为 a|a8【点评】本题考查方程有解问题、基本不等式求最值问题，同时考查转化思想和换元法，属于中档题16（5分）已知两条直线yx+1，yk（x1）将圆x2+y21及其内部划分成三个部分，则k的取值范围是（，10，+）；【分析】由题意画出图形，数形结合，分析即可得到答案【解答】解：yk（x1）过点（1，0），要使两条直线yx+1，yk（x1）将圆x2+y21及其内部划分成三个部分，则k（，10，+）；故答案为：（，10，+）【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，利用数形结合的解题思想方法，属于中档题三、解答题（本大题共6个小题，共70分解答应写出文字说明、证明
22、过程或演算步骤）17（10分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B+sin2Csin2AsinBsinC（1）求A；（2）若a4，ABC的面积为，求b+c【分析】（1）由三角形的正弦定理和余弦定理，可得所求角；（2）运用三角形的面积公式和（1）的结论，计算可得所求值【解答】解：（1）因为sin2B+sin2Csin2AsinBsinC，所以b2+c2a2bc，则，因为0A，所以（2）因为ABC的面积为，所以，即bc16，因为b2+c2a2bc，a4，所以b2+c232，所以【点评】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题18（1
23、2分）为了了解当下高二男生的身高状况，某地区对高二年级男生的身高（单位：cm）进行了抽样调查，得到的频率分布直方图如图所示已知身高在（185，190之间的男生人数比身高在（150，155之间的人数少1人（1）若身高在（160，175以内的定义为身高正常，而该地区共有高二男生18000人，则该地区高二男生中身高正常的大约有多少人？（2）从所抽取的样本中身高在（150，155和（185，190的男生中随机再选出2人调查其平时体育锻炼习惯对身高的影响，则所选出的2人中至少有一人身高大于185cm的概率是多少？【分析】（1）运用频率的意义和公式，可得所求；（2）求得样本容量，运用列举法和古典概率计算公
24、式可得所求【解答】解：（1）由频率分布直方图知，身高正常的频率为0.7，所以估计总体，即该地区所有高二年级男生中身高正常的频率为0.7，所以该地区高二男生中身高正常的大约有180000.712600人（2）由所抽取样本中身高在（150，155的频率为0.00650.03，可知身高在（185，190的频率为0.00450.02，所以样本容量为，则样本中身高在（150，155中的有3人，记为a，b，c，身高在（185，190中的有2人，记为A，B，从这5人中再选2人，共有（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B）10种不同
25、的选法，而且每种选法都是互斥且等可能的，所以，所选2人中至少有一人身高大于185cm的概率【点评】本题考查频率分布图的运用，考查数形结合思想，以及古典概率的求法，考查运算能力，属于基础题19（12分）已知数列an的前n项和为Sn（1）若an为等差数列，且公差d2，an11，Sn36，求a1和n；（2）若an为等比数列，且a32，S36，求a1和公比q【分析】（1）利用等差数列前n项和公式、通项公式列方程组，能求出结果（2）利用等比数列前n项和公式、通项公式列方程组，能求出结果【解答】解：（1）由题意知，（2分）消a1得：n212n+360（4分）解得n6，a11（6分）（2）由题意知，（8分）
26、消a1得：，即2q2q10（10分）解得或1，（12分）将q代入上述方程解得或者（14分）（不讨论q1，直接用解得或1；或者漏解q1的情况均扣3分）【点评】本题考查等差数列的首项及项数和等比数列的首项和公比的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题20（12分）已知直线l：kxy+1+2k0（kR）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程【分析】求出A、B的坐标，代入三角形的面积公式化简，再使用基本不等式求出面积的最小值，注意等号成立条件要检验，求出面积最小时的k值，从而得到直线方程【解答】解
27、：由l的方程，得，B（0，1+2k）依题意得，解得k0因为S|OA|0B|1+2k|（4k+4），“”成立的条件是k0且4k，即k，所以Smin4，此时直线l的方程为x2y+40【点评】本题考查过定点的直线系方程特征，以及利用基本不等式求表达式的最小值考查转化思想以及计算能力21（12分）已知关于x，y的方程C：x2+y22x4y+m0（1）若方程C表示圆，求实数m的取值范围；（2）若圆C与直线l：x+2y40相交于M，N两点，且|MN|，求m的值【分析】（1）根据圆的一般方程的条件列不等式求出m的范围；（2）利用垂径定理得出圆的半径，从而得出m的值【解答】解：（1）若方程C：x2+y22x4
28、y+m0表示圆，则4+164m0，解得m5（2）圆心（1，2）到直线x+2y40的距离d，圆的半径r1，1，解得m4【点评】本题考查了圆的一般方程，属于基础题22（12分）已知圆C：x2+（y4）21，直线l：2xy0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B（1）若APB60，求点P的坐标；（2）求证：经过点A，P，C三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标【分析】（1）由已知求得P到圆心C的距离为2，设出P的坐标，由两点间的距离公式列式求得P的坐标；（2）设出P的坐标，得到以PC为直径的圆的方程为：x（xa）+（y4）（y2a）0，整理后由圆系方程求得经过点A，P，C三点的圆必经过定点（0，4）和【解答】（1）解：如图，由条件可得PC2，设P（a，2a），则，解得a2或，点P（2，4）或；（2）证明：设P（a，2a），过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为：x（xa）+（y4）（y2a）0，整理得x2+y2ax4y2ay+8a0，即（x2+y24y）a（x+2y8）0由，得或，该圆必经过定点（0，4）和【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，考查数学转化思想方法，是中档题
