1、2019-2020学年山西省长治二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）若直线过点（1，3），（2，3+），则此直线的倾斜角是（）A30B45C60D902（5分）圆x2+y24x+6y0的圆心坐标是（）A（2，3）B（2，3）C（2，3）D（2，3）3（5分）设m，n是两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，mn，则n4（5分）在下列条件中，M与A、B、C一定共面的是（）A2B+C+D+5（5分）已知直线l1：x+2ay
2、10，与l2：（2a1）xay10平行，则a的值是（）A0或1B1或C0或D6（5分）如图，空间四边形OABC中，点M在上，且OM2MA，点N为BC中点，则（）ABCD7（5分）直线x2y+10关于直线x1对称的直线方程是（）Ax+2y10B2x+y10C2x+y30Dx+2y308（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）ABCD9（5分）在正四面体PABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为（）A1B1CD10（5分）已知直线ykx+2k+1与直线yx+2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是（）ABk或 kC6k2Dk1
3、1（5分）九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A4B8C12D1612（5分）在四棱锥ABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为正方形，PAAB3，点M为正方形ABCD内部的一点，且MD2MA，则直线PM与AD所成角的余弦值的取值范围为（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答卷的相应位置13（5分）两平行直线2x+y50与2x+y0间的距离为 14（5分）经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是 15（5分）若ya|
4、x|的图象与直线yx+a（a0）有两个不同交点，则a的取值范围是 16（5分）在四面体SABC中，ABBC，ABBC，SASC2，二面角SACB的余弦值是，则该四面体的外接球的表面积是 三、解答题：本大题共70分17（10分）已知圆C过A（1，4）、B（3，2）两点，且圆心在直线y0上（1）求圆C的方程；（2）判断点P（2，4）与圆C的位置关系18（12分）已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量（cosA，a2b），（2c，1）且（1）求角C；（2）若c2，ABC的面积为，求ABC的周长19（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA平面ABCD，PABE，ABP
5、A6，BE3（）求证：CE平面PAD（）求PD与平面PCE所成角的正弦值20（12分）如图，在ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x2y+10，A的平分线所在的直线方程为y0，若点B的坐标为（1，2），求：（）点A和点C的坐标；（）ABC的面积21（12分）将两块三角板按图甲方式拼好，其中BD90，ACD30，ACB45，AC2，现将三角板ACD沿AC折起，使D在平面ABC上的射影O恰好在AB上，如图乙（1）求证：AD平面BDC；（2）求二面角DACB的大小的正弦值22（12分）如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD是圆内接四边形，CBCDCE1，ECBD（1）求证：平面BED平面ABCD
6、；（2）若点P在侧面ABE内运动，且DP平面BEC，求直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值2019-2020学年山西省长治二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）若直线过点（1，3），（2，3+），则此直线的倾斜角是（）A30B45C60D90【分析】由题意根据直线的斜率的定义和斜率公式，求得此直线的倾斜角的值【解答】解：直线过点（1，3），（2，3+），设此直线的倾斜角是，则tan，60，故选：C【点评】本题主要考查直线的斜率的定义和斜率公式，属于基础题2（5分）
7、圆x2+y24x+6y0的圆心坐标是（）A（2，3）B（2，3）C（2，3）D（2，3）【分析】将已知圆化成标准方程并对照圆标准方程的基本概念，即可得到所求圆心坐标【解答】解：将圆x2+y24x+6y0化成标准方程，得（x2）2+（y+3）213圆表示以C（2，3）为圆心，半径r的圆故选：D【点评】本题给出圆的一般方程，求圆心的坐标着重考查了圆的标准方程与一般方程的知识，属于基础题3（5分）设m，n是两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，mn，则n【分析】由m，n，则mn或m与n异面；若直线与平面垂直的定义可知，若m，则m垂
8、直与面内的任意直线；若m，mn，则n或n；若m，mn，则n、相交或n或n，从而可判断【解答】解：m，n，则mn或m与n异面，故A错误；若直线与平面垂直的定义可知，若m，则m垂直于面内的任意直线，故B正确；若m，mn，则n或n，故C错误；若m，mn，则n、相交或n或n，故D错误故选：B【点评】本题主要考查了直线与平面平行及垂直的性质及判断定理的综合应用，属于中档试题4（5分）在下列条件中，M与A、B、C一定共面的是（）A2B+C+D+【分析】利用空间向量基本定理，进行验证，对于C，可得，为共面向量，从而可得M、A、B、C四点共面【解答】解：C中，由+，得，则，为共面向量，即M、A、B、C四点共面
9、对于A，+，M、A、B、C四点不共面对于B，M、A、B、C四点不共面对于D，+，（+），系数和不为1，M、A、B、C四点不共面故选：C【点评】本题考查空间向量基本定理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题5（5分）已知直线l1：x+2ay10，与l2：（2a1）xay10平行，则a的值是（）A0或1B1或C0或D【分析】先检验当a0时，是否满足两直线平行，当a0时，两直线的斜率都存在，由，解得a的值【解答】解：当a0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x1，x1，显然两直线是平行的当a0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由，解得：a综上，a0或，故选：C【点评】本题考查两直线平
10、行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验6（5分）如图，空间四边形OABC中，点M在上，且OM2MA，点N为BC中点，则（）ABCD【分析】由题意，把，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项【解答】解：由题意+又，+故选：B【点评】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题7（5分）直线x2y+10关于直线x1对称的直线方程是（）Ax+2y10B2x+y10C2x+y30Dx+2y30【分析】设所求直线上任一点（x，
11、y），关于x1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程【解答】解：解法一（利用相关点法）设所求直线上任一点（x，y），则它关于x1对称点为（2x，y）在直线x2y+10上，2x2y+10化简得x+2y30故选答案D解法二：根据直线x2y+10关于直线x1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，再根据两直线交点为（1，1）选答案D故选：D【点评】本题采用两种方法解答，一是相关点法：求轨迹方程法；法二筛选和排除法本题还有点斜式、两点式等方法8（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）ABCD【分析】由三视图判断，正方体被切掉
12、的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，正方体切掉部分的体积为111，剩余部分体积为1，截去部分体积与剩余部分体积的比值为故选：D【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积9（5分）在正四面体PABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为（）A1B1CD【分析】运用空间向量基本定理，转化为向量，为基底【解答】解：如图，PABC为正四面体，则APCBPCAPB60，E是棱AB中点，所以，所以（）+121，故选：A【点评】本题考查了空间向量的数量积运算，考查了分析解决问题的能力，将空间向量的数量
13、积转化为一组空间向量基底的运算是关键本题属于基础题10（5分）已知直线ykx+2k+1与直线yx+2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是（）ABk或 kC6k2Dk【分析】联立，可解得交点坐标（x，y），由于直线ykx+2k+1与直线yx+2的交点位于第一象限，可得，解得即可【解答】解：联立，解得，直线ykx+2k+1与直线yx+2的交点位于第一象限，解得故选：A【点评】本题考查了直线的交点、不等式的解法，属于基础题11（5分）九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳
14、马的个数是（）A4B8C12D16【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案【解答】解：根据正六边形的性质，则D1A1ABB1，D1A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有248，当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有8+4+416故选：D【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题12（5分）在四棱锥ABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为正方形，PAAB3，点M为正方形ABCD内部的一点，且MD2MA，则直线PM与AD所成角的余弦值的取值范围为（）ABCD【分析】建立空间直角坐标系，写
15、出个点的坐标，设M的坐标，MD2MA得x，y之间关系式及利用空间向量来解即可【解答】解：如图由题意建立如图所示的空间直角坐标系坐标系，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，则A（0，0，0），B（3，0，0），D（0，3，0），P（0，0，3），点M为正方形ABCD内部的一点，且MD2MA，设点M（x，y，0）（0x3，0y3），则2x2+y2+2y30（0y1），（x，y，3），（0，3，0），cos，cos，令t（，2），cos（0，）；故选：D【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题二、填空题：本大题共4小题
16、，每小题5分，共20分把答案填在答卷的相应位置13（5分）两平行直线2x+y50与2x+y0间的距离为【分析】直接利用两条平行线之间的距离公式求解即可【解答】解：两平行直线2x+y50与2x+y0间的距离为：故答案为：【点评】本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题14（5分）经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是x+y2或yx【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+ya，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为ykx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到
17、直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程【解答】解：当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+ya，把（1，1）代入所设的方程得：a2，则所求直线的方程为x+y2；当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为ykx，把（1，1）代入所求的方程得：k1，则所求直线的方程为yx综上，所求直线的方程为：x+y2或yx故答案为：x+y2或yx【点评】此题考查直线的一般方程和分类讨论的数学思想，要注意对截距为0和不为0分类讨论，是一道基础题15（5分）若ya|x|的图象与直线yx+a（a0）有两个不同交点，则a的取值范围是（1，+）【分析】由题意得，函数ya|x|与函数yx
18、+a （a0）的图象有两个不同的交点，结合图象得出结果【解答】解：方程a|x|x+a（a0）有两个不同的实数解，即函数ya|x|与函数yx+a 有两个不同的交点ya|x|的图象过定点（0，0），是两条射线，直线yx+a 的图象过定点（0，a），斜率为1，如图所示：所以a的取值范围是：a1；故答案为：（1，+）【点评】本题通过函数图象，考查了方程根的存在情况，是基础题16（5分）在四面体SABC中，ABBC，ABBC，SASC2，二面角SACB的余弦值是，则该四面体的外接球的表面积是6【分析】由ABBC，得ABC的外接圆的圆心O为AC中点，连接SO，BO，可证OO底面ABC，将平面SOB取出，求
19、出SB，作SB的中垂线，过O作BO的垂线，两者必相交于O，用余弦定理，求得cosOBS，从而可知D，E，O三点重合，可得外接圆的半径，即可求得球的表面积【解答】解：由ABBC，得ABC的外接圆的圆心O为AC中点，连接SO，BO，由SASC和ABBC有SOAC，BOAC而四面体外接球的球心O在平面SOB内，连接OO，有OO底面ABC将平面SOB取出，则BO1，SO，用余弦定理可得cosSOB，SB，作SB的中垂线，过O作BO的垂线，两者必相交于O，用余弦定理，cosOBS，如图，BEOBcosOBS，也就是D，E，O三点重合，外接圆的半径ROB，球的表面积是4R26故答案为：6【点评】解决此类问
20、题的关键是熟悉几何体的结构特征，利用已知条件求出线段长度，进而确定圆心的位置即可求出圆的半径三、解答题：本大题共70分17（10分）已知圆C过A（1，4）、B（3，2）两点，且圆心在直线y0上（1）求圆C的方程；（2）判断点P（2，4）与圆C的位置关系【分析】（1）求出圆心和半径，即可求圆C的方程；（2）根据点P（2，4）与圆C的位置关系，即可得到结论【解答】解：（1）圆心在直线y0上，设圆心坐标为C（a，0），则|AC|BC|，即，即（a1）2+16（a3）2+4，解得a1，即圆心为（1，0），半径r|AC|，则圆的标准方程为（x+1）2+y220，（2）|PC|r，点P（2，4）在圆C的外
21、面【点评】本题主要考查圆的方程的求解，根据条件求出圆心和半径是解决本题的关键18（12分）已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量（cosA，a2b），（2c，1）且（1）求角C；（2）若c2，ABC的面积为，求ABC的周长【分析】（1）直接利用平面的向量的数量积求出C的值（2）利用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式求出结果【解答】解：（1）由（cosA，a2b），（2c，1）且所以2ccosA2ba由正弦定理得：2sinCcosA2sinBsinA2sinCcosA2sin（A+C）sinA2sinAcosC+2cosAsinCsinA，整理得2sinAcosCsinA，由si
22、nA0，可得cosC，由于0C，所以（2）由于，ABC的面积为，所以，整理得ab4，由余弦定理，c2a2+b22abcosC4，整理得（a+b）243ab，解得a+b4所以三角形的周长为a+b+c4+26【点评】本题考查的知识要点：正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型19（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA平面ABCD，PABE，ABPA6，BE3（）求证：CE平面PAD（）求PD与平面PCE所成角的正弦值【分析】（）设PA中点为G，连结EG，DG，推导出四边形BEGA是平行四边形，从而四边形CDGE是平行四
23、边形，进而CEDG，由此能证明CE平面PAD（）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PD与平面PCE所成角的正弦值【解答】证明：（）设PA中点为G，连结EG，DG，PABE，且PA6，BE3，BEAG，且BEAG，四边形BEGA是平行四边形，EGAB，且EGAB，正方形ABCD，CDAB，CDAB，EGCD，且EGCD，四边形CDGE是平行四边形，CEDG，DG平面PAD，CE平面PAD，CE平面PAD解：（）如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则C（6，6，0），E（6，0，3），P（0，0，6），D（0，
24、6，0），（0，6，6），（6，6，6），（6，0，3），设平面PCE的一个法向量为（x，y，z），取z1，得（1，1，2），设PD与平面PCE所成有为，则sin|cos|，PD与平面PCE所成角的正弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20（12分）如图，在ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x2y+10，A的平分线所在的直线方程为y0，若点B的坐标为（1，2），求：（）点A和点C的坐标；（）ABC的面积【分析】（）先求出A点的坐标，求出AB的斜率，得到直线AC的方程，从而求出B点的坐标；（）求出|BC|的长，再
25、求出A到BC的距离，从而求出三角形的面积即可【解答】解：（）由得顶点A（1，0）（1分）又AB的斜率 kAB1（2分）x轴是A的平分线，故AC的斜率为1，AC所在直线的方程为y（x+1）（4分）已知BC上的高所在直线的方程为x2y+10，故BC的斜率为2，BC所在的直线方程为y22（x1）（6分）解，得顶点C的坐标为（5，6）（7分）（）（8分）又直线BC的方程是2x+y40A到直线的距离（10分）所以ABC 的面积（12分）【点评】本题考察了求直线的斜率、方程问题，考察点到直线的距离公式，是一道中档题21（12分）将两块三角板按图甲方式拼好，其中BD90，ACD30，ACB45，AC2，现将
26、三角板ACD沿AC折起，使D在平面ABC上的射影O恰好在AB上，如图乙（1）求证：AD平面BDC；（2）求二面角DACB的大小的正弦值【分析】（1）设D在AB的射影为O，则DO平面ABC，DOBC，BCBA，从而BC平面ADB，BCAD，ADCD，由此能证明AD平面BDC（2）由ADBD，得O为AB中点，以OB为x轴，OD为z轴，过O 且与BC平行的直线为y轴，建系，利用向量法能求出二面角DACB的正弦值【解答】解：（1）证明：设D在AB的射影为O，则DO平面ABC，DOBC，又BCBA，BC平面ADB，BCAD，又ADCD，AD平面BDC（2）解：由（1）ADBD，又AD1，AB，BD1，O
27、为AB中点，以OB为x轴，OD为z轴，过O 且与BC平行的直线为y轴，建系，则A（，0，0），B（，0，0），C（，0），D（0，0，），（，0），（，0，），设（x，y，z）为平面ACD的法向量，则，取x1，得（1，1，1），（0，0，1）为平面ABC的法向量，设二面角DACB的大小为，则|cos|，sin，二面角DACB的正弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题22（12分）如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD是圆内接四边形，CBCDCE1，ECBD（1）求证：平面BED平面
28、ABCD；（2）若点P在侧面ABE内运动，且DP平面BEC，求直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值【分析】（1）推导出ACBD，从而EOAC，EOBD，由此能证明直线EO平面ABCD即可证明（2）取AE的中点M，AB的中点N，连接MN，ND，可得点P在线段MN上以O 为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值【解答】证明：（1）连接AC，BD，交于点O，连接EO，ADAB，CDCB，ACBD，又ECDB，ECACC，DB面AEC，从而 BDOE，又AC是直径，ADCABC90，由AD，CD1，解得，AO，则
29、，故EOAC；故EO平面ABCD，平面BED平面ABCD（5分）解：（2）取AE的中点M，AB的中点N，连接MN，ND，则MNBE，且MN平面EBC，MN平面EBC；而DNAB，BCAB，DNBC，且DN平面EBC，DN平面EBC综上所述，平面DMN平面EBC，点P在线段MN上如图建立空间直角坐标系，则A（，0，0），B（0，0），E（0，0，），M（，0，），N（，0），（0，），（），（，0），（，0，），设平面ABE法向量为（x，y，z），则，取（1，），设，可得 +（，t，），设直线DP与平面ABE所成角为，则sin01当0时，sin的最大值为【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题
