1、2019-2020学年山西省朔州市怀仁一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1（5分）直线x+y+10的倾斜角是（）ABCD2（5分）已知直线（a2）x+ay10与直线2x+3y+50平行，则a的值为（）A6B6CD3（5分）以点P（2，3）为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是（）A（x+2）2+（y3）24B（x+2）2+（y3）29C（x2）2+（y+3）24D（x2）2+（y+3）294（5分）直线a不平行于平面，且直线a，则下列结论成立的是（）A内的所有直线与a异面B内不存在与a平行的直线C内存在唯一的直线与a平行D内的直线与a都相交5（5
2、分）两圆x2+y210和x2+y24x+2y40的位置关系是（）A内切B相交C外切D外离6（5分）若圆O：x2+y24与圆C：x2+y2+4x4y+40关于直线l对称，则直线l的方程是（）Ax+y0Bxy0Cx+y+20Dxy+207（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A17B18C20D288（5分）半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）AR3BR3CR3DR39（5分）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中；（1）BM与ED平行；（2）CN与BE是异面直线；（3）CN与BM成60；（4）CN与AF垂直以上四
3、个命题中，正确命题的序号是（）A（1）（2）（3）B（2）（4）C（3）D（3）（4）10（5分）直线yx+b与曲线x有且仅有1个公共点，则b的取值范围是（）A|b|B1b1或bC1b1D1b1 或b11（5分）过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线L，使L与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线L可以作（）A1条B2条C3条D4条12（5分）若圆C：x2+y24x4y100上至少有三个不同的点到直线l：xy+c0的距离为，则c的取值范围是（）AB（）C2，2D（2，2）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13（5分）直线3x+y30与直线6x+my+10平行，则
4、两直线之间的距离为 14（5分）如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 15（5分）已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的负半轴上，直线l：yx1被圆C所截得的弦长为2，则圆C的方程为 16（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为 三、解答题（本题共6道小题，第17题10分，其余各题均为12分，共70分）17（10分）已知直线l过直线xy10与直线2x+y50的交点P（1）若l与直线x+3y10垂直，求l的方程；（2）点A（1，3）和点B（3，1）到直线l的距离相等，求直线l的
5、方程18（12分）已知圆M过点C（1，1），D（1，1），且圆心M在直线x+y20上（1）求圆M的方程；（2）点P（x，y）为圆M上任意一点，求的最值19（12分）如图，正方体ABCDABCD的棱长为a，连接AC，AD，AB，BD，BC，CD，得到一个三棱锥，求：（1）三棱锥ABCD的表面积与正方体表面积的比值；（2）三棱锥ABCD的体积20（12分）如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若四边形EFGH为平行四边形（1）求证：AB平面EFGH；（2）若AB4，CD6，求四边形EFGH周长的取值范围21（12分）已知圆C：x2+y2+x6y+m0与直线l：x+2y30（1）若直线
6、l与圆C没有公共点，求m的取值范围；（2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OPOQ，求实数m的值22（12分）如图，圆C：x2（1+a）x+y2ay+a0（）若圆C与x轴相切，求圆C的方程；（）已知a1，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）过点M任作一条直线与圆O：x2+y24相交于两点A，B问：是否存在实数a，使得ANMBNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由2019-2020学年山西省朔州市怀仁一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1（5分）直线x+y+10的倾斜角是（）ABCD【分析】设出
7、直线的倾斜角，求出斜率，就是倾斜角的正切值，然后求出倾斜角【解答】解：设直线的倾斜角为，由题意直线的斜率为，即tan所以故选：D【点评】本题考查直线的倾斜角、直线的斜率，考查计算能力，是基础题2（5分）已知直线（a2）x+ay10与直线2x+3y+50平行，则a的值为（）A6B6CD【分析】根据两直线平行的等价条件即可求出a的值【解答】解：直线（a2）x+ay10与直线2x+3y+50平行，解得a6故选：B【点评】本题主要考查了直线平行的等价条件与应用问题，是基础题目3（5分）以点P（2，3）为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是（）A（x+2）2+（y3）24B（x+2）2+（y3）29C（x2
8、）2+（y+3）24D（x2）2+（y+3）29【分析】根据圆与y轴相切，圆的半径等于点P到y轴的距离，求出半径r2，再利用圆的标准方程即可求出所求圆的方程【解答】解：设圆的方程为（x2）2+（y+3）2r2，圆与y轴相切，半径r等于圆心P到y轴的距离，即r2因此，圆的方程为（x2）2+（y+3）24，故选：C【点评】本题给出圆满足的条件，求圆的方程，着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题4（5分）直线a不平行于平面，且直线a，则下列结论成立的是（）A内的所有直线与a异面B内不存在与a平行的直线C内存在唯一的直线与a平行D内的直线与a都相交【分析】由直线a不平行于平面，且
9、直线a，知内的所有直线与a异面或相交，内不存在与a平行的直线【解答】解：直线a不平行于平面，且直线a，直线a与平面相交内的所有直线与a异面或相交，故A与D不成立；内不存在与a平行的直线，故B成立，C不成立故选：B【点评】本题考查空间中直线与直线之间的位置关系，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与平面位置关系的灵活运用5（5分）两圆x2+y210和x2+y24x+2y40的位置关系是（）A内切B相交C外切D外离【分析】由已知中两圆的方程：x2+y210和x2+y24x+2y40，我们可以求出他们的圆心坐标及半径，进而求出圆心距|O1O2|，比较|O1O2|与R2R1及R2+R1的大小，
10、即可得到两个圆之间的位置关系【解答】解：圆x2+y210表示以O1（0，0）点为圆心，以R11为半径的圆；圆x2+y24x+2y40表示以O2（2，1）点为圆心，以R23为半径的圆；|O1O2|R2R1|O1O2|R2+R1，圆x2+y210和圆x2+y24x+2y40相交故选：B【点评】本题考查的知识点是圆与圆的位置关系及其判定，若圆O1的半径为R1，圆O2的半径为R2，（R2R1），则当|O1O2|R2+R1时，两圆外离，当|O1O2|R2+R1时，两圆外切，当R2R1|O1O2|R2+R1时，两相交，当|O1O2|R2R1时，两圆内切，当|O1O2|R2R1时，两圆内含6（5分）若圆O：
11、x2+y24与圆C：x2+y2+4x4y+40关于直线l对称，则直线l的方程是（）Ax+y0Bxy0Cx+y+20Dxy+20【分析】由题意可得，直线l是两圆的公共弦所在的直线，故把两圆的方程相减可得直线l的方程【解答】解：由于圆O：x2+y24与圆C：x2+y2+4x4y+40关于直线l对称，则直线l是两圆的公共弦所在的直线，故把两圆的方程相减可得直线l的方程为 xy+20，故选：D【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，判断直线l是两圆的公共弦所在的直线，是解题的关键，属于中档题7（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表
12、面积是（）A17B18C20D28【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：，R2它的表面积是：422+17故选：A【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力8（5分）半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）AR3BR3CR3DR3【分析】求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积【解答】解：2rR，所以r，则h，所以V故选：A【点评】本题是基础题，考查圆锥的展开图与圆锥之间的计算关系，圆锥体积的求法
13、，考查计算能力9（5分）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中；（1）BM与ED平行；（2）CN与BE是异面直线；（3）CN与BM成60；（4）CN与AF垂直以上四个命题中，正确命题的序号是（）A（1）（2）（3）B（2）（4）C（3）D（3）（4）【分析】将展开图复原为几何体，如图，容易判断选项的正误，求出结果【解答】解：展开图复原的正方体如图，不难看出：（1）BM与ED平行；错误的，是异面直线；（2）CN与BE是异面直线，错误；是平行线；（3）CN与BM成60；正确；（4）CN与AF垂直正确判断正确的答案为（3）（4）故选：D【点评】本题考查异面直线的判定，异面直线及其所成的角，空间中直
14、线与直线之间的位置关系，几何体的折叠与展开，考查空间想象能力，是基础题10（5分）直线yx+b与曲线x有且仅有1个公共点，则b的取值范围是（）A|b|B1b1或bC1b1D1b1 或b【分析】结合条件画出图形，数形结合求得满足条件的b的范围【解答】解：曲线x，即 x2+y21 （x0），表示以（0，0）为圆心、半径等于1的半圆（位于y轴及y轴右侧的部分），如图，当直线yx+b经过点A（0，1）时，b1；当直线线yx+b经过点（0，1）时，b1；当直线yx+b和半圆相切时，由圆心到直线线yx+b的距离等于半径，可得1，求得b （舍去），或b，综上可得，1b1，或 b，故选：B【点评】本题主要考查
15、方程根的存在性以及个数判断，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题11（5分）过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线L，使L与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线L可以作（）A1条B2条C3条D4条【分析】直线与直线的所成角为锐角或直角所以要对过点A的直线进行分类，分两类第一类：通过点A位于三条棱之间，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，进行讨论即可【解答】解：第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条故选：D【点评】本题主要考查空间
16、感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力，属于基础题12（5分）若圆C：x2+y24x4y100上至少有三个不同的点到直线l：xy+c0的距离为，则c的取值范围是（）AB（）C2，2D（2，2）【分析】先求出圆心和半径，比较半径和2，要求 圆上至少有三个不同的点到直线l：xy+c0的距离为2 ，则圆心到直线的距离应小于等于 用圆心到直线的距离公式，可求得结果【解答】解：圆x2+y24x4y100整理为（x2）2+（y2）218，圆心坐标为（2，2），半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：xy+c0的距离为2则圆心到直线的距离d，2c2故选：C【点评】本题考查直线和圆的
17、位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13（5分）直线3x+y30与直线6x+my+10平行，则两直线之间的距离为【分析】通过直线平行求出m，然后利用平行线之间的距离求出结果即可【解答】解：直线3x+y30与直线6x+my+10平行，所以m2，则两直线之间的距离为：故答案为：【点评】本题考查平行线之间的距离的求法，基本知识的考查14（5分）如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1
18、BC1用余弦定理求出此角即可得到所求【解答】解如图，连接BC1，A1C1，A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设ABa，AA12a，A1BC1Ba，A1C1a，根据余弦定理可知A1BC1的余弦值为 ，故答案为：【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题15（5分）已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的负半轴上，直线l：yx1被圆C所截得的弦长为2，则圆C的方程为（x+1）2+y24【分析】首先利用已知条件求出圆心和半径的关系式，进一步利用垂径定理和点到直线的距离公式的应用求出结果【解答】解：设圆的方程为y2+（xa）2r2，由于圆C
19、过点（1，0），所以1+a2r2，直线l：yx1被圆C所截得的弦长为2，所以圆心（a，0）到直线xy10的距离d，由得a1，r2故圆的方程为（x+1）2+y24，故答案为：（x+1）2+y24【点评】本题考查的知识要点：圆与直线的方程的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型16（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为41【分析】由三视图知该几何体是的三棱锥，将三棱锥放在对应的正方体中，把三棱锥ABCD的外接球转化为对应三棱柱的外接球，结合图象由余弦定理、正弦定理求出外接球的半径，代入球
20、的表面积公式求解即可【解答】解：由三视图知该几何体是如图所示的三棱锥ABCD将该三棱锥是放在棱长为4的正方体中，E是棱的中点，所以三棱锥ABCD和三棱柱DEFABC的外接球相同，设外接球的球心为O、半径是R，ABC外接圆的圆心是M，则OM2，在ABC中，ABAC2，由余弦定理得，cosCAB，所以sinCAB，由正弦定理得，2CM5，则CM，所以ROC则外接球的表面积S4R241，故答案为：41【点评】本题考查了空间几何体三视图，正弦定理和余弦定理的综合应用，解题关键是由三视图还原为几何体、确定外接圆的圆心位置，是中档题三、解答题（本题共6道小题，第17题10分，其余各题均为12分，共70分）
21、17（10分）已知直线l过直线xy10与直线2x+y50的交点P（1）若l与直线x+3y10垂直，求l的方程；（2）点A（1，3）和点B（3，1）到直线l的距离相等，求直线l的方程【分析】（1）求出P的坐标，求出l的斜率，代入点斜式方程整理即可；（2）通过讨论得到直线l的斜率存在，由距离相等得到关于斜率k的方程，解出k的值，求出直线方程即可【解答】解：（1）由，解得P（2，1），由于l与x+3y10垂直，则l的斜率为3，代入直线的点斜式方程得：y13（x2），即3xy50；（2）由（1）知直线l过P（2，1），若直线l的斜率不存在，即x2，此时，A，B的直线l的距离不相等，故直线l的斜率一定存
22、在，设直线l的方程为：yk（x2）+1，即kxy2k+10，由题意得，解得：k1或k，故所求直线方程是：x+2y40或x+y30【点评】本题考查了求直线方程问题，考查直线的位置关系以及点到直线的距离公式，是一道中档题18（12分）已知圆M过点C（1，1），D（1，1），且圆心M在直线x+y20上（1）求圆M的方程；（2）点P（x，y）为圆M上任意一点，求的最值【分析】（1）利用MCMD，求出M的坐标及半径即可；（2）将看成是点A（2，1）与P（x，y）的斜率k，利用圆心到直线AP的距离等于半径求出直线与圆相切时的k值即可【解答】解：（1）设M（a，2a），因为圆M经过点C、D，所以MCMD，即
23、，解得a1，所以M（1，1），r|MC|，所以圆M的方程为：（x1）2+（y1）24（2）因为，所以该式可以看成是点A（2，1）与P（x，y）的斜率k，设直线AP：y+1k（x+2），即kxy+2k10，当AP为圆M的切线时，有2，解得k0或k，所以的最小值为0，最大值为【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及斜率公式，属于中档题19（12分）如图，正方体ABCDABCD的棱长为a，连接AC，AD，AB，BD，BC，CD，得到一个三棱锥，求：（1）三棱锥ABCD的表面积与正方体表面积的比值；（2）三棱锥ABCD的体积【分析】（1）求出三棱锥ABCD的棱长为a，即可求出三棱锥ABCD的表面积与正
24、方体表面积的比值；（2）利用割补法，即可求出三棱锥ABCD的体积【解答】解：（1）正方体ABCDABCD的棱长为a，则三棱锥ABCD的棱长为a，表面积为4（a）22a2，正方体表面积为6a2，三棱锥ABCD的表面积与正方体表面积的比值为：3；（2）三棱锥ABCD的体积为a34a3a3【点评】本题考查三棱锥、正方体表面积、体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（12分）如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若四边形EFGH为平行四边形（1）求证：AB平面EFGH；（2）若AB4，CD6，求四边形EFGH周长的取值范围【分析】（1）通过证明EH平面ABD，得出EHAB
25、，从而证明AB平面EFGH；（2）设EHx，EFy，由EHAB，EFCD，求出x、y的关系式，再求四边形EFGH的周长l的取值范围即可【解答】解：（1）证明：四边形EFGH为平行四边形，EHFG；EH平面ABD，FG平面ABD，EH平面ABD；又EH平面ABC，平面ABC平面ABDAB，EHAB；又EH平面EFGH，AB平面EFGH，AB平面EFGH；（2）设EHx，EFy，EHAB，EFCD，+1；又AB4，CD6，+1，y6（1），且0x4；四边形EFGH的周长为l2（x+y）2x+6（1）12x，812x12；四边形EFGH周长的取值范围是（8，12）【点评】本题考查了空间中线面平行的判
26、断与性质的应用问题，也考查了平行线截得线段成比例的应用问题，是综合性题目21（12分）已知圆C：x2+y2+x6y+m0与直线l：x+2y30（1）若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；（2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OPOQ，求实数m的值【分析】（1）找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，根据直线l与圆没有公共点得到直线l与圆外离，即d大于r列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围；（2）根据题意得出直线OP与直线OQ垂直，即斜率乘积为1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线l方程与圆方程联立，消去y得到关于x的一元二
27、次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，根据斜率乘积为1列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值【解答】解：（1）将圆的方程化为标准方程得：（x+）2+（y3）29m，圆心C（，3），半径r29m0，即m，圆心C到直线l的距离d2，直线l与圆C没有公共点9m，即m8，则m的范围为（8，）；（2）根据题意得：OQP为直角三角形，即OPOQ，将直线l与圆方程联立消去y得到：5x2+10x+4m270，设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1+x22，x1x2，y1y2，x1x2+y1y20，+1，解得：m3【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：根与系数的关系，两直线
28、垂直时斜率的乘积为1，圆的标准方程，以及点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系有d与r的大小关系来判断：当dr时，直线与圆相离；当dr时，直线与圆相切；当dr时，直线与圆相交（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）22（12分）如图，圆C：x2（1+a）x+y2ay+a0（）若圆C与x轴相切，求圆C的方程；（）已知a1，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）过点M任作一条直线与圆O：x2+y24相交于两点A，B问：是否存在实数a，使得ANMBNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由【分析】（）在圆的方程中，令y0，可得关于x的一元二次方程的判别式等于零，由此求得a的值，从而求得
29、所求圆C的方程（）先求出所以M（1，0），N（a，0），假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk（x1），代入x2+y24，利用韦达定理，根据NA、NB的斜率之和等于零求得a的值经过检验，当直线AB与x轴垂直时，这个a值仍然满足ANMBNM，从而得出结论【解答】（）因为由可得x2（1+a）x+a0，由题意得（1+a）24a（a1）20，所以a1，故所求圆C的方程为x22x+y2y+10（）令y0，得x2（1+a）x+a0，即（x1）（xa）0，求得x1，或xa，所以M（1，0），N（a，0）假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk（x1），代入x2+y24得，（1+k2）x22k2x+k240，设A（x1，y1），B（x2，y2），从而因为NA、NB的斜率之和为 ，而（x11）（x2a）+（x21）（x1a）2x1x2（a+1）（x2+x1）+2a，因为ANMBNM，所以，NA、NB的斜率互为相反数，即，得a4当直线AB与x轴垂直时，仍然满足ANMBNM，即NA、NB的斜率互为相反数综上，存在a4，使得ANMBNM【点评】本题主要考查求圆的标准方程，直线和圆的位置关系，直线的倾斜角和斜率，属于中档题
