1、2019-2020学年山西省吕梁市孝义市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）下列四条直线，其倾斜角最大的是（）Ax+2y+30B2xy+10Cx+y+10Dx+102（5分）设a，b是实数，则“ab”是“a2b2”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3（5分）设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A若lm，m，则lB若l，lm，则mC若l，m，则lmD若l，m，则lm4（5分）设椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C
2、上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为（）ABCD5（5分）若直线ykx+2k与曲线有两个不同的交点，则k的取值范围是（）ABCD6（5分）已知f（x）alnx+x2（a0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有2恒成立，则a的取值范围是（）A（0，1B（1，+）C（0，1）D1，+）7（5分）如果圆（xa）2+（ya）28上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A（3，1）（1，3）B（3，3）C1，1D（3，11，3）8（5分）某几何体的三视图如图所示，正视图为直角三角形，侧视图为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则其外接球的表面积为（）A5BC8D9（
3、5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点F是线段BC1上的动点，则下列说法错误的是（）A无论点F在BC1上怎么移动，异面直线A1F与CD所成角都不可能是30B无论点F在BC1上怎么移动，都有A1FB1DC当点F移动至BC1中点时，才有A1F与B1D相交于一点，记为点E，且2D当点F移动至BC1中点时，直线A1F与平面BDC1所成角最大且为6010（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点若AB的中点坐标为（1，1），则E的方程为（）ABCD11（5分）已知点F为抛物线y 28x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|4，
4、则|PA|+|PO|的最小值为（）A6BCD4+212（5分）设奇函数f（x）在R上存在导数f（x），且在（0，+）上f（x）x2，若f（1m）f（m），则实数m的取值范围为（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知函数f（x）ax3+x+1的图象在点（1，f（1）处的切线过点（2，7），则a 14（5分）已知命题p：xR，ax2+2x+10是假命题，则实数a的取值范围是 15（5分）已知函数f（x）ex2+a有零点，则实数a的取值范围为 16（5分）已知椭圆+1（ab0）的离心率e，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB斜倾
5、角分别为，则|tantan|的最小值为 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17（10分）已知集合，若tA是tB的充分不必要条件，求实数m的取值范围18（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD8，AD4，AB2DC4（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD平面PAD；（2）求四棱锥PABCD的体积19（12分）已知线段AB的端点B的坐标为（1，3），端点A在圆C：（x+1）2+y24上运动（1）求线段AB的中点M的轨迹；（2）过B点的直线L与圆C有两个交点A，D当CACD时，求L的斜率
6、20（12分）已知函数f（x）x3+ax2+bx+c在与x1处都取得极值（1）求a，b的值；（2）若对xR，f（x）有三个零点，求实数c的取值范围21（12分）已知椭圆的离心率为，又点在该椭圆上（1）求椭圆E的方程；（2）若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，求ABC的最大面积22（12分）已知函数（1）当a0时，求曲线yf（x）在（1，f（1）处的切线方程；（2）令g（x）f（x）ax+1，求函数g（x）的极大值；（3）若a2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x20，证明：2019-2020学年山西省吕梁市孝义市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择
7、题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）下列四条直线，其倾斜角最大的是（）Ax+2y+30B2xy+10Cx+y+10Dx+10【分析】根据题意，依次分析选项，求出所给直线的斜率，比较其倾斜角的大小，即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、x+2y+30，其斜率k1，倾斜角1为钝角，对于B、2xy+10，其斜率k22，倾斜角2为锐角，对于C、x+y+10，其斜率k31，倾斜角3为135，对于D、x+10，倾斜角4为90，而k1k3，故13，故选：A【点评】本题考查直线斜率与倾斜角的关系，关键是掌握直线的斜率与倾斜角的关系2（
8、5分）设a，b是实数，则“ab”是“a2b2”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解【解答】解：因为a，b都是实数，由ab，不一定有a2b2，如23，但（2）2（3）2，所以“ab”是“a2b2”的不充分条件；反之，由a2b2也不一定得ab，如（3）2（2）2，但32，所以“ab”是“a2b2”的不必要条件故选：D【点评】判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q
9、的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法3（5分）设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A若lm，m，则lB若l，lm，则mC若l，m，则lmD若l，m，则lm【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断C：根据线面平行的判定定理判断D：由线线的位置关系判断B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案【解
10、答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；C：l，m，则lm或两线异面，故不正确D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面故正确故选：B【点评】本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属中档题4（5分）设椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为（）ABCD【分析】设|PF2|x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利
11、用椭圆离心率的性质即可求得答案【解答】解：设|PF2|x，PF2F1F2，PF1F230，|PF1|2x，|F1F2|x，又|PF1|+|PF2|2a，|F1F2|2c2a3x，2cx，C的离心率为：e故选：A【点评】本题考查椭圆的简单性质，利用三角形边角关系求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力5（5分）若直线ykx+2k与曲线有两个不同的交点，则k的取值范围是（）ABCD【分析】由圆心到直线的距离d1，可得k，根据直线ykx+2k与曲线有两个不同的交点，即可得出结论【解答】解：由得x2+y21，（y0），对应的轨迹为上半圆，直线ykx+2k过定点A（2，0），由
12、圆心到直线的距离d1，可得k，若直线ykx+2k与曲线有两个不同的交点，则0k，故选：B【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合是解决本题的关键6（5分）已知f（x）alnx+x2（a0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有2恒成立，则a的取值范围是（）A（0，1B（1，+）C（0，1）D1，+）【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有2恒成立”转换成f（x1）2x1f（x2）2x2，构造函数h（x）f（x）2x，根据增减性求出导函数，即可求出a的范围【解答】解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有2恒成立，假设x1x2，f（x1）f（x2）2x12x
13、2，即f（x1）2x1f（x2）2x2对于任意x1x20成立，令h（x）f（x）2x，h（x）在（0，+）为增函数，h（x）+x20在（0，+）上恒成立，+x20，则a（2xx2）max1故选：D【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与化归的数学思想，属于基础题7（5分）如果圆（xa）2+（ya）28上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A（3，1）（1，3）B（3，3）C1，1D（3，11，3）【分析】圆（xa）2+（ya）28和圆x2+y22相交，两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和【解答】解：问题可转化为圆（xa）2+（ya）28
14、和圆x2+y22相交，两圆圆心距d|a|，由Rr|OO1|R+r得，解得：1|a|3，即a（3，1）（1，3）故选：A【点评】体现了转化的数学思想，将问题转化为：圆（xa）2+（ya）28和圆x2+y22相交8（5分）某几何体的三视图如图所示，正视图为直角三角形，侧视图为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则其外接球的表面积为（）A5BC8D【分析】作出几何体的直观图，根据三视图的特点找出外接球球心的位置，利用勾股定理列方程解出球的半径【解答】解：几何体为三棱锥，作出直观图如图所示，由三视图可知定点A在底面的射影为CD的中点F，底面BCD为到腰直角三角形，BDCD，设外接球的球心O，E，M分别
15、是BCD，ACD的外心，OE平面BCD，OM平面ACD，则E为BC中点，EC，OEFMOCR，在OEC中，由勾股定理得：，解得R2，故故选：D【点评】本题考查了棱锥的结构特征和三视图，棱锥与外接球的关系，作出直观图是解题关键9（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点F是线段BC1上的动点，则下列说法错误的是（）A无论点F在BC1上怎么移动，异面直线A1F与CD所成角都不可能是30B无论点F在BC1上怎么移动，都有A1FB1DC当点F移动至BC1中点时，才有A1F与B1D相交于一点，记为点E，且2D当点F移动至BC1中点时，直线A1F与平面BDC1所成角最大且为60【分析】先分析A，
16、B，C都正确，故用排除法可得选D【解答】解：对于选项A，当点F从B运动到C1时，异面直线A1F与CD所成角由大到小再到大，且F为B1C的中点时最小角的正切值为，最小角大于30，故A正确；对于选项B，在正方形中，DB1面A1BC1，又A1F面A1BC1，所以A1FB1D，故B正确；对于选项C，F为BC1的中点时，也是B1C的中点，它们共面于平面A1B1CD，且必相交，设为E，连A1D和B1C，根据三角形A1DE三角形FB1E，可得2，故选C也正确；故选：D【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化
17、思想、数形结合思想，是中档题10（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点若AB的中点坐标为（1，1），则E的方程为（）ABCD【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得利用中点坐标公式可得x1+x22，y1+y22，利用斜率计算公式可得于是得到，化为a22b2，再利用c3，即可解得a2，b2进而得到椭圆的方程【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，x1+x22，y1+y22，化为a22b2，又c3，解得a218，b29椭圆E的方程为故选：D【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的
18、计算公式是解题的关键11（5分）已知点F为抛物线y 28x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|4，则|PA|+|PO|的最小值为（）A6BCD4+2【分析】利用抛物线的定义由|AF|4得到A到准线的距离为4，即可求出点A的坐标，根据：“|PA|+|PO|”相当于在准线上找一点，使得它到两个定点的距离之和最小，最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值【解答】解：|AF|4，由抛物线的定义得，A到准线的距离为4，即A点的横坐标为2，又点A在抛物线上，从而点A的坐标A（2，4）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（4，0）则|PA|+|PO|的最小值为：|AB
19、|故选：C【点评】此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决最小值问题，灵活运用点到点的距离、对称性化简求值，是一道中档题12（5分）设奇函数f（x）在R上存在导数f（x），且在（0，+）上f（x）x2，若f（1m）f（m），则实数m的取值范围为（）ABCD【分析】构造辅助函数，由f（x）是奇函数，g（x）+g（x）0，可知g（x）是奇函数，求导判断g（x）的单调性，即g（1m）g（m），解得m的取值范围【解答】解：令，函数g（x）为奇函数，x（0，+）时，g（x）f（x）x20，函数g（x）在x（0，+）为减函数，又由题可知，f（0）0，g（0）0，所以函数g（x）在R上为减函数，即g（1m）
20、g（m），1mm，故选：B【点评】本题主要考查判断函数的奇偶性、利用导数法求函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知函数f（x）ax3+x+1的图象在点（1，f（1）处的切线过点（2，7），则a1【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可【解答】解：函数f（x）ax3+x+1的导数为：f（x）3ax2+1，f（1）3a+1，而f（1）a+2，切线方程为：ya2（3a+1）（x1），因为切线方程经过（2，7），所以7a2（3a+1）（21），解得a1故答案为：1【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考
21、查计算能力14（5分）已知命题p：xR，ax2+2x+10是假命题，则实数a的取值范围是a1【分析】将条件转化为ax2+2x+10恒成立，检验a0是否满足条件，当a0 时，必须 ，从而解出实数a的取值范围【解答】解：命题p：xR，ax2+2x+10是假命题，即“ax2+2x+10“是真命题 当a0 时，不成立，当a0时，要使成立，必须 ，解得a1，故实数a的取值范围为a1故答案为：a1【点评】本题考查一元二次不等式的应用，注意联系对应的二次函数的图象特征，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属中档题15（5分）已知函数f（x）ex2+a有零点，则实数a的取值范围为a2【分析】利用函数的单调性求
22、解函数函数f（x）ex2的最值，然后推出a的范围即可【解答】解：函数g（x）ex2函数是增函数，g（x）2，函数f（x）ex2+a有零点，可得a2ex，可得a2故答案为：a2【点评】本题考查函数的零点，函数的最值的应用，考查转化思想以及计算能力16（5分）已知椭圆+1（ab0）的离心率e，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB斜倾角分别为，则|tantan|的最小值为1【分析】利用椭圆的标准方程及其性质可得：kPAkPB，即tantan，由|tantan|tan|+|tan|，再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：离心率e，设P（x0，y0），椭圆顶点A（a
23、，0），B（a，0），kPA，kPAkPB，又1，kPAkPB，即tantan，|tantan|tan|+|tan|21当且仅当|tan|tan|1时取等号|tantan|的最小值为1，故答案为：1【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、基本不等式的性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17（10分）已知集合，若tA是tB的充分不必要条件，求实数m的取值范围【分析】利用二次函数的单调性、不等式的解法分别化简集合A，B，利用充分不必要条件的意义即可得出【解答】解：对于A：，f（x）y+，2，f（2
24、）2，f（x）A对于B：x1+m或xm1即B（，m1m+1，+）tA是tB的充分不必要条件，m+1，或2m1，解得m，或m3实数m的取值范围是3，+）【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、二次函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD8，AD4，AB2DC4（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD平面PAD；（2）求四棱锥PABCD的体积【分析】（1）利用勾股定理逆定理可得ADBD，根据面面垂直的性质得出BD平面PAD，故而平面BDM平面PAD；（2）过P作POA
25、D，则PO平面ABCD，求出梯形ABCD的高和棱锥的高PO，代入棱锥的体积公式计算即可【解答】（1）证明：在ABD中，AD4，AB4，BD8，AD2+BD2AB2，ADBD又面PAD面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，BD面PAD，又BD面BDM，面MBD面PAD（2）解：过P作POAD，面PAD面ABCD，面PAD面ABCDAD，PO平面PAD，PO面ABCD，即PO为四棱锥PABCD的高又PAD是边长为4的等边三角形，PO2过D作DNAB，则DNS梯形ABCD（2+4）24，VPABCD16【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题1
26、9（12分）已知线段AB的端点B的坐标为（1，3），端点A在圆C：（x+1）2+y24上运动（1）求线段AB的中点M的轨迹；（2）过B点的直线L与圆C有两个交点A，D当CACD时，求L的斜率【分析】（1）设出A和M的坐标，利用中点坐标公式把A的坐标用M的坐标表示，代入圆的方程后可求线段AB的中点M的轨迹；（2）由题意可知L的斜率存在，设出其斜率，结合CACD，由弦心距和半径的关系得到弦心距，再由圆心到直线的距离公式列式求出直线L的斜率【解答】解（1）设A（x1，y1），M（x，y），由中点公式得x12x1，y12y3因为A在圆C上，所以（2x）2+（2y3）24，即x2+（y1.5）21点M的
27、轨迹是以（0，1.5）为圆心，1为半径的圆；（2）设L的斜率为k，则L的方程为y3k（x1），即kxyk+30因为CACD，CAD为等腰直角三角形，由题意知，圆心C（1，0）到L的距离为由点到直线的距离公式得，4k212k+92k2+22k212k+70，解得k3【点评】本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程问题，考查了利用代入法求曲线的方程，解答的关键是正确利用直线和圆的位置关系，是中档题20（12分）已知函数f（x）x3+ax2+bx+c在与x1处都取得极值（1）求a，b的值；（2）若对xR，f（x）有三个零点，求实数c的取值范围【分析】（1）求出函数导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；
28、（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值，根据函数的零点的个数得到关于c的不等式组，解出即可【解答】解：（1）f（x）3x2+2ax+b由已知有 ，解得a，b2；（2）由（1）得：f（x）x3x22x+c，f（x）由f（x）0得x1或x，由f（x）0得x1，故当x时，f（x）有极大值c+，当x1时，f（x）有极小值c，若对xR，f（x）有三个零点，则，解得：c【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题21（12分）已知椭圆的离心率为，又点在该椭圆上（1）求椭圆E的方程；（2）若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，求ABC的最大面
29、积【分析】（1）利用离心率以及点的坐标满足椭圆方程，求解椭圆的几何量，即可得到椭圆的方程（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），BC的方程为yx+m，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，求出三角形的面积，利用基本不等式求解ABC的面积的最大值【解答】解：（1）依题意，得 ，解得 ，椭圆的方程为 +1（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），BC的方程为yx+m，则有 ，整理，得4x2+2mx+（m24）0，由（2m）216（m24）8m2+640，解得2m2，由根与系数的关系，得：x1+x2m，x1x2，|BC|x1x2|，设d为点A到直线BC的距离，则d|m|，SABC|BC|d
30、4，当且仅当m2时取等号，当m2时，ABC的面积取得最大值【点评】本题考查直线与椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用22（12分）已知函数（1）当a0时，求曲线yf（x）在（1，f（1）处的切线方程；（2）令g（x）f（x）ax+1，求函数g（x）的极大值；（3）若a2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x20，证明：【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f（1）的值，从而求出切线方程即可；（2）求导数，然后通过研究不等式的解集确定原函数的单调性；求出函数的极大值即可；（3）结合已知条件构造函数，然后结合函数单调性得到要证的结论【解
31、答】解：（1）a0时，f（x）lnx+x，f（x）+1，故f（1）1，f（1）2，故切线方程是：y12（x1），整理得：2xy10；（2）g（x）f（x）（ax1）lnxax2+（1a）x+1，所以g（x）ax+（1a），当a0时，因为x0，所以g（x）0所以g（x）在（0，+）上是递增函数，当a0时，g（x），令g（x）0，得x，所以当x（0，）时，g（x）0；当x（，+）时，g（x）0，因此函数g（x）在x（0，）是增函数，在（，+）是减函数综上，当a0时，函数g（x）的递增区间是（0，+），无递减区间，无极大值；当a0时，函数g（x）的递增区间是（0，），递减区间是（，+）；故g（x）极大值g（）lna；证明：（3）由f（x1）+f（x2）+x1x20，即lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x1x20，从而（x1+x2）2+（x1+x2）x1x2ln（x1x2），令tx1x2，则由（t）tlnt，由x10，x20，即x1+x20（t），（t0），可知，（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增所以（t）（1）1，所以（x1+x2）2+（x1+x2）1，解得x1+x2或x1+x2，又因为x10，x20，因此x1+x2成立【点评】本题难度较大，属于利用导数研究函数的单调性、最值，以及利用导数证明单调性进一步研究不等式问题的题型
