1、2019-2020学年山西省阳泉市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）双曲线的实轴长是（）A2B2C4D42（3分）设，是向量，命题“若，则|”的逆命题是（）A若，则|B若，则|C若|，则D若|，则3（3分）下列结论正确的是（）A若ysinx，则ycosxB若ycosx，则ysinxC若y，则yD若y，则y4（3分）“红豆生南国，春来发几枝愿君多采撷，此物最相思”这是唐代诗人王维的相思诗，在这4句诗中，哪句可作为命题（）A红豆生南国B春来发几枝C愿君多采撷D此物最相思5（3分）设椭圆的标
2、准方程为，若焦点在x轴上，则k的取值范围是（）Ak3B3k5C4k5D3k46（3分）如果命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题那么（）A命题p和命题q都是假命题B命题p和命题q都是真命题C命题p为真命题，q为假命题D命题q和命题p的真假不同7（3分）设命题p：x0，log2x2x+3，则p为（）Ax0，log2x2x+3Bx0，log2x2x+3Cx0，log2x2x+3Dx0，log2x2x+38（3分）函数f（x）的定义域为R，导函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极
3、小值点9（3分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1（a0，b0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为（）A4B2CD10（3分）已知两定点F1（1，0）、F2（1，0）和一动点P，若|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程为（）A1BCD二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）11（3分）若函数f（x）x2，则f（1） 12（3分）命题“能被5整除的整数末尾是0或5”是 形式的命题13（3分）抛物线x24y的焦点坐标为 14（3分）下列命题：空间中没有交点的两直线是平行直线或异面直线；原命题和逆命题真假相反；若ab，则a+cb+c
4、；“正方形的两条对角线相等且互相垂直”，其中真命题的个数为 15（3分）若双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为 16（3分）经过两点A（0，2）、B（，）的椭圆的标准方程为 17（3分）当x1，1时，函数f（x）的最大值是 18（3分）抛物线y22x的一条弦被A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 三、解答题（本大题共5个小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（8分）已知函数f（x）x33x1（1）求曲线yf（x）在点（2，1）处的切线的方程；（2）求曲线yf（x）的极大值，极小值20（8分）已知p：实数x，满足xa0，q：实数x，满足x24x+30（1）若
5、a2时pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围21（10分）（1）求焦点在直线xy+20上的抛物线的标准方程；（2）已知F1、F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF290，求|PF1|PF2|的值22（10分）已知函数f（x）x2+ax+1lnx（1）若f（x）在x1处取到极值，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）0在（1，2）恒成立，求a的范围23（10分）已知椭圆的离心率为，焦距为2斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B（1）求椭圆M的方程；（2）若k1，求AOB面积的最大值2019-2020学年山西省阳泉市高二（
6、上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）双曲线的实轴长是（）A2B2C4D4【分析】根据标准方程，可得a2，即可求得双曲线的实轴长【解答】解：双曲线中a24，a22a4，即双曲线的实轴长是4故选：C【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题2（3分）设，是向量，命题“若，则|”的逆命题是（）A若，则|B若，则|C若|，则D若|，则【分析】根据逆命题的定义进行判断即可【解答】解：根据逆命题的定义，交换条件和结论即可得到命题的逆命题：若|，则故选：D【点评】本题
7、主要考查四种命题之间的关系，根据四种命题的定义是解决本题的关键，比较基础3（3分）下列结论正确的是（）A若ysinx，则ycosxB若ycosx，则ysinxC若y，则yD若y，则y【分析】根据题意，依次分析选项中导数的计算，综合即可得答案；【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若ysinx，则ycosx，正确；对于B，若ycosx，则ysinx，错误；对于C，若yx1，则yx2，错误；对于D，若y，则y，错误；故选：A【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题4（3分）“红豆生南国，春来发几枝愿君多采撷，此物最相思”这是唐代诗人王维的相思诗，在这4句诗中，哪句可作
8、为命题（）A红豆生南国B春来发几枝C愿君多采撷D此物最相思【分析】利用命题的定义即可判断出答案【解答】解：由命题的定义可知：“红豆生南国”这一句可以判断红豆生在什么地方，因此可以作为一个命题故选：A【点评】正确理解命题的定义是解题的关键5（3分）设椭圆的标准方程为，若焦点在x轴上，则k的取值范围是（）Ak3B3k5C4k5D3k4【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得，解可得k的范围，即可得答案【解答】解：根据题意，方程表示焦点在x轴上的椭圆，则必有，解可得4k5，故选：C【点评】本题考查椭圆的标准方程，注意焦点的位置6（3分）如果命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题那么（）A命题p
9、和命题q都是假命题B命题p和命题q都是真命题C命题p为真命题，q为假命题D命题q和命题p的真假不同【分析】根据复合命题真假关系进行判断即可【解答】解：命题“p或q”是真命题，则p，q至少有一个为真命题，“p且q”是假命题，则p，q至少有一个为假命题，则p，q一个为真命题，一个为假命题，即命题q和命题p的真假不同，故选：D【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合复合命题真假关系是解决本题的关键比较基础7（3分）设命题p：x0，log2x2x+3，则p为（）Ax0，log2x2x+3Bx0，log2x2x+3Cx0，log2x2x+3Dx0，log2x2x+3【分析】根据全称命题的否定为特
10、称命题，即可得到答案【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题，则命题p：x0，log2x2x+3，则p为x0，log2x2x+3，故选：B【点评】本题考查了命题的否定，属于基础题8（3分）函数f（x）的定义域为R，导函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点【分析】利用导函数的图象，判断函数的极值点，即可【解答】解：因为导函数的图象如图：可知导函数图象中由4个函数值为0，即f（a）0，f（b）0，f（c）0，f（d）0xa，函数是增函数，x（a，b）函数是减函数，x（b，c）
11、，函数在增函数，x（c，d）函数在减函数，xd，函数是增函数，可知极大值点为：a，c；极小值点为：b，d故选：C【点评】本题考查函数的导数的应用，极值点的判断，考查数形结合以及函数思想的应用9（3分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1（a0，b0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为（）A4B2CD【分析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可【解答】解：双曲线1（a0，b0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线yx的距离为，可得：b，可得，即c2a，所以双曲线的离心率为：e2故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力
12、10（3分）已知两定点F1（1，0）、F2（1，0）和一动点P，若|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程为（）A1BCD【分析】根据|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，得到2|F1F2|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|4，得到点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，已知a，c的值，做出b的值，写出椭圆的方程【解答】解：F1（1，0）、F2（1，0），|F1F2|2，|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，2|F1F2|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|4，点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，2a4，a2c1b23，椭圆的方程是故
13、选：B【点评】本题主要考查了应用椭圆的定义以及等差中项的概念求椭圆方程，关键是求a，b的值二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）11（3分）若函数f（x）x2，则f（1）2【分析】根据函数的导数公式进行求解即可【解答】解：函数的导数f（x）2x，则f（1）2，故答案为：2【点评】本题主要考查函数的导数的计算，根据函数的导数公式是解决本题的关键比较基础12（3分）命题“能被5整除的整数末尾是0或5”是或形式的命题【分析】根据题意，由复合命题的形式分析可得答案【解答】解：根据题意，命题“能被5整除的整数末尾是0或5”即“能被5整除的整数末尾是0”或“能被5整除的整数末尾是5”；为“或
14、”形式的命题；故答案为：或【点评】本题考查复合命题的形式，属于基础题13（3分）抛物线x24y的焦点坐标为（0，1）【分析】由抛物线x24y的焦点在y轴上，开口向上，且2p4，即可得到抛物线的焦点坐标【解答】解：抛物线x24y的焦点在y轴上，开口向上，且2p4，抛物线x24y的焦点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）【点评】本题以抛物线的标准方程为载体，考查抛物线的几何性质，解题的关键是定型与定量14（3分）下列命题：空间中没有交点的两直线是平行直线或异面直线；原命题和逆命题真假相反；若ab，则a+cb+c；“正方形的两条对角线相等且互相垂直”，其中真命题的个数为【分析】根据空间直线关系可判断
15、，根据命题真假性关系可判断，根据基本不等式可判断，根据正方形性质可判断【解答】解：对于，根据空间直线关系可知，空间中没有交点的两直线是平行直线或异面直线，故正确；对于，原命题与逆命题真假性无直接关系，故错误；对于，根据不等式的基本性质，若ab，则a+cb+c，故正确；对于，根据正方形的性质可知其两条对角线相等且互相垂直，故正确，故答案为【点评】本题考查命题真假性的判断，涉及空间直线关系，命题与命题之间的关系，基本不等式性质，正方形性质，属于基础题15（3分）若双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为【分析】根据双曲线的渐近线方程，可得a，b的关系，利用e，即可求得结论【解答】解：由双曲线的
16、渐近线方程为yx，ba；双曲线的离心率e故答案为：【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题16（3分）经过两点A（0，2）、B（，）的椭圆的标准方程为x2+1【分析】本题先设椭圆的方程为+1，然后将两点A（0，2）、B（，）代入椭圆的方程，解关于m、n的二元一次方程组，即可得到椭圆的标准方程【解答】解：由题意，设椭圆的方程为+1，则，解得椭圆的标准方程为x2+1故答案为：x2+1【点评】本题主要考查椭圆的标准方程的求解，考查了转化思想和方程思想的应用，本题属基础题17（3分）当x1，1时，函数f（x）的最大值是e【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的
17、单调区间，进而可求最值【解答】解：由f（x）可得，f（x），1x1，2x0，当1x0时，f（x）0，函数单调单调递减，当0x1时，f（x）0，函数单调单调递增，又f（1），f（1）e，故当x1时，函数取得最大值e故答案为：e【点评】本题考查了函数的导数的应用，同时考查了函数在闭区间上最值，属于基础题18（3分）抛物线y22x的一条弦被A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是x2y0【分析】设交点坐标，代入抛物线方程，由中点坐标用点差法求出中点弦所在的直线方程【解答】解：设这条弦所在的直线与抛物线的交点M（x1，y1），N（x2，y2）由题意可得x1+x2248，y1+y2224，将M，N坐
18、标代入可得：，两式相减整理可得：，即直线的斜率为，所以直线的方程为：y2（x4），即x2y0；故答案为：x2y0【点评】考查求中点弦的直线方程的方法，属于基础题三、解答题（本大题共5个小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（8分）已知函数f（x）x33x1（1）求曲线yf（x）在点（2，1）处的切线的方程；（2）求曲线yf（x）的极大值，极小值【分析】（1）先对函数求导，然后根据导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程；（2）由导数判断出函数的单调性，进而可求极值【解答】解：（1）由f（x）x33x1可得f（x）3x23，所以kf（2）9故曲线yf（x）在（2，1）处
19、是切线方程y19（x2）即9xy170；（2）由f（x）3x230可得x1或x1，当x1或x1时，f（x）0，此时函数单调递增，当1x1时，f（x）0，此时函数单调递减，故当x1时，函数取得极大值f（1）1，当x1时，函数取得极小值f（1）3【点评】考查利用导数研究函数的几何意义及极值问题，体现了转化的思想方法，属于基础题20（8分）已知p：实数x，满足xa0，q：实数x，满足x24x+30（1）若a2时pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围【分析】（1）利用不等式的解法、复合命题的真假性质即可得出（2）设A（，a），B1，3，q是p的充分不必要条件，
20、可得BA，即可得出【解答】解：（1）由xa0，得xa当a2时，x2，即p为真命题时，x2由x24x+30得1x3，所以q为真时，1x3若pq为真，则1x2所以实数x的取值范围是1，2）（2）设A（，a），B1，3，q是p的充分不必要条件，所以BA，从而a3所以实数a的取值范围是（3，+）【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21（10分）（1）求焦点在直线xy+20上的抛物线的标准方程；（2）已知F1、F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF290，求|PF1|PF2|的值【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，
21、然后求解抛物线方程即可；（2）由题设条件，利用双曲线的定义和勾股定理，能求出|PF1|PF2|的值【解答】解：（1）焦点在直线xy+20上，可得抛物线的焦点坐标（2，0）或（0，2），所以所求的抛物线的标准方程为：y28x或x28y（2）F1、F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF290，82|PF1|PF2|4，解得|PF1|PF2|2|PF1|PF2|的值为2【点评】本题考查两条线段的乘积的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质，抛物线的简单性质以及抛物线方程的求法22（10分）已知函数f（x）x2+ax+1lnx（1）若f（x）在x1处取到极值，求函数f（
22、x）的单调区间；（2）若f（x）0在（1，2）恒成立，求a的范围【分析】（1）先对函数求导，根据题意可得f（1）0，代入可求a，然后根据单调性与导数关系可求，（2）由已知分离系数可得，可得，a，令g（x）x，1x2，根据不等式恒成立与最值相互关系的转化可求【解答】解：（1）由f（x）x2+ax+1lnx可得，f（x）2x+a，由题意可得f（1）a30，所以a3，f（x），x0，当0x或x1时，f（x）0，函数单调递减，当时，f（x）0，函数单调递增，故函数f（x）的单调递增区间（），递减区间（0，），（1，+）；（2）由f（x）x2+ax+1lnx0在（1，2）恒成立可得，a，令g（x）x，1
23、x2，则g（x），令h（x）x2lnx+2，1x2，则0在（1，2）恒成立，故h（x）单调递增，所以h（x）h（1）3，即g（x）0在（1，2）上恒成立，所以g（x）在（1，2）上单调递增，g（x）g（2）所以a【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值，及不等式的恒成立与最值相互转化关系的应用，属于中档试题23（10分）已知椭圆的离心率为，焦距为2斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B（1）求椭圆M的方程；（2）若k1，求AOB面积的最大值【分析】本题第（1）题根据题意可列出方程组，解出a、c的值，进一步计算即可得到椭圆M的方程；第（2）题设直线l：yx+m联立直线与椭圆方
24、程消去y，整理得一元二次方程，根据0可初步判断b的取值范围再根据韦达定理有x1+x2，x1x2然后根据弦长公式有|AB|x1x2|，再点O到直线l的距离为d，根据点到直线的距离公式可得d根据SAOB|AB|d进行计算再运用均值不等式即可得到AOB面积的最大值【解答】解：（1）由题意，可得，解得a23，c22，b2a2c2321椭圆M的方程为+y21（2）由题意，可设直线l：yx+m联立，消去y，整理得4x2+6mx+3（m21）0则36m248（m21）12（4m2）0，解得m24，即2m2x1+x2，x1x2|AB|设点O到直线l的距离为d，则dSAOB|AB|d当且仅当4m2m2，即m22，m时，等号成立AOB面积的最大值为【点评】本题主要考查椭圆的基础知识，及直线与椭圆的综合问题，考查方程思想和转化思想的应用，弦长公式和点到直线距离公式本题属中档题
