1、2019-2020学年山西省高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）命题“x0（1，+），”的否定是（）Ax0（1，+），Bx0（1，+），Cx（1，+），Dx（1，+），2（5分）设直线l的方向向量为，平面a的法向量为，则使la成立的是（）A（1，1，2），（1，1，1）B（1，1，2），（1，1，2）C（1，1，2），（1，1，1）D（2，1，1），（1，1，1）3（5分）已知直线l过点（2，1），且在y轴上的截距为3，则直线l的方程为（）A2x+y+30B2x+y30Cx2y40Dx
2、2y+604（5分）刘徽注九章商功曰：“当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，深一尺，积一千四百四十一寸十分之三王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫以微术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇”其中的“斛、斗、升”都是中国古代量器名，也是容量单位，并且形状各异，常见的斗叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的三视图如图所示，则其容积为（）A60B63C84D1265（5分）抛物线C：y22px的准线经过双曲线的左焦点，则抛物线C的焦点坐标为（）A（4，0）B（4，0）C（0，4）D（0，4）6（5分）设aR，则“a1”是“直线ax
3、+y+a+10与直线x+ay+a0平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7（5分）设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下面四个命题中正确的是（）A若，则B若，m，则mC若ma，n，则mnD若，m，n，则mn8（5分）正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BD和CD1所成角为（）ABCD9（5分）若圆1关于直线l：xy+m0对称，l1：xy+40，则l与l1间的距离是（）A1B2CD310（5分）九章算术中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑在鳌臑PABC中，PA平面ABC，PA4，
4、ABBC2，鳌臑PABC的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（）A16B20C24D6411（5分）已知椭圆+1（ab0）的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若0，则椭圆的离心率为（）ABCD12（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过左焦点F1引渐近线的垂线，垂足为P，PF1F2的面积是2，则双曲线C的方程为（）ABCD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）以（1，2）为圆心，且与圆C：（x3）2+（y+1）29外切的圆的标准方程是 14（5分）倾斜角是45，且过点（1，4）的直线l交圆C：x2+y22y30于A，B两点，则直线l的一般
5、式方程 ，|AB| 15（5分）正四棱锥PABCD中，PA3，AB2，则PA与平面PBC所成角的正弦值为 16（5分）给出下列命题：（1）直线yk（x2）与线段AB相交，其中A（1，1），B（4，2），则k的取值范围是1，1；（2）点P（1，0）关于直线2xy+10的对称点为P0，则P0的坐标为；（3）圆C：x2+y24上恰有3个点到直线的距离为1；（4）直线yx1与抛物线y24x交于A，B两点，则以AB为直径的圆恰好与直线x1相切其中正确的命题有 （把所有正确的命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）命题p：直线l：3x
6、4ym0与圆C：（x1）2+y21相交，命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆（1）若命题p为真，求m的取值范围；（2）若命题pq为真，求m的取值范围18（12分）动点P到F（1，0）的距离比到y轴的距离大1（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F作斜率为1的直线l交曲线C于A，B两点，求OAB的面积19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是平行四边形，且BAPCDP90（1）证明：平面PDC平面PAD；（2）若PAPDAB2，APD60，求四棱锥PABCD的体积20（12分）已知直线l：axy3a+10恒过定点P，过点P引圆C：（x1）2+y24的两条切线，设切点分别为A，B（
7、1）求直线AB的一般式方程；（2）求四边形PACB的外接圆的标准方程21（12分）如图，已知三棱锥PABC，平面PAC平面ABC，点E，F分别为PC、BC的中点，ABBC，PAABBC2，（1）证明：EF平面PAB；（2）求平面PAC与平面PBC所成角的大小22（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过右焦点F2作直线l交椭圆C于A，B两点，ABF1的周长为，点M（2，0）（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AM、BM的斜率k1，k2，请问k1+k2是否为定值？若是定值，求出其定值；若不是，说明理由2019-2020学年山西省高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、
8、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）命题“x0（1，+），”的否定是（）Ax0（1，+），Bx0（1，+），Cx（1，+），Dx（1，+），【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“x0（1，+），”的否定是：x（1，+），故选：C【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查2（5分）设直线l的方向向量为，平面a的法向量为，则使la成立的是（）A（1，1，2），（1，1，1）B（1，1，2），（1，1，2）C（1，1，2），（1，
9、1，1）D（2，1，1），（1，1，1）【分析】直线l的方向向量为，平面a的法向量为，则使la成立的条件为与共线【解答】解：直线l的方向向量为，平面a的法向量为，则使la成立的条件为与共线，在A，C，D中，与都不共线，在B中，故B正确故选：B【点评】本题考查满足线面平行的条件的判断，考查线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3（5分）已知直线l过点（2，1），且在y轴上的截距为3，则直线l的方程为（）A2x+y+30B2x+y30Cx2y40Dx2y+60【分析】根据已知条件先求出直线的斜率，然后根据直线方程的斜截式即可求解【解答】解：由题意直线过（2，1），（0，3），故直线的
10、斜率k2，故直线的方程为y2x+3即2x+y30故选：B【点评】本题主要考查了直线方程的求解，属于基础试题4（5分）刘徽注九章商功曰：“当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，深一尺，积一千四百四十一寸十分之三王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫以微术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇”其中的“斛、斗、升”都是中国古代量器名，也是容量单位，并且形状各异，常见的斗叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的三视图如图所示，则其容积为（）A60B63C84D126【分析】根据三视图知该几何体是四棱台，结合图中数据求出四棱台的体积即可【解
11、答】解：根据三视图知该几何体是四棱台，如图所示，则该四棱台的体积是：V四棱台h（S+S+）4（32+62+）84故选：C【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积问题，是基础题5（5分）抛物线C：y22px的准线经过双曲线的左焦点，则抛物线C的焦点坐标为（）A（4，0）B（4，0）C（0，4）D（0，4）【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的左焦点坐标，可得p，进而得到所求抛物线的焦点坐标【解答】解：抛物线C：y22px的准线x经过双曲线的左焦点（4，0），可得4，即p8，可得抛物线的焦点坐标为（4，0），故选：A【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题6（
12、5分）设aR，则“a1”是“直线ax+y+a+10与直线x+ay+a0平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】先利用两直线平行求出a的值，再结合充分必要条件的定义，从而求出答案【解答】解：直线ax+y+a+10与直线x+ay+a0平行，直线斜率都存在且相等，解得：a1，“a1”是“a1“的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线位置关系，是一道基础题7（5分）设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下面四个命题中正确的是（）A若，则B若，m，则mC若ma，n，则mnD若，m，n，则mn【分析】由空间中直线与直线、直线与
13、平面、平面与平面位置关系的判定逐一核对四个选项得答案【解答】解：由，得或与相交，故A错误；由，m，得m或m或m与相交，故B错误；由m，n，得mn或m与n异面，故C错误；由，m，n，利用平面与平面平行的性质可得mn，故D正确故选：D【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，是中档题8（5分）正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BD和CD1所成角为（）ABCD【分析】利用异面直线所成角的定义，作平行线，可得异面直线所成的角，再求解即可【解答】解：连接B1D1，B1C，BDB1D1，B1D1C为两异面直线BD与CD1所成的角，正方
14、体ABCDA1B1C1D1B1D1B1CCD1，B1D1C，两异面直线BD与CD1所成角的大小为故选：C【点评】本题考查线面平行的判定及异面直线所成角的求法，通过作平行线作出异面直线所成的角是关键9（5分）若圆1关于直线l：xy+m0对称，l1：xy+40，则l与l1间的距离是（）A1B2CD3【分析】由圆的方程求得圆心坐标，代入直线l求得m值，则直线l的方程可求，再由两平行线间的距离公式求l与l1间的距离【解答】解：圆1的圆心坐标为（，0），圆1关于直线l：xy+m0对称，圆心（，0）在直线l：xy+m0上，则m直线l：xy+0，又l1：xy+40，由两平行线间的距离公式可得l与l1间的距离
15、是d故选：D【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查两平行线间的距离公式，是中档题10（5分）九章算术中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑在鳌臑PABC中，PA平面ABC，PA4，ABBC2，鳌臑PABC的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（）A16B20C24D64【分析】根据题意，把鳌臑PABC补成一个长方体，则长方体的外接球即是鳌臑PABC的外接球，从而求出鳌臑PABC的外接球半径为R，再利用球的体积公式即可求出结果【解答】解：把鳌臑PABC补成一个长方体，如图所示：则长方体的外接球即是鳌臑PABC的外接球，又PA4
16、，ABBC2，长方体的外接球半径R，鳌臑PABC的外接球半径为R，则该球的表面积是4R224，故选：C【点评】本题主要考查了三棱锥的外接球，是基础题11（5分）已知椭圆+1（ab0）的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若0，则椭圆的离心率为（）ABCD【分析】利用椭圆的性质，通过0，推出a、c关系，求解即可【解答】解：椭圆+1（ab0）的左顶点为M（a，0），上顶点为N（0，b），右焦点为F（c，0），若0，可知NMNF，可得：a2+b2+b2+c2（a+c）2，又a2b2+c2，所以a2c2ac，即e2+e10，e（0，1），解得e，故选：D【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，向量的垂直
17、，考查转化思想以及计算能力12（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过左焦点F1引渐近线的垂线，垂足为P，PF1F2的面积是2，则双曲线C的方程为（）ABCD【分析】设出渐近线方程，结合直线垂直关系求出垂线方程，以及交点纵坐标，结合三角形的面积公式和离心率关系进行求解即可【解答】解：设渐近线方程为yx，则过F1引渐近线的垂线斜率为，对应方程为y（x+c），由，消去x得y，即P点的纵坐标为y，则，PF1F2的面积S2cab2，e，则1+5，则4，得b2a，代入ab2得2a22，得a21，b24，则双曲线方程为x21，故选：B【点评】本题主要考查双曲线方程的求解，结合条件求出垂
18、线方程以及结合三角形的面积公式离心率公式建立方程是解决本题的关键难度不大二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）以（1，2）为圆心，且与圆C：（x3）2+（y+1）29外切的圆的标准方程是（x+1）2+（y2）24【分析】设以（1，2）为圆心的圆的方程为（x+1）2+（y2）2r2，（r0），求得已知圆的圆心和半径，由相外切的条件：圆心的距离为半径之和，解方程可得所求【解答】解：设以（1，2）为圆心的圆的方程为（x+1）2+（y2）2r2，（r0），由圆C：（x3）2+（y+1）29的圆心C（3，1），半径为3，且两圆外切可得53+r，解得r2，则所求圆的标准方程为（
19、x+1）2+（y2）24，故答案为：（x+1）2+（y2）24【点评】本题考查圆的方程的求法，考查两圆相外切的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题14（5分）倾斜角是45，且过点（1，4）的直线l交圆C：x2+y22y30于A，B两点，则直线l的一般式方程xy+30，|AB|【分析】由直线的倾斜角求得直线的斜率，再由直线方程的点斜式写出直线方程，进一步化为一般方程化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用垂径定理求弦长【解答】解：直线l的斜率ktan451，又直线l过点（1，4），直线l的方程为y41（x1），化为一般方程，即xy+30化圆C
20、：x2+y22y30为x2+（y1）24，则圆心坐标为C（0，1），半径为2圆心C（0，1）到直线xy+30的距离d|AB|故答案为：xy+30；【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是中档题15（5分）正四棱锥PABCD中，PA3，AB2，则PA与平面PBC所成角的正弦值为【分析】根据题意以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出向量，平面PBC的一个法向量，利用夹角公式求出即可【解答】解：根据题意以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（，0，0），B（0，0），C（，0，0），P（0
21、，0，），设平面PBC的一个法向量为，由，令y，z，x，故cos，PA与平面PBC所成角的正弦值，故答案为：【点评】考查向量法求直线和平面所成角，中档题16（5分）给出下列命题：（1）直线yk（x2）与线段AB相交，其中A（1，1），B（4，2），则k的取值范围是1，1；（2）点P（1，0）关于直线2xy+10的对称点为P0，则P0的坐标为；（3）圆C：x2+y24上恰有3个点到直线的距离为1；（4）直线yx1与抛物线y24x交于A，B两点，则以AB为直径的圆恰好与直线x1相切其中正确的命题有（2）（3）（4）（把所有正确的命题的序号都填上）【分析】直接利用圆锥体曲线的性质的应用，弦长公式的应
22、用，中点坐标公式的应用，点到直线的距离公式的应用求出结果【解答】解：对于（1）直线yk（x2），整理得kx2ky0，与线段AB相交，其中A（1，1），B（4，2），所以（k2k1）（4k2k2）0，解得k1或k1故（1）错误（2）设P0（x0，y0），点P（1，0）关于直线2xy+10的对称点为P0，所以，解得，故（2）正确（3）圆C：x2+y24圆心为（0，0）到直线的距离为d；由于圆的半径为2，所以恰有3个点到直线的距离为1故（3）正确（4）直线yx1与抛物线y24x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则：，整理得x26x+10，所以x1+x26，x1x21，则AB的中点的横坐标为
23、所以，所以AB 的中点的坐标到x1的距离d3（1）4，所以：以AB为直径的圆恰好与直线x1相切故（4）正确故选：（2）（3）（4）【点评】本题考查的知识要点：圆锥体曲线的性质的应用，弦长公式的应用，中点坐标公式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）命题p：直线l：3x4ym0与圆C：（x1）2+y21相交，命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆（1）若命题p为真，求m的取值范围；（2）若命题pq为真，求m的取值范围【分析】（1）根据直线与圆相交的性质即可
24、求出p为真时的m的范围，（2）结合椭圆的性质可求q为真时m的范围，由pq为真可知p真q假，即可求解【解答】解：（1）因为直线l：3x4ym0与圆C：（x1）2+y20相交，所以，解得2m8，即m的取值范围为（2，8）（2）椭圆焦点在x轴上，所以，2m5，pq为真，p真q假2m2或5m8所以m的取值范围为（2，25，8）【点评】本真以命题的真假关系为载体，主要考查了直线与圆相交的性质及椭圆性质的简单应用，属于中档试题18（12分）动点P到F（1，0）的距离比到y轴的距离大1（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F作斜率为1的直线l交曲线C于A，B两点，求OAB的面积【分析】（1）将距离大于1转
25、化为距离相等，当点不在直线上时，由抛物线的定义可得为抛物线，点在直线上时为射线；（2）由题意写出直线的方程，与抛物线联立求出两根之和，由抛物线的性质求出弦长（到焦点的距离等于到准线的距离），再求O到直线的距离，进而求出面积【解答】解：（1）由题意可知：动点P到F（1，0）的距离等于其到直线x1的距离，由抛物线的定义可知动点P的轨迹C的方程为y24x或y0（x0）（2）设直线l的方程为yx1，设直线l与曲线C交于A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程得x26x+10，x1+x26，|AB|x1+x2+28点O到直线l的距离所以【点评】考查轨迹方程及直线与抛物线的综合，属于中档题19（12分
26、）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是平行四边形，且BAPCDP90（1）证明：平面PDC平面PAD；（2）若PAPDAB2，APD60，求四棱锥PABCD的体积【分析】（1）推导出ABCD，ABAP，CDDP，CDAP，从而CD平面PAD由此能证明平面PDC平面PAD（2）取AD的中点O，连接PO，推导出POAD，CDPO，CDAD，从而四边形ABCD为正方形PO平面ABCD，由此能求出四棱锥PABCD的体积【解答】解：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD又BAPCDP90，即ABAP，CDDP，CDAP，DP平面PAD，AP平面PAD，从而CD平面PAD又CD平面PCD
27、，平面PDC平面PAD（2）解：如图，取AD的中点O，连接PO，PAPD2，APD60，POAD，又CD平面PAD，PO平面PAD，AD平面PAD，CDPO，CDAD，四边形ABCD为正方形又POAD，PO平面ABCD，四棱锥PABCD的体积：【点评】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（12分）已知直线l：axy3a+10恒过定点P，过点P引圆C：（x1）2+y24的两条切线，设切点分别为A，B（1）求直线AB的一般式方程；（2）求四边形PACB的外接圆的标准方程【分析】（1）先把直线l的方程化为点斜
28、式，即可求解P，根据直线与圆相切的性质可求切线方程，（2）由题意可知四边形PACB的外接圆是以PC为直径的圆，根据两点间距离公式可求半径，由中点坐标公式可求圆心，即可求解【解答】解：（1）直线l：y1a（x3）直线l恒过定点P（3，1）由题意可知直线x3是其中一条切线，且切点为A（3，0）由圆的性质可知ABPC，kAB2，所以直线AB的方程为y2（x3），即2x+y60（2）由题意知PAAC，PBBC，所以四边形PACB的外接圆是以PC为直径的圆，PC的中点坐标为，所以四边形PACB的外接圆为（x2）2+（y）2【点评】本题主要考查了直线与圆相切的性质的应用及圆的方程的确定，解题的关键是灵活利
29、用基本知识21（12分）如图，已知三棱锥PABC，平面PAC平面ABC，点E，F分别为PC、BC的中点，ABBC，PAABBC2，（1）证明：EF平面PAB；（2）求平面PAC与平面PBC所成角的大小【分析】（1）推导出EFPB由此能证明EF平面PAB（2）推导出PAACPA平面ABC以A为坐标原点，垂直于AC，AP的直线为x轴，为y轴正方向，为z轴正方向建立空间直角坐标系利用向量法能求出平面PAC与平面PBC所成角【解答】解：（1）证明：点E，F分别为PC，BC的中点，EFPBPB平面PAB，EF平面PAB，EF平面PAB（2）ABBC2，ABBC，由勾股定理得PA2+AC24+812PC2
30、，故PAAC又平面PAC平面ABC，且平面PAC平面ABCAC，故PA平面ABC以A为坐标原点，垂直于AC，AP的直线为x轴，为y轴正方向，为z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系则A（0，0，0），P（0，0，2），故，显然平面PAC的法向量n（1，0，0）设平面PBC的法向量m（x，y，z）0，则令y1有故.平面PAC与平面PBC所成角为60【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过右焦点F2作直线l交椭圆C于A，B两点，ABF1的周长为
31、，点M（2，0）（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AM、BM的斜率k1，k2，请问k1+k2是否为定值？若是定值，求出其定值；若不是，说明理由【分析】（1）由题意可知，利用椭圆的离心率公式即可求得椭圆方程；（2）当直线的斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理结合直线的斜率公式即可求得k1+k2是定值，当直线l与x轴垂直时，显然k1+k20【解答】解：（1）由ABF1的周长为，得到，即又因为，所以c1，故b2a2c21，所以椭圆C的方程为（2）k1+k2为定值，且k1+k20，当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk（x1）（k0），A（x1，y1），B（x2，y2），把直线l的方程代入，得（2k2+1）x24k2x+2k220，则，因为，而当直线l与x轴垂直时，k1k2，即k1+k20，所以k1+k20，即k1+k2是定值【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式的应用，考查分类讨论思想，属于中档题
