1、2019-2020学年山西省朔州市怀仁市重点中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每题5分，共12题，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1（5分）命题“若x21，则1x1”的逆否命题是（）A若x21，则x1或x1B若1x1，则x21C若x1或x1，则x21D若x1或x1，则x212（5分）已知命题p：若实数x，y满足x3+y30，则x，y互为相反数；命题q：若ab0，则下列命题pq，pq，p，q中，真命题的个数是（）A1B2C3D43（5分）若实数x，y满足则的取值范围是（）A（1，1）B（，1）（1，+）C（，1）D1，+）4（5分）已知a0，b0，则的最小值
2、是（）A2BC4D55（5分）长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）AB56C64D146（5分）经过点P（1，2）并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有（）A0条B1条C2条D3条7（5分）两平行直线l1、l2分别过点P（1，3）、Q（2，1），它们分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则l1、l2之间的距离的取值范围是（）A（0，+）B0，C（0，D0，8（5分）如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABBC，PAAB，D为PB的中点，则下列结论正确的有（）BC平面PAB；ADPC；AD平面PBC；PB平面ADCA0个B1个C
3、2个D3个9（5分）已知直线l过点（2，0），当直线l与圆x2+y22x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（）ABCD10（5分）若圆（x3）2+（y+5）2r2上的点到直线4x3y20的最近距离等于1，则半径r的值为（）A4B5C6D911（5分）已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使得|PM|4，则称直线为“切割型直线”下列直线中是“切割型直线”的是（）yx+1； y2； 4x3y0； y2x+1ABCD12（5分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB，BCAA11，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP+PQ的最
4、小值为（）ABCD1二、填空题（每题5分，共4题，满分20分）13（5分）若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是 14（5分）将一张画有直角坐标系的图纸对折，使点A（0，2）与B（4，0）重合，若此时点C（0，4）恰与点D重合，则点D的坐标是 15（5分）已知圆的方程为x2+y26x8y0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为 16（5分）如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1：V2 三、解答题（本题共6小题，满分70分解答应写出文字说明
5、，证明过程或演算步骤）17（10分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段BC的中点，AB1，AD2，AA1（）证明：DE平面A1AE；（）求点A到平面A1ED的距离18（12分）根据条件求下列圆的方程：（1）求经过A（6，5），B（0，1）两点，并且圆心在直线3x+10y+90上的圆的方程；（2）求半径为，圆心在直线y2x上，被直线xy0截得的弦长为4的圆方程19（12分）设函数f（x）（xa）|x|+b（1）当a2，b3时，画出函数f（x）的图象，并求出函数yf（x）的零点；（2）设b2，且对任意x1，1，f（x）0恒成立，求实数a的取值范围20（12分）如图1，在直角梯形ABC
6、D中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD2将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示（）求证：BC平面ACD；（）求几何体DABC的体积21（12分）已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中的轨迹为C，过点A（2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程22（12分）如图，在四棱椎PABCD中，底面ABCD是BAD60且边长为2的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD（1）若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD；（2）求
7、二面角ABCP的大小；（3）若E为BC的中点，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF平面ABCD，并证明你的结论2019-2020学年山西省朔州市怀仁市重点中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共12题，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1（5分）命题“若x21，则1x1”的逆否命题是（）A若x21，则x1或x1B若1x1，则x21C若x1或x1，则x21D若x1或x1，则x21【分析】根据逆否命题的定义，直接写出答案即可，要注意“且”形式的命题的否定【解答】解：原命题的条件是“若x21”，结论为“1x1”，则其逆否命题是：若x1或x
8、1，则x21故选：D【点评】解题时，要注意原命题的结论“1x1”，是复合命题“且”的形式，否定时，要用“或”形式的符合命题2（5分）已知命题p：若实数x，y满足x3+y30，则x，y互为相反数；命题q：若ab0，则下列命题pq，pq，p，q中，真命题的个数是（）A1B2C3D4【分析】由函数单调性解高次方程得：实数x，y满足x3+y30，得xy，即x，y互为相反数，由不等式的性质得：ab0，不等号左右两边同时除以正数ab得：，由复合命题及其真假得：命题pq，pq，p，q中为真命题pq，pq，得解【解答】解：由实数x，y满足x3+y30，得xy，即x，y互为相反数，故命题p为真命题，由ab0，不
9、等号左右两边同时除以正数ab得：，故命题q为真命题，则命题pq，pq，p，q中为真命题pq，pq，即真命题的个数是2，故选：B【点评】本题考查了由函数性质解高次方程、不等式的性质及复合命题及其真假，属中档题3（5分）若实数x，y满足则的取值范围是（）A（1，1）B（，1）（1，+）C（，1）D1，+）【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与点（1，0）构成的直线的斜率范围【解答】解：可行域为图中阴影部分，的几何意义是区域内点与点A（1，0）连线的斜率当过点A的直线与l：xy+10平行时，斜率k1；当直线过点A和B（0，1）时，斜率k1，故欲使
10、过点A的直线与可行域有公共点，应有k1或k1，故1或1故选：B【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解4（5分）已知a0，b0，则的最小值是（）A2BC4D5【分析】a0，b0，即，给出了基本不等式使用的第一个条件，而使用后得到的式子恰好可以再次使用基本不等式【解答】解：因为当且仅当，且，即ab时，取“”号故选：C【点评】基本不等式a+b，（当且仅当ab时取“”）的必须具备得使用条件：一正（即
11、a，b都需要是正数）二定（求和时，积是定值；求积时，和是定值）三等（当且仅当ab时，才能取等号）5（5分）长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）AB56C64D14【分析】根据题意可得长方体的三条棱长，再结合题意与有关知识可得外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，即可得到球的直径，进而根据球的表面积公式求出球的表面积【解答】解：因为长方体相邻的三个面的面积分别是2，3，6，长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，2，1，又因为长方体的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是圆的直径，因为长方体的体对角线的长是：球的
12、半径是：这个球的表面积：4 14故选：D【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握常用几何体的结构特征，以及球的内接多面体的有关知识，球的表面积公式，而解决此题的关键是知道球的直径与长方体的体对角线，考查计算能力，空间想象能力，此题属于基础题6（5分）经过点P（1，2）并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有（）A0条B1条C2条D3条【分析】对截距分类讨论，利用截距式即可得出【解答】解：直线l经过原点时，可得直线方程为：y2x直线l不经过原点时，设直线方程为+1，把点P（1，2）代入可得：+1，ab时，1，解得a1，可得方程为：x+y1ab时，1，解得a3，b3，可得方程为：yx3综上可得：要求
13、直线方程的条数为3故选：D【点评】本题考查了直线的截距式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（5分）两平行直线l1、l2分别过点P（1，3）、Q（2，1），它们分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则l1、l2之间的距离的取值范围是（）A（0，+）B0，C（0，D0，【分析】过两点的平行线在旋转的过中，接近一条直线时最小，当与两点的直线垂直时距离最大，进而求出平行线的距离的取值范围【解答】解：当平行线趋近一条直线时，两条直线的距离最小，当平行线与过PQ垂直时距离最大，且最大距离为PQ，故选：C【点评】考查平行线间的距离的取值范围，属于基础题8（5分）如图，在三棱锥PABC中，PA
14、平面ABC，ABBC，PAAB，D为PB的中点，则下列结论正确的有（）BC平面PAB；ADPC；AD平面PBC；PB平面ADCA0个B1个C2个D3个【分析】，由PA平面ABC得PABC，又ABBC，得出BC平面PAB；，由BC平面PAB得BCAD，又ADPB，得出AD平面PBC，即得ADPC；，由知AD平面PBC；，由题意知PB与AC不垂直，PB与平面ADC不垂直【解答】解：对于，由PA平面ABC，BC平面ABC，PABC；又ABBC，PAABA，BC平面PAB，正确；对于，由BC平面PAB，AD平面PAB，BCAD；又PAAB，D为PB的中点，ADPB；且CDBCC，AD平面PBC；又PC
15、平面PBC，ADPC，正确；对于，由知，AD平面PBC，正确；对于，由题意知PB与AC不垂直，所以PB与平面ADC不垂直，错误综上知，正确的命题序号是，共3个故选：D【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题9（5分）已知直线l过点（2，0），当直线l与圆x2+y22x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（）ABCD【分析】圆心到直线的距离小于半径即可求出k的范围【解答】解：直线l为kxy+2k0，又直线l与圆x2+y22x有两个交点故故选：C【点评】本题考查直线的斜率，直线与圆的位置关系，是基础题10（5分）若圆（x3）2+（y+5）2r2上的点到
16、直线4x3y20的最近距离等于1，则半径r的值为（）A4B5C6D9【分析】由题意可得，圆心（3，5）到直线的距离等于r+1，利用点到直线的距离公式求得r的值【解答】解：由题意可得，圆心（3，5）到直线的距离等于r+1，即|r+1，求得 r4，故选：A【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题11（5分）已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使得|PM|4，则称直线为“切割型直线”下列直线中是“切割型直线”的是（）yx+1； y2； 4x3y0； y2x+1ABCD【分析】由题意得，“切割型直线”即点M（5，0）到直线的距离小于或等
17、于4求出点M到各条直线的距离，可得答案【解答】解：要使直线为“切割型直线”，则直线上存在点P使得|PM|4，即圆（x5）2+y225 和直线有交点，即点M（5，0）到直线的距离小于或等于4点M（5，0）到直线yx+1的距离为 34，不满足条件；点M（5，0）到直线y2的距离为 24，故满足条件；点M（5，0）到直线4x3y0的距离为 4，故满足条件；点M（5，0）到直线y2x+1的距离为4，故满足条件，故选：C【点评】本题主要考查新定义，点到直线的距离公式的应用，属于基础题12（5分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB，BCAA11，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为
18、底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP+PQ的最小值为（）ABCD1【分析】画出图形，利用折叠与展开法则同一个平面，转化折线段为直线段距离最小，转化求解MP+PQ的最小值【解答】解：由题意，要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形ACC1与三角形AB1C1，在同一个平面上，如图，易知B1AC1C1AC30，AM，可知MQAC时，MP+PQ的最小，最小值为：故选：C【点评】本题考查最小值的求解，考查空间想象能力以及学生的计算能力，难度比较大二、填空题（每题5分，共4题，满分20分）13（5分）若对任意x0，a
19、恒成立，则a的取值范围是a【分析】根据x+2代入中求得的最大值为进而a的范围可得【解答】解：x0，x+2（当且仅当x1时取等号），即的最大值为，故答案为：a【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用属基础题14（5分）将一张画有直角坐标系的图纸对折，使点A（0，2）与B（4，0）重合，若此时点C（0，4）恰与点D重合，则点D的坐标是【分析】本题可以从使点A（0，2）与B（4，0）重合，来求关于A、B对称的直线方程，然后求C关于直线的对称点D的坐标【解答】解：A、B的中点坐标（2，1），直线AB的斜率为，所以中垂线的直线方程为y12（x2）即2xy30，设D 点的坐标为（x，y），点C（
20、0，4）恰与点D重合，必有解得故答案为（）【点评】本题的处理方法实际上是：点关于直线的对称问题，需要牢记垂直、平分这个两个条件，垂直斜率之积为1，中点坐标在直线上15（5分）已知圆的方程为x2+y26x8y0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为【分析】化圆的方程为x2+y26x8y0为标准方程，求出圆心和半径，然后解出AC、BD，可求四边形ABCD的面积【解答】解：圆的方程为x2+y26x8y0化为（x3）2+（y4）225圆心坐标（3，4），半径是5最长弦AC是直径，最短弦BD的中点是ESABCD故答案为：【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，圆的
21、标准方程，是基础题16（5分）如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1：V21：24【分析】由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍，然后直接由体积公式可得比值【解答】解：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以SADE：SABC1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍即三棱柱A1B1C1ABC的高是三棱锥FADE高的2倍所以V1：V21：24故答案为1：24【点评】本题考查了棱柱和棱锥的体积公式，考
22、查了相似多边形的面积的比等于相似比的平方，是基础的计算题三、解答题（本题共6小题，满分70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段BC的中点，AB1，AD2，AA1（）证明：DE平面A1AE；（）求点A到平面A1ED的距离【分析】（）欲证DE平面A1AE，根据线面垂直的判定定理可知只需证AEDE，A1ADE，即可；（）利用第一问的结果，推出平面AA1E平面A1ED，作出垂线，求解即可【解答】证明：（）长方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段BC的中点，在AED中，AEDE，AD2，AEDEA1A平面ABCD，A1ADE，DE平面
23、A1AE（）由DE平面A1AE，平面AA1E平面A1ED，过A作AMA1E，交A1E于M，由平面与平面垂直的性质定理可知，AM平面A1ED，AM就是A到平面A1ED的距离，在AA1E中，AEAA1，AM1点A到平面A1ED的距离为：1【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力18（12分）根据条件求下列圆的方程：（1）求经过A（6，5），B（0，1）两点，并且圆心在直线3x+10y+90上的圆的方程；（2）求半径为，圆心在直线y2x上，被直线xy0截得的弦长为4的圆方程【分析】（1）由题意知求出线段AB的垂直平分线方程，与直线
24、3x+10y+90联立，求出圆心和半径，写成圆的方程即可；（2）设圆的方程为（xa）2+（yb）210，联立解直线与圆的方程组，求出弦长|AB|，结合已知条件求出a，b代入即可【解答】解：（1）A（6，5），B（0，1）两点中点为（3，3），由题意知线段AB的垂直平分线方程为3x+2y150，由，解得，圆心C（7，3），半径r|AC|，所求圆的方程为（x7）2+（y+3）265；（2）设圆的方程为（xa）2+（yb）210，圆心C（a，b）在直线y2x上，b2a由圆被直线xy0截得的弦长为4，将yx代入（xa）2+（yb）210，得2x22（a+b）x+a2+b2100，设直线yx交圆C于A（
25、x1，y1），B（x2，y2），则|AB|，所以，x1+x2a+b，x1x2，（a+b）22（a2+b210）16，即ab2，又b2a，所求圆的方程为（x2）2+（y4）210或（x+2）2+（y+4）210【点评】考查求直线和圆的方程，圆的弦长的计算和应用，中档题19（12分）设函数f（x）（xa）|x|+b（1）当a2，b3时，画出函数f（x）的图象，并求出函数yf（x）的零点；（2）设b2，且对任意x1，1，f（x）0恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）把a2，b3代入函数解析式，然后根据绝对值的代数意义进行化简，然后结合二次函数的图象可作出函数图象，求解零点，（2）由f（x）0，得
26、（xa）|x|2结合函数的单调性可转化为求解函数的最值，可求【解答】解：（1）当a2，b3时，函数f（x）（x2）|x|+3的解析式可化为：f（x），故函数的图象如图所示：由图象知函数的零点为x1，（2）当b2时，由f（x）0，得（xa）|x|2当x0时，a取任意实数不等式恒成立；当0x1时，ax，令g（x）x，则g（x）在（0，1上单调递增，ag（x）maxg（1）1；当1x0时，ax+，令h（x）x+，则易证h（x）x+在1，0）上单调递减，ah（x）maxh（1）3，综上，a1【点评】本题主要考查了利用函数的图象求解函数的零点及不等式的恒成立与最值求解的相互转化，体现了转化思想及数形结合
27、思想的应用20（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD2将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示（）求证：BC平面ACD；（）求几何体DABC的体积【分析】（）解法一：由题中数量关系和勾股定理，得出ACBC，再证BC垂直与平面ACD中的一条直线即可，ADC是等腰Rt，底边上的中线OD垂直底边，由面面垂直的性质得OD平面ABC，所以ODBC，从而证得BC平面ACD；解法二：证得ACBC后，由面面垂直，得线面垂直，即证（），由高和底面积，求得三棱锥BACD的体积即是几何体DABC的体积【解答】解：（）【解法一】：在图1中，由题
28、意知，AC2+BC2AB2，ACBC取AC中点O，连接DO，则DOAC，又平面ADC平面ABC，且平面ADC平面ABCAC，DO平面ACD，从而OD平面ABC，ODBC又ACBC，ACODO，BC平面ACD【解法二】：在图1中，由题意，得，AC2+BC2AB2，ACBC平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，BC面ABC，BC平面ACD（）由（）知，BC为三棱锥BACD的高，且，SACD222，所以三棱锥BACD的体积为：，由等积性知几何体DABC的体积为：【点评】本题通过平面图形折叠后得立体图形，考查空间中的垂直关系，重点是“线线垂直，线面垂直，面面垂直”的转化；等积法求体积，也是常
29、用的数学方法21（12分）已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中的轨迹为C，过点A（2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程【分析】（1）直接利用距离的比，列出方程即可求点M的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；（2）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l的方程【解答】解：（1）由题意坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5，得5.，化简得x2+y22x2y230即（x1）2+（y1）225点M
30、的轨迹方程是（x1）2+（y1）225，所求轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆（2）当直线l的斜率不存在时，过点A（2，3）的直线l：x2，此时过点A（2，3）的直线l被圆所截得的线段的长为：28，l：x2符合题意当直线l的斜率存在时，设过点A（2，3）的直线l的方程为y3k（x+2），即kxy+2k+30，圆心到l的距离d，由题意，得+4252，解得k直线l的方程为xy+0即5x12y+460综上，直线l的方程为x2，或5x12y+460【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力22（12分）如图，在四棱椎PABCD中，底面ABCD是BAD60且边长为2
31、的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD（1）若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD；（2）求二面角ABCP的大小；（3）若E为BC的中点，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF平面ABCD，并证明你的结论【分析】（1）先由面面垂直的性质定理，得PG平面ABCD，从而PGBG，再由线面垂直的判定定理证明BG平面PAD（2）先找到所求二面角的平面角即PBG，再由二面角平面角定义证明，最后在三角形中计算此角的大小，即得二面角的大小（3）若平面DEF平面ABCD，结合DE平面PBG，可判断平面DEF一定与平面PBG平行，从而由面面平行的性质定理可知点F应为PC的中点，然后证明此结
32、论即可【解答】解：（1）PAPD，AGGD，PGAD平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，PG平面ABCD，BG平面ABCDPGBG又四边形ABCD为菱形，且BAD60，ADBG，PGADGBG平面PAD（2）PG平面ABCD，BCPG又BCBGBC平面PBGPBG为二面角ABCP的平面角，在RtPGB中，PGBG，PBG45所以二面角ABCP大小为45（3）取PC的中点F，则点F即为所求的点证明：E为BC的中点，EFPB，PB平面PBGEF平面PBG在菱形ABCD中，DEBG，BG平面PBGDE平面PBG，DEEFE平面DEF平面PBGPG平面ABCD，PG平面PBG平面PBG平面ABCD由，平面DEF平面ABCD【点评】本题综合考查了面面垂直的判定定理与性质定理，线面垂直的判定定理，求二面角的大小的方法，
