1、2018-2019学年山西省吕梁市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，满分60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是题目要求的）1（5分）直线l的方程为1，则直线l的倾斜角是（）A30B60C120D1502（5分）正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BD与CD1位置关系为（）A相交且垂直B异面且垂直C相交但不垂直D异面但不垂直3（5分）已知命题p：xAB，则命题p是（）AxABBxABCxA 且xBDxA 或xB4（5分）已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面，则下列命题中，正确的有（）个若m，n则mn若m，mn，则n若m，n，则mn若m，m，n，则mnA0B1C2
2、D35（5分）函数yx2+bx+c在0，+）上是单调函数的充分不必要条件是b（）A（，0）B（0，+）C（，0D0，+）6（5分）在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），那么下列说法正确的是（）点P关于x轴对称的点的坐标是 P1（x，y，z）点P关于yOz平面对称的点的坐标是 P2（x，y，z）点P关于xOy平面对称点的坐标是 P3（x，y，z）点P关于原点对称点的坐标是 P4（x，y，z）ABCD7（5分）三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC，ACBC，PA3，则该三棱锥外接球的表面积为（）A25B100CD8（5分）已知双曲线1（a0，b0）的两条渐近线均和圆C：x2+y26x+
3、30相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）ABCD9（5分）若（x，y）|ax+2y10（x，y）|x+（a1）y+10，则a等于（）AB2C1D2或110（5分）已知抛物线y22px（p0），过其焦点且斜率为l的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为4，则线段AB的长度为（）A18B16C14D1211（5分）某三棱锥是三视图是三个边长相等的正方形及对角线，若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A4B8CD12（5分）已知圆C：（x3）2+（y4）21和两点A（m，0）、B（m，0）（m0），若圆C上存在点P，使得APB90，则m的取值范围是（）A3，7B4
4、，6C3，6D4，7二、填空题（每题5分，满分20分）13（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为2，P是BB1的中点过A1，P，D三点的平面与BC交于点Q，则PQ的长度为 14（5分）已知aR，方程a2x2+（2a）y2+8x4y5a0表示圆，则圆心坐标是 15（5分）已知双曲线C：x21，F1、F2为双曲线C的左、右焦点，P为双曲线C上的一点，若9，则F1PF2的周长为 16（5分）椭圆+1的左焦点为F，直线ykx1与椭圆相交于A、B两点，当FAB的周长最大时，FAB的面积为 三.解答题（本大题6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）过点P
5、（3，1）的直线l被圆x2+y225所截得的弦长为8，求直线l的方程18（12分）如图，在三棱锥PABC中，已知ABC是等腰直角三角形，ABC90，PAC是直角三角形，PAC90，ACP30，平面PAC平面ABC（1）求证：PBC是直角三角形；（2）求二面角ABCP的平面角的正切值19（12分）已知命题p：xR，x2mx+10，命题q：xR，mx2mx+10，若pq是真命题，pq是假命题，求实数m的取值范围20（12分）已知椭圆C：1（ab0），椭圆C上任意一点M到椭圆两个焦点F1、F2的距离之和为4，且F1MF2的最大值为60（1）求椭圆C的方程；（2）若过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，
6、B两点，求|AF2|F2B|的取值范围21（12分）已知圆O：x2+y21和定点A（2，1），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|PA|（）求实数a、b间满足的等量关系；（）求线段PQ长的最小值；（）若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程22（12分）已知动圆过定点（1，0），且与直线x1相切（1）求动圆的圆心C的轨迹方程；（2）记直线l与动圆圆心C的轨迹交于A，B两点，直线l与x轴交于点M，是否存在定点M，使得恒为定值？若存在，求出定值及定点M的坐标，若不存在，说明理由2018-2019学年山西省吕梁市高二（上）期末数学试卷（理科）参
7、考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，满分60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是题目要求的）1（5分）直线l的方程为1，则直线l的倾斜角是（）A30B60C120D150【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率，得出结论【解答】解：直线l的方程为1，即 yx，则直线l的斜率为 ，故它的倾斜角为30，故选：A【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，属于基础题2（5分）正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BD与CD1位置关系为（）A相交且垂直B异面且垂直C相交但不垂直D异面但不垂直【分析】作图直接判断即可【解答】解：如图，直线BD与CD1异面，且BDB1D1，显然直线B1D1与直线CD1不垂直
8、，即直线BD与CD1不垂直，故选：D【点评】本题主要考查异面直线的判断，属于基础题3（5分）已知命题p：xAB，则命题p是（）AxABBxABCxA 且xBDxA 或xB【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论【解答】解：由命题的否定的定义可知，命题p：xAB，则命题p是：xA 且xB；故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础4（5分）已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面，则下列命题中，正确的有（）个若m，n则mn若m，mn，则n若m，n，则mn若m，m，n，则mnA0B1C2D3【分析】根据空间直线和平面平行和垂直的位置关系分别判断即可【解答】解：若m，n，则m
9、n或m，n是异面直线，故错误，若m，mn，只有当时，才有n，否则不成立，故错误，若m，n，则mn成立，故正确，若m，m，n，则mn成立，满足直线与平面平行的性质定理，故正确，故正确的是，故选：C【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面，平行和垂直的判断，结合相应的定理是解决本题的关键比较基础5（5分）函数yx2+bx+c在0，+）上是单调函数的充分不必要条件是b（）A（，0）B（0，+）C（，0D0，+）【分析】利用二次函数的单调性判断出充要条件，再根据选项判断出充分不必要条件即可【解答】解：函数yx2+bx+c的对称轴是x，开口向上，函数在0，+）上是单调函数的充要条件是，即b
10、0，b0是b0的充分不必要条件，故B成立，A，C显然不成立，D为充要条件不成立，故选：B【点评】考察了二次函数的单调性和充分必要条件的判断，基础题6（5分）在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），那么下列说法正确的是（）点P关于x轴对称的点的坐标是 P1（x，y，z）点P关于yOz平面对称的点的坐标是 P2（x，y，z）点P关于xOy平面对称点的坐标是 P3（x，y，z）点P关于原点对称点的坐标是 P4（x，y，z）ABCD【分析】根据空间直角坐标系中点P（x，y，z）关于坐标轴、坐标平面以及原点的对称点坐标特点，写出正确的结果【解答】解：空间直角坐标系中，点P（x，y，z）；对于，点P关
11、于x轴对称的点的坐标是 P1（x，y，z），错误；对于，点P关于yOz平面对称的点的坐标是 P2（x，y，z），错误；对于，点P关于xOy平面对称点的坐标是 P3（x，y，z），正确；对于，点P关于原点对称点的坐标是 P4（x，y，z），正确；综上知，正确的命题序号是故选：D【点评】本题考查了空间直角坐标系中点关于坐标轴、坐标平面以及原点的对称情况，是基础题7（5分）三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC，ACBC，PA3，则该三棱锥外接球的表面积为（）A25B100CD【分析】根据题目的垂直条件，符合将其补成长方体的条件，故问题转化成长方体外接球问题，即可求出半径【解答】解：因为ACBC
12、，且PA平面ABC，所以三棱锥PABC可以补形成长方体，此时长方体外接的球与三棱锥PABC相同，设球的半径为R，则长方体体对角线长度为，S4R225故选：A【点评】本题考查球的表面积公式，考查补形法和长方体外接球的问题，属于中档题8（5分）已知双曲线1（a0，b0）的两条渐近线均和圆C：x2+y26x+30相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）ABCD【分析】求得圆C的圆心和半径，可得c3，即a2+b29，求出双曲线的渐近线方程，运用直线和圆相切的条件：dr，解得b，a，即可得到双曲线的方程【解答】解：圆C：x2+y26x+30的圆心为（3，0），半径为，即有F（3，0），
13、即c3，即a2+b29，双曲线的渐近线方程为yx，由直线和圆相切的条件，可得：，解得b，代入a2+b29，解得a，b可得双曲线的标准方程为：故选：D【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用直线和圆相切的条件：dr，同时考查双曲线的渐近线方程的运用，属于中档题9（5分）若（x，y）|ax+2y10（x，y）|x+（a1）y+10，则a等于（）AB2C1D2或1【分析】由题意：（x，y）|ax+2y10（x，y）|x+（a1）y+10，即直线ax+2y10与直线x+（a1）y+10平行，根据直线平行的关系即可求出a的值【解答】解：（x，y）|ax+2y10（x，y）|x+（a1）y+10，即直
14、线ax+2y10与直线x+（a1）y+10平行，则a（a1）2，解得a2或a1，当a1时，两直线重合，故舍去，故a2，故选：B【点评】本题考查两条直线平行的判定，是基础题10（5分）已知抛物线y22px（p0），过其焦点且斜率为l的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为4，则线段AB的长度为（）A18B16C14D12【分析】设过焦点的直线方程，与抛物线联立，得纵坐标的和，再由题意得出p的值，再由弦长公式求出弦长【解答】解：由题意得焦点坐标（，0），设A（x，y），B（x，y），设直线l的方程：xy+，代入抛物线整理得：y22pyp20，y+y2p，yyp2，所以线段AB的纵坐标
15、p，所以p4，y+y8，yy16，所以弦长AB|yy|16故选：B【点评】考查直线与抛物线相交求弦长，属于基础题11（5分）某三棱锥是三视图是三个边长相等的正方形及对角线，若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A4B8CD【分析】由三视图还原原几何体，可知几何体为正四面体，由体积求出棱长，则表面积可求【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥AB1D1C，设正方体AC1的棱长为a，则，则a2它的表面积是故选：D【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题12（5分）已知圆C：（x3）2+（y4）21和两点A（m，0）、B（m，0）（m0），若圆C上存在
16、点P，使得APB90，则m的取值范围是（）A3，7B4，6C3，6D4，7【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由APB90，可得POABm，从而得到答案【解答】解：圆C：（x3）2+（y4）21的圆心C（3，4），半径为1，圆心C到O（0，0）的距离为5，圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由APB90，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得POABm，故有4m6，故选：B【点评】本题考查实数值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用二、填空题（每题5分，满分20分）13（5分）如图，在正方体A
17、BCDA1B1C1D1中，棱长为2，P是BB1的中点过A1，P，D三点的平面与BC交于点Q，则PQ的长度为【分析】推导出PQA1D，从而PQB1C，由此能求出PQ的长度【解答】解：在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为2，P是BB1的中点过A1，P，D三点的平面与BC交于点Q，PQA1D，PQB1C故答案为：【点评】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题14（5分）已知aR，方程a2x2+（2a）y2+8x4y5a0表示圆，则圆心坐标是（4，2）【分析】根据题意，分析可得a2（2a），解可得a1或2，分别验证a1和a2时是否表示圆
18、，求出圆的圆心，即可得答案【解答】解：根据题意，若方程a2x2+（2a）y2+8x4y5a0表示圆，则有a2（2a），即a2+a20，解可得：a1或2，当a1时，方程为x2+y2+8x4y50，变形可得（x+4）2+（y2）225，表示圆心为（4，2），半径为5的圆，当a2时，方程为4x2+4y2+8x4y+100，即x2+y2+2xy+0，变形可得（x+1）2+（y）2+0，不能表示圆，故圆心的坐标为（4，2）；故答案为：（4，2）【点评】本题考查一元二次方程表示圆的条件，涉及圆的方程，属于基础题15（5分）已知双曲线C：x21，F1、F2为双曲线C的左、右焦点，P为双曲线C上的一点，若9，
19、则F1PF2的周长为12【分析】求得双曲线的a，b，c，求得焦点坐标，设P（m，n），（m0，n0），代入双曲线方程，运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得m，n，再由两点的距离公式，计算可得所求周长【解答】解：双曲线C：x21的a1，b，c2，F1（2，0），F2（2，0），设P（m，n），（m0，n0），可得m21，由（2m，n），（2m，n），9，可得（2m）（2m）+n29，即m2+n213由解得m2，n3，可得F1PF2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|+3+45+3+412故答案为：12【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查向量数量积的坐标表示，以及两点的距离公式，考查
20、方程思想和运算能力，属于基础题16（5分）椭圆+1的左焦点为F，直线ykx1与椭圆相交于A、B两点，当FAB的周长最大时，FAB的面积为【分析】如图所示，设椭圆的右焦点为F当FAB的周长|AF|+|BF|+|AB|2a|AF|+2a|BF|+|AB|8+|AB|（|AF|+|BF|），利用三角形三边大小关系可得周长的最大值当且仅当直线AB经过椭圆的右焦点F时取得最大值可得此时直线AB的斜率利用根与系数的关系|y1y2|，FAB的面积|FF|y1y2|，即可得出【解答】解：如图所示，设椭圆的右焦点为F则当FAB的周长|AF|+|BF|+|AB|2a|AF|+2a|BF|+|AB|8+|AB|（|
21、AF|+|BF|）8+|AB|AB|8当且仅当直线AB经过椭圆的右焦点F时取等号此时直线AB的斜率k1直线AB的方程为：yx1设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，化为：7y2+6y90，y1+y2，y1y2，|y1y2|，FAB的面积|FF|y1y2|故答案为：【点评】本题考查了椭圆的标准方程定义及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于中档题三.解答题（本大题6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）过点P（3，1）的直线l被圆x2+y225所截得的弦长为8，求直线l的方程【分析】分别考虑直线的斜率存在与不存在两种
22、情况，结合点到直线的距离公式及直线与圆相交的性质即可求解【解答】解：设圆心到直线的距离为d，则d2r2169，d3，（1）直线l的斜率不存在，则x3，满足圆心（0，0）到直线l的距离d3，（2）斜率存在，设斜率为k，则直线l的方程为：y1k（x3），即：kxy3k+10，由点到直线的距离公式d3，9k26k+19（k2+1）.3k4，得：k，所以，直线l的方程为：xy+50，整理得：4x+3y150，综上，直线l的方程为：x3 或4x+3y150【点评】本题主要考查了直线与圆相交性质的简单应用，属于基础试题18（12分）如图，在三棱锥PABC中，已知ABC是等腰直角三角形，ABC90，PAC是
23、直角三角形，PAC90，ACP30，平面PAC平面ABC（1）求证：PBC是直角三角形；（2）求二面角ABCP的平面角的正切值【分析】（1）证明PAAC，推出PA平面ABC得到PABC结合ABBC，ABPAA，证明平面PAB推出BCPB得到PBC是直角三角形（2）ABP是二面角ABCP的平面角，设PA2，通过求解三角形，推出二面角ABCP的平面角的正切值【解答】（1）证明：平面PAC平面ABC，且其交线为AC，PAAC，PA平面PAC，PA平面ABCBC平面ABC，PABC又ABBC，ABPAA，AB平面PAB，PA平面PAB，BC平面PAB而PB平面PAB，BCPB，即PBC90，PBC是直
24、角三角形（2）解：由BCPB，BCAB得ABP是二面角ABCP的平面角，不妨设PA2，则在直角中，AC在直角中，ABBC，在直角PAB中，因此，二面角ABCP的平面角的正切值是【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题19（12分）已知命题p：xR，x2mx+10，命题q：xR，mx2mx+10，若pq是真命题，pq是假命题，求实数m的取值范围【分析】根据条件求命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行转化求解即可【解答】解：若命题p为真命题，则m240，即2m2，命题p为假命题，则m2或m2，若命题q为真命题，则m
25、0或，解得：m4，所以m0或m4命题q为假命题，则0m4，由pq是真命题，pq是假命题得：p与q一真一假，若p真q假，则，若p假q真，则，综上所述m的取值范围是（，20，2）4，+）【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的等价条件以及利用复合命题真假关系是解决本题的关键难度中等20（12分）已知椭圆C：1（ab0），椭圆C上任意一点M到椭圆两个焦点F1、F2的距离之和为4，且F1MF2的最大值为60（1）求椭圆C的方程；（2）若过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AF2|F2B|的取值范围【分析】（1）根据条件可知2a4，最大角的正弦为，求出a，b即可得椭圆C
26、的方程；（2）（法一）设出直线l的方程，考虑斜率存在与不存在两种情况，设直线l的斜率存在时方程为yk（x1），与椭圆方程联立，利用根与系数关系表示出|AF2|，|F2B|，则|AF2|F2B|，利用函数性质可求出取值范围（法二）利用向量法，同样表示出|AF2|F2B|，即可求出范围，【解答】解：（1）因为椭圆的标准方程为，记F1MF2的最大值为2由题意知解得 a2，b所以椭圆的标准方程为（2）因为F2（1，0），当直线l的斜率不存在时，A（1，），B（1，）则|AF2|，不符合题意；当直线l的斜率存在时，直线l的方程可设为yk（x1）由，消y得（3+4k2）x28k2x+4k2120）（*）设
27、A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个根，所以，（法一），|AF2|，当k20时，取最大值为3，所以|AF2|F2B|的取值范围又当k不存在，即ABx轴时，|AF2|F2B|取值为所以|AF2|F2B|的取值范围，（法二）（x11）（x21）y1y2（x11）（x21）k2（x11）（x21）（1+k2）x1x2（x1+x2）+1，当k20时，取最大值为3，所以|AF2|F2B|的取值范围又当k不存在，即ABx轴时，|AF2|F2B|取值为所以|AF2|F2B|的取值范围【点评】本题考查椭圆的方程，考查直线方程与椭圆形成线段的取值范围，涉及根于系数关系，函数的基本性
28、质等知识点，属于中档题21（12分）已知圆O：x2+y21和定点A（2，1），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|PA|（）求实数a、b间满足的等量关系；（）求线段PQ长的最小值；（）若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程【分析】（）连接OQ、OP，则OQP为直角三角形，利用|PQ|PA|，求P点的轨迹方程；（）表示出|PQ|，利用配方法求|PQ|的最小值；（） ，故当时，此时，即可求出半径最小的圆的方程【解答】解：（）连OP，Q为切点，PQOQ，由勾股定理有|PQ|2|OP|2|OQ|2又由已知|PQ|PA|，故|PQ|2|PA|2即
29、：（a2+b2）12（a2）2+（b1）2化简得实数a、b间满足的等量关系为：2a+b30（）由2a+b30，得b2a+3.，故当时，即线段PQ长的最小值为（）设圆P 的半径为R，圆P与圆O有公共点，圆 O的半径为1，|R1|OP|R+1即R|OP|1|且R|OP|+1而，故当时，此时，得半径取最小值时圆P的方程为【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题22（12分）已知动圆过定点（1，0），且与直线x1相切（1）求动圆的圆心C的轨迹方程；（2）记直线l与动圆圆心C的轨迹交于A，B两点，直线l与x轴交于点M，是否存在定点M，使得恒为定值？若存在，
30、求出定值及定点M的坐标，若不存在，说明理由【分析】（1）设动圆的圆心坐标，根据到定点的距离等于到定直线的距离相等可得出圆心的轨迹方程；（2）设直线方程，与动圆联立由根与系数的关系横纵坐标的关系，假设存在C使式子为定值，与斜率无关，需要把斜率的代数式约分，求出M的横坐标【解答】解：（1）设C为动圆圆心F（1，0），过点C作直线x1的垂线，垂足为D，根据题意知：|CF|CD|即动点C到定点F与到定直线x1的距离相等，由抛物线的定义知，点C的轨迹为抛物线，其中F（1，0）为焦点，x1为准线，动圆圆心C的轨迹方程为：y24x；（2）若存在这样的点M（m，0），使得为定值，直线l：xky+m由得，y24ky4m0，设A（x1，y1），B（x2，y2）y1+y24k，y1y24m，又|AM|2，|BM|2+（+）.，因为要与k无关，只需令，即m2，进而，所以，存在定点M（2，0），不论直线l绕点M如何转动，恒为定值【点评】考查直线与抛物线的综合，注意与斜率无关的话，将于斜率有关的代数式约分即可，所以中档题
