1、2018-2019学年山西省长治二中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）函数f（x）4x2的导函数是（）Af（x）2xBf（x）4xCf（x）8xDf（x）16x2（5分）已知命题p：1x3，q：3x1，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3（5分）双曲线2x2y28的实轴长是（）A2B2C4D44（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）ABCD15（5分）函数yf（x）的导函数yf（x）的图象如图所示，则函数yf（x）的图象可能
2、是（）ABCD6（5分）直线ax+y10平分圆x2+y22x+4y130的面积，则a（）A1B3CD27（5分）已知双曲线C：1 （a0，b0）的一条渐近线方程为yx，且与椭圆+1有公共焦点，则C的方程为（）A1B1C1D18（5分）函数f（x）lnx4x+1的递增区间为（）A（0，）B（0，4）C（，）D（，+）9（5分）设P，Q分别为圆x2+（y6）22和椭圆+y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A5B+C7+D610（5分）如图，已知直线与抛物线y22px（p0）交于A，B两点，且OAOB，ODAB交AB于点D，点D的坐标（4，2），则p（）A3BCD411（5分）已知椭圆：的左
3、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆上的一点PF2与椭圆交于Q若PF1Q的内切圆与线段PF1在其中点处相切，与PQ切于F2，则椭圆的离心率为（）ABCD12（5分）已知函数f（x）x3sinx+ex，其中e是自然数对数的底数，若f（a1）+f（2a2）0，则实数a的取值范围是（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在横线上.）13（5分）命题p：xR，使得x2+10的否定为 14（5分）函数f（x）xlnx的极值点是 15（5分）已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，点P为双曲线1（a0，b0）右支上的一点，满足0，且|PF1|PF2|，则该双曲线离心率为 16（5
4、分）已知函数f（x）2x33x，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线yf（x）相切，则t的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：方程表示双曲线（1）若p是真命题，求实数k的取值范围；（2）若“p或q”是真命题，求实数k的取值范围18（12分）如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点，ABAD2，CACBCDBD2（1）求证：AO平面BCD；（2）求异面直线AD与BC所成角的余弦值的大小；（3）求点D到平面ABC的距离19（12分）已知圆C的圆心为（1，1），直线x+y40与
5、圆C相切（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l过点（2，3），且被圆C所截得弦长为2，求直线l的方程20（12分）已知函数f（x）x3+bx2+cx+d的图象经过点P（0，2），且在点M（1，f（1）处的切线方程为6xy+70（）求函数yf（x）的解析式；（）求函数yf（x）的单调区间21（12分）已知函数f（x）exa（x1）（1）证明：当a1时，f（x）2恒成立；（2）若函数f（x）在R上只有一个零点，求a的取值范围22（12分）在平面直角坐标系xoy中，已知A（1，0），点B在直线x1上，M点满足，M点的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）斜率为1的直线l与曲线C交于P、Q两点，曲线
6、C上是否存在定点N，使得NP与NQ的倾斜角互补，若存在，求点N的坐标，若不存在请说明理由2018-2019学年山西省长治二中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）函数f（x）4x2的导函数是（）Af（x）2xBf（x）4xCf（x）8xDf（x）16x【分析】直接求导即可得出答案【解答】解：f（x）8x，故选：C【点评】本题考查导函数，正确利用导数的运算法则是解决问题的关键2（5分）已知命题p：1x3，q：3x1，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D
7、既不充分也不必要条件【分析】q：3x1，可得x0，又命题p：1x3，即可判断出关系【解答】解：q：3x1，可得x0，又命题p：1x3，p是q的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）双曲线2x2y28的实轴长是（）A2B2C4D4【分析】根据题意，将双曲线的方程变形可得标准方程，分析可得其a的值，由双曲线实轴的定义计算可得答案【解答】解：根据题意，双曲线方程为：2x2y28，则其标准方程为：1，其中a2，则其实轴长2a4；故选：C【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意要现将其方程变形为标准方程4（5分）某三棱锥的三
8、视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）ABCD1【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA底面ABC，PA2，ABBC，ABBC1据此即可得到体积【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA底面ABC，PA2，ABBC，ABBC1因此V故选：B【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键5（5分）函数yf（x）的导函数yf（x）的图象如图所示，则函数yf（x）的图象可能是（）ABCD【分析】根据导数与函数单调性的关系，当f（x）0时，函数f（x）单调递减，当f（x）0时，函数f（x）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置
9、，即可求得函数yf（x）的图象可能【解答】解：由当f（x）0时，函数f（x）单调递减，当f（x）0时，函数f（x）单调递增，则由导函数yf（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选：D【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题6（5分）直线ax+y10平分圆x2+y22x+4y130的面积，则a（）A1B3CD2【分析】根据题意，由圆的方程分析圆的圆心，进而分析可得圆心在直线ax+y10上，将圆心坐标代入直线方程可得a210，
10、解可得a的值，即可得答案【解答】解：根据题意，圆的方程为x2+y22x+4y130，其圆心为（1，2），若直线ax+y10平分圆x2+y22x+4y130的面积，则圆心在直线ax+y10上，则有a210，解可得a3；故选：B【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意直线平分圆的条件，属于基础题7（5分）已知双曲线C：1 （a0，b0）的一条渐近线方程为yx，且与椭圆+1有公共焦点，则C的方程为（）A1B1C1D1【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程【解答】解：椭圆+1的焦点坐标（3，0），则双曲线的焦点坐标为（
11、3，0），可得c3，双曲线C：1 （a0，b0）的一条渐近线方程为yx，可得，即，可得，解得a2，b，所求的双曲线方程为：1故选：B【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力8（5分）函数f（x）lnx4x+1的递增区间为（）A（0，）B（0，4）C（，）D（，+）【分析】先求函数的定义域，然后求函数f（x）的导数，令导函数大于0求出x的范围与定义域求交集即可【解答】解：f（x）lnx4x+1定义域是x|x0f（x）4当f（x）0时，0x故选：A【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系属基础题9（5分）设P，Q分别为圆x2+（y6）22和
12、椭圆+y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A5B+C7+D6【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则圆x2+（y6）22的圆心为（0，6），半径为，椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为5，P，Q两点间的最大距离是5+6故选：D【点评】本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题10（5分）如图，已知直线与抛物线y22px（p0）交于A，B两点，且OAOB，ODAB交AB于点D，点D的坐标（4，2），则p（）A3BCD4【分析】由D的坐标求出OD所在直线的斜率，进一步得到AB所在直线
13、的斜率，求得直线AB的方程，设出A，B的坐标，由OAOB得到A，B横纵坐标的关系，联立直线方程和抛物线方程，化为关于y的方程后利用根与系数的关系求解【解答】解：点D的坐标为（4，2），kOD，又ABOD，且AB过D（4，2），AB：y22（x4），整理得：2x+y100；设点A的坐标（x1，y1），点B的坐标（x2，y2），由OAOB得：x1x2+y1y20，由AB的直线方程为y2x+10，y1y22（y1+y2）+200，联立y2x+10与y22px，消去x得：y2+py10p0，y1+y2p，y1y210p，把代入解得p，经检验p满足0故选：C【点评】本题主要考查抛物线的应用，直线方程的基
14、础知识考查基础知识的综合运用和知识迁移的能力是中档题11（5分）已知椭圆：的左右焦点分别为F1、F2，P为椭圆上的一点PF2与椭圆交于Q若PF1Q的内切圆与线段PF1在其中点处相切，与PQ切于F2，则椭圆的离心率为（）ABCD【分析】可设PF1Q的内切圆的圆心为I，由切线的性质：切线长相等，可得PF1Q为等腰三角形，设|PF1|m，|PF2|n，可得m+n2a，nm，解得m，n，推得PF1Q为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所求值【解答】解：可设PF1Q的内切圆的圆心为I，M为切点，且为中点，可得PF1Q为等腰三角形，设|PF1|m，|PF2|n，可得m+n2a，由切线的性质
15、可得nm，解得m，n，设|QF1|t，|QF2|2at，由t2at+，解得t，则PF1Q为等边三角形，即有2c，即有e，故选：D【点评】本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属于中档题12（5分）已知函数f（x）x3sinx+ex，其中e是自然数对数的底数，若f（a1）+f（2a2）0，则实数a的取值范围是（）ABCD【分析】利用函数的奇偶性将函数转化为f（M）f（N）的形式，再利用单调性脱去对应法则f，转化为一般的二次不等式求解即可【解答】解：由于f（x）x3sinx+exex，则f（x）x3+sinx+exexf（x），故函数f
16、（x）为奇函数故原不等式f（a1）+f（2a2）0，可转化为f（2a2）f（a1）f（1a），即f（2a2）f（1a）；又f（x）3x2cosx+ex+ex，由于ex+ex2，故f（x）3x2cosx+ex+ex1恒成立，故函数f（x）单调递增，则由f（2a2）f（1a）可得，2a21a，即2a2+a10，解得1a，故选：B【点评】这类题目常用到函数的奇偶性和单调性，给定解析式的作用是让我们利用解析式判断奇偶性和单调性，有些题目可能不给定显性的解析式，却以抽象函数的形式给出，其解法思路都是一样的本题目有个难点是利用导数判断单调性时，有些学生可能不能有效的利用均值不等式判断f（x）0恒成立，从而
17、不能顺利解题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在横线上.）13（5分）命题p：xR，使得x2+10的否定为xR，都有x2+10【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出经过即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：xR，使得x2+10”的否定为：xR，都有x2+10故答案为：xR，都有x2+10【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查14（5分）函数f（x）xlnx的极值点是【分析】求导，令f（x）0，即可解得极值点【解答】解：由f（x）xlnx得：f（x）lnx+1令f（x）0，得lnx+10 即lnx1 即x故答
18、案为：【点评】本题主要考察极值点知识，主要运用求导方法15（5分）已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，点P为双曲线1（a0，b0）右支上的一点，满足0，且|PF1|PF2|，则该双曲线离心率为+1【分析】根据双曲线的定义可知|PF2|PF1|2a，进而根据|PF1|PF2|，分别求得|PF2|和|PF1|，根据勾股定理建立等式求得a和c的关系，则离心率可得【解答】解：由0，可得PF1PF2，|PF1|PF2|，|PF1|PF2|2a，|PF2|（+1）a，|PF1|（3+）a；在RTPF1F2中，|F1F2|2|PF1|2+|PF2|2，4c24（+1）a2，解得e+1故答案为：+1【点评
19、】本题主要考查了双曲线的应用考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握16（5分）已知函数f（x）2x33x，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线yf（x）相切，则t的取值范围是（3，1）【分析】设出切点，由斜率的两种表示得到等式，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，进行求解即可得到结论【解答】解：函数的导数f（x）6x23，设过点P（1，t）的直线与曲线yf（x）相切于点（x，2x33x），则6x23，化简得，4x36x2+3+t0，令g（x）4x36x2+3+t，则令g（x）12x（x1）0，则x0，x1g（0）3+t，g（1）t+1，又过点P（1，t）存在3条直线与曲线yf（x）相
20、切，则（t+3）（t+1）0，解得，3t1故答案为：（3，1）【点评】本题考查了导数的几何意义的应用，求函数的导数，利用导数的几何意义和切线斜率之间的关系是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：方程表示双曲线（1）若p是真命题，求实数k的取值范围；（2）若“p或q”是真命题，求实数k的取值范围【分析】（1）根据椭圆方程的定义进行求解即可（2）根据“p或q”是真命题，判断p，q的真假关系进行求解即可【解答】解：（1）命题p：“方程表示焦点在x轴上的椭圆”，则，
21、解得1k5（2）命题q：“方程表示双曲线”，则k（2k）0，解得k2或k0若“p或q”是真命题，则p，q至少一个是真命题，即一真一假或全为真则或或，所以1k2或k0或k5或2k5所以k0或k1法2，若p或q”是假命题，则p，q都为假命题，则，得0k1，则p或q”是真命题，则k0或k1【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，结合椭圆和双曲线方程的特点求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键18（12分）如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点，ABAD2，CACBCDBD2（1）求证：AO平面BCD；（2）求异面直线AD与BC所成角的余弦值的大小；（3）求点D到平面ABC的
22、距离【分析】（1）利用等腰三角形和勾股定理得到AO与BD，OC垂直，即可得证；（2）（3）利用第一步得到的三线垂直，建立空间坐标系，容易找到各点坐标，从而得到所需向量和法向量，代入公式即可得解【解答】解：（1）连接OC，BODO，ABAD，AOBD，BODO，BCCD，COBD，在AOC中，由题设知AO，AC，AO2+CO2AC2，AOC90，即AOOC，BDOCO，AO平面BCD；（2）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，），B（，0，0），C（0，0），D（，0，0），异面直线AD与BC所成角的余弦值大小为（3）解：由（2）知：，设平面ABC的一个法向量为（x，y，z），则令
23、y1，得（，1，）又，点D到平面ABC的距离，即点D到平面ABC的距离为【点评】此题考查了线面垂直，异面直线所成角，点到平面的距离，难度适中19（12分）已知圆C的圆心为（1，1），直线x+y40与圆C相切（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l过点（2，3），且被圆C所截得弦长为2，求直线l的方程【分析】（1）利用点到直线的距离可得：圆心C（1，1）到直线x+y40的距离d根据直线x+y40与圆C相切，可得rd即可得出圆的标准方程（3）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程：y3k（x2），即：kxy+32k0，可得圆心到直线l的距离d，又d2+12，可得：k即可得出直线l的方程当l的斜率不存在
24、时，x2，代入圆的方程可得：（y1）21，解得y可得弦长，即可验证是否满足条件【解答】解：（1）圆心C（1，1）到直线x+y40的距离d直线x+y40与圆C相切，rd圆的标准方程为：（x1）2+（y1）22（3）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程：y3k（x2），即：kxy+32k0，d，又d2+12，d1解得：k直线l的方程为：3x4y+60当l的斜率不存在时，x2，代入圆的方程可得：（y1）21，解得y11，可得弦长2，满足条件故l的方程为：3x4y+60或x2【点评】本题考查了直线与圆的相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（1
25、2分）已知函数f（x）x3+bx2+cx+d的图象经过点P（0，2），且在点M（1，f（1）处的切线方程为6xy+70（）求函数yf（x）的解析式；（）求函数yf（x）的单调区间【分析】（）求出d的值，求出函数的导数，根据f（1）1，f（1）6，得到关于b，c的方程组，解出即可；（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可【解答】解：（）由yf（x）的图象经过点P（0，2），知d2，f（x）x3+bx2+cx+2，f（x）3x2+2bxc由在点M（1，f（1）处的切线方程为6xy+70，知6f（1）+70，即f（1）1，又f（1）6解得bc3故所求的解析式是f（x）x33x
26、23x+2（）f（x）3x26x3令f（x）0，得或；令f（x）0，得故f（x）x33x23x+2的单调递增区间为和，单调递减区间为【点评】本题考查了切线方程问题，考查导数的应用以及函数的单调性问题，是一道中档题21（12分）已知函数f（x）exa（x1）（1）证明：当a1时，f（x）2恒成立；（2）若函数f（x）在R上只有一个零点，求a的取值范围【分析】（1）求得a1时f（x）的导数，可得f（x）在x0处取得最小值f（0）2即可；（2）由题意可得f（x）0有且只有一个正实数根，当a0时，f（x）ex0恒成立，无零点，当a0时，f（x）exa，可得f（x）在xlna处取得最小值，只需f（lna
27、）aa（lna1）a（2lna）0即可【解答】（1）证明：f（x）ex1令f（x）ex10可得x0，当x0时，f（x）0，f（x）单调递减当x0时，f（x）0，f（x）单调递增f（x）在x0处取得最小值f（0）2f（x）f（0）2（4分）（2）解：当a0时，f（x）ex0恒成立，无零点，与题意不符当a0时，f（x）exa0，f（x）在R上单调递增x时f（）ea（1）e1+a11+a0x1时f（1）e0根据零点存在性定理，f（x）在R上有唯一零点当a0时，f（x）exa，令f（x）0，xlnax（，lna），f（x）0，f（x）单减，x（lna，+）f（x）0，f（x）单增，f（x）在xlna处
28、取得最小值，f（lna）aa（lna1）a（2lna）0，lna2，ae2，当a0或ae2时，f（x）在R上有唯一的零点（12分）【点评】本题考查导数的运用：求单调性、极值和最值，考查分类讨论思想，化简整理的运算能力，属于中档题22（12分）在平面直角坐标系xoy中，已知A（1，0），点B在直线x1上，M点满足，M点的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）斜率为1的直线l与曲线C交于P、Q两点，曲线C上是否存在定点N，使得NP与NQ的倾斜角互补，若存在，求点N的坐标，若不存在请说明理由【分析】（1）设M点的坐标为（x，y），则B（1，y），则（1x，0），（2，y），（1x，y），（2，y）
29、，利用，能求出曲线C的方程（2）假设满足条件的点N存在，设N（，y0），设PQ的方程为yx+b，A（），B（），联立，得y2+4y4b0，推导出NP，NQ的斜率分别为k1，由此能求出点N的坐标【解答】解：（1）设M点的坐标为（x，y），则B（1，y），则（1x，0），（2，y），（1x，y），（2，y），2（1+x）2（1x）y2，即y24x，曲线C的方程为y24x（2）假设满足条件的点N存在，设N（，y0），设PQ的方程为yx+b，A（），B（），联立消去x，得y2+4y4b0，y1+y24，y1y24b，则NP，NQ的斜率分别为，同理，k1+k20，2，点N的坐标是（1，2）【点评】本题考查曲线方程的求法，考查点的坐标的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题
